MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ PHẲNG I.Toán về đường thẳng: 1/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là: M(2;1),N(5;3),P(3;-4). 2/ Viết pt trung trực của các cạnh tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là: M(-1;-1),N(1;9),P(9;1). 3/ Lập pt các cạnh của tg ABC nếu biết B(-4;-5) và hai đường cao có pt là: 5x+3y-4=0; 3x+8y+13=0. ( 8x-3y+17=0; 3x-5y-13=0; 5x+2y-1=0 ) 4/ Tg ABC có pt cạnh AB là 5x-3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A,B lần lượt có pt là 4x-3y+1=0 và 7x+2y-22=0. Lập pt hai cạnh AB,AC và đường cao thứ ba của tg ( 2x-7y-5=0; 3x+4y-22=0; 3x+5y-23=0 ). 5/ Lập pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có pt tương ứng là: 2x-3y+12=0 và 2x+3y=0 ( 9x+11y+5=0; 3x+2y-10=0; 3x+7y-5=0 ). 6/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh A(1;3) và hai trung tuyến có pt là x-2y+1=0 và y-1=0. ( x+2y-7=0; x-4y-1=0; x-y+2=0 ) 7/ pt hai cạnh của một tg trong mptđ Oxy là: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0. Viết pt cạnh thứ ba của tg đó biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ ( y=7 ). 8/ Cho tg ABC biết đỉnh A(2;-1) và hai phân giác trong của góc B,C có pt: x-2y+1=0; x+y+3=0. Lập pt cạnh BC. ( 4x-y+3=0 ) 9/ Cho hai đường thẳng 2 2 1 2 ( ) : 0;( ) : (1 ) 2 1 0d kx y k d k x ky k− + = − + − − = . Với mỗi gt của k hãy tìm gđ của hai đường thẳng. Tìm quĩ tích của gđ khi k thay đổi. 2 2 2 2 2 1 2 ; 1 1 1 k k x y x y k k − = = ⇒ + = ÷ + + . 10/ Viết pt đt đi qua gđ của hai đt 1 2 ( ) : 2 1 0 & ( ) : 2 3 0d x y d x y− + = − − = đồng thời chắn trên hai trục tọa độ những đoạn thẳng bằng nhau ( 3x-3y-2=0; x+y+4=0 ). 11/ Viết pt đt đi qua điểm M(5;1) và tạo một góc 0 45 với đt 2x+y-4=0 ( 3x-y-14=0; x+3y-8=0 ). 12/ Lập pt đt đi qua điểm P( 2;-1 ) sao cho đt đó cùng với hai đt 1 2 ( ) : 2 5 0&( ):3 6 1 0d x y d x y− + = + − = tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đt ( 3x+y-5=0; x-3y-5=0 ). 13/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh B(2;-1); đường cao và phân giác trong qua đỉnh A,C là: 1 2 ( ) :3 4 27 0 & ( ) : 2 5 0d x y d x y− + = + − = ( BC: 4x+3y-5=0; C(-1;3); AC: y-3=0; A(-5;3); AB: 4x+7y-1=0 ). 14/ Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết 1 2 , ( ) : 3 0; ( ) : 3 4 0;A C d x B d x y∈ − = ∈ − − = 3 ( ) : 6 0D d x y∈ + − = ( B(2;2), D(4;2), A(3;3),C(3;1) ). 