CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ : HỌC VÀ THI ? A. Đặt vấn đề : Các HĐTĐN được học ở chương I Đại số 8 và chương I đại số 9. Đây là hai chương cơ bản, nền tảng để học sinh học tốt các chương sau, lớp sau. Vì vậy, việc dạy và học thật tốt, có hiệu quả các HĐTĐN làm cho HS nắm vững và vận dụng thành thạo để giải các dạng toán liên quan trong các đợt kiểm tra, các kỳ thi tuyển là vô cùng quan trọng. B. Học như thế nào ? B1: Trước khi học các HĐTĐN người học sinh cần có kiến thức quan trọng nào trong hành trang của mình ? - Đến hết lớp 7 thì HS đã được học các công thức, định nghĩa về lũy thừa. - Luỹ thừa với số mũ tự nhiên : x n = x.x.x x (n thừa số) (x ∈Q, n∈N, n>1) - Tích 2 luỹ thừa cùng cơ số : x m .x n = x m+n (x ∈Q) - Lũy thừa của một luỹ thừa : (x m ) n = x m.n - Luỹ thừa của một tích : (x.y) n = x n .y n - Luỹ thừa của một thương : n n n y x y x = (y ≠0) Song đầu lớp 8 học sinh được củng cố và học thêm nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và thu gọn đa thức và để học tốt HĐT AA = 2 ở lớp 9 học sinh cần hiểu các kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số ở lớp 7, đó là : <− ≥ = 0xnêu x 0xnêu x x x ∈Q B2: Học các HĐT như thế nào để nhận dạng và vận dụng được nó ? - Ở lớp 8, 7 HĐTĐN được học trong 3 xoắn ở chương I, được sắp xếp theo từng nhóm, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Sắp xếp theo thứ tự ở SGK từ HĐT1, HĐT2 HĐT 7) do đó có thể sử dụng HĐT đã học để xây dựng, hình thành các HĐT sau đó, học sinh cần thực hiện các phép tính để rút ra công thức (quy tắc), phát biểu bằng lời kết quả, sau đó áp dụng (thực hành) các HĐT đó trong các tình huống, bài tập khác nhau. Sau khi học xong mỗi HĐT, học sinh cần phát hiện ra vế trái, vế phải của HĐT có gì giống và khác nhau, mỗi hạng tử ở vế phải có liên quan gì với biểu thức trong tổng (hiệu) ở vế trái; tập dượt các phép biến đổi để suy từ HĐT1 ra HĐT2; từ HĐT4 suy ra HĐT 5. VD: Cho HĐT (2x+y) 2 = 4x 2 +4xy + y 2 thì BT4x 2 và y 2 quan hệ với các biểu thức nào ở VT (4x 2 = (2x) 2 ; y 2 = (y) 2 ; đặc biệt quan hệ của biểu thức 4xy với 2 biểu thức 2x và y ? (4xy = 2.2x.y). - Đến đây việc nhớ các HĐT vẫn chưa chắc chắn nếu thiếu 1 hệ thống bài tập áp dụng trực tiếp để củng cố các HĐT vừa học, và mối quan hệ giữa các HĐT với nhau, chú trọng các bài tập có thao tác, quy tắc thực hiện "ngược lại", nhằm rèn luyện phương pháp tư duy phân tích - tổng hợp trong học toán. VD: Tính (a+1) 2 và viết biểu thức a 2 +2a +1 dưới dạng bình phương một tổng là 2 bài tập đáp ứng được yêu cầu trên. -Về mối quan hệ giữa các HĐT đặc biệt là giữa HĐT1 và HĐT2 (thông qua giải BT23 trang 12 SGK), HĐT4 và HĐT6; HĐT5 và HĐT7 (thông qua giải các bài tập 31, 34 trang 16-17 SGK toán tập 1) Sang lớp 9 học sinh được học HĐT AA = 2 với A là 1 BTĐS thì chú ý rằng AA = 2 nếu A≥ 0 (A lấy giá trị không âm) và AA −= 2 nếu A <0 (A lấy giá trị âm). Như vậy muốn đưa BT ra ngoài căn cần viết biểu thức trong căn B = A 2 sau đó áp dụng HĐT trên. Một vấn đề nữa là để kiến thức học được ở SGK trở nên sống động, gần gủi và vận dụng được linh hoạt trong các dạng bài tập khác nhau ta chú ý rằng : khi nói đến BTA, không nên quan niệm đơn thuần "A là A" mà phải nghỉ rằng BT A cũng đồng thời là -(-A); 2 2A ; (A+B) -B; B B A . (B≠0) hay VD: x = 2. x. 2 1 ; 4x 2 = (2x) 2 ; (a+b+c) 2 = [(a+b)+c] 2 a-b = a+ (-b); (a-b-c) 2 = [a-(b+c)] 2 8x 3 = 2 2 x 3 = (2x) 3 ; a = a.1 Và đặc biệt chú ý các quy tắc đổi dấu, các tính chất cơ bản của PT cộng, nhân (giao hoán, kết hợp, phân phối, cộng với O, nhân với 1) C. Vận dụng các HĐT vào giải toán như thế nào ? Các HĐT ĐN có vai trò rất quan trọng trong chương trình toán THCS cho nên nếu nắm chắc và vận dụng linh hoạt, thành thạo thì ta có thể giải được nhiều dạng toán trong các kỳ thi khác nhau. Dạng 1: Chứng minh dẳng thức và phân tích thành nhân tử. Từ 7 HĐT và các hệ thức, vềquan hệ giữa các HĐT với nhau a, (a+b) 2 = (a-b) 2 + 4ab (HT1) và b, (a-b) 2 = (a+b) 2 - 4ab (HT2) (bài tập 23 - SGK toán 8 - tập 1) c, a 3 +b 3 = (a+b) 3 - 3ab (a+b) (HT3) d, a 3 - b 3 =(a-b) 3 +3ab (a-b) (HT4) (BT31 trang 16 SGK Toán 8 tập 1) Ta có thể giải được cá bài tập khó sau : Bài1 : Cho a+b+c = 0. CMR : a 3 +b =3 +c 3 = 3abc (BT38 tr7,SBT , T8T1) Có nhiều cách CM, sau đây là một cách áp dụng HT3 ở trên và chú ý rằng : Từ giả thiết a+b+c = 0 ta suy ra a+b = -c Ta có : a 3 +b 3 + c 3 = (a 3 +b 3 ) + c 3 = (a+b) 3 - 3ab (a+b) +c 3 = -c 3 -3ab (-c) +c 3 = 3abc Vậy a 3 +b 3 +c 3 = 3abc Bài 2 : Phân tích thành nhân tử (BT28, T6, SBT Toán 8 tập 1) x 3 + y 3 + x 3 - 3xyz ( ) áp dụng HT3 Ta có x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = (x 3 + y 3 )+ z 3 - 3xyz = (x+y) 3 - 3xy (x+y) + z 3 - 3xyz =[(x+y) 3 + z 3 ] + [-3xy (x+y) - 3zyz] = (x+y+z)[(x+y) 2 - (x+y)z + z 2 ] - 3xy (x+y+z) = (x+y+z) (x 2 +y 2 +z 2 - xy - xz - yz) Vậy x 3 + y 3= + z 3 - 3xyz = (x+y+z) (x 2 +y 2 +z 2 - xy - xz- yz) Bài 3: Phân tích đa thức x 4 + 4 thành nhân tử (BT57 T25 - SGK Toán 8 tập 1 Để thấy x 4 = (x 2 ) 2 và 4=2 2 . Như vậy chỉ cần thêm bớt 2.2x 2 thì sẽ xuất hiện HĐT1 và 3 x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 - 4x 2 = (x 2 +2) 2 - (2x) 2 = (x 2 +2 - 2x)(x 2 +2+2x) Bài 4: Phân tích đa thức : (x+y+z) 3 - x 3 - y 3 - z 3 thành nhân tử BT57- T9 SBT T8T1 Cũng sử dụng HT3 và HĐT6 ta có : a 3 +b 3 = (a+b) 3 - 3ab (a+b) (a+b) 3 = a 3 +b 3 + 3ab (a+b) Thay (x+y+z) 3 = [(x+y)+z] 3 = (x+y) 3 +z 3 +3(x+y)z (z+y+z) => (x + y +z) 3 - x 3 - y 3 -z 3 = (x+y) 3 - 33 yx − +3 (x+y+z) (x+y).z = 3xy(x+y) + 3(x+y+z) (x+y).z = 3(x+y)(xy+xz+yz+z 2 ) = 3(x+y) (x+z) (y+z) Bài 5: (BT94 trang 17 SBT T1) Từ kết quả của bài tập 2 ở trên ta có thể giải 1 BT ở lớp 9 CMR: x 3 + y 3 + z 3 -3xyz = ])()())[(( 2 1 222 xzzyyxzyx −+−+−++ (1) So sánh kết quả bài tập 2 