Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. (Quyết định sự thành công của bài toán) Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán. Các dạng toán thường gặp: • Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, … • Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, … • Bài toán cực trị, quỹ tích. …………… Ta thường gặp các dạng sau 1. Hình chóp tam giác a. Dạng tam diện vuông Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= 3 a , ( a>0) và đườ ng cao OA= 3 a . G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a c ạ nh BC. Tính kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AB và OM. Cách 1: Ch ọ n h ệ tr ụ c t ọ a độ nh ư hình v ẽ . Khi đ ó O(0;0;0), (0;0; 3); ( ;0;0), (0; 3;0), A a B a C a 3 ; ; 0 2 2 a a M , g ọ i N là trung đ i ể m c ủ a AC ⇒ 3 3 0; ; 2 2 a a N . MN là đườ ng trung bình c ủ a tam giác ABC ⇒ AB // MN ⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)). 3 3 3 ; ; 0 , 0; ; 2 2 2 2 a a a a OM ON = = uuuur uuur ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 [ ; ] ; ; 3; 1; 1 4 4 4 4 4 a a a a a OM ON n = = = uuuur uuur r , v ớ i ( 3; 1; 1) n = r . Ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (OMN) qua O v ớ i vect ơ pháp tuy ế n : 3 0 n x y z + + = r Ta có: 3. 0 0 3 15 ( ; ( )) 5 3 1 1 5 a a a d B OMN + + = = = + + . V ậ y, 15 ( ; ) . 5 a d AB OM = Cách 2: G ọ i N là đ i ể m đố i x ứ ng c ủ a C qua O. Ta có: OM // BN (tính ch ấ t đườ ng trung bình). ⇒ OM // (ABN) ⇒ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)). D ự ng , ( ; ) OK BN OH AK K BN H AK ⊥ ⊥ ∈ ∈ Ta có: ( ); AO OBC OK BN AK BN ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ; ( ) BN OK BN AK BN AOK BN OH ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ; ( ) ( ; ( ) OH AK OH BN OH ABN d O ABN OH ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = T ừ các tam giác vuông OAK; ONB có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 15 5 3 3 3 a OH OH OA OK OA OB ON a a a a = + = + + = + + = ⇒ = . V ậ y, 15 ( ; ) . 5 a d OM AB OH= = b. Dạng khác Ví dụ 1: T ứ di ệ n S.ABC có c ạ nh SA vuông góc v ớ i đ áy và ABC ∆ vuông t ạ i C. Độ dài c ủ a các c ạ nh là SA =4, AC = 3, BC = 1. G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a c ạ nh AB, H là đ i ể m đố i x ứ ng c ủ a C qua M. Tính cosin góc h ợ p b ở i hai m ặ t ph ẳ ng (SHB) và (SBC). z A 3 a 3 a y C N O M a x B O A 3 a 3 a C N M a B GSP 4.06.exe Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0). mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy ( ) ( ) · ( ) , , SHB SBC IH IK = uuur uur (1). ( 1; 3; 4) SB = − − uur , (0; 3; 4) SC = − uuur suy ra: ptts SB: 1 3 3 4 x t y t z t = − = − = , SC: 0 3 3 4 x y t z t = = − = và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. 5 15 3 51 32 ; ; , 0; ; 8 8 2 25 25 I K ⇒ ( ) ( ) · . cos , . IH IK SHB SBC IH IK ⇒ = uuur uur = … Chú ý: N ế u C và H đố i x ứ ng qua AB thì C thu ộ c (P), khi đ ó ta không c ầ n ph ả i tìm K. