TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ MỘT SỐ BÀI TẬP TÍNH NHANH TỔNG CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT VD1 : Tính tổng các phân số sau: A = 76 1 65 1 54 1 43 1 32 1 21 1 × + × + × + × + × + × Có thể học sinh làm như sau: = 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 2 1 +++++ = 420 10 420 14 420 21 420 35 420 70 420 210 +++++ = 420 360 = 7 6 Nhận xét: Với dãy tính như trên, nếu áp dụng cách quy đồng mẫu số các phân số rồi tính thì thật là lâu công vì khó xác định được mẫu số chung và khâu tính toán rắc rối nhiều lúc dẫn đến sai. Giả sử có những bài tập dạng như thế mà phức tạp hơn thì khó có thể áp dụng được cách giải đó. Vậy ta phải làm như thế nào để tính nhanh dạng bài tập đó ? Lúc này HS sẽ có nhu cầu tìm tòi cách giải mới – cách giải thuận tiện hơn. GV hướng dẫn HS phân tích ví dụ để nắm bản chất các phân số viết theo quy luật. VD2: Điền số thích hợp vào chỗ chấm 2 1 21 1 −= × ; 3 2 32 1 −= × −×= × 3 2 2 1 31 1 −×= × 5 3 2 1 53 1 Chú ý: ( ) 1 11 11 1 + −= +× nnn ( ) + −×= +× 2 11 2 1 21 1 nnn VD 3. Áp dụng công thức trên, tính nhanh tổng các phân số sau a, A = 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 2 1 +++++ Phân tích quy luật các phân số đó là: A = 76 1 65 1 54 1 43 1 32 1 21 1 × + × + × + × + × + × 1 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ Ta thấy: 2 1 21 1 = × mà 2 1 2 1 1 1 =− ; 20 1 54 1 = × mà 20 1 5 1 4 1 =− 6 1 32 1 = × mà 6 1 3 1 2 1 =− ; 30 1 65 1 = × mà 30 1 6 1 5 1 =− 12 1 43 1 = × mà 12 1 4 1 3 1 =− ; 42 1 76 1 = × mà 42 1 7 1 6 1 =− Nên ta có thể viết tổng trên như sau: 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 −+−+−+−+−+− = 7 1 1 1 − = 7 6 Nhận xét: Với cách tính này sẽ nhanh hơn và có thể áp dụng với những dãy tính như thế mà phức tạp hơn. GV hướng dẫn HS cách phân tích các số hạng của tổng các phân số viết theo quy luật: * Nhận biết quy luật: Các phân số đó đều có: + Tử số giống nhau. + Mẫu số có thể phân tích được thành một tích; cụ thể: Mẫu số của các phân số đó là các số tự nhiên được lặp lại một lần (trừ số đầu và số cuối ) hay nói cách khác: Thừa số thứ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau. * Tiến hành phân tích: * Vì sao phải phân tích như thế ? GV khắc sâu cho HS ý nghĩa của cách phân tích đó: + Để xuất hiện các phân số có thể khử liên tiếp để tìm nhanh kết quả. + Nói “có thể khử” vì có thể có biểu thức người ta chen vào một phân số lạc quy luật để kiểm tra kiến thức của HS. Để củng cố cách phân tích trên GV tiếp tục hướng dẫn HS làm ví dụ sau: VD4 Tính nhanh tổng các phân số sau: B = 2321 2 75 2 53 2 31 2 × ++ × + × + × Phân tích tương tự như ví dụ 3, ta thấy: 3 2 31 2 = × mà 3 2 3 1 1 1 =− 15 2 53 2 = × mà 15 2 5 1 3 1 =− ………………… 483 2 2321 2 = × mà 483 2 23 1 21 1 =− Dãy tính trên ta viết được như sau: 2 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ B = 23 1 21 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 1 −++−+−+− = − 1 1 23 1 = 23 22 Qua các ví dụ trên, GV yêu cầu HS lưu ý: Với quy luật của các số hạng trong tổng như thế, yêu cầu HS nắm chắc cách phân tích như trên. Nếu HS phân tích sai GV phải chỉ ra chỗ sai (chẳng hạn ở ví dụ 2b, nếu HS nhầm lẫn với cách phân tích như ở ví dụ 2a là 3 2 1 2 31 2 −= × thì