C B A H A B C Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn Chủ đề: Nguyễn Danh Ngôn THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ, KHỐI NÓN (4 TIẾT) Tiết 1 - 2 I. Mục tiêu. Qua chủ đề này học sinh cần: 1) Về kiến thức: Làm cho HS hiểu sâu sắc hơn các vấn đề phân chia , lắp ghép khối đa diện và thể tích khối đa diện. 2) Về kĩ năng: Tăng cường rèn luyện kĩ năng giải toán về tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp. Thông qua giải toán HS được củng cố về công thức tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp và khả năng áp dụng chúng vào các khối đa diện phức tạp hơn. 3) Về tư duy và thái độ: Tích cực hoạt động. Rèn luyện tư duy chính xác, trìu tượng. Tự tin trong học tập. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh. 1) Giáo viên: Giáo án, hệ thống bài tập, phiếu học tập, hình vẽ, biểu bảng, …. 2) Học sinh: Ôn tập kiến thức cũ, làm bài tập trong sách giáo khoa. III. Phương pháp. Phương pháp chủ yếu là nêu vấn đề, vấn đáp kết hợp hoạt động theo nhóm học sinh. V. TIẾN TRÌNH GIỜ HỌC. Công thức Khối chóp: 1 V = Bh 3 Lăng trụ: V =Bh Khối nón: π 2 1 1 V = Bh= r h 3 3 π xq S = rl Khối trụ: π 2 V = Bh = r h π xq S =2 rl Khối cầu: 3 π 4 V = r 3 , 2 π S= 4 r Một số kết quả cần nhớ: Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao AB 3 AH= 2 . * Diện tích: 2 AB 3 S= 4 . Tam ABC vuông tại A: 1 S= AB.AC 2 . Hình vuông ABCD: * Đường chéo AC = AB 2 . * S=AB 2 . Quan hệ vuông góc 1) Đường thẳng vuoâng goùc với đường thẳng Cách 1 : a AB a BC b AC ⊥ => ⊥ ⊥ Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang 1 1 Tổ Tốn Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn Cách 2 : // a AB a b AB b ⊥ => ⊥ Cách 3 : ( )a P b a b⊥ ⊃ => ⊥ 2) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Cách 1 : ( ) a AB a ABC b AC ⊥ => ⊥ ⊥ Cách 2 : ( ) ( ) a b a c a P b P ⊥ ⊥ => ⊥ cắt c nằm trong Cách 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P Q b a Q a b ⊥ ∩ = => ⊥ ⊥ 3) Mp vuông góc với mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( ) a P P Q a Q ⊂ => ⊥ ⊥ 4.Góc : a) giữa đường thẳng và đường thẳng Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt song song với 2 đt đã cho b) giữa đường thẳng và mặt phẳng : Là góc giữa đt đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng đã cho. c) giữa mặt phẳng và mặt phẳng : Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đã cho và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. 3.Khoảng cách : a) Từ một điểm A đến đường thẳng b là khoảng của A và H là hình chiếu của A trên b b) Từ một điểm A đến (P) là khoảng của A và H là hình chiếu của A trên (P) Ơn thi tốt nghiệp 12 Trang 2 2 Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn Tiết 1 Chia lớp làm 2 nhóm phân công mỗi nhóm giải một bài tập Gọi đại diện các nhóm ( hai nhóm một lượt ) lên giải ở bảng Cho cả lớp trao đổi thảo luận,bổ sung góp ý Sửa sai ,hoàn chỉnh,chú ý cách vẽ hình của học sinh Bài 1 :Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a ;BC = b ; AA’ = c . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ ; C’D’ . Mặt phẳng ( AEF) chi khối hộp đó thành hai khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A’ .Tìm thể tích (H) và (H’). Bài 2 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B Cạnh SA vuông góc với đáy .Cho AB = a,SA = b. Hãy tính khoảng cách từ A đến mp(SBC ). Bài giải : Bài 1 : Giả sử EF cắt A’B’ tại I và cắt A’D’ tại J ,AI cắt BB’ tại L,AJ cắt DD’ tại M Gọi ( K ) là tứ diện AA’IJ . Khi đó ( ) ( ) . ' . 'H K L B IE M D FJ V V V V= − − Vì EB’ = EC’ và B’I // C’F nên B’I = C’F = ' ' 2 A B tương tự D’J = ' ' 2 A D Từ đó theo định lý Ta let ta có : ' ' 1 ' ' 1 ; ' ' 3 ' ' 3 LB IB MD JD AA IA AA JA = = = = Do đó . ' 1 1 . . . 3 2 2 2 3 27 L B EI a b c abc V = = ÷ Tương tự . ' 27 M D FJ abc V = ( ) 1 1 3 3 3 . . . 