15/ Viết pt các cạnh của hình vuông MNPQ biết các cạnh lần lượt đi qua 4 đỉnh A(1;2), B(-2;1), C(-3;-2), D(3;-1). ( Gọi pt các cạnh MN, PQ, NP, MQ là a(x-1)+b(y-2)=0; a(x+3)+b(y+2)=0; b(x+2)-a(y-1)=0; b(x-3)-a(y+1)=0. Từ d(MN;PQ)=d(NP;MQ) suy ra (a;b)=(3;-2) hoặc (1;2) ) 16/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết: A( - 1; 3), C( 6; 2) ( ( 2; - 1) và ( 3; 6) ) 17/ Cho hình vuông có một đỉnh là A( - 4; 5) và một đường chéo có pt là 7x – y + 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại. ( ( 3; 4), ( 0; 8), ( - 1; 1) ) 18/ Cho đt (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A( 0; 1), B( 3; 4). Tìm điểm M thuộc (d) sao cho 2 2 2MA MB+ có GTNN. 19/ Trong MPTĐ Oxy cho HCN ABCD có pt AB: x – 2y -1 = 0, pt BD: x – 7y + 14 = 0 và đc AC đi qua điểm M(2;1). Tìm tọa độ các đỉnh HCN. ( Gọi ( ; ). ( ; ) ( ; ) (1; 1) AC AC BD AC AC AC n a b cos n n cos n n n= = ⇒ = − ⇒ uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC: x – y – 1 = 0 (1;0), (7;3), : 2 17 0 (6;5) (3,5;2,5) (0;2)A B BC x y C I D⇒ + − = ⇒ ⇒ ⇒ ) 20/ Trong MPTĐ Oxy cho ABC∆ có pt AB: y = 2x, pt AC: y = - 0,25x + 2,25. Trọng tâm G(8/3;7/3).Tính dt ABC∆ ( (1;2), (2;4), (5;1) 4,5 ABC A B C S ∆ ⇒ = ) 21/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 1;0 ), B( 3; - 1) và đt (d): x – 2y – 1 = 0. Tìm điểm ( )C d∈ : dt ABC∆ = 6. ( ( - 5; - 3), ( 7; 3) ) 22/ Trong MPTĐ Oxy cho ABC∆ có ( ): 4 2 0, //( )A d x y BC d∈ − − = , pt đường cao BH là x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M( 1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của ABC∆ . ( pt AC: 1.( 1) 1.( 1) 0 0x y x y− − − = ⇔ − = ⇒ ( 2/3; 2/ 3) (8/ 3;8/3) :1.( 8/ 3) 4.( 8/3) 0 4 8 0 ( 4;1)A C BC x y x y B− − ⇒ ⇒ − − − = ⇔ − + = ⇒ − ) 23/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 2; -1 ), B( 1; - 2) và trọng tâm G của ABC∆ nằm trên đt x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết dt ABC ∆ = 1,5. ( ( 6; 0) và ( 3; 3) ) 24/ / Trong MPTĐ Oxy cho ABC∆ vuông tại C. Biết A( - 2; 0), B( 2; 0) và k/c từ trọng tâm G của ABC∆ đến Ox bằng 1/3. Tìm tọa độ đỉnh C. ( C( 3; 1± ± ) ) 25/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x + y + 1 = 0, (d’): 2x – y – 1 = 0. Lập pt đt đi qua điểm M( 1; 1) và cắt (d), (d’) tại A,B sao cho: 2 0MA MB+ = uuur uuur r . ( ( ; 1), ( ;2 1) 2 3 2 2 6 0 0, 3A a a B b b a b b a a b− − − ⇒ + − = − − = ⇒ = = ⇒ A( 0; -1), B( 3; 5), AB: 2x – y – 1 = 0 ) 26/ Trong MPTĐ Oxy cho ABC ∆ có A( 1; 5), B( - 4; - 5), C( 4; - 1). Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC ∆ . ( Gọi M(x;y) và N(x’;y’) là các điểm nằm trên các đường phân giác trong của góc ˆ ˆ &A B . Khi đó ta có: 5( 1) 10( 5) 3( 1) 6( 5) ( , ) ( , ) 1 .5 5 .3 5 x y x y cos AB AM cos AC AM x AM AM − − − − − − − = = = ⇔ = uuur uuuur uuur uuuur 5( ' 4) 10( ' 5) 8( ' 4) 4( ' 5) ( , ) ( , ) ' ' 1 0 ( 1;0) .5 5 .4 5 x y x y cos BA BN cos BC BN x y I BN BN + + + + + + = = = ⇔ − − = ⇒ − uuur uuur uuur uuur ). II.Toán về các đường cong: 27/ Cho đtr (C ): 2 2 1x y+ = và đt (d): x + y – 1 = 0. Lập pt đtr (C’ ) qua gđ của (C ) và (d) TMĐK: a/ (C’ ) đi qua điểm A( 2; 1) ; b/ (C’ ) có tâm thuộc đt (d’): 2x – y – 2 = 0 ; c/ (C’ ) tiếp xúc với đt (D): 2x + y – 3 = 0 ; d/ (C’ ) cắt (D’): x + y – 4 = 0 tại hai điểm A,B sao cho AB = 2. 28/ Cho hai đtr (C ): 2 2 2 2 1 0 & ( ') : 4 0x y C x y x+ − = + − = . a/ Chứng minh (C ) và (C’ ) cắt nhau. b/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và qua điểm M( 3; 0). c/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và t/x với đt: x+y – 2 = 0. 29/ Cho đtr (C ): 2 2 2 8 8 0x y x y+ − − − = . Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến: a/ đi qua điểm M( 4; 0). b/ đi qua điểm A( - 4; - 6) . c/ // (d): x – y = 0 . d/ ( '): 3 4 0d x y⊥ − = .e/ Tạo với (d”) một góc 0 45 . 30/ Viết pttt chung của hai đtr 2 2 2 2 ( ): 4 3 0 & ( ') : 8 12 0C x y x C x y x+ + + = + − + = . 31/ Cho đtr 2 2 ( ): 2 4 4 0C x y x y+ + − − = và điểm A( 3; 5). Gọi M,N là hai tiếp điểm của 2 tt với (C ) được kẻ từ A. Tính độ dài MN. ( MN = 4,8 ) 32/ Cho đtr 2 2 ( ): 2 6 6 0C x y x y+ − − + = và điểm M( 2; 4). Viết pt đt đi qua M và cắt đtr (C ) tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB. 33/ Viết pt đtr đi qua 2 điểm A( 3; 1), B( - 1; 3) và có tâm thuộc đt: 3x – y – 2 = 0. 34/ Viết pt đtr có tâm nằm trên đt: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với 2 đt (d): 3x + 4y + 5 = 0 và (d’): 4x – 3y – 5 = 0. 35/ Viết ptđtr t/x với 3 đt: 3 4 35 0;3 4 35 0& 1 0x y x y x+ − = − − = − = . ( Tâm của 3 đtr này là:( 17/2;0 ), ( 9; 0), ( 35/3; 19/6), ( 35/3; 8/3) ) 36/ Viết ptđtr tiếp xúc với 2 đt: 7x – y – 5 = 0 ; x + y + 13 = 0 và với một trong hai đt ấy tại điểm M( 1; 2). ( 2 2 2 2 ( 29) ( 2) 800& ( 6) ( 3) 50x y x y− + + = + + − = ) 37/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x - 2y + 3 = 0, (d’): 4x + 3y – 5 = 0. Lập ptđtr (C ) có tâm I trên (d), tiếp xúc với (d’) và có bk R = 2. ( I có tọa độ ( 21/11; 27/11) và ( - 17/11; 7/11) ) 38/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm (1;2), (1;6)A B và đtr (C ): 2 2 ( 2) ( 1) 2x y− + − = . Lập pt đtr (C’ ) qua B và t/x với (C ) tại A ( I( 2; 1).