GV phải chỉ ra chỗ sai 3 4 3 2 1 2 =− 3 2 ≠ ; đồng thời yêu cầu HS nhắc lại quy luật viết các phân số rồi so sánh quy luật đó ở hai ví dụ trên và nhắc lại cách phân tích). Đặc biệt để khắc sâu cách phân tích, GV yêu cầu HS không chỉ dừng lại ở cách “phân tích xuôi” như trên mà phải hướng dẫn các em phân tích theo “chiều ngược” để khẳng định cách phân tích trên là đúng. (Ví dụ 21 1 21 1 21 2 2 1 1 1 × = × − × =− ) Qua các ví dụ trên GV hướng dẫn HS rút ra phương pháp giải toán dạng này là dùng công thức tổng quát sau: mbbmbb m + −= +× 11 )( (b,m là các số tự nhiên khác 0) để viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số, số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp, còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện và tìm kết quả. Mặt khác để khẳng định tính đúng đắn của công thức tổng quát trên đồng thời nhằm củng cố và khắc sâu thêm nội dung của công thức tổng quát, GV yêu cầu HS làm bài tập sau: Tính: − +× + = + −=− )16(6 16 16 1 6 1 7 1 6 1 )16(6 6 +× = )16(6 1 )16(6 616 +× = +× −+ Như vậy ta có: = + − mbb 11 )( mbb m +× (b,m là các số tự nhiên khác 0). Qua cách hướng dẫn như trên HS không những nắm chắc và sâu cách tính mà còn hiểu rất thấu đáo công thức tổng quát tạo điều kiện cho các em vận dụng tốt vào giải các bài tập dạng trên. II. Một số dạng bài tập dùng để luyện tập. Dạng 1: Vận dụng trực tiếp công thức tổng quát trên để tính nhanh tổng các phân số viết theo quy luật: VD1: Tính nhanh tổng các phân số sau: C = 7673 3 1310 3 107 3 74 3 × ++ × + × + × . Nhận dạng quy luật: Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên có tử số không đổi (đều bằng 3) và bằng hiệu của hai thừa số trong mỗi mẫu số (7 – 4 = 3; 10 – 7 = 3;…; 76 – 73 = 3 ); thừa số thứ 3 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau. Nên ta áp dụng công thức tổng quát trên để tính. Ta viết được tổng trên như sau: C = 76 1 73 1 10 1 10 1 7 1 7 1 4 1 −+++−+− = 76 1 4 1 − = 76 1 76 19 − = 38 9 Với dạng bài tập này nhằm giúp HS nắm chắc quy luật dãy tính, phân tích các số hạng của tổng đó và vận dụng công thức tổng quát để tính. Dạng 2: Tử số các phân số của mỗi số hạng không đổi còn mẫu số của nó là tích có hai thừa số, thừa số thứ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau và hiệu hai thừa số của mỗi mẫu số gấp (kém) tử số của phân số đó một số lần. VD2: Tìm A, biết: a, A= 9087 6 2421 6 2118 6 1815 6 × ++ × + × + × Nhận dạng quy luật: Trong tổng đã cho, các số hạng đều có tử số là 6 và mẫu số là tích có 2 thừa số; thừa số thứ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau và hiệu hai thừa số là 3 (18 – 15 = 3; 21 – 18 = 3,…, 90 – 87 = 3 ). Nhưng tử số của mỗi phân số không phải 3 mà là 6 nên ta viết 6 = 2 × 3 Dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đặt 2 ra ngoài dấu ngoặc. Ta có thể viết dãy tính trên như sau: A = 9087 32 2421 32 2118 32 1815 32 × × ++ × × + × × + × × = 2 (× 9087 3 2421 3 2118 3 1815 3 × ++ × + × + × ) = 2 (× 90 1 87 1 24 1 21 1 21 1 18 1 18 1 15 1 −++−+−+− ) ………………………………. (Đưa về dạng cơ bản) Với ví dụ trên ngoài mục đích củng cố cách tính còn giúp HS vận dụng tính chất phân phối cuả phép nhân đối với phép cộng để biến đổi bài toán đưa về dạng cơ bản. b, A = 7573 1 3129 1 2927 1 2725 1 × ++ × + × + × Phân tích: Tương tự như VD 2a, ta có thể viết dãy tính trên như sau: A = 7573 2 3129 2 2927 2 2725 2 ( 2 1 × ++ × + × + × × 4 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ = 75 1 73 1 29 1 27 1 27 1 25 1 ( 2 1 −++−+−× ……………………… (Đưa về dạng cơ bản) Dạng bài tập trên giúp HS phát hiện và biến đổi các phân số đã cho thành các phân số viết theo quy luật rồi áp dụng công thức tổng quát để tính. Dạng 3: Mỗi số hạng của tổng có tử số không đổi còn mẫu số là các số tự nhiên có thể phân tích được thành tích có 2 thừa số ; thừa số thứ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau. VD 3: Tìm A, biết: A = 110 1 20 1 12 1 6 1 2 1 +++++ Nhận dạng quy luật: Trong tổng đã cho các số hạng có: Tử số bằng 1. Mẫu số: 2 = 1 × 2 ; 6 = 2 × 3 ; 12 = 3 × 4 ,…, 110 = 10 × 11 Ta có thể viết dãy tính trên như sau: A = 1110 1 43 1 32 1 21 1 × ++ × + × + × ……………………. (Đưa về dạngcơ bản). Dạng 4: Mỗi số hạng của tổng có tử số bằng 1 do đó không cần phân tích còn mẫu số là các số tự nhiên khác nhau. Vận dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi về dạng tổng quát. VD4: Tính tổng A, biết : A = 120 1 21 1 15 1 10 1 ++++ Nhận dạng quy luật: Trong tổng đã cho, các số hạng của phân số đều có tử số là 1 nhưng mẫu số không phải là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1 (10 = 2 × 5; 15 = 3 × 5…). Do đó không áp dụng trực tiếp được quy luật trên.Vì vậy ta áp dung tính chất cơ bản của phân số: Nhân cả tử số và mẫu số của mỗi phân số với 2 ta được các mẫu số mới lần lượt là 20; 30; 42; …; 240. Ta thấy 20 = 4 × 5; 30 = 5 × 6; 42 = 6 × 7…thoã mãn yêu cầu có hiệu của hai thừa số là 1 (tiếp theo tương tự dạng 2) Ta có thể viết dãy tính trên như sau: A = 240 2 42 2 30 2 20 2 ++++ = 1615 2 76 2 65 2 54 2 × ++ × + × + × (Đưa về dạng 2a.) Ở bài tập này ngoài mục đích đã nêu như dạng 3 còn nhằm củng cố tính chất cơ bản của phân số. Dạng 5: Vận dung công thức tính của dạng cơ bản để xác định một số hạng của tổng các phân số đã cho. 5 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ VD5: Tính nhanh tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy sau: ; 54 1 ; 43 1 ; 32 1 ; 21 1 ×××× Nhận dạng quy luật: Các số hạng đã cho trong dãy số trên được viết theo quy luật (dạng tổng quát) nhưng chưa cho biết cụ thể số hạng cuối cùng (số thứ 20) nên ta vận dụng công thức tính cơ bản để xác định: Ta thấy: ; 21 1 2 1 1 1 × =− )1( 1 1 11 ; ; 32 1 3 1 2 1 +× = + − × =− nnnn Vì số hạng cuối cùng là số thứ 20 nên n = 20 Do đó tổng trên được viết là: . 2120 1 43 1 32 1 21 1 × ++ × + × + × (Đưa về dạng tổng quát) Ví dụ ở dạng này tiếp tục củng cố cách phân tích các số hạng của tổng theo “chiều ngược”. Dạng 6: Lồng dạng toán cơ bản trên vào dạng toán khác . VD6 : a, Tìm x bằng cách hợp lý nhất. x - = × − × −− × − × − × 1716 1 1615 1 43 1 32 1 21 1 17 1 Nhận dạng quy luật: Các số trừ của vế trái là các phân số viết theo quy luật (trừ số bị trừ x). Vận dụng tính chất của các phép tính để đưa các phân số đã biết của số trừ về dạng một tổng: x – ( 1716 1 1615 1 43 1 32 1 21 1 × + × ++ × + × + × ) = 17 1 Như vậy số trừ của vế trái là tổng các phân số viết theo quy luật mà ta đã phân tích ở trên. b, Tìm x là số tự nhiên, biết: x - 1311 20 × - 11 3 5553 20 1715 20 1513 20 = × −− × − × Phân tích tương tự như VD 6a : x- ( 5553 20 1715 20 1513 20 1311 20 × ++ × + × + × ) = 11 3 (Đưa về dạng 2a) x – 10 × ( 5553 2 1715 2 1513 2 1311 2 × ++ × + × + × ) = 11 3 x – 10 × ( 11 3 ) 55 1 11 1 =− ……………………… 6 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ c, Tìm x trong dãy tính sau: 9 2 )1( 2 36 1 28 1 21 1 = +× ++++ xx Nhận dạng quy luật: Để mẫu số của mỗi phân số ở các số hạng là tích hai thừa số; thừa số thứ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau thì ta áp dụng tính chất cơ bản của phân số là cùng nhân cả tử số và mẫu số của mỗi phân số trên với 2, ta được : 9 2 )1( 2 72 2 56 2 42 2 = +× ++++ xx Do 42 = 6 × 7; 56 = 7 × 8; … nên ta có thể viết dãy tính trên như sau để xuất hiện quy luật : )1( 2 98 2 87 2 76 2 +× ++ × + × + × xx = 9 2 2 9 2 )1( 1 98 1 87 1 76 1 ( = +× ++ × + × + × × xx 2 9 2 ) 1 1 6 1 ( = + −× x …………………. VD7: Cho S = . )3( 3 107 3 74 3 41 3 +× ++ × + × + × nn với n là các số tự nhiên khác 0. Chứng tỏ: S < 1. Phân tích: Tương tự, đưa S về dạng tổng quát. S = 1 - 3 1 +n = 3 13 + −+ n n = 3 2 + + n n < 1. VD8: Tính nhanh tổng sau: A = 3127 4 2723 4 2523 4 2319 4 1915 4 1511 4 × + × + × + × + × + × Nhận dạng quy luật: Các số hạng của tổng trên được viết theo quy luật (trừ số hạng thứ tư ). Ta có thể viết dãy tính trên như sau: A = 2523 4 ) 3127 4 1915 4 1511 4 ( × + × ++ × + × Áp dụng công thức tổng quát trên để tính kết quả trong ngoặc đơn trước rồi tính A. 7 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ Các ví dụ ở dạng 6, góp phần củng cố một số tính chất của các phép tính đã học; đồng thời phát hiện nhanh các số hạng trong tổng không thuộc quy luật đã cho để có cách tính hợp lí. Dạng 7: “Mở rộng” VD9: Tính nhanh tổng sau: a, A = 201918 2 543 2 432 2 321 2 ×× ++ ×× + ×× + ×× Phân tích: 32 1 21 1 321 2 × − × = ×× 43 1 32 1 432 2 × − × = ×× …………………. 2019 1 1918 1 201918 2 × − × = ×× Vậy ta có thể viết dãy tính trên như sau: A = 32 1 21 1 × − × + 43 1 32 1 × − × +…+ 2019 1 1918 1 × − × = 2019 1 21 1 × − × = 380 189 Ta thấy: Nếu mỗi số hạng của tổng có phức tạp hơn như : mbmbb m ×+×+× × 2()( 2 (với b, m là các số tự nhiên khác 0) thì ta dùng công thức: )2()( 1 )( 1 )2()( 2 mbmbmbbmbmbb m ×+×+ − +× = ×+×+× × để viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số tương tự như các bài tập đã nêu trên. ( VD: 32 1 21 1 321 2 × − × = ×× (ở đây m = 1; b = 1) hay 53 1 31 1 531 4 × − × = ×× (ở đây m = 2; b = 1)) b, B = 292725 36 753 36 531 36 ×× ++ ×× + ×× B = 292725 49 753 49 531 49 ×× × ++ ×× × + ×× × = 9 × ( 292725 4 753 4 531 4 ×× ++ ×× + ×× ) = 9 (× ) 2927 1 2725 1 75 1 53 1 53 1 31 1 × − × ++ × − × + × − × 8 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ = 9 ) 2927 1 31 1 ( × − × × Phần “mở rộng” này chỉ là nội dung cho HS tham khảo thêm và hướng các em tiếp tục tìm hiểu những điều “mới mẻ” đối với dạng toán “Tính nhanh tổng các phân số viết theo quy luật”. Thông qua đó để góp phần tạo hứng thú, niềm say sưa học toán cho các em. Đồng thời nhắc nhở các em thấy mỗi nội dung toán ở bậc tiểu học là nền móng và sẽ được phát triển ở các bậc học tiếp theo. Cho nên muốn tìm hiểu sâu thì các em phải có ý thức học tốt môn toán ngay từ bậc tiểu học. D. MỘT SỐ ĐIỂM LƯU Ý KHI GIẢI DẠNG TOÁN “TÍNH NHANH TỔNG CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT”: Tôi thấy ở mỗi dạng bài tập trên xây dựng từ dễ đến khó được phát triển từ dạng toán cơ bản “Tính nhanh tổng các phân số viết theo quy luật” Tuy nhiên ở mỗi dạng có những điểm khác biệt nên khó có thể nêu được cách giải tổng quát cho mỗi dạng cụ thể mà phải biến đổi linh hoạt để đưa về dạng tổng quát; song công đoạn đó không phải là dễ đối với HS tiểu học. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra một số lưu ý chung để chúng ta tham khảo khi giải các bài tập thuộc dạng “Tính nhanh tổng các phân số viết theo quy luật”. Trước hết giáo viên phải hướng dẫn thật chi tiết bắt đầu từ những ví dụ cụ thể để rút ra cách giải tổng quát cho dạng toán đó ( mbbmbb m + −= +× 11 )( ; với m,b là các số tự nhiên khác 0 ).Từ đó hướng dẫn các em vận dụng linh hoạt công thức giải để làm các bài tập trên. Muốn vậy HS phải hiểu chắc chắn, nắm vững bản chất của quy luật, hiểu sâu công thức tổng quát. Đặc biệt, HS phải đọc kỹ đề, xác định đúng dạng toán và có kỹ năng tính toán linh hoạt. Cụ thể: - Nếu bài toán đã cho thuộc dạng cơ bản thì áp dụng trực tiếp công thức tổng quát để giải; đồng thời có thể sử dụng “chiều ngược” của công thức tồng quát để thử lại cách tính. - Nếu các số hạng của tổng có tử số không đổi và mẫu số là tích của hai thừa số; thừa số thứ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau; trong đó tử số gấp hoặc kém hiệu của hai thừa số trong mỗi mẫu một số lần thì phải vận dụng tính chất cơ bản của phân số và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để biến đổi đưa về dạng cơ bản. - Nếu các số hạng của tổng có tử không đổi và mẫu số là một số tự nhiên thì phải nghĩ ngay đến cách phân tích mẫu số thành tích có hai thừa số; thừa số thứ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau hoặc phải vận dụng tính chất cơ bản của phân số rồi mới biến đổi được. - Nếu dạng toán trên được lồng vào các dạng toán khác thì phải vận dụng các tính chất của các phép tính đã học để biến đổi đưa về dạng có quy luật. 9 TRƯỜNG TH HOÀNG HOA THÁM*** HƯỚNG DẪN TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ - Nếu trong dãy tính đã cho có một vài số hạng không thuộc quy luật thì phải tách ra tính cho hợp lí. - Nội dung “mở rộng” là phần tham khảo và làm tiền đề cho HS lên học ở THCS nếu HS chưa nắm chắc chắn. - Trên đây chỉ là một số gợi ý nhằm giúp HS giỏi lớp 5 giải dạng toán: “Tính nhanh tổng các phân số viết theo quy luật” nên đòi hỏi HS phải hiểu kiến thức chắc chắn và có kỹ năng tính toán linh hoạt để có cách giải sáng tạo và chính xác. Cư né, ngày tháng 4 năm 2011 MÈO Ú 10 . TÍNH NHANH TOÁN PHÂN SỐ MỘT SỐ BÀI TẬP TÍNH NHANH TỔNG CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT VD1 : Tính tổng các phân số sau: A = 76 1 65 1 54 1 43 1 32 1 21 1 × + × + × + × + × + × Có thể học sinh làm. nó là tích có hai thừa số, thừa số thứ hai của mẫu số trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu số sau và hiệu hai thừa số của mỗi mẫu số gấp (kém) tử số của phân số đó một số lần. VD2: Tìm A, biết: . Tử số giống nhau. + Mẫu số có thể phân tích được thành một tích; cụ thể: Mẫu số của các phân số đó là các số tự nhiên được lặp lại một lần (trừ số đầu và số cuối ) hay nói cách khác: Thừa số