De+Da HSG Toan9 huyen Anh son - 2010

đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010 Môn : Toán- Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: Chứng minh rằng : A = 21 30 + 39 21 chia hết cho 45. Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau: a, + =5 b, += =+ )y)(xx-y(y-x 2yx 20102010 22 Bài 3: Tìm tích abc biết rằng: =++ =++ 1 1 333 222 cba cba Bài 4: Cho x 2 +y 2 =1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y) Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC, đờng cao AH . Đờng tròn tâm O đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và AC lần lợt tại M và N . a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC. b, Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K , so sánh IK và BC. c, Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm. h ớng dẫn chấm toán lớp 9 . Bài 1 (3,0 đ): A= 21 30 + 39 21 = 3 30 . 7 30 + 3 21 . 13 21 0,5 đ A= 3 21 ( 3 9 .7 30 + 13 21 ) Kết luận đợc A chia hết cho 9 (1) 0,5 đ A= 21 30 + 39 21 = (21 30 -1) + (39 21 + 1) 0,5 đ A= (21-1)P + (39+1)Q (P và Q nguyên) 0,5 đ A = 20(P+2Q) chia hết cho 5 (2) 0,5 đ Vì (5;9)=1 kết hợp (1) và (2) ta có A chia hết cho 45. 0,5 đ Bài 2: a, Nhận xét : = (3.0 đ) = 2 3)-1( x Vậy tìm đợc ĐK là: x 1 0,75 đ 0,5 đ HS biến đổi đợc: + 2 3)-1( x = 5 +2+ = 5 0,5 đ + Nếu x 10, ta có : +2+-3=5 x=10 (thoả mãn) 0,5 đ + Nếu 1 x<10, ta có 5=5 (luôn đúng) Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 10 0,75 đ b, Điều kiện x,y 0 (2,0 đ) Từ 2yx 22 =+ (x,y) (0,0) x 2010 +y 2010 > 0 0,5 đ Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm) Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm) 0,5 đ 0,5 đ Nếu x=y , HS kết luận đợc thoả mãn PT thứ 2. Thay vào PT thứ nhất và tìm đợc: x = y = 1 0,5 đ Bài 3 (2,0 đ): Ta có 1 222 =++ cba nên 1;1;1 cba 0,5 đ Ta có : 0)()( 333222 =++++ cbacba => 0)1()1()1( 222 =++ ccbbaa 0,5 đ Vì 0)1(;0)1(;0)1( 222 ccbbaa => 0)1()1()1( 222 === ccbbaa 0,5 đ Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a 2 =b 2 =c 2 =1. HS kết luận đợc có ít nhất 1 số bằng 0 vậy tích abc = 0. 0,5 đ Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy (3,0 đ) 2S = 8 - 4x 4y + 2xy 2S = 1+4+3 - 4x 4y + 2xy 0,5 đ 2S = x 2 + y 2 + 4 - 4x 4y + 2xy +3 2S =(x+y-2) 2 + 3 S = 2 3 2)-y(x 2 ++ 0,25 đ Vậy S max (x+y-2) 2 đạt max và S min (x+y-2) 2 đạt min 0,25 đ Ta có (x-y) 2 0 với mọi x,y 2xy x 2 +y 2 (x+y) 2 2(x 2 +y 2 )=2 - x+y 0,5 đ - -2 x+y-2 -2 < 0 0,5 đ S = = Vậy S Max = Đẳng thức xảy ra x=y= - 0,5 đ S 2 249 2 34242 2 3)22( 2 = ++ = + Vậy S Min = Đẳng thức xảy ra x=y= 0,5 đ C) (2,0 đ) Nối AO căt MN tại P; gọi giao AG và CB là S. Kết luận đợc OAC = OCA ONA = OAN OAC+ ONA= OCA+ OAN =90 0 0,5 đ Rút ra đợc: MN AO (1) 0,25 đ OO là đờng nối tâm của (O) và (O) nên OO AG hay OO AS 0,5 đ Xét tam giác : SAO có AH là đờng cao; OO là đờng cao => O là trực tâm của tam giác . 0,25 đ => SO AO (2) kết hợp với (1) => SO và MN cùng vuông góc với AO 0,25 đ Và có chung điểm O => đờng thẳng SO trùng đờng thẳng MN => S; M; N thẳng hàng => AG; MN và BC đồng quy (ĐPCM) 0,25 đ Bài 5:a) (2 đ) HS kết luận đợc : AM.AB = AH 2 (0,75 đ) AN.AC = AH 2 (0,75 đ) AM.AB = AN.AC (0,5 đ) b) Kết luận đợc IMH cân tại I (0,5 đ) Kết luận đợc : MI=BI=IH . (0,75 đ) IH=1/2 BH. (0,25 đ) Tơng tự kết luận đợc: HK =1/2 HC. (1,5 đ) IK = 1/2 BC. (0,5 đ) (3,0 đ) . có: S = 4-2 x-2y+xy (3,0 đ) 2S = 8 - 4x 4y + 2xy 2S = 1+4+3 - 4x 4y + 2xy 0,5 đ 2S = x 2 + y 2 + 4 - 4x 4y + 2xy +3 2S =(x+y-2) 2 + 3 S = 2 3 2)-y(x 2 ++ 0,25 đ Vậy S max (x+y-2) 2 . (x+y-2) 2 đạt min 0,25 đ Ta có (x-y) 2 0 với mọi x,y 2xy x 2 +y 2 (x+y) 2 2(x 2 +y 2 )=2 - x+y 0,5 đ - -2 x+y-2 -2 < 0 0,5 đ S = = Vậy S Max = Đẳng thức xảy ra x=y= -. += =+ )y)(xx-y(y-x 2yx 20102 010 22 Bài 3: Tìm tích abc biết rằng: =++ =++ 1 1 333 222 cba cba Bài 4: Cho x 2 +y 2 =1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y) Bài 5: