SỞ GD & ĐT KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 02 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2 y x 3x 1= - + - có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Biện luận số nghiệm phương trình sau theo k : 3 2 3 0x x k− + = . Câu II (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 0,5 log 2log 0,5 1 0 x x − + = 2. Tính tích phân: ( ) 2 1 0 x I x x e dx= + ∫ 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 3 12 2y x x x= + − + trên [ ] 1;2− . Câu III (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a . II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Cho ( ) 1 2 2 : 3 x t d y z t = − = = và ( ) 2 2 1 : 1 1 2 x y z d − − = = − 1. CMR ( ) 1 d và ( ) 2 d vuông góc nhau nhưng không cắt nhau. 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 d và ( ) 2 d . Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình: 2 3 4 0z z− + − = trên tập £ . B. Theo chương trình Nâng cao Câu IVb (2.0 điểm): Cho ( ) : 2 2 3 0mp x y z α − + − = và 2 đường thẳng ( ) 1 4 1 : 2 2 1 x y z d − − = = − ; ( ) 2 3 5 7 : 2 3 2 x y z d + + − = = − 1. CMR ( ) 1 d song song mặt phẳng ( ) α và ( ) 2 d cắt mặt phẳng ( ) α . 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ) 1 d và ( ) 2 d . 3. Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ song song với mặt phẳng ( ) α , cắt đường thẳng ( ) 1 d và ( ) 2 d lần lượt tại M và N sao cho 3MN = Câu Vb (1.0 điểm) Tìm nghiệm của phương trình 2 z z= , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z . ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 2 3 1y x x= − + − 1.5 1) Tập xác định: D = ¡ 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn: lim ; lim x x y →+∞ →−∞ = −∞ = +∞ b) Bảng biến thiên: Ta có: ( ) 2 ' 3 6 3 2y x x x x= − + = − − 0 ' 0 2 x y x = = ⇔ = x - ¥ 0 2 +¥ y' - 0 + 0 - y +∞ 3 -1 −∞ Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;0−∞ và ( ) 2;+∞ . Hàm số đạt cực đại tại 2; y 3 CD x = = . Hàm số đạt cực tiểu tại 0; y 1 CT x = = − . 3) Đồ thị: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 2 Biện luận số nghiệm phương trình sau theo k : ( ) 3 2 3 0 1x x k− + = 1.5 3 2 3 2 3 2 3 0 3 1 3 1 x x k k x x k x x − + = ⇔ = − + ⇔ − = − + − Đặt ( ) 3 2 3 1f x x x= − + − và ( ) 1g x k= − , số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của ( ) f x và ( ) g x . Suy ra: • Khi 1 1 0k k− < − ⇔ < , phương trình (1) có 1 nghiệm. 0.5 0.5 • Khi 1 1 0k k− = − ⇔ = , phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. • Khi 1 1 3 0 4k k− < − < ⇔ < < , phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. • Khi 1 3 4k k− = ⇔ = , phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt . • Khi 1 3 4k k− > ⇔ > , phương trình (1) có 1 nghiệm. 