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đ áy là tam giác ABC vuông cân t ạ i A, AB = AC = a (a > 0), hình chi ế u c ủ a S trên đ áy trùng v ớ i tr ọ ng tâm G c ủ a ∆ ABC. Đặ t SG = x (x > 0). Xác đị nh giá tr ị c ủ a x để góc ph ẳ ng nh ị di ệ n (B, SA, C) b ằ ng 60 o . Cách 1: 2 BC a= Gọi M là trung điểm của BC 2 2 ; 2 3 a a AM AG⇒ = = . G ọ i E, F l ầ n l ượ t là hình chi ế u c ủ a G lên AB, AC. T ứ giác AEGF là hình vuông 2 . 3 a AG AE AE AF ⇒ = ⇒ = = Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), ; ; 0 , ; ; 3 3 2 2 a a a a G S x . 2 2 ; ; , ; ; , ; ; 3 3 3 3 3 3 a a a a a a SA x SB x SC x = = − − = − − uur uur uuur 2 1 [ ; ] 0; ; 0; ; . 3 3 a a SA SB ax a x a n = − = − = uur uur r , v ớ i 1 0; ; 3 a n x = − r 2 2 [ ; ] ( ;0; ) ;0; . , 3 3 a a SA SC ax a x a n = − = − − = − uur uuur r v ớ i 2 ; 0; 3 a n x = − r . M ặ t ph ẳ ng (SAB) có c ặ p vect ơ ch ỉ ph ươ ng , SA SB uur uur nên có vect ơ pháp tuy ế n 1 n r . M ặ t ph ẳ ng (SAC) có c ặ p vect ơ ch ỉ ph ươ ng , SA SC uur uuur nên có vect ơ pháp tuy ế n 2 n r . Góc ph ẳ ng nh ị di ệ n (B; SA; C) b ằ ng 60 o . 2 2 2 2 2 2 2 0. .0 3 3 9 cos60 9 0 0 9 9 9 o a a a x x x a a a x x + + ⇔ = = + + + + + 2 2 2 1 2 9 a x a ⇔ = + 2 2 2 2 2 9 2 9 . 3 a x a a x a x ⇔ + = ⇔ = ⇔ = V ậ y, . 3 a x = Cách 2: G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a BC AM BC ⇒ ⊥ (∆ABC vuông cân) Ta có: ( ) SG ABC SG BC ⊥ ⇒ ⊥ . Suy ra: ( ) BC SAM ⊥ D ự ng BI SA IM SA ⊥ ⇒ ⊥ và IC SA ⊥ · BIC ⇒ là góc ph ẳ ng nh ị di ệ n ( B ; SA ; C ). ( ) SAB SAC c c c ∆ = ∆ − − IB IC IBC ⇒ = ⇒ ∆ cân t ạ i I . 1 2 2 2; ; 2 2 3 a a BC a AM BM MC BC AG= = = = = = . G M C S I A B z x x y C B A E F G M x 4 z y M B A H S C K I Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3 z x y A D D' C' B B' C A' 2 2 2 2 2 1 2 ~ . . . 2 2 2 9 AM a ax AIM AGS IM SG x AS SG AG a x ∆ ∆ ⇒ = = = + + 2 2 3 2 2 9 2 ax IM x a ⇔ = + . Ta có: · 60 o BIC = · 2 2 2 3.3 2 30 .tan 30 2 2 9 2 o o a ax BIM BM IM x a ⇔ = ⇔ = ⇔ = + . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 3 3 9 2 27 18 2 9 . 3 a x a x x a x x a x a x ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Vậy, . 3 a x = Ví dụ 3: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC). Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABC ∆ . Gọi I là trung điểm của BC , ta có: 3 3 2 2 a AI BC= = 3 3 , 3 6 a a OA OI ⇒ = = Trong mặt phẳng ( ABC ), ta vẽ tia O y vuông góc với O A . Đặt S O = h , chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: O(0; 0; 0), S (0; 0; h), 3 ; 0; 0 3 a A 3 ; 0; 0 6 a I ⇒ − , 3 ; ; 0 6 2 a a B − , 3 ; ; 0 6 2 a a C − − , 3 ; ; 12 4 2 a a h M − và 3 ; ; 12 4 2 a a h N − − . 2 ( ) 5 3 , ; 0; 4 24 AMN ah a n AM AN ⇒ = = r uuuur uuur , 2 ( ) 3 , ; 0; 6 SBC a n SB SC ah = = − r uur uuur 2 2 2 ( ) ( ) 5 1 10 ( ) ( ) . 0 , 12 2 16 AMN SBC AMN a a AMN SBC n n h S AM AN ∆ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = r r uuuur uuur . 2. Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. b) Hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao S O vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia O A , O B , O S lần lượt là O x , O y , O z . Giả sử S O = h , O A = a , O B = b ta có O(0; 0; 0), A ( a ; 0; 0), B (0; b ; 0), C (– a ; 0; 0), D (0;– b ; 0), S (0; 0; h ). c) Hình chóp S . ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b . SAD ∆ đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD , trong ( ABCD ) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD . Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H (0; 0; 0), ; 0; 0 , B ; b; 0 2 2 a a A 3 , ;b;0 , ;0;0 , 0;0; . 2 2 2 a a a C D S − − 3. Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên. Ví dụ: 1. Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a . Chứng minh rằng AC ' vuông góc với mặt phẳng ( A ' BD ). Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ O xyz sao cho O ≡ A ; B ∈ O x ; D ∈ O y và A ' ∈ O z . ⇒ A (0;0;0), B ( a ;0;0), D (0; a ;0), A '(0;0; a ), C '(1;1;1)⇒ Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng( A ' BD ): x + y + z = a hay x + y + z – a = 0 ⇒Pháp tuyến của mặt phẳng ( A ' BC ): ( ) ( ) ' 1;1;1 A BC n = r và ( ) ' 1;1;1 AC = uuuur . Vậy AC ' vuông góc với ( A ' BC ) 2. Cho l ăng trụ ABC . A ' B ' C ' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a . Gọi D , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , C ' B '. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B và B ' C '. Giải Cách 1 : z a x y h M N O I C A B S Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 4 x y z A B C D Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên ' ' ' ' ' ' AB BC CA A B B C C A a = = = = = = ⇒ các tam giác ABC , A ’ B ’ C ’ là các tam giác đề u. Ch ọ n h ệ tr ụ c Axyz , v ớ i Ax , Ay , Az đ ôi m ộ t vuông góc, A (0;0;0), 3 3 ; ; 0 , ; ; 0 , '(0; 0; ), 2 2 2 2 3 3 ' ; ; , ' ; ; 2 2 2 2 a a a a B C A a a a a a B a C a − − Ta có: ' '// , ' '// ( ' ) B C BC B C A BC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' '; ' ' '; ' '; ' d B C A B d B C A BC d B A BC ⇒ = = 3 3 ' ; ; , ' ; ; 2 2 2 2 a a a a A B a A C a = − = − − uuuur uuuur 2 2 2 2 3 3 ' ' 0; ; 0; 1; . 2 2 a A B A C a a a n ∧ = = = uuuur uuuur r , v ớ i 3 0; 1; 2 n = r Ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (A ’ BC) qua A ’ v ớ i vect ơ pháp tuy ế n n r : 3 0( 0) 1( 0) ( ) 0 2 x y z a − + − + − = ( ) 3 3 ' : 0 2 2 a A BC y z ⇔ + − = ( ) ( ) 3 3 3 3 . 21 2 2 2 2 ' ' . 7 3 7 1 4 2 a a a a a d B A BC + − = = = + V ậ y, ( ) 21 ' ; ' ' . 7 a d A B B C = Cách 2: Vì các các m ặ t bên c ủ a l ă ng tr ụ đề u là hình vuông nên ' ' ' ' ' ' AB BC CA A B B C C A a = = = = = = ⇒ các tam giác ABC, A ’ B ’ C ’ là các tam giác đề u. Ta có: ' '// ' '//( ' ) B C BC B C A BC ⇒ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ; ' ' ' '; ' ; ' d A B B C d B C A BC d F A BC ⇒ = = . Ta có: ( ' ) ' ( A'BC A') BC FD BC A BC BC A D ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ∆ caân taïi Dựng ' FH A D ⊥ Vì ( ' ) ( ' ) BC A BC BC FH H A BC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ∆A ’ FD vuông có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 7 21 . 7 ' 3 3 a FH FH A F FD a a a = + = + = ⇒ = Vậy, ( ) 21 ' ; ' ' 7 a d A B B C FH= = 3. Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Lời giải + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O. D ∈Ox; C ∈ Oy và B ∈ Oz ⇒ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) ⇒ Phương trình mặt phẳng (BCD) là: 1 4 4 3 yx z + + = ⇔ 3x + 3y + 4z - 12 = 0. Suy ra khoảngr cách từ A tới mặt phẳng (BCD). II. Lyuyện tập Bài 1: Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đề bằng 1, O là trọng tâm của tam giác ∆ABC. I là trung điểm của SO. 1. Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC. 2. H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. Chứng minh rằng IH qua trọng tâm G của ∆SAC. Lời giải 1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là gốc tọa độ. A∈Ox, S∈Oz, BC//Oy x A ’ B ’ C ’ C B A F D H A ’ C ’ B ’ A B C D x a z y Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 5 ⇒ 3 ;0;0 3 A ; 3 1 ; ;0 6 2 B − − ; 3 1 ; ;0 6 2 C − ; 6 0;0 3 S ; 6 0;0; 6 I Ta có: (0;1;0) BC = uuur ; 3 1 6 ; ; 6 2 6 IC = − − uur ; 6 3 , ;0; 6 6 BC IC ⇒ = − uuur uur ⇒ Ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (IBC) là: 6 3 6 ( 0) 0( 0) ( ) 0 6 6 6 x y z − − + − + − = Hay: 6 2 0 6 z − + − = mà ta l ạ i có: 3 6 ;0; // (1;0; 2) 3 3 SA SA SA u = − ⇒ − uur uur r . Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng SA: 3 ; 0; 2 3 x t y z t = + = = − . + T ọ a độ đ i ể m M là nghi ệ m c ủ a h ệ : 3 (1) 3 0 (2) 2 (3) 6 2 0 (4) 6 x t y y t x z = + = = − − + − = . Thay (1), (2), (3) và (4): 3 6 3 6 ; 0; ;0; 12 4 12 4 x y z M ⇒ = = = ⇒ ; 3 6 ;0; 4 12 12 SM SA SM ⇒ = − ⇒ = uuur uur uuur ⇒ M n ằ m trên đ o ạ n SA và 1 4 SM SA = ( ) 1 ( ) 4 SBCM SABC V V ⇒ = . 2. Do G là tr ọng tâm của tam giác ∆ASC ⇒ SG đi qua trung điểm N của AC ⇒ GI ⊂ (SNB) ⇒ GI và SB đồng phẳng (1) Ta lại có 3 1 6 ; ; 18 6 9 G 3 1 6 ; ; 18 6 18 GI ⇒ = − − uur 3 1 6 ; ; 18 6 18 GI ⇒ = − − uur . 0 (2) GI SB GI SB ⇒ = ⇒ ⊥ uur uur Từ (1) và (2) GI SB H ⇒ ⊥ = . Bài 2: Cho hình chóp O. ABC có O A = a , O B = b , O C = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (O BC ), (O CA ), (O AB ) là 1, 2, 3. Tính a , b , c để thể tích O. ABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A ( a ; 0; 0), B (0; b ; 0), C(0; 0; c ). d ( M , (O AB )) = 3 ⇒ z M = 3. T ương tự ⇒ M (1; 2; 3). ⇒ ( ABC ): 1 y x z a b c + + = 1 2 3 ( ) 1 M ABC a b c ∈ ⇒ + + = (1). . 1 6 O ABC V abc = (2). 3 1 2 3 1 2 3 (1) 1 3 . . a b c a b c ⇒ = + + ≥ 1 27 6 abc⇒ ≥ . (2) min 1 2 3 1 27 3 V a b c ⇒ = ⇔ = = = . z x y I O H A C S G N M z x y I O B A C S c z b y a x 3 H O C B A M Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 6 Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD=a, AC=b, B=c. Tính diện tích của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng ( ) 2 S abc a b c ≥ + + . Giải Ch ọ n h ệ tr ụ c t ọ a độ nh ư hình v ẽ , ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a). ( ) ( ) ( ) ; ;0 , ;0; , , ; ; BC c b BD c a BC BD ab ac bc = − = − = uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2 2 2 1 1 , 2 2 BCD S BC BD a b a c b c = = + + uuur uuur 2 2 2 2 2 2 ( ) a b a c b c abc a b c ⇔ + + ≥ + + ñpcm 2 2 2 2 2 2 ( ) a b a c b c abc a b c ⇔ + + ≥ + + Theo bất đẳng thức Cachy ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c ab c b c c a bc a c a a b ca b + ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2 2 2 2 : ( ) a b a c b c abc a b c + + ≥ + + Coäng veá Bài 4: Cho hình l ă ng tr ụ ABC. A 1 B 1 C 1 có đ áy là tam giác đề c ạ nh a. AA 1 = 2a và vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABC). G ọ i D là trung đ i ể m c ủ a BB 1 ; M di độ ng trên c ạ nh AA 1 . Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t, giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a di ệ n tích tam giác MC 1 D. Lời giải + Ch ọ n h ệ tr ụ c t ọ a độ Oxyz sao cho A ≡ O; B ∈ Oy; A 1 ∈ Oz. Khi đ ó: A(0;0;0), B(0;a;0); A 1 (0;0;2a) 1 3 ; ;2 2 2 a a C a và D(0;a;a) Do M di độ ng trên AA 1 , t ọ a độ M(0;0;t) v ớ i t ∈ [0;2a] Ta có : 1 1 1 , 2 DC M S DC DM ∆ = uuur uuuur Ta có: ( ) 1 3 ; ; 2 2 0; ; a a DC a DM a t a = − = − − uuur uuuur ,DG DM ⇒ = uuur uuuur ( 3 ; 3( ); 3) 2 a t a t a a − − − 2 2 2 , ( 3 ) 3( ) 3 2 a DG DM t a t a a ⇒ = − + − + uuur uuuur 1 2 2 2 2 4 12 15 2 1 . . 4 12 15 2 2 DC M a t at a a S t at a ∆ = − + = − + Giá trị lớn nhất của 1 DC M S tùy thuộc vào giá trị của tham số t. Xét f(t) = 4t 2 − 12at + 15a 2 f(t) = 4t 2 − 12at + 15a 2 (t ∈[0;2a]) f '(t) = 8t − 12a 3 '( ) 0 2 a f t t= ⇔ = Lập bảng biến thiên ta được giá trị lớn nhất của 1 2 15 4 DC M a S = khi t =0 hay M ≡ A. Chú ý + Hình chóp tam giác đề u có đ áy là tam giác đề u và các c ạ nh bên b ằ ng nhau, nh ư ng không nh ấ t thi ế t ph ả i b ằ ng đ áy. Chân đườ ng cao là tr ọ ng tâm c ủ a đ áy. + T ứ di ệ n đề u là hình chóp tam giác đề u có c ạ nh bên b ằ ng đ áy. + Hình h ộ p có đ áy là hình bình hành nh ư ng không nh ấ t thi ế t ph ả i là hình ch ữ nh ậ t. z x C C 1 M A A B B D x y z A B C D Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 7 III. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài 1 (Trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF. 1. Chứng minh H là trung điểm của SD. 2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE. Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. 2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều. Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi , , α β γ lầ n l ượ t là góc nh ị di ệ n c ạ nh AB , BC , CA . G ọ i H là hình chi ế u c ủ a đỉ nh O trên ( ABC ). 1. Ch ứ ng minh H là tr ự c tâm c ủ a ∆ABC . 2. Ch ứ ng minh 2 2 2 2 1 1 1 1 . OH OA OB OC = + + 3. Chứng minh 2 2 2 cos cos cos 1. α β γ + + = 4. Ch ứ ng minh cos cos cos 3. α β γ + + ≤ Bài 5. Cho hình chóp O. ABC có O A = a , O B = b , O C = c vuông góc v ớ i nhau t ừ ng đ ôi m ộ t. G ọ i M , N , P l ầ n l ượ t là trung đ i ể m BC , CA , AB . 1. Tính góc ϕ gi ữ a (O MN ) và (O AB ). 2. Tìm đ i ề u ki ệ n a , b , c để hình chi ế u c ủ a O trên ( ABC ) là tr ọ ng tâm ANP ∆ . 3. Ch ứ ng minh r ằ ng góc ph ẳ ng nh ị di ệ n [N, OM, P] vuông khi và ch ỉ khi 2 2 2 1 1 1 . a b c = + Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân t ạ i A, SA vuông góc v ớ i đ áy. Bi ế t AB = 2, · 0 ( ),( ) 60 ABC SBC = . 1. Tính độ dài SA. 2. Tính kho ả ng cách t ừ đỉ nh A đế n (SBC). 3. Tính góc h ợ p b ở i hai m ặ t ph ẳ ng (SAB) và (SBC). Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc v ớ i nhau t ừ ng đ ôi m ộ t. 1. Tính bán kính r c ủ a m ặ t c ầ u n ộ i ti ế p hình chóp. 2. Tính bán kính R c ủ a m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p hình chóp. Bài 8 (trích đề thi Đạ i h ọ c kh ố i D – 2003). Cho hai m ặ t ph ẳ ng (P) và (Q) vuông góc v ớ i nhau, giao tuy ế n là đườ ng th ẳ ng (d). Trên (d) l ấ y hai đ i ể m A và B v ớ i AB = a. Trong (P) l ấ y đ i ể m C, trong (Q) l ấ y đ i ể m D sao cho AC, BD cùng vuông góc v ớ i (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p t ứ di ệ n ABCD và kho ả ng cách t ừ đỉ nh A đế n (BCD) theo a. Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đ áy là tam giác vuông t ạ i B, AB = a, BC = 2a. C ạ nh SA vuông góc v ớ i đ áy và SA = 2a. G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a SC. 1. Tính di ệ n tích MAB ∆ theo a. 2. Tính kho ả ng cách gi ữ a MB và AC theo a. 3. Tính góc h ợ p b ở i hai m ặ t ph ẳ ng (SAC) và (SBC). Bài 10. Cho t ứ di ệ n S.ABC có ∆ABC vuông cân t ạ i B, AB = SA = 6. C ạ nh SA vuông góc v ớ i đ áy. V ẽ AH vuông góc v ớ i SB t ạ i H, AK vuông góc v ớ i SC t ạ i K. 1. Ch ứ ng minh HK vuông góc v ớ i CS. 2. G ọ i I là giao đ i ể m c ủ a HK và BC. Ch ứ ng minh B là trung đ i ể m c ủ a CI. 3. Tính sin c ủ a góc gi ữ a SB và (AHK). 4. Xác đị nh tâm J và bán kính R c ủ a m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p S.ABC. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông t ạ i C, AC = 2, BC = 4. C ạ nh bên SA = 5 và vuông góc v ớ i đ áy. G ọ i D là trung đ i ể m c ạ nh AB. 1. Tính cosin góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AC và SD. 2. Tính kho ả ng cách gi ữ a BC và SD. 3. Tính cosin c ủ a góc h ợ p b ở i hai m ặ t ph ẳ ng (SBD) và (SCD). Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đ áy là tam giác đề u c ạ nh a. SA vuông góc v ớ i đ áy và 3 SA a = . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 8 Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( α ) đi qua AB và vuông góc với SC. 1. Tìm điều kiện của h theo a để ( α ) cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích ∆ABK. 3. Tính h theo a để ( α ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1. Tính diện tích ∆SBE. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3 SA a = . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3 2 SA = cm. Mặt phẳng ( α ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 2. Chứng minh BD song song với ( α ). 3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC ∆ . 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH . Bài 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , AD = b . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2 a . Gọi M , N là trung điểm cạnh SA , SD . 1. Tính khoảng cách từ A đến ( BCN ). 2. Tính khoảng cách giữa SB và CN . 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( SBC ). 4. Tìm điều kiện của a và b để · 3 cos 3 CMN = . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAD ∆ đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD. 1. Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD). 