với vế phải đẳng thức này thì ta chỉ cần : CMĐT: ( ) [ ] yzxzxyzyxxzzyyx −−−++=−+−+− 22222 2 )()( 2 1 là được : khai triển vế trái và thu gọn ta được : VT: 2 1 (x 2 -2xy +y 2 +y 2 - 2yz + z 2 - 2xz +x 2 ) = 2 1 (2x 2 +2y 2 +2z 2 - 2xy - 2yz - 2xz) = x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - xz (VP) Vậy ĐT (1) được CM Bài 6: (BT64 trang 12/SBT toán 9 t1) CM 2 )22(422 −+=−+ xxx với 2≥x Nhận thấy cần phải biến đổi vế trái thành bình phương 1 tổng 2.2.2)2(22422 −+=−+=−+ xxxxxx )()22( 2.22)2()2( 2 22 VPx xx −+= −+−+= Bài 7: CM 25549 −=−− Nhận thấy cần biến đổi 549 − ra dạng A 2 để sử dụng HĐT: AA = 2 Ta có: 2 )25(452.25549 −=+−=− Vậy: 2525)25(549 2 −=−=−=− Bạn tiếp tục biến đổi để có vế trái = -2 (ĐT được CM) Dạng 2: CM các BĐT Ngoài các BĐT đã học, ta cần nhớ các HBĐT: 0;0 22 ≤−≥ AA từ (a-b) 2 0 ≥ ta được HBĐT a 2 +b 2 ≥ 2ab (1) và nếu cộng vào 2 vế HBĐT này với 2ab ta có HBĐT: abba 4)( 2 ≥+ (2) nếu a,b không âm thì ab ba hayabba ≥ + ≥+ 2 4)( 2 (BĐT Cosi). Vận dụng các HBĐT để giải các bài tập sau. Bài 1: CM: a, 012 22 >++− yxyx với mọi số thực x,y b, 01 2 <−− xx với mọi số thực x. a. Ta có: 11)(12 222 ≥+−=++− yxyxyx (vì (x - y) 2 0 ≥ ) Vậy ta luôn có điều phải chứng minh. b. Ta có: 4 3 4 3 ) 2 1 ()1(1 222 −≤−−−=+−−=−− xxxxx vì 0) 2 1 ( 2 ≤−− x vậy ta luôn có điều phải chứng minh. Bài 2: Với a,b dương CMR: baba + ≥+ 411 (1) đây là một bài toán quan trọng, tiền đề xuất phát để sáng tạo ra các bài toán mới. Sau đây là một cách CM đơn giản. (1) 0)(04)(4)( 4 222 ≥−⇔≥−+⇔≥+⇔ + ≥ + ⇔ baabbaabba baab ba (là 1 HBĐT) Bài 3: (BT 46 tr 10 SBT toán 9 tập 1) Với a>0 CMR: 2 1 ≥+ a a ta có thể áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương (a và ) 1 a để CM nhưng cũng có thể biến đổi làm xuất hiện HBĐT 0 2 ≥A ta có: 0) 1 ( 1 2)(0 1 22 1 2 2 ≥+−⇔≥+−⇔≥+ a a aa a a a a 0) 1 ( 2 ≥−⇔ a a (hiển nhiên với a dương). Bài 4: (BT45 tr10 - SBT toán 9 tập 1) Cho a,b không âm CMR: 22 baba + ≥ + áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm, ta có: 2 )(2)(22 2 baabbabaabbaab ba +=++≥+⇔≥+⇔≥ + chia 2 vế BĐT này cho 4 rồi khai phương 2 vế ta được: 22 ) 2 ( 2 2 babababa + ≥ + ⇔ + ≥ + (ĐPCM) Bài 5: Với 3 số a,b,c không âm CMBĐT: a+b+c cabcab ++≥ cũng áp dụng BĐT Cô si cho từng cặp số không âm ta có: bc cb ab ba ≥ + ≥ + 2 ; 2 và ca ac ≥ + 2 cộng từng vế 3 BĐT Ta có: a+b+c bc≥ cabc ++ (đpcm) Bài 6: CM PTb2 04)1(2 2 =−++− mxmx luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi Rm ∈ . Ta tính )(0 4 19 ) 2 1 (5)4()1( 222' mmmmmm ∀>++=++=−−+=∆ 0 ' >∆ vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Dạng 3: Tìm cực trị (max; min) Bài toán tìm cực trị là bài toán tương đối khó trong chương trình toán THCS, là vấn đề hay được đặt ra trong các kỳ thi tuyển. Tuy nhiên, nếu vận dụng các HĐT một cách linh hoạt, sáng tạo thì cũng có thể giải quyết được để dễ dàng các bài tập đó. Phương pháp chung là dựa vào lũy