3 2 2 2 8 K a b abc V c = = ÷ nên ( ) 3 2 25 8 72 72 47 ( ') 72 H abc abc abc V abc V H = − = = Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang L M Ị I F E A' D' D C B B' A C' 3 3 Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn Bài 2 Tiết 2: Bài 3 ; Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , các cạnh bên tạo với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp đó . Bài 4 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau ,AC là là đường vuông góc chung của chúng.Biết AC = h ;AB = ,CD = b ;góc giữa hai đường AB,CD là 0 60 ,Tính thể tích tứ diện ABCD. Bài giải : Bài 3 : Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang S B A C Giải : Theo định lý ba đường vuông góc, BC vuông góc với hình chiếu AB của đường xiên SB nên BC vuông góc với SB. Gọi h là khoảng cách từ A đến Mp (SBC) ,V là thể tích của hình chóp S.ABC thì : . Từ đó suy ra : S B A C I H Vì hình chóp tam giác đều nên H chính là trọng tâm của tam giác ABC , do đó tac có : nên SH = AH.tan60 0 = Thể tích khối chóp S.ABC là 4 4 Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn Bài 4 : Tiết 3 I. Mục tiêu : 1. Kiến thức : - Nắm định nghĩa mặt cầu, hình cầu, vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và đường thẳng. 2. Kỹ năng : - Nhận biết được 1 số hình đa diện có mặt cầu ngoại tiếp - Xác định được tâm và bán kính mặt cầu - Tính được diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu 3. Tư duy, thái độ : - Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo II. Chuẩn bị : • Giáo viên : Hệ thống bài tập và câu hỏi gợi mở • Học sinh : Chuẩn bị kiến thức cũ liên quan đến trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác, mặt cầu, khối cầu, làm bài tập ở nhà III. Phương pháp : Vấn đáp, gợi mở, thuyết giảng. IV. Tiến trình lên lớp : 1.Kiểm tra bài cũ : - Định nghĩa mặt cầu, nêu công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang Dựng BE//=DC ; DF//=BA > Khi đó ABE.FDC là một lăng trụ đứng Ta có T ừ đ ó suy ra 5 5 F E B D C A Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn 2. Bài mới : Hoạt động 1 : Xác định tâm, bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước. Họat động của GV Họat động HS Nội dung - Một mặt cầu được xác định khi nào? - 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng ? Nếu A, B, C, D đồng phẳng ? - B to¸n được phát biểu lại: Cho hình chóp ABCD có . AB ┴ (BCD) BC ┴ CD Cm A, B, C, D nằm trên 1 mặt cầu - Bài toán đề cập đến quan hệ vuông , để cm 4 điểm nằm trên một mặt cầu ta cm ? - Gọi hs tìm bán kính + Cho 3 điểm A, B, C phân biệt có 2 khả năng : . A, B, C thẳng hàng . A, B, C không thẳng hàng - có hay không mặt cầu qua 3 điểm thẳng hàng ? -Có hay không mặt cầu qua 3 điểm không thẳng hàng ? + Giả sử có một mặt cầu như vậy thử tìm tâm của mặ t cầu. + Trên đtròn lấy 3 điểm A, B, C phân biệt và lấy điểm S ∉ (ABC) - Biết tâm và bán kính. -các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới 1 góc vuông. - Có B, C cùng nhìn đoạn AD dưới 1 góc vuông → đpcm R = 222 2 1 2 cba AD ++= - Không có mặt cầu qua 3 điểm thẳng hàng - Gọi I là tâm của mặt cầu thì IA=IB=IC ⇒ I ∈ d : trục ∆ ABC - Trả lời : + Gọi I là tâm của mặt cầu có : . IA=IB=IC ⇒ I ∈ d : trục ∆ ABC . IA=IS ⇒ S ∈ α : mp trung trực của đoạn AS ⇒ I = d ∩ α . Bài 1 : (SGK) Trong không gian cho 3 đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AB. CMR có mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Tính bk mặt cầu đó, nếu AB=a, BC=b, CD=c. Nếu A,B,C,D đồng phẳng CDBC CDAB BCAB //⇒ ⊥ ⊥ (!) → A, B, C, D không đồng phẳng: )(BCDAB CDAB BCAB ⊥⇒ ⊥ ⊥ Bài 2 SGK a. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua 3 điểm phân biệt A, B, C cho trước Củng cố : Có vô số mặt cầu qua 3 điểm không thẳng hàng , tâm của mặt cầu nằm trên trục của ∆ ABC. b. Có hay không một mặt cầu đi qua 1 đtròn và 1 điểm n»m ngoài mp chứa đtròn Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang 6 6 A B C D Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn + Có kết luận gì về mặt cầu qua 4 điểm không đồng phẳng. + Có duy nhất một mặt cầu qua 4 điểm không đồng phẳng Hoạt động 2 : Tính diện tích và thể tích mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp hình chóp Họat động của GV Họat động HS Nội dung + Công thức tính thể tích ? + Phát vấn hs cách tính + Gọi hs xác định tâm của mặt cầu. + Vì SA, SH nằm trong 1 mp nên chỉ cần dựng đường trung trực của đoạn SA + Gọi hs tính bkính và thể tích. - 3 3 4 RV π = - Tìm tâm và bkính . Theo bài 2 : Gọi O là tâm của mặt cầu thì O =d α ∩ Với d là trục ∆ ABC. α : mp trung trực của SA + Sử dụng tứ giác nội tiếp đtròn Bài 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp, tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao h + Gọi H là tâm ∆ ABC. ⇒ SH là trục ∆ ABC + Dựng trung trực Ny của SA + Gọi O=SH ∩ Ny ⇒ O là tâm + Công thức tính dtích mặt cầu + Phát vấn hs cách làm + Gọi hs xác định tâm - 2 4 RS π = - Tìm tâm và bán kính Bài 4 : Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang 7 7 S A B C N H O Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn + Gọi hs xác định bkính + Củng cố : Đối với hình chóp có cạnh bên và trục của đáy nằm trong 1 mp thì tâm mặt cầu I = a ∩ d với a : trung trực của cạnh bên. d : trục của mặt đáy - Tìm tâm theo yêu cầu. + Trục và cạnh bên nằm cùng 1 mp nên dựng đường trung trực của cạnh SC và SA, SB, SC đôi một vuông góc - Cmr điểm S, trọng tâm ∆ ABC, và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC thẳng hàng. Gọi I là trung điểm AB ⇒ Dựng Ix //SC ⇒ Ix là trục ∆ ABC . Dựng trung trực Ny của SC Gọi O = Ny ∩ Ix ⇒ O là tâm + và R=OS = 22 ISNS + ⇒ Diện tích V. Củng cố : - Nắm được cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện - Biết cách tính dtích mặt cầu, thể tích khối cầu Bài tập về nhà Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có cạnh đều = a. Xác định tâm và bkính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính dtích của mặt cầu ngoại tiếp đó và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu ngoại tiếp đó. Tiết 4 : B. Bài tập tham khảo Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a. Chứng minh SA vuông góc với BC. b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. ĐS: b. 3 . . 1 11 2 24 S ABI S ABC a V V= = Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết AB=a, 3BC a= , SA=3a. Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang 8 8 C N S A B I O Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Gọi I là trung điểm của SC . Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. ĐS: a. 3 . 3 2 S ABC a V = , b. 13 2 a BI = Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS: 3 . 6 S ABC a V = Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS: 3 . 2 3 S ABC a V = Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh 3SB a= . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . ĐS: a. 3 . 2 3 S ABC a V = Bài 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a. ĐS: 2 3 3 13 3 , 4 4 xq a a S V π π = = Bài 7. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD, có AB=a, AC= 5a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC. ĐS: 2 2 4 xq S rl a π π = = ; 2 2 6 tp xq S S S a π = + = ñaùy ; 2 2 3 2 2V r h a a a π π π = = = . Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a, AB=b, AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS: ( ) 2 2 2 2 2 2 6 V a b c a b c π = + + + + Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a, góc · 0 60ACB = . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C ) một góc 30 0 . a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. 3 6V a= . Hết Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang 9 9 . : 1.Kiểm tra bài cũ : - Định nghĩa mặt cầu, nêu công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang Dựng BE//=DC ; DF//=BA > Khi đó ABE.FDC là một lăng trụ đứng. diện và thể tích khối đa diện. 2) Về kĩ năng: Tăng cường rèn luyện kĩ năng giải toán về tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp. Thông qua giải toán HS được củng cố về công thức tính thể tích. vuông góc với đáy. Biết AB=a, 3BC a= , SA=3a. Ôn thi tốt nghiệp 12 Trang 8 8 C N S A B I O Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Hùng Sơn a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Gọi I là trung điểm của SC