ĐỀ TỰ LUYỆN TUYỂN SINH LỚP 10 – NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ SỐ 2 Bài 1. Cho M = 2 2 2 2 4 3 1 3 : 3 1 1 3 x x x x x x x x + − − + + − − ÷ + + (điều kiện biểu thức có nghĩa) a) Rút gọn biểu thức M b) Với giá trị nào của x thì M < 0 c) Tìm x để M có giá trị nguyên Bài 2. Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 – (m + 1)x + m 2 – 2m + 2 = 0 a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a ; AC = b nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kéo dài đường phân giác trong AD của tam giác ABC cắt đường tròn O tại M. Vẽ các đường thẳng DE ⊥ AB , DF ⊥ AC. a) Chứng minh AEDF là hình vuông. b) Tính DE theo a, b , từ đó suy ra EF. c) Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ giác AEMF khi A di động trên nửa đường tròn có đường kính BC. Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 1 1x x− + + . BÀI GIẢI Bài 1 a) Ta có điều kiện : x ≠ 0 ; x ≠ 1 2 ; x ≠ −1 M = 2 ( 2)( 1) 2.3 9 ( 1) 1 3 1 . 3 ( 1) 2 4 3 x x x x x x x x x x x x + + + − + + − + − + − = 2 2 8 2 3 1 3 (2 4 ) 3 x x x x x x − + − + − − = 2 2 4 1 3 1 3 (1 2 ) 3 x x x x x x − + − + − − = 2 2 ( 4 1) (1 2 )(3 1) 3 (1 2 ) x x x x x x − + − − − + − = 2 (1 2 )(1 2 ) (1 2 )(3 1) 3 (1 2 ) x x x x x x x − + − − − + − = 2 (1 2 ) (3 1) 3 x x x x + − − + = 2 3 x x x + = 1 3 x + b) M < 0 ⇔ 1 3 x + < 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1 c) M ∈ ⇔ 1 3 x + ∈ ⇔ x + 1 chia hết cho 3 ⇔ x + 1 = 3k, k ∈ ⇔ x = 3k – 1 , k ∈ Hay x là số nguyên chia cho 3 dư là 2 Bài 2. Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 – (m + 1)x + m 2 – 2m + 2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt. Ta có : ∆ = (m + 1) 2 – 4(m 2 – 2m + 2) = – 3m 2 + 10m – 7 = (1 – m )(3m – 7) + (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ (1 – m )(3m – 7) < 0 ⇔ m < 1 hoặc m > 7 3 + (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ (1 – m )(3m – 7) = 0 ⇔ m =1 hoặc m = 7 3 + (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ (1 – m )(3m – 7) > 0 ⇔ 1 < m < 7 3 b) Tìm m để x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Theo Vi-et, ta có : 1 2 2 1 2 1 . 2 2 b m x x a c m m x x a + = − = + = = − + Nên : đặt E = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = (m + 1) 2 – 2(m 2 – 2m + 2) = – m 2 + 6m – 3 + Ta có : – m 2 + 6m – 3 = – (m 2 – 6m + 3 ) = – (m 2 – 2.3m + 9 – 6 ) = 6 – (m – 3) 2 Nhưng do (1) có nghiệm x 1 ; x 2 khi và chỉ khi 1 ≤ m ≤ 7 3 Giá trị lớn nhất của E là : 6 – ( 7 3 − 3 ) 2 = 50 9 Giá trị nhỏ nhất của E là : 6 – (1 – 3) 2 = 2 Bài 3. a b N F E D M B O C A a) Chứng minh AEDF là hình vuông Ta có tứ giác AEDF có µ µ µ 1A E F v= = = và đường chéo AD là phân giác của góc EAD nên AEDF là hình vuông. b) Tính DE theo a, b , từ đó suy ra EF. Áp dụng định lí Py ta go cho ∆vuông ABC : BC 2 = AB 2 + AC 2 = a 2 + b 2 ⇒ 2 2 BC a b= + Áp dụng tính chất phân giác trong AD : DB AB a DC AC b = = ⇒ DB DC AB AC DC AC + + = ⇒ BC a b DC b + = ⇒ DC = 2 2 b a b DC a b + = + Từ chứng minh trênAEDF là hình vuông nên DF // AB ⇒ CD DF CB AB = ⇒ 2 2 2 2 b a b DF a b a a b + + = + ⇒ DF b a a b = + ⇒ ab DF a b = + , mà AE = DF (cmt) EF là đường chéo hình vuông cạnh DF , nên : EF = 2DF = 2ab a b+ c) Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ giác AEMF khi A di động trên nửa đường tròn có đường kính BC. + Ta có : ∆ABD ∼∆AMC do : · · BAD MAC= (AD là phân giác) · · ABD AMC= (góc nội tiếp chắn cung AC) Suy ra : AB AD AM AC = ⇒ AB.AC = AM.AD Khi A di động trên (O) thì tam giác ABC luôn là tam giác vuông, nên AEDF luôn là hình vuông và AB.AC = AM.AD Do đó AEDF là hình vuông ⇒ AD ⊥ EF và AD = EF ⇒ S AEDF = 1 1 . . 2 2 AM EF AM AD= = 1 . 2 AB AC = S ABC Bài 4: Đk : 1x ≥ Vì 2 1 1x + ≥ và 1x ≥ nên A đạt GTNN 1x⇔ − đạt GTNN,tức là x – 1 = 0 1x ⇒ = . Khi đó A = 2 1 1 1 1 2− + + = .Vậy với x = 1 thì minA = 2 . . ĐỀ TỰ LUYỆN TUYỂN SINH LỚP 10 – NĂM HỌC 2 010- 2011 ĐỀ SỐ 2 Bài 1. Cho M = 2 2 2 2 4 3 1 3 : 3 1 1 3 x x x x x x x x + − −. nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt. Ta có : ∆ = (m + 1) 2 – 4(m 2 – 2m + 2) = – 3m 2 + 10m – 7 = (1 – m )(3m – 7) + (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ (1 – m )(3m – 7) < 0 ⇔ m <. thức A = 2 1 1x x− + + . BÀI GIẢI Bài 1 a) Ta có điều kiện : x ≠ 0 ; x ≠ 1 2 ; x ≠ −1 M = 2 ( 2)( 1) 2.3 9 ( 1) 1 3 1 . 3 ( 1) 2 4 3 x x x x x x x x x x x x + + + − + + − + − + − = 2 2 8 2