Chuyên đề nguyên hàm tích phân

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 1: Tìm ngun hàm: e dx 1 x Đặt: t  e x   dt  e x dx Vậy: I=  dt t 1     dt  ln t   C t (t  1)  t t 1 Bài 2: Tìm nguyên hàm: x4   x  dx Ta có: I   ( x  x  x   Bài 3: Tìm ngun hàm: Ta có: I   x x dx   Bài 4: Tìm nguyên hàm:  x x3 x 2    x  2ln | x  1| +C )dx  x 1 x x dx 3 x4 xdx  C  xdx x 1  x 1 • Đặt t  x   x  t   dx  6t dt • Vậy I  6. t (t  1) t (t  1) dt  6. dt  6. t (t  t  t  t  t  1)dt t t t 1  t9 t8 t7 t6 t5 t   6         C 9 4 Bài Tìm nguyên hàm  sin x(sin x  cos3 x) dx   cos x  x sin x cos x  cos3 x.sin x     C 4   Ta có: I   (sin x  cos3 x sin x)dx   CHUYÊN ĐỀ: NGUN HÀM, TÍCH PHÂN Bài Tính ngun hàm Ta có: I   dx  sin x  cos x  dx dx d (tan x) t    ln C 2sin x(cos x  sin x) 2cos x[tan x(1  tan x)] tan x(1  tan x) t  Bài Tính nguyên hàm dx  2x 1 4x 1 Ta có: dx 4x 1  4x 1  I  2 t 1 tdt  dx  tdt dt dt Vậy: I      ln | t  1|  C 2 (t  1) t 1 (t  1) t 1 Đặt 4x 1  t  x  Bài Tính nguyên hàm  sin dx x.cos x Ta có: I  cosxdx d sin x (sin x   sin x) d sin x    sin x.cos x sin x.(1  sin x) sin x.(1  sin x) (sin x  1)d sin x d sin x d sin x d sin x d sin x d sin x       sin x sin x  sin x sin x  sin x   sin x  1 1 sin x  I    ln | | C sin x 3sin x sin x   I   Bài 9: Tìm nguyên hàm I   Ta có: I   ex x (e  1) dx   ex (e x  1)3 (e x  1) dx d(e x  1)   1 C x e 1 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 10: Tìm nguyên hàm I   e2 x ex 1 dx Đặt e x   t  e x dx  dt Thì: I   t 1 3 dt  t  t C 2 t Bài 11: Tìm nguyên hàm I   x3  x4  dx Đặt t  x   x  t   x3 dx  t dt Vậy I  t2    t  1dt    t   t      Bài 12: Tìm nguyên hàm I   Đặt x   t  dt  Vậy: I     t2   t  ln | t  1|   C 4  x5  x3 x2  dx x x2  (t  1)  2.(t  1) t5 dx   t  C Bài 13: Tìm nguyên hàm I   (1  x )3 dx Đặt x  sin t  dx  cos tdx I  cos t (1  sin t )3 dt   dt  tan t  C cos t CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN ln x  Bài 14: Tìm nguyên hàm I     x  dx   Đặt u  lnx  du  dv  2x dx x2 1 v x x Vậy: I   lnx lnx 2  2    dx    C x x x x  Bài 15: Tìm nguyên hàm I   I  x dx dx ( x sin x  cos x)2 x2 dx  x cos x x dx    dx 2 ( x sin x  cos x) ( x sin x  cos x) cos x x  x sin x  cos x  dx u  cos x  du    cos x Đặt    xcosx  dv  dx v   ( x sin x  cos x)  x sin x  cos x   x dx x Vậy I   I    tan x  C cosx( x sin x  cos x) cos x cosx( x sin x  cos x) Bài 16: Tìm nguyên hàm I   x dx 4 x Đặt x  cos t  dx  8 cos t sin tdt Vậy: I   cos t sin 2t 8sin t.cos tdt    8cos tdt  4  (1  cos 2t )dt  4(t  )C sin t CHUYÊN ĐỀ: NGUN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 17: Tìm ngun hàm I   x ln(1  x )dx dx  ln( x  1)  u  du  x   Đặt:   dv  x2 dx  v  x   Vậy: I   x3 ln ( x  1) x   dx 3 x 1 x3 ln( x  1) x3     dx 3 x 1  x3 ln( x  1) 1  x3 x   ln | x  1|     x   C 3 3  Bài 18: Tìm nguyên hàm I   sin x cos x  cos x dx dt cos t cos tdt cos tdt Vậy: I       C 2 tan t cos t sin t sin t Đặt cos x  tan t   sin xdx  Bài 19:Tìm nguyên hàm I   Ta có: I=  dx tan x d (tan x) tan x(tan x  1)  dt Với t  tan x t (t  1)  dt dt 1 1 dt   (  )dt     2 2 t (t (t  1)) t t t (t  1) t t t 1   t 6 dt   t 4 dt   t 2 dt    dt t 1 t 7 t 5 t 3    arctan t  C 7 5 3 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 20:Tìm ngun hàm I   sin xdx Ta có :  sin xdx   sin x.sin xdx    (1  cos x) sin xdx Đặt u  cos x  du   sin xdx Khi ta có I    (1  2u  u )du  u  u  u  C Bài 21:Tìm ngun hàm I   • Ta có : dx  sin x  dx sin x sin x sin x  dx sin x (1  cos x) • Đổi biến số , đặt u  cos x  du   sin xdx • Khi : du du 1 I     (  ) du 2 (1  u ) (u  1) u 1 u  1 du    du    (u  1) (u  1)  1 u 1   ln C 4(u  1) 4(u  1) u  Bài 22:Tìm nguyên hàm I   x ln xdx 2lnx  du  x u  ln x  • Đặt    dv  x dx v  x   Vậy I   1 du    (u  1)(u  1) x3 2 ln x  I1 (1) 3 • Tính I1   x 2lnxdx CHUN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN dx   du  x u  lnx  Đặt    dv  x dx v  x   Suy ra: I1  x3 x3 x3 lnx   x dx  lnx  (2) 3 Thế (2) vào (1) ta I x3 2 x3 x3 ln x  lnx  C 27 Bài 23:Tìm nguyên hàm I    sin xdx x x x x x  Ta có: I    sin xdx    sin  cos  dx   sin  cos dx   sin    dx      2 Sau xét âm dương để tính ngun hàm Bài 24:Tìm nguyên hàm I   dx sin x • Ta có : I  dx sin x sin x  sin x   dx   dx   dx sin x sin x  cos x cos x  • Đặt u  cos x  du   sin xdx • Khi : I   du u 1   ln C u 1 u 1 2 4 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 25:Tìm ngun hàm I   dx  sin x  cos x  x 1  tan  dx dx 2 • Ta có : I     dx x x  cos x  sin x  x  tan tan 1  tan  2 2  1 x x  tan  tan 2 x 1 x • Đổi biến số: u  tan  du  1  tan  dx 2 2 • Khi : I   2du du   ln(1  u )  C 2(1  u ) 1 u cos x dx  cos x Bài 26:Tìm ngun hàm I   Ta có: I    2sin x d (sin x) Đặt sin x  sin t  d ( sinx)  cos tdt Vậy: I   cos t  8sin t dt   2cos t t dt  C 2 cos t Bài 27:Tìm nguyên hàm I   Ta có: I   dx x( x  1) 10 dx 10 x9 dx   10 10 x( x10  1) 10 x ( x  1) Đặt t  x10   dx  10 x9 dx Vậy I   dt  t (t  1) 10 t  (t  1) dt 10  t (t  1) CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN  dt dt dt  t   10  t  10  t 10  t 1 ln | | C 10 t 10t Bài 28:Tìm nguyên hàm I   (4 x  x  1)e x dx Ta có: I   4x2  2x  d (e x)  (4 x  x  1)e2 x 4x 1  d (e x ) 2  (4 x  x  1)e2 x (4 x  1)e x    2e2 x dx 2  (4 x  x  1)e2 x (4 x  1)e x   e2 x  C 2 Bài 29: Tính tích phân: • Đặt  x x    x2 dx  x  t  t   x  tdt  xdx • Đổi cận x   t  x 3t 2 2 t 1 t 1 • Vậy: I   dt   dt   dt  ln | t  1|   ln  2 (t  1) (t  1) (t  1) t 1 Bài 30: Tính tích phân:  16  x dx • Đặt x  4sin t  dx  cos tdt • Đổi cận x   t   x t   40  40  40 • Vậy: I  4 cos t 16  16sin tdt  16  cos tdt  8 (cos 2t  1) dt  4sin 2t  8t   4 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN  2 Bài 31: Tính tích phân: I   sin x sin x  dx  3 sin t   sin xdx  cos tdt 2 Đặt cos x  Vậy: I   cos tdt    sin2t      (1  cos 2t )dt    t   |4     4      2sin (  x) Bài 32: Tính tích phân: I   dx cos x     sin x cos x sin x dx   (  )dx cos x sin x  cos x 0 Ta có: I   sin x  1  32 1  ( ln | |  ln cos x) | /6  ln    ln sin x   32 2      sin x( x  1) dx cos3 x Bài 33: Tính tích phân: I   Ta có:  I   1 x 1  2 3    ( x  1)d   |03  tan x |03     2  20 cos x  cos x  10 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 34: Tính tích phân: I  x dx  x2 • Đặt x  tan t  dx  (1  tan t )dt • Đổi cận x 1 t   x 3t   • Nên  I  3   3  (1  tan t ).cos t dt  3 dt 2 tan t tan t.cost   3 cos t d (sin t ) dt  3  ln(sin t )  ln   2  sin t sin t   Bài 35: Tính tích phân: I   x4  x2  dx x6  1 1 x4  x2  1 dx   dx  2 dx ( x  1)( x  x  x 1 x 1 0 Ta có: I   (*) Tính tích phân I1   dx x 1 dt cos t Đổi cận x   t   x 1 t  Đặt x  tan x  dx  Suy ra: I1   1  dt   dt  2 cos t (tan t  1) (*) Tính tích phân I   dx x 1 11 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Đặt u  x  du  x dx 1 Cận không đổi, Suy ra: I   du u 1 tương tự I1 ta tính