TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN ; Khối B - D Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian phát đề I .PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1 12 − − = x x y 1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số 2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x sin 2cos3 2cot4 + =− 2. Giải hệ phương trình: −−=+ =++− 1)24(log1log 136 32 8 2 2 2 yx yxxyx Câu III (1 điểm) Tính tích phân ∫ 2 0 2 cos π xdxx . Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ),ABCD SA a = . Đáy ABCD là hình bình hành có O ABCbBCbAB 60,2, =∠== . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh ,BC SD . Chứng minh //( )MN SAB và tính thể tích của khối tứ diện AMNC theo , .a b Câu V (1 điểm) Cho 0,0 ≥≥ yx 1=+ yx Tìm GTLN, GTNN của 11 + + + = x y y x P I- PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a 1. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ( 2;3)C − . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là: 3 2 25 0, 0x y x y− − = − = . Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 11 0S x y z x y z+ + − + − − = và điểm ( 1; 2;3)I − − . Chứng minh điểm I nằm bên trong mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I. Câu VII.a Biết tổng các hệ số trong khai triển n x)21( + bằng 6561 tìm hệ số của 4 x B.Theo chương trình nâng cao Câu VI.b 1. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết CD có phương trình 4 3 4 0x y− + = . Điểm (2;3)M thuộc cạnh BC, (1;1)N thuộc cạnh AB. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AD. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường tròn (C) có tâm (1; 2;3)K − , nằm trên mặt phẳng ( ): 3 2 2 5 0P x y z+ + − = , và đi qua điểm (3;1; 3)M − . Viết phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 5 0Q x y z+ + + = . Câu VII.b Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niu tơn của 12 ) 1 ( x x + Hết ĐÁP ÁN Câu Nội dung Thang điểm I 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : • TXĐ: { } 1/RD = • Sự biến thiên: 2 , )1( 1 − − = x y hàm số nghịch biến trên D • +∞= + → 1x Limy −∞= − →1x Limy Đồ thị nhận đt x = 1 làm tiệm cận đứng • 2= +∞→x Limy 2= −∞→x Limy Đồ thị nhận đt y = 2 làm tiệm cận ngang • Bảng biến thiên: x 1 y' - - y 2 ∞+ ∞− 2 • Đồ thị : 4 2 -2 -4 -5 5 h x ( ) = 2 ⋅ x-1 x-1 g y ( ) = 1 f x ( ) = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc IM Gọi );( 00 yxM )(C∈ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : 2 0 , )1( 1 )( − − = x xf Hệ số góc của đường thẳng IM là k 2 0 )1( 1 − = x Theo bài ra ta có : 2 0 )1( 1 −x 2 0 )1( 1 −x = 1 = = ⇔ 2 0 0 0 x x ⇒ = = 3 1 0 0 y y 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1 Giải phương trình với ĐK:. 0sin ≠ x Phương trình cho += = ⇔ =+ −=− ⇔ =−++−⇔ −++=−++⇔ +=−⇔ π π π 2 2 3 )(2 3cossin 1cossin 0)3sin)(cossincos1( )sin)(cossin(cos3)sin(cos3)sin(cos 2cos3sin2cos4 kx Lkx VNxx xx xxxx xxxxxxxx xxx Vậy phương trình cho có nghiệm là π π 2 2 3 kx += 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Giải hệ phương trình: Đk 22 <<− y Hệ =+ =++− ⇔ 1 136 22 2 yx yxxyx =+ =−+− ⇔ 1 0)12)(13( 22 yx yxx ⇔ =+ += =+ = 1 12 1 3 1 22 22 yx xy yx x Nghiệm của hệ là ) 3 22 ; 2 1 ( ; ) 3 22 ; 2 1 ( − ; ) 5 3 ; 5 4 ( −− ; (0;1) 0,25 0,5 0,25 III Tính tích phân I = ∫ 2 0 2 cos π xdxx ∫ += 2 0 )2cos1( 2 1 π dxxx = ∫ 2 0 2 1 π xdx + ∫ 2 0 2cos 2 1 π xdxx 0,25 Đặt = = xdxdv xu 2cos = = ⇒ xdxv dxdu 2sin 2 1 , J= 0 2 2cos 8 1 0 2 2sin 4 1 2sin 4 1 0 2 2sin 4 1 2cos 2 1 2 0 2 0 πππ ππ xxxxdxxxxdxx +=−= ∫∫ I = 16 4 0 2 2cos 8 1 0 2 2sin 4 1 0 2 4 1 2 2 − =++ π πππ xxxx 0,25 0,25 0,25 IV Cho hình chóp .S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ),ABCD SA a = . Đáy ABCD là hình bình hành có · 0 , 2 , 60AB b BC b ABC= = = . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh ,BC SD . Chứng minh ( )MN SABP và tính thể tích của khối tứ diện AMNC theo a, b. H N M S C D B A +) Gọi H là trung điểm của AD. Khi đó / / ( ) / /( ) / /( ) / / HM AB MNP SAB MN SAB HN AS ⇒ ⇒ +) Có ,NH AD H AD⊥ ∈ . Khi đó : 22 1 a SANH == Mặt khác dễ thấy ABM∆ đều cạnh b. Do M là trung điểm BC nên 0,25 0.25 2 3 ( ) ( ) 4 a dt MAC dt ABM∆ = ∆ = Vậy thể tích của khối tứ diện AMCN là V với 2 2 1 1 3 3 . . ( ) . 3 3 2 4 24 a b ab V NH dt MAC= ∆ = = (đvtt). 0,25 0,25 V Ta có : xy xy xy xyyx P + − = + +−+ = 2 22 2 12)( 2 0,25 Đặt t=xy (t 0≥ ) thì P=f(t)= t t + − 2 22 . Do 1=x+y 4 1 0 4 1 2 ≤≤⇒≤⇒≥ txyxy . Ta có : ∈∀≤ + − = 4 1 ;00 )2( 6 )( 2 ' t t tf ⇒ 4 1 ;0/)( NBtf Max P = f(0) = 1 khi x =0 ,y = 1 hoặc x = 1, y =0 Min P = f( 4 1 ) = 3 2 khi x = y = 2 1 0,25 0,25 0,25 VIa 1 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ( 2;3)C − . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là: 3 2 25 0, 0x y x y− − = − = . Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác. Gọi đường cao kẻ từ A là AH: 3 2 25 0x y− − = Đường phân giác trong góc B là BE: 0x y− = BC có phương trình : 2 3 5 0x y+ − = Toạ độ B là nghiệm của hệ 2 3 5 0 1 (1;1) 0 1 x y x B x y y + − = = ⇔ ⇒ − = = Gọi F là điểm đối xứng của C qua BE. Do BE là phân giác nên F thuộc AB. Xác định toạ độ F được F(3; -2). Đường thẳng chứa cạnh AB là đường thẳng đi qua B, F. Phương trình AB là: 3x + 2y -5 = 0. Toạ độ A là nghiệm của hệ 3 2 5 0 5 (5; 5) 3 2 25 0 5 x y x A x y y + − = = ⇔ ⇒ − − − = = − Vậy phương trình AC là: 8x + 7y - 5 = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 11 0S x y z x y z+ + − + − − = và điểm ( 1; 2;3)I − − . Chứng minh điểm I nằm bên trong mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I. Mặt cầu (S) có tâm J(1; -3; 2) bán kính R = 5. Ta có 2 2 2 2 1 ( 1) 6IJ R= + + − = < . Chứng tỏ I nằm bên trong hình cầu (S). Mặt phẳng (P) thoả mãn ĐK của bài toán sẽ đi qua I và vuông góc với IJ. Mp(P) có vectơ pháp tuyến (2; 1; 1)n IJ= = − − r uur . Vậy phương trình của mp(P) là: 2x – y – z + 3 = 0 0,25 0,5 0,25 VIIa Tìm hệ số của x 4 Ta có : nn nnn n xCxCCx )2( 2)21( 10 +++=+ Tổng hệ số : S = nn nnn CCC 2 2 10 +++ Mà nn nnn n xCxCCx +++=+ )1( 10 Chọn x =2 ta có kkkn n xCxxðóKhi nS 2)21()21( 865613 8 8 ∑ =+=+ =⇒== K= 4 hệ số của x 4 là 11202 4 8 4 =C 0,25 0,25 0,25 0,25 VIb 1 Lập pt cạnh AD A B D C N M :3 4 0AD CD AD x y C⊥ ⇒ + + = ABCD là hình vuông nên ( , ) ( , )d M AD d N CD= tức là | 6 12 | | 4 3 4 | 13; 23. 5 5 C C + + − + = ⇒ = − − ĐS: PT :3 4 13 0;3 4 23 0AD x y x y+ − = + − = 0,25 0,25 0,5 2 Viết pt mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc (Q). + Tâm I của mặt cầu thuộc đt d qua K và vuông góc với (P). + Ptts của d là: 1 3 2 2 3 2 x t y t z t = + = − + = + + Mặt khác: ( ) 1 3 2 2 3 2 5 0 1 ( 2; 4;1) I Q t t t t I ∈ ⇒ + − + + + + = ⇒ = − ⇒ − − + Bán kính mặt cầu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 66 ( ) : 2 4 1 66R IM pt S x y z= = ⇒ + + + + − = 0,25 0,25 0,5 VIIb Tìm hệ số không chứa x Ta có : k k kk k kk xCC x xC x x − == − ∑ ∑∑ ==+ 12 12 0 12 12 0 12 12 12 ) 1 () 1 ( Hệ số của số hạng không chứa x là : 12-2k = 0 ⇔ k = 6 Vậy số hạng không chứa x là : 6 12 C 0,5 0,5 K M I . ∫ += 2 0 )2cos1( 2 1 π dxxx = ∫ 2 0 2 1 π xdx + ∫ 2 0 2cos 2 1 π xdxx 0 ,25 Đặt = = xdxdv xu 2cos = = ⇒ xdxv dxdu 2sin 2 1 , J= 0 2 2cos 8 1 0 2 2sin 4 1 2sin 4 1 0 2 2sin 4 1 2cos 2 1 2 0 2 0 πππ ππ xxxxdxxxxdxx. =+ += =+ = 1 12 1 3 1 22 22 yx xy yx x Nghiệm của hệ là ) 3 22 ; 2 1 ( ; ) 3 22 ; 2 1 ( − ; ) 5 3 ; 5 4 ( −− ; (0;1) 0 ,25 0,5 0 ,25 III Tính tích phân I = ∫ 2 0 2 cos π xdxx ∫ += 2 0 )2cos1( 2 1 π dxxx . cận đứng • 2= +∞→x Limy 2= −∞→x Limy Đồ thị nhận đt y = 2 làm tiệm cận ngang • Bảng biến thi n: x 1 y' - - y 2 ∞+ ∞− 2 • Đồ thị : 4 2 -2 -4 -5 5 h x ( ) = 2 ⋅ x-1 x-1 g y ( )