ĐỀ HSG TỈNH NAM ĐỊNH 2011

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : Toán (Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian giao đề ) Đề thi gồm 01 trang Câu1.(4 điểm ) Cho hàm số 3 5 ( ) 4 x y f x x + = = − ( C ) 1.Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g(x) = ln(f(x)). 2.Tìm trên đồ thị ( C ) những điểm M , sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C ) tại hai điểm A ; B và đoạn AB là ngắn nhất . Câu2. (5 điểm ) 1. Giải phương trình : 2sinx-1 (1 cos ) t anx 1 cos . cos x x x + = + + 2. Giải bất phương trình : 2 2 2 3 7 21 log ( 1).log ( 1) log ( 1) 0x x x x x x − − + − + − − ≥ Câu 3.(3điểm ) 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2) ; B(3; 0). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB có tâm I( 4; -3) . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai điểm A( 1; -1; 2 ) ; B( 2;1;1)và mặt phẳng (P) : x-2y-3z+5 = 0 . Tìm toạ độ điểm C thuộc (P) sao cho (ABC)vuông góc với (P)và tam giác ABC cân tại C. Câu 4.( 3 điểm ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a ; chiều cao SH = h . 1. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) ; (ABCD) theo a và h . 2. Khi a; h thay đổi và hình chóp đều S.ABCD luôn ngoại tiếp mặt cầu cố định có bán kính bằng 1 . Tìm a và h để thể tích của khối chóp S.ABCD nhỏ nhất . Câu 5(3 điểm) 1. Tính tích phân 2 1 6 . 9 4 x x x dx I = − ∫ 2. Chứng minh rằng : 10 11 12 20 21 0 1 2 10 11 11 11 11 11 11 1 1 1 1 1 11 12 13 21 22 0 2 2 2 2 2 C C C C C           − + − + − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           . Câu 6(2 điểm) Cho các số thực a; b; c thoả mãn đồng thời các điều kiện : a b c ≤ ≤ ; 6a b c + + = ; 9ab bc ca + + = . Chứng minh rằng : 0 1 3 4a b c ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ . *********************Hết************************* . TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2010 -2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : Toán (Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian giao đề ) Đề thi gồm 01 trang Câu1.(4 điểm ) Cho. hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a ; chiều cao SH = h . 1. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) ; (ABCD) theo a và h . 2. Khi a; h thay đổi và hình chóp đều S.ABCD luôn ngoại. ; (ABCD) theo a và h . 2. Khi a; h thay đổi và hình chóp đều S.ABCD luôn ngoại tiếp mặt cầu cố định có bán kính bằng 1 . Tìm a và h để thể tích của khối chóp S.ABCD nhỏ nhất . Câu 5(3 điểm) 1.