Đt IA có ptts: 1 ; 2 '(1 ;2 )x t y t I t t= − = + ⇒ − + .Do I’A = I’B nên t =2 '( 1;4), ' 8I R⇒ − = ) 39/Tìm tọa độ điểm M trên đt x – y + 1 = 0 sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến t/x với đtr (C ): 2 2 2 4 0x y x y+ + − = tại 2 điểm A, B mà 0 60AMB =R ( 2 2 2 ( ; 1), ( 1;2), 5 2( 1) 4 20 3 (3;4), '( 3; 2)M x x I R IM x R x M M+ − = ⇒ = + = = ⇒ = ± ⇒ − − ) 40/Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ): 2 2 12 4 36 0x y x y+ − − + = .Viết ptđtr tiếp xúc với 2 trục tđ và t/x ngoài với (C ) ( (C ) có tâm I( 6; 2), bk R = 2. Gọi (C’ ) là đtr có tâm I’(R’;R’) tiếp xúc với Ox, Oy và t/x ngoài với (C ) 2 2 2 2 ' ( ' 6) ( ' 2) ( ' 2) ' 2;18II R R R R⇒ = − + − = + ⇒ = ) 41/ Trong MPTĐ Oxy cho Parabol 2 ( ) : 64P y x= và đt ( ) : 4 3 46 0x y∆ − + = . Viết pt đtr có tâm thuộc ( )∆ , t/x với ( P ) và có bk nhỏ nhất. ( Gọi 2 2 0 0 0 ( / 64; ) ( ) ( ; ) ( 24) 160 /80 2M y y P d M y∈ ⇒ ∆ = − + ≥ . Gọi M( 9; 24) Ptđt qua M và ( ) : 3 4 123 0 (33/ 5;129/5)x y I⊥ ∆ + − = ⇒ . Vậy ptđtr là: 2 2 ( 33/ 5) ( 129/ 5) 4x y− + − = ) 42/ Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ): 2 2 6 91 0x y x+ + − = và điểm A( 3; 0). Đường tròn (C’ ) thay đổi nhưng luôn đi qua A và tiếp xúc với (C ). Tìm tập hợp tâm của đtr (C’ ). ( Gọi I( - 3; 0), M( x; y) là tâm của (C’). MI + MA =10 2 2 2 2 2 2 2 12 5 3 /5 (5 3 /5) ( 3) 16 25 400MI MA x MI x x x y x y− = ⇒ = + ⇒ + = + + ⇔ + = ) 43/ Lập pt Elip biết : a/ Hai tiêu điểm 1 2 ( 1;0)& (5;0)F F− và tâm sai e = 3/5; b/ Tâm I( 1; 1); tiêu điểm 1 (1;3)F và độ dài trục nhỏ bằng 6. ( a/ 2 2 2 2 ( 2) / 25 /16 1; /( 1) /9 ( 1) /13 1x y b x y− + = − + − = ) 44/ Lập pt Elip biết hai tiêu điểm 1 2 ( 1; 1) & (3;3)F F− − và độ dài trục lớn bằng 12. ( 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 12; ( 1) ( 1) , ( 3) ( 3) 8 8 16MF MF MF x y MF x y MF MF x y+ = = + + + = − + − ⇒ − = + − ⇒ 2 2 1 2 1 (2 2 4) /3 ( 16) /3 8 8 2 14 14 238 0MF MF x y MF x y x y xy x y− = + − ⇒ = + + ⇒ + − − − − = ) 45/ Cho Elip 2 2 ( ): 4 9 36E x y+ = và điểm M( 1; 1). Lập ptđt qua M và cắt Elip trên tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. ( đt qua M có pt: 2 2 1 4 9( 1) 36y kx k x kx k= − + ⇒ + − + = . Nghiệm của pt này là các hoành độ của A và B. Ta có 2 4/ 9 A B M MA MB x x x k= ⇔ + = ⇔ = − ⇒ ptđt là: 4x + 9y – 13 = 0 ) // . tg trong mptđ Oxy là: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0. Viết pt cạnh thứ ba của tg đó biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ ( y=7 ). 8/ Cho tg ABC biết đỉnh A(2;-1) và hai phân giác trong. = ⇒ ⇒ ⇒ ) 20/ Trong MPTĐ Oxy cho ABC∆ có pt AB: y = 2x, pt AC: y = - 0,25x + 2,25. Trọng tâm G(8/3;7/3).Tính dt ABC∆ ( (1;2), (2;4), (5;1) 4,5 ABC A B C S ∆ ⇒ = ) 21/ Trong MPTĐ Oxy cho. ) 23/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 2; -1 ), B( 1; - 2) và trọng tâm G của ABC∆ nằm trên đt x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết dt ABC ∆ = 1,5. ( ( 6; 0) và ( 3; 3) ) 24/ / Trong MPTĐ