0.5 2 1 Giải phương trình: ( ) ( ) 0,5 log 2log 0,5 1 0 1 x x − + = 1.0 Điều kiện: 0 1 x x > ≠ Khi đó: ( ) 0,5 0,5 2 1 log 1 0 log x x ⇔ − + = Đặt 0,5 logt x= , (1) trở thành: 2 0,5 0,5 2 1 0 2 0 1 1 log 1 2 2 log 2 4 t t t t t x x t x x − + = ⇔ + − = = ⇒ = ⇒ = ⇔ = − ⇒ = − ⇒ = So điều kiện ban đầu ta suy ra nghiệm của phương trình (1) là 1 2 x = và 4x = . 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Tính tích phân: ( ) 2 1 0 x I x x e dx= + ∫ 1.0 ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 0 0 0 3 1 1 0 0 . 1 1 . . 0 3 3 x x x x I x x e dx x dx x e dx x x e dx x e dx = + = + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Tính 2 1 0 . x J x e dx= ∫ : Đặt ( ) 2 0 x dt=2xd 2 dt t x t x xdx= ≥ ∀ ⇒ ⇒ = Đổi cận 1 1 0 0 x t x t = = ⇒ = = Suy ra 2 1 1 0 0 1 1 1 1 . 0 2 2 2 2 x t t e J x e dx e dt e= = = = − ∫ ∫ Vậy 1 1 1 1 3 1 3 3 2 2 2 6 6 e e e I J − = + = + − = − = 0.25 0.25 0.25 0.25 3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 3 12 2y x x x= + − + trên [ ] 1;2− 1.0 Ta có [ ] 2 ' 6 6 12 x 1;2y x x= + − ∀ ∈ − ( ) ( ) ( ) ' 0 6 1 2 0 1 2 loai y x x x x = ⇔ − + = = ⇔ = − Mà 0,25 0,25 ( ) ( ) ( ) 1 15 1 5 2 6 f f f − = = − = Suy ra max của ( ) f x : max 15f = tại 1x = − min của ( ) f x : min 5f = − tại 1x = 0,25 0,25 3 Tính thể tích hình lăng trụ và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a 1.0 Diện tích tam giác ABC : 2 3 4 ABC a S ∆ = Thể tích lăng trụ: 2 3 . ' ' ' 3 3 . ' . 4 ABC A B C ABC a a V S AA a a ∆ = = = Gọi G là trọng tâm ABC∆ , 'G là trọng tâm ' ' 'A B C∆ . Gọi O là trung điểm 'GG Vì . ' ' 'ABC A B C là lăng trụ tam giác đều nên 'GG là trục của lăng trụ ⇒ O là điểm cách đều các đỉnh của lăng trụ. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ 1 1 1 ' ' 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 OG GG AA a a a AG AI = = = = = = Theo định luật Py-ta-go cho OAG∆ : 2 2 2 2 3 21 4 9 6 a a a OA OG AG= + = + = Vậy diện tích mặt cầu: 2 2 2 7 7 4 4 12 3 a a S R π π π = = = 0.25 0.25 0.25 0.25 4a CTC 1 CMR ( ) 1 d và ( ) 2 d vuông góc nhau nhưng không cắt nhau 1.0 ( ) ( ) 1 2 2;0;1 1; 1;2 d d u u= − = − uur uur Gọi ( ) ( ) 1 2;3;0N d∈ và ( ) ( ) 2 ' 2;1;0N d∈ ( ) ' 0; 2;0NN⇒ = − uuuur Ta có: ( ) 1 2 ; 1;5;2 d d u u = uur uur 1 2 1 2 ; . ' 10 0 . 2 2 0 d d d d u u MM u u = − ≠ ⇒ = − + = uur uur uuuuur uur uur ( ) 1 d và ( ) 2 d vuông góc nhưng không cắt nhau 0.25 0.25 0.5 2 Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 d và ( ) 2 d 1.0 ( ) 2 2 : 1 2 x t d y t z t = + = − = Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 ;3; ; ' 2;1 ';2 'A t t d B t t t d− ∈ + − ∈ ( ) 2 '; ' 2;2 'AB t t t t t= + − − − uuur Nếu AB là đường vuông góc chung của ( ) 1 d và ( ) 2 d thì: 1 2 0 . 0 2 ' 4 2 ' 0 5 0 1 ' 2 2 ' 4 ' 2 0 6 ' 2 0 ' . 