TRƯỜNG THCS CÁT LÂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 6 ; Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: Câu 1: (2,5 điểm) a) Tìm x ∈ Z biết 8 2 x x − = − b) Tìm x ∈ Z để phân số 33 3x + là một số nguyên. Câu 2: (1,0 điểm) Tìm một phân số bằng phân số 13 17 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 2010 Câu 3: (1,5 điểm) Chứng tỏ rằng 21 4 14 3 n n + + với n ∈ N là phân số tối giản. Câu 4: (3,0 điểm) a) Tổng sau là bình phương của số tự nhiên nào: S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 199 b) Gọi S 1 là tổng của 100 số tự nhiên liên tiếp, S 2 là tổng của 100 số tự nhiên tiếp theo. Chứng tỏ S 2 – S 1 bằng bình phương của một số tự nhiên. Câu 5: (2,0 điểm) Trên tia Ox ta lấy hai điểm A và B. Biết OA = a, OB = a + b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB. Tính độ dài đoạn thẳng MN TRƯỜNG THCS CÁT LÂM HƯỚNG DẪN CHẤM: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 6 ; Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: (2,5 điểm) a) 8 2 x x − = − 2 16x⇒ = (0,5) 4x⇒ = ± (0,5) b) Để phân số 33 3x + là một số nguyên thì x + 3 ∈ Ư(33) Hay { } 3 1; 3; 11; 33x + ∈ ± ± ± ± (0,5) { } 36; 14; 6; 4; 2;0;8;30x ∈ − − − − − (1,0) Câu 2: (1,0 điểm) Phân số cần tìm bằng phân số 13 17 nên có dạng 13 ; , 0 17 k k Z k k ∈ ≠ (0,25) Ta có: 13k + 17k = 2010 30k = 2010 k = 67 (0,25) Vậy phân số cần tìm là 871 1139 (0,5) Câu 3: (1,5 điểm) Gọi d là ước chung của 21n + 4 và 14n + 3 ; d ∈ N * Ta có: 21n + 4 d và 14n + 3 d (0,5) ⇒ 42n + 8 d và 42n + 9 d ⇒ (42n + 9) – (42n + 8) d ⇒ 1 d ⇒ d = 1 (0,5) Vậy 21 4 14 3 n n + + với n ∈ N là phân số tối giản. (0,5) Câu 4: (3,0 điểm) a) Số số hạng của tổng (199 – 1): 2 + 1 = 100 (0,5) S = 2 (1 199).100 : 2 100 + = (0,5) b) S 1 = n 1 + n 2 + n 3 + + n 100 S 2 = n 101 + n 102 + n 103 + + n 200 (0,5) Ta có từ số n 1 đến số n 101 ; n 2 đến số n 102 ; ; n 100 đến số n 200 gồm 101 số tự nhiên liên tiếp. Do đó: S 2 – S 1 = (n 101 + n 102 + n 103 + + n 200 ) – (n 1 + n 2 + n 3 + + n 100 ) = (n 101 – n 1 ) + (n 102 – n 2 ) + + (n 200 – n 100 ) (0,5) = 100 + 100 + + 100 ( có 100 số hạng) (0,5) = 100. 100 = 100 2 Vậy S 2 – S 1 = 100 2 (0,5) Câu 5: (2,0 điểm) Vẽ hình đúng, phù hợp với lời giải (0,5) Vì a < a + b nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, do đó ta có: OA + AB = OB hay a + AB = a + b Do đó AB = b (0,5) Vì M là trung điểm của OA, N là trung điểm của AB nên A nằm giữa hai điểm M và N ⇒ MN = MA + AN = 2 2 2 2 2 OA AB a b a b+ + = + = (1,0) . CÁT LÂM HƯỚNG DẪN CHẤM: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 6 ; Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: (2,5 điểm) a) 8 2 x x − = − 2 16x⇒ = (0,5) 4x⇒ = ± . } 36; 14; 6; 4; 2;0;8;30x ∈ − − − − − (1,0) Câu 2: (1,0 điểm) Phân số cần tìm bằng phân số 13 17 nên có dạng 13 ; , 0 17 k k Z k k ∈ ≠ (0,25) Ta có: 13k + 17k = 2010 30k = 2010 k = 67 . TRƯỜNG THCS CÁT LÂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 6 ; Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: Câu 1: (2,5 điểm) a)