thừa bậc chẵn (thường là bậc 2) biến đổi biểu thức cần tìm cực trị ra 1 trong 2 dạng: 1. [ ] MYZnxgMY n ≤⇒∈−= + ,)( 2 do đó: 0)( max =⇔= xgMY 2. [ ] mYZkxhmY k ≥⇒∈+= + ,)( 2 do đó: 0)( min =⇔= xhmY Sau đây là một số bài toán làm ví dụ: Bài 1: (BT 20 tr5, SBT toán 8 tập 1) Tìm giá trị lớn nhất (max) của đa thức N = 2x - 2x 2 - 5 Ta biến đổi N ra dạng : 2 9 2 9 ) 2 1 (2 ) 2 5 (2)522( 222 − ≤−−−==+−−=+−−== xxxxxN Vậy: N max = 2 9− khi 0 2 1 =−x hay khi 2 1 =x Bài 2: (BT 19 tr5 SBT toán 8 tập 1) Tìm giá trị nhỏ nhất (min) của 106 22 ++−+= yxyxM . Nhận thấy đa thức M có 2 biến, cần suy nghĩ để biến đổi đưa M về dạng: mmBAM ≥++= 22 Ta biến đổi: ) 4 1 1()96() 4 1 ( 22 −+++++−= yyxxM 4 3 4 3 )3() 2 1 ( 22 ≥+++−= yx Vậy M min = 2 1 4 3 =⇔ x và 3−=y . Đề nghị với phương pháp tương tự các bạn học sinh lớp 8 thử làm BT 59 tr9-SBT toán 8 tập 1, còn các bạn HS lớp 9 thử làm BT 82 trang 15, SBT Toán 9 tập 1 và bài tập 103 tr19 SBT Toán 9 tập 1. Sau đây là các bài tập khó hơn. Bài 3. Cho 2 số dương x 1 và x 2 có x 1 + x 2 = 2a không đổi CMR: tích x 1 .x 2 có giá trị lớn nhất khi 2 thừa số bằng nhau. - Cũng dựa vào HT1: (x 1 + x 2 ) 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + 4x 1 x 2 ta suy ra 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - (x 1 - x 2 ) 2 =(2a) 2 - (x 1 - x 2 ) 2 = 4a 2 - (x 1 - x 2 ) 2 chia 2 vế cho 4 ( ) 2 2 21 2 21 4 1 axxaxx ≤−−=⇒ nghĩa là x 1 x 2 có giá trị lớn nhất là a 2 khi x 1 -x 2 = 0 hay x 1 = x 2 Bài 4: Tìm GTNN của BTM = x 2 + 2y 2 - 2xy + 2x - 10y dùng phương pháp tách, thêm bớt, giao hoán, kết hợp biến đổi để đưa dần các biến vào các bình phương của tổng theo dạng của HĐT (a+b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 Ta có: 171)22(1682 222 −+−++−++−= yxyyyxyxM [ ] 1717)4()1( 17)168(11).(2)( 22 22 −≥−−++−= −+−++−+−= yyx yyyxyx Vậy : 317 min =⇔−= xM và 4=y Bài 5: Cho x,y là 2 số thay đổi nhưng luôn thỏa mãn: x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x 3 +y 3 +x 2 +y 2 Từ HĐT 1 ta suy ra: x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy và từ HĐT 4 Ta suy ra: )(3)( 333 yxxyyxyx +−+=+ biến đổi B: xyyxyxxyyxB 2)()(3)( 23 −+++−+= xy52 −= (do x+y=1) )1(52 xx −−= (do x+y=1 xy −=⇒ 1 ) 4 3 4 3 ) 2 1 (5 255 22 ≥+−==+−= xxx vậy 2 1 4 3 min ==⇔= yxB Dạng 4 Rút gọn và tính (còn nữa) . vào giải toán như thế nào ? Các HĐT ĐN có vai trò rất quan trọng trong chương trình toán THCS cho nên nếu nắm chắc và vận dụng linh hoạt, thành thạo thì ta có thể giải được nhiều dạng toán trong. phân biệt với mọi giá trị của m Dạng 3: Tìm cực trị (max; min) Bài toán tìm cực trị là bài toán tương đối khó trong chương trình toán THCS, là vấn đề hay được đặt ra trong các kỳ thi tuyển. Tuy. các bạn học sinh lớp 8 thử làm BT 59 tr9-SBT toán 8 tập 1, còn các bạn HS lớp 9 thử làm BT 82 trang 15, SBT Toán 9 tập 1 và bài tập 103 tr19 SBT Toán 9 tập 1. Sau đây là các bài tập khó hơn. Bài