I  Vậy I  I1  I   12 5 12 e Bài 36: Tính tích phân: I  x 1  2ln x dx  2ln x x Đặt t   ln x  t   ln x  tdt  dx và:  ln x   t Đổi cận x   t  x e t  2 Vậy: I   (2  t )t dt  t t3   (2  t )dt  2t    sin x dx sin x  cos5 x Bài 37: Tính tích phân: I   Đặt x    t  dx   dt  cos5 t I dt sin t  cos5 t Do tích phân khơng phụ thuộc vào biến: I   dx  I  12  CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 38: Tính tích phân: I   dx 3 (1  x )  x3 dx Đặt: t   x3  dt  x dx Ta có: • x   t 1 • x  1 t  2 Vậy: I   1 t t dt   t dt   t 4/3dt  3t 1/3  3 t    1 3  ln x dx (Trích đề khối B - 2009) ( x  1) Bài 39: Tính tích phân: I   3     ln x  I    (3  ln x ).d      x   |1   x( x  1)  x 1   1    ln 3  x 3   ln   |1  x 1   ln 3  ln  ln 4  tan x Bài 40: Tính tích phân: I   dx (Trích đề khối A - 2008) cos x  Ta có: I   tan x.d (tan x) Đặt t  tan x thì:  tan x I  t dt  1 t2  [  1 t 1 t     10  (1  t )]dt    ln | |   t  |0   ln   t 1 t 1   1  27    13 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN  Bài 41: Tính tích phân: sin x  cos x dx • Đặt u  cos x • Ta có: 23 du 23  1   2u   23 I       du   ln   2u   |1  2u   2u  2u       x2  dx   4 x  Bài 42: Tính tích phân: I   x ln  Đặt t  x ta được: I  1 t  ln(4  t )  ln(4  t )  dt 0 1 0 [ln(4  t )  ln(4  t )]dt 1 t2 t2  [ln(4  t )  ln(4  t )]t |0   (  )dt 4 4t 4t 1  16 16   ln    t 4  t  dt  4t 4t   ln  [16 ln(4  t )  8t  16 ln(t  4)] |1  1 15  ln  16 ln   4 16  14 CHUYÊN ĐỀ: NGUN HÀM, TÍCH PHÂN  Bài 43: Tính tích phân :   sin x  x  cot xdx  Ta có:  2x   cos x  I  2    x dx sin x      x sin x  2    x2  |    xd (cot x) 2  4   x sin x     x  x.cot x  ln | sin x |  2   Bài 44: Tính tích phân :  x.sin x cos xdx Ta có:  I   x sin x cos xdx     x cos xd cos x     xd cos3 x   x.cos3 x  |0  06 cos3 xdx 3  x.cos x   |0  06 (1  sin x)d sin x 3   x.cos3 x sin x  sin x  |0 3 15 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN  sin x  cos3 x dx  sin2x Bài 45: Tính tích phân : I    Ta có: I   (sin x  cos x)[4  (3  sin x)] dx  sin x    4d (sin x  cos x)  t2    (sin x  cos x)dx   ln  | |  |1 2   ln  (sin x  cos x)  t2  Bài 46: Tính tích phân: I   1 • Ta có: I   dx 1 1 x  1 x dx  x   x2 dx dx  x   x2   I1  I • Xét I1 dt Đặt x  t  dx  dt thì: I1   1 1 t2  t • Do tích phân khơng phụ thuộc biến nên: 1 dx dx I     dx  I  0   x2  x  x   x2  Bài 47: Tính tích phân: I    x cos x dx sin x Ta có:   I   x d sin x sin x     xd   2 4  sin x   x         |  2  dx  sin x  4  sin x    x      cot x  |  sin x  16 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN x e2 x dx ( x  1) Bài 48: Tính tích phân: I   Ta có: I 1  2x 0 1  x   d (e )   x 1 d (e x ) x    e |0    e d  x 1  x 1   e2  1 d (e2 x ) e2 x 1 d (e2 x )   |0   x 1 x 1 x 1  e2  e2  1  2 CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT! 17 ... Tính tích phân: I   Đặt x    t  dx   dt  cos5 t I dt sin t  cos5 t Do tích phân khơng phụ thuộc vào biến: I   dx  I  12  CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 38: Tính tích phân: ... Bài 13: Tìm nguyên hàm I   (1  x )3 dx Đặt x  sin t  dx  cos tdx I  cos t (1  sin t )3 dt   dt  tan t  C cos t CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN ln x  Bài 14: Tìm nguyên hàm I  ... Bài 33: Tính tích phân: I   Ta có:  I   1 x 1  2 3    ( x  1)d   |03  tan x |03     2  20 cos x  cos x  10 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 34: Tính tích phân: I  x