De Toan thi thu dai hoc 2011

Trờng THPT Đa Phúc Đề thi thử đại học năm 2011 Môn: Toán, Khối: A Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề. I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số xmmxxy )3( 2 1 3 1 223 += 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ; cực tiểu tại xCT sao cho x CĐ ; x CT là độ dài hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 2 5 . Câu 2 (2 điểm) 3. Giải phơng trình: ) 4 2(cos32)2sin1(3cos3cos2 2 +=++ xxxx 4. Giải bất phơng trình: 221682 22 ++++ xxxx Câu 3 (1 điểm) Tính dx xx xx I + = 2 0 2cossin43 cossin Câu 4 (1 điểm). Cho lăng trụ ABCABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên )(ABCmp trùng với tâm O của ABC . Gọi )( là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với AA; )( cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 8 3 2 a . Tính thể tích khối lăng trụ. Câu 5 (1 điểm). Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn 12 222 =++ cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 111 3 6 3 6 3 6 + + + + + = a c c b b a A II. Phần riêng (3 điểm) Học sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 phần (Phần A hoặc B) A. Câu 6a) (2 điểm) 1. Trên Oxy cho Elip 1 2 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba biết 2 1 22 = a ba hình chữ nhật cơ sở cắt Ox tại A, A, cắt Oy tại B, B. Lập phơng trình Elip biết diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABAB có diện tích bằng 4 . 2. Trên Oxyz cho )( mp : 05 =+ zyx , đờng thẳng (d): 22 2 1 zyx = = . Viết phơng trình đờng thẳng () đi qua A(3,-1,1); nằm trong )( và hợp với (d) một góc 45 0 . Câu 7a) (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức 2010 2011 2011 2008 2010 2011 2006 3 2011 2008 2 2011 2010 1 2011 2 20112 2010 2 1 3 2 1 2 2 1 . CCCCC T +++++= B. Câu 6b) (2 điểm) 1. Trên Oxy cho 2 đờng thẳng d 1 : 2x-y-1=0, d 2 : 2x+y-3=0. Gọi I là giao điểm của d 1 và d 2 ; A là điểm thuộc d 1 , A có hoành độ dơng khác 1 (0 < x A 1). Lập phơng trình đờng thẳng () đi qua A, cắt d 2 tại B sao cho diện tích IAB bằng 6 và IB = 3IA. 2. Trên Oxyz cho 2 đờng thẳng: d 1: 11 2 1 zyx = = và d 2 : 1 5 1 3 2 2 + = = zyx . Lập phơng trình )( mp : chứa d 1 và tạo với d 2 một góc 60 0 . Câu 7b) (1 điểm) Giải phơng trình: 014log4log 2 2 2 =+ xxxx Hết Đáp án Thang điểm Câu ý Nội dung bài giải Điểm Câu 1 Hàm số 2 điểm 1) Với m = 1 ta có h/s: xxxy 2 2 1 3 1 23 = 1 điểm 1. Tập xác định: D = R 2. Sự biến thiên: a) Đạo hàm: y = x 2 x 2 = 0 x = -1 hoặc x = 2 * h/s đồng biến trên các khoảng );2();1;( + h/s nghịch biến trên khoảng (-1; 2) * h/s đạt cực đại tại x = -1; y CĐ = 6 7 h/s đạt cực tiểu tại x = 2; y CT = 3 10 b) Giới hạn: == ) 2 2 1 3 1 (limlim 2 3 x x xy xx +== ++ ) 2 2 1 3 1 (limlim 2 3 x x xy xx c) Bảng biến thiên: 3. Vẽ đồ thị: 12 13 2 1 012 '' ==== yxxy Đồ thị có điểm uốn ) 12 13 ; 2 1 ( U 2 3 3 3 2 2 00 == == == yx yx yx 0,25 0,25 0,25 0,25 x -1 2 + y + 0 - 0 + x-12y+ 0-0+y 2) T×m m 1 ®iÓm Ta cã 3' 22 −+−= mmxxy ; pt 030' 22 =−+−⇔= mmxxy (*) .Hµm sè cã C§; CT ⇔ pt (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 220401230)3(4 2222 <<−⇔<−⇔>+−⇔>−−=∆ mmmmm (1) .x C§ ; x CT lµ 2 nghiÖm cña (*) vµ lµ ®é dµi 2 c¹nh cña 1 tam gi¸c vu«ng ⇒ x C§ > 0; x CT > 0 ⇒ 3 0 03 0 0. 2 CD >⇒    > >− ⇒    >+= >= ⇒ m m m xxS xxP CTCD CT (2) .x C§ ; x CT lµ ®é dµi 2 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 2 7 2 7 2 5 )3(2 2 5 2)( 2 5 2 5 222 222 ±=⇔=⇔=−−⇔ =−+⇔=+⇔ mmmm xxxxxx CTCDCTCDCTCD . KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ®îc 2 7 =m 0.25 0.25 0.25 0.25 C©u 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c, bpt ®¹i sè 2 ®iÓm 1 Gi¶i pt lîng gi¸c: ) 4 2(cos32)2sin1(3cos3cos2 2 π +=++ xxxx * 1 ®iÓm )( 318 2 ) 6 3sin( 0 0cos). 6 3sin(2 0) 6 2sin() 6 4sin( 0)2sin 2 3 2cos 2 1 ()4sin 2 3 4 2 1 ( 0)2sin32(cos)4sin34( 4sin332sin3324 )) 2 4(1(32sin3324* Zk k x kx x cox xx xx xxxxcox xxxxcox xxxcoxxcox xcoxxxcoxxcox ∉       + − = += ⇔     + = ⇔ =+⇔ =+++⇔ =−++⇔ =−++⇔ −=+++⇔ ++=+++⇔ ππ π π π π ππ π 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Gi¶i bpt: 221682 22 +≤−+++ xxxx (*) 1 ®iÓm .§K:      ≥ −= −≤ ⇔           ≥ −≤    −≥ −≤ ⇔      ≥+−=− ≥++=++=++ 1 1 3 1 1 1 3 0)1)(1(1 0)62)(1()3)(1(2682 2 2 x x x x x x x xxx xxxxxx . Víi x = -1: VT(*) = 0; VP(*) = 0 ⇒ x = -1 lµ 1 nghiÖm cña bpt(*) 0.25 0.25 ] -3 ] -1 [ [ 1 . Víi x ≥ 1 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ 2x + 2 = 2( 1+x ) 2 x – 1 ≥ 0 2x + 3 > 0 Khi ®ã: 1 1 1 7 25 1 025187 12)642(4 16422 44)1)(62(253 12162 )1(21.162.1(*) 2 22 2 2 =⇔      ≥ ≤≤ − ⇔    ≥ ≤−+ ⇔ +−≤−+⇔ −≤−+⇔ +≤−+++⇔ +≤−++⇔ +≤−++++⇔ x x x x xx xxxx xxx xxxx xxx xxxxx . Víi x ≤ -3 ⇒ . x + 1 < 0 ⇒ -x – 1 > 0 ⇒ -x – 1 = ( 1−− x ) 2 . x – 1 < 0 ⇒ -x – 1 > 0 . 2x + 6 ≤ 0 ⇒ -2x – 6 ≥ 0 Khi ®ã: 12162 )1(2)1(2)1).(1()62)(1((*) 2 −−−≤+−+−−⇔ −−−=−−−≤+−−−+−−−−⇔ xxx xxxxxx (v« nghiÖm, v× VT ≥0 cßn VP < 0) KL: bpt cã tËp nghiÖm S = { 1}± 0.25 0.25 C©u 3 TÝnh tÝch ph©n: dx xx xx I ∫ −+ = 2 0 2cossin43 cossin π 1 ®iÓm . ∫ ∫ ∫ + = ++ = −+ = 2 0 2 0 2 0 22 )1(sin2 cossin sin2sin42 cossin 2cossin43 cossin π π π dx x xx dx xx xx dx xx xx I . §Æt t = sinx⇒ dt = cosxdx . Khi : 4 14ln 4 12ln2 1 2 1 2ln 2 1 1 1 1ln 2 1 )1( 1 1 1 2 1 )1( 1)1( 2 1 )1(2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 222 − = − =       −+=             + ++=         + − + = + −+ = + =⇒ ∫ ∫ ∫ t tdt t t dt t t t tdt I 0.25 0.25 0.25 0.25 C©u 4 H×nh kh«ng gian (tæng hîp) 1 ®iÓm 1 2 00 =⇒= =⇒= tx tx π * Giả sử () AA tại giao điểm K BCK là thiết diện () cắt lăng trụ, theo giả thiết ta có: 8 3 2 a S BCK = * Gọi M là trung điểm của BC AM BC Mà AM là hình chiếu của KM KM BC (định lý 3 đờng vuông góc) =AMK là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và () ABC có diện tích 4 3 2 a S = (diện tích tam giác đều) KBC có diện tích 8 3 2 / a S = (gt) KBC là hình chiếu vuông góc của ABC trên mặt phẳng () Góc của )( và (ABC) và là 0 2 2 60 2 1 4 3 8 3 ' cos ==== a a s s Dễ thấy 0 60' == AAOAMK Xét OAA vuông tại O có: 33 3 . 3 3 60cot. 2 3 . 3 2 ' cot.' 0 aaa AAOOAOA ==== Theo giả thiết AO là đờng cao của lăng trụ 12 3 3 . 4 3 ' 32 '''. aaa OAShBV ABCCBAABC ==== (đvdt) 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn 12 222 =++ cba . 1 điểm . Ta có: C A B M O K C A B A K AM O ) 222 (2 2 2 1; 2 2 1: 2 2 2 11 )1)(1(1 2 6 2 6 2 6 2 3 2 32 22 23 + + + + + + + + + + = +++ ++=+ a c c b b a A c c b bt aaaa aaaa . Ta có: 2 2 2 6 2 2 2 6 223 32 2962 2 6 8 3 32 9 )2(16 2 . 8 3 32 9 )2(16 2 . 8.2 3).2( )2.(2. 3 3 32 9 )2(16 2 . c a a c b c c b aa b bab b a + + + + + + + + == + + + + + + Cộng vế với vế 3 bđt trên đợc bđt: 32 222 )(832)6( 9 16 222 2 6 2 6 2 6 222222 2 6 2 6 2 6 + + + + + +++++++ + + + + + a c c b b a cbacba a c c b b a A = 64 với mọi a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 12 Với a = b = c = 2 thoả điều kiện giả thiết thì A = 64 Vậy minA = 64 đạt đợc khi a = b = c = 2 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 6a Hình giải tích 2 điểm 1 Hình giải tích phẳng 1 điểm . gt: Diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABAB bằng 4 bán kính đờng tròn r = 2 . O là tâm hình tròn, kẻ OK AB r = OK = 2 .Xét tam giác vuông OAB ta có: 22222 11 4 1111 baOBOAOK +=+= (1) . Từ gt: 22222 22 22 222 .2 2 1 babaa baa a ba == == . a 2 và b 2 đợc tìm từ hệ (1); (2) = = =+ = 6 12 4 11 2 2 2 22 22 b a ba ba Vậy Elíp thoả yêu cầu bài toán co pt là: 1 612 22 =+ yx 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Hình giải tích không gian 1 điểm *Theo giả thiết mặt phẳng () có VTPT )1,1,1( =n (do a 2 + b 2 + c 2 = 12) (2) A A B B O K đờng thẳng d có VTCP )2,2,1(=u *Giả sử ),,( cbav = (a 2 + b 2 + c 2 > 0) là VTCP của đởng thẳng phải lập ph- ơng trình: - Từ giả thiết: () (*)00. cabcbavu +==+= - Từ giả thiết: hợp với d một góc 45 0 ( ) 2 2 45cos,cos 0 == vu 2 2 .221 22 222222 = ++++ ++ cba cba do b = a+c, và từ (*) có: ( ) = = =+=+ ++=++ ++=++ ++=+= +++ +++ 15 7 0 015703014 181818324818 )222(9)16249(2 2223432 2 1 )(3 22 22 2222 2222 22 222 c a c accacc cacacaca cacacaca cacaca ccaa ccaa * với c = 0 a = b lấy a = 1 b = 1 )1;1;3();0;1;1( = Av )( 1 1 3 :)( 11 1 Rt z ty tx = += += * Với cb c a 15 8 15 7 = = chọn c = 15 a = -7; b = 8 )( 151 81 73 :)( 2 2 2 2 Rt tz ty tx += += = 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 7a Nhị thức Newtơn 1 điểm Xét: 2011 2011 2011 2011 2011 1 2010 1 2011 2011 0 2011 2011 2011 0 2011 2011 2 1 2 1 . 2 1 . .) 2 1 () 2 1 ()( xxx xxxf CCCC C k k k ii i i +++++= =+= = Lấy đạo hàm của f(x) 2 vế ta đợc: (*) 2011 2 1 1. 2 1 .) 2 1 (2011 2010 2011 2011 1 2011 2011 2010 1 2011 2010 xxkx CCC k k k ++++=+ Cho x = 2 vào 2 vế của (*) ta đợc 20102010 ) 2 5 .(2011)2 2 1 (2011 =+= T 0.25 0.5 0.25 Câu 6b Hình giải tích 2 điểm 1 Hình giải tích phẳng 1 điểm I = d 1 d 2 tạo độ của I là n 0 của hệ = = =+ = 1 1 032 012 y x yx yx Vậy I(1; 1) Từ gt d 1 có VTPT );1;2( 1 =n d 2 có VTPT );1;2( 2 =n Gọi là góc của d 1 và d 2 5 6 5 4 .3. 2 1 5 4 sin 5 3 5 14 cos 2 IA IAIAS IAB == == = Từ gt: 4556 22 === IBIAS IAB )12,(. 1 aaAdA với a > 0, a 1 . pt = = ==+= 2 0 5)1(55)22()1(5 2222 a a aaaIA a = 2 A(2;3) * )23,(. 21 baBdB = = == =+= )7;2(2 )5;4(4 9)1(45 )1(5)22()1( 22 2222 Bb Bb bIB bbbIB Với A(2;3); B(4;5) pt cần tìm là 0114 35 3 24 2 =+ = yx yx Với A(2;3); B(-2;7) pt cần tìm là 05 37 3 22 2 =+ = yx yx 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Hình giải tích không gian 1 điểm . Từ gt d 1 đi qua M 1 (0,2,0) có VTCF )1,1,1( 1 =u d 2 đi qua M 2 (2,3,-5) có VTCF )1,1,2( 2 =u . Giả sử ),,( cban = (a a + b 2 + c 2 > 0) là VTPT của mp () +) từ yc () d 1 (*)00. cabcbaun +==+= +) gọi là góc giữa () và d 2 222 .6 2 sin cba cba ++ + = 2222 222 0 222 0 632 2 3 222.6 2 2 3 60sin .6 2 60 cacaacacaa cba cba cba cba ++=++= = ++ + == ++ + = = = =+++= ca c caccacaa 0 0 2222 0.25 0.25 loại I A B IB=3TA . c = 0 ba = (*) . Chọn a = 1 b = 1 )0,1,1(n (): 1(x-0) + 1(y 2) + 0(z 0) = 0 x + y z = 0 . a = -c 0 (*) = b . Chọn a = 1 c = -1 )1,0,1( n (): 1(x-0) + 0(y 2) - 1(z 0) = 0 x z = 0 0.25 0.25 Câu 7b Giải phơng trình lôgarit: 014log4log 2 2 2 =+ xxxx 1 điểm . ĐK: x> 0 . Đặt t = log 2 x ta có pt t 2 + 4xt 4x 1 = 0 (*) (coi là pt bậc 2 ẩn t: có 22 ' )12(144 +=++= xxx t ) Nên (*) +=++= =+= 1)12(2 14)12(2 xxt xxxt . Với t = +1 log 2 x = +1 x = 2 . Với t = -4x 1 Đặt f(x) = log 2 x f(x) là hàm số đồng biến g(x) = -4x 1 g(x) là hàm số nghịch biến ta có 2 4 1 log) 4 1 ( 2 ==f 21 4 1 .4) 4 1 ( ==g Vởy x = 4 1 là nghiệm duy nhất .KL: pt có tập nghiệm = 4 1 ;2S 0.25 0.25 0.25 0.25 Chú ý: Nếu thí sinh giải theo cách khác đáp án trên, giải đúng, logíc, lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa của mỗi ý. . 8 )( 151 81 73 :)( 2 2 2 2 Rt tz ty tx += += = 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 7a Nhị thức Newtơn 1 điểm Xét: 2011 2011 2011 2011 2011 1 2010 1 2011 2011 0 2011 2011 2011 0 2011 2011 2 1 2 1 . 2 1 . .) 2 1 () 2 1 ()( xxx xxxf CCCC C k k k ii i i +++++= =+= = . vế ta đợc: (*) 2011 2 1 1. 2 1 .) 2 1 (2011 2010 2011 2011 1 2011 2011 2010 1 2011 2010 xxkx CCC k k k ++++=+ Cho x = 2 vào 2 vế của (*) ta đợc 20102010 ) 2 5 . (2011) 2 2 1 (2011 =+= T 0.25 0.5 0.25 Câu. một góc 45 0 . Câu 7a) (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức 2010 2011 2011 2008 2010 2011 2006 3 2011 2008 2 2011 2010 1 2011 2 20112 2010 2 1 3 2 1 2 2 1 . CCCCC T +++++= B. Câu 6b) (2 điểm) 1.