0 3 d d t AB u t t t t t t t t t t t t AB u = = − − + − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + + + + − = + = = − = uuur uur uuur uur Suy ra ( ) 2;3;0A , 5 4 2 ; ; 3 3 3 B − ÷ Vậy Phương trình AB : 2 3 1 5 2 x y z− − = = 0.25 0.25 0.25 0.25 5a Giải phương trình 2 3 4 0z z− + − = 1.0 ( ) 2 9 16 7 7i∆ = − = − = Vậy 2 nghiệm của phương trình là: 1 2 3 7 3 7 2 2 2 3 7 3 7 2 2 2 i z i i z i − + = = − − − − = = + − Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 7 3 7 ; 2 2 2 2 S i i = − + 0.25 0.5 0.25 4b CTNC 1 CMR ( ) 1 d song song mặt phẳng ( ) α và ( ) 2 d cắt mặt phẳng ( ) α 1.0 ( ) ( ) ( ) 1 2 2; 1;2 2;2; 1 2;3; 2 d d n u u α = − = − = − uur uur uur Gọi ( ) ( ) 1 4;1;0N d∈ và ( ) ( ) 2 ' 3; 5;7N d− − ∈ Xét ( ) α và ( ) 1 d ( ) ( ) ( ) 1 1 . 2.2 1.2 1.2 0 / / d n u d M α α α = − − = ⇒ ∉ uur uur Xét ( ) α và ( ) 2 d 2 . 2.2 3 4 3 0 d u u α = − − = − ≠ ⇒ uur uur ( ) 2 d cắt ( ) α 0.5 0.5 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ) 1 d và ( ) 2 d 0.5 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ' 7; 6;7 ; . ' 7 12 14 9 ; 1;2;2 ; . ' 9 ; 3 1 4 4 ; d d d d d d d d NN u u NN u u u u NN d d d u u = − − ⇒ = − + = = − ⇒ = = = + + uuuur uur uur uuuur uur uur uur uur uuuur uur uur 0.25 0.25 3 Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ song song với mặt phẳng ( ) α , cắt đường thẳng ( ) 1 d và ( ) 2 d lần lượt tại M và N sao cho 3MN = 0.5 Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 4;2 1; N 2 ' 3;3 ' 5;7 2 'M t t t d t t t d+ + − ∈ − − − ∈ ( ) 2 ' 2 7;3 ' 2 6;7 2 'MN t t t t t t⇒ = − − − − − + uuuur Ta có hệ: 2 2 2 3 ' 6 0 1 . ' 2 ( 2 3) ( 2 ) (3 ) 9 3 t t MN n t t t t MN α + = = ⇔ ⇔ = − − + − + + = = uuuur uur Vậy ( ) 5; 2;4MN = − − uuuur Suy ra, đường thẳng cần tìm là: ( ) 6 3 1 : 5 2 4 x y z− − + ∆ = = − − 0.25 0.25 5b Tìm nghiệm của phương trình 2 z z= , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z 1.0 Gọi ( ) ,z x yi x y= + ∈¡ Suy ra 2 2 2 2 2 2 1 3 y= 2 2 2 1 3 y= 2 2 z z x yi x y xyi x x y x xy y x = ⇔ − = − + = − − = ⇔ ⇔ = − = − − Vậy số thực z cần tìm là 1 3 2 2 z i= − + hoặc 1 3 2 2 z i= − − 0,25 0.5 0,25 Hết . 1 1 1 3 1 3 3 2 2 2 6 6 e e e I J − = + = + − = − = 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 3 12 2y x x x= + − + trên [ ] 1 ;2 1.0 Ta có [ ] 2 ' 6 6 12 x 1;2y x x= + − ∀. Py-ta-go cho OAG∆ : 2 2 2 2 3 21 4 9 6 a a a OA OG AG= + = + = Vậy diện tích mặt cầu: 2 2 2 7 7 4 4 12 3 a a S R π π π = = = 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 4a CTC 1 CMR ( ) 1 d và ( ) 2 d vuông góc nhau. = = − − 0 .25 0 .25 5b Tìm nghiệm của phương trình 2 z z= , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z 1.0 Gọi ( ) ,z x yi x y= + ∈¡ Suy ra 2 2 2 2 2 2 1 3 y= 2 2 2 1 3 y= 2 2 z z x yi