2. Mặt phẳng ( α ) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( α ) cắt các cạnh SB, SD. 3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và 2 3 SO a = , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng ( α ) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại ', ', ' B C D . 1. Chứ ng minh ' ' ' B C D ∆ đề u. 2. Tính theo a bán kính m ặ t c ầ u n ộ i ti ế p S.ABCD. Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đ áy là hình ch ữ nh ậ t v ớ i AB = a, AD = 2a. Đườ ng cao SA = 2a. Trên c ạ nh CD l ấ y đ i ể m M, đặ t MD = m (0 ) m a ≤ ≤ . 1. Tìm v ị trí đ i ể m M để di ệ n tích SBM ∆ l ớ n nh ấ t, nh ỏ nh ấ t. 2. Cho 3 a m = , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAK) và (SBK). 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC. 1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 3. Tính diện tích tứ giác IKNM. Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D]. Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’). 2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’). Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 9 3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 2). k a< < a. Ch ứ ng minh MN song song (A’D’BC). b. Tìm k để MN nh ỏ nh ấ t. Ch ứ ng t ỏ khi đ ó MN là đ o ạ n vuông góc chung c ủ a AD’ và DB. Bài 25. Cho hình h ộ p ch ữ nh ậ t ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các đ i ể m M, N th ỏ a , ' (0 1). AM mAD BN mBB m = = ≤ ≤ uuuur uuur uuur uuuur G ọ i I, K là trung đ i ể m c ủ a AB, C’D’. 1. Tính kho ả ng cách t ừ đ i ể m A đế n (A’BD). 2. Ch ứ ng minh I, K, M, N đồ ng ph ẳ ng. 3. Tính bán kính đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p ' A BD ∆ . 4. Tính m để di ệ n tích t ứ giác MINK l ớ n nh ấ t, nh ỏ nh ấ t. Bài 26. Cho hình l ậ p ph ươ ng ABCD.A’B’C’D’ có độ dài c ạ nh là 2cm. G ọ i M là trung đ i ể m AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 1. Tính bán kính R c ủ a m ặ t c ầ u (S) qua C, D’, M, N. 2. Tính bán kính r c ủ a đườ ng tròn (C) là giao c ủ a (S) và m ặ t c ầ u (S’) qua A’, B, C’, D. 3. Tính di ệ n tích thi ế t di ệ n t ạ o b ở i (CMN) và hình l ậ p ph ươ ng. Bài 27 (trích đề thi Đạ i h ọ c kh ố i B – 2003) Cho hình l ă ng tr ụ đứ ng ABCD.A’B’C’D’ có đ áy hình thoi c ạ nh a, · 0 60 . BAD = G ọ i M, N là trung đ i ể m c ạ nh AA’, CC’. 1. Ch ứ ng minh B’, M, D, N cùng thu ộ c m ộ t m ặ t ph ẳ ng. 2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. Bài 28. Cho hình l ă ng tr ụ đứ ng tam giác ABC.A’B’C’ có đ áy là tam giác vuông t ạ i A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. M ặ t ph ẳ ng ( α ) qua B và vuông góc v ớ i B’C. 1. Tìm đ i ề u ki ệ n c ủ a a, b, c để ( α ) c ắ t c ạ nh CC’ t ạ i I (I không trùng v ớ i C và C’). 2. Cho ( α ) c ắ t CC’ t ạ i I. a. Xác đị nh và tính di ệ n tích c ủ a thi ế t di ệ n. b. Tính góc ph ẳ ng nh ị di ệ n gi ữ a thi ế t di ệ n và đ áy. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− . cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. (Quyết. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải. trục tọa độ Oxyz sao cho O là gốc tọa độ. A∈Ox, S∈Oz, BC//Oy x A ’ B ’ C ’ C B A F D H A ’ C ’ B ’ A B C D x a z y Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG