đáp án và biểu điểm Chú ý: HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Câu Đáp án Biểu điểm 1 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 32yxx=-+ Ta có: TXĐ: D = Ă Sự biến thiên 2 '33=-yx , 2 '03301=-==yxx Bảng biến thiên: x -Ơ -1 1 + Ơ y + 0 - 0 + y 4 + Ơ 0 - Ơ Hàm số đồng biến trên khoảng (- Ơ;-1) và (1; + Ơ), hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1). Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và y CĐ =y(-1) =4, hàm số đạt cực tiểu tại x =1 và y CT = y(1) =0. Giới hạn: tính đúng Đồ thị: Đồ thị không có đ ờng tiệm cận Nhận điểm I( 0; 2) làm tâm đối xứng -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 0.25 0.25 0.25 0.25 I. 2 Ta có: Hoành độ điểm A là 2 nên tung độ điểm A là 4 vậy A(2;4) Ph ơng trình đ ờng thẳng d qua A và có hệ số góc k là: y = k(x-2) + 4 Ta có ph ơng trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C) là: 0.25 x 3 -3x+2 = k(x-2) + 4 (x-2)( x 2 +2x +1- k) = 0 . Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì pt: x 2 +2x +1- k = 0 có 2 nghiệm pb khác 2 Do đó: k0k0 9k0k9 >> ỡỡ ớớ -ạạ ợợ 0.25 O 1 -1 Page 1 M M ô ô n n t t h h i i : : T T O O á á N N ; ; K K h h ố ố i i A A Khi đó toạ độ điểm B(x 1 ;y 1 ) và C(x 2 ;y 2 ) thoả mãn hệ ph ơng trình: ( ) 2 x2x 1 k 0 y kx2 4 ỡ ++-= ù ớ =-+ ù ợ Ta có: BC 2 = (x 2 x 1 ) 2 + k 2 ((x 2 x 1 ) 2 =(k 2 +1)[ (x 2 + x 1 ) 2 - 4x 1 .x 2 ] = (k 2 +1)[4 4(1 k)] = 4k(k 2 +1) Theo bài ra: BC = 2 2 nên 4k(k 2 +1) = 8 k = 1 ( thoả mãn) Vậy đ ờng thẳng d cần tìm là: y = x + 2 0.25 0.25 1. Giải ph ơng trình 44 sincos 1tantansin 2cos xxx xx x + +=+ 1,0 (điểm) II 1 ĐK: cosx0 xk (k) 2 x cos0 xk2 2 ạp ỡỡ ạ+p ùù ẻ ớớ ạ ùù ạp+p ợợ Â Ta có: cos.cossin.sincos 1 222 1tantan 2cos cos.coscos.cos 22 + +=== xxx xx x x xx x xx 442 1 sincos1sin2 2 +=- x xx Khi đó ph ơng trình trở thành: 22 1 11sin2 sin.cossin2sin20 2 sin20 sin21 =-+-= = ộ ờ = ở xxxxx x x 2xk xk. 2 (k) 2xk2 xk 2 4 p ộ =p = ộ ờ ờ ẻ ờ p ờ p =+p ờ =+p ở ờ ở Â Kết hợp với điều kiện ta đ ợc nghiệm của pt là: x = k2 p hoặc xk (k) 4 p =+pẻÂ 0.25 0.25 0.25 0.25 Giải hệ ph ơng trình 2 2 (1) 2 . 22 (2) ỡ ù ớ + ù -=- ợ y yxx x ( ,xyẻĂ ) 1,0 (điểm) 2 ĐK: x > 0 . Chia cả hai vế của pt(1) cho x ta đ ợc: 22 22 2 = 0 ++ yy xx (vì x > 0) 2 22 y2 4y24xy14x1 x + =+=+=- thay vào pt(2) ta đ ợc: 3 41 + 21 = 1 xx ( đk 1 x 4 ) 0.25 Page 2 2 3 1 + 21 = 1 (1) +-yx Đặt 41 (u0)=-ux và 3 v= 21 -x Khi đó ta có hệ pt: 23 uv1 u2v1 += ỡ ớ -= ợ Giải hệ pt ta đ ợc u =1 và v = 0. Thay vào tìm đ ợc nghiệm 1 x 2 = và y =0 Kết luận : nghiệm của hệ pt là: 1 ;0 2 ổử ỗữ ốứ 0.25 0.25 0.25 Tính tích phân I = 2 1 ln - ổử + ỗữ ốứ ũ x x eex exdx x 1,0 (điểm) III 22 11 1ln - + =+ ũũ x x Ixedxdx x 12 II=+ Tính đúng I 1 = 2 2e3 e - Tính đúng I 2 = 2 1 ln2ln2 2 + Vậy I = 2 2e3 e - + 2 1 ln2ln2 2 + 0.25 0.25 0.25 0.25 I V 4a 2a 2 2a 2a a a a 5 C'C a a a a a 45 45 H E A D C B H B A C D S E Tgithitsuyra ( ) SH A BCD ^ v 2 3 3 2 a SH a = = 0.25 TheonhlýPythagorastacú 2 2 2CH SC SH a = - = . Doú tamgiỏc HBC vuụngcõnti B v B C a = 0.25 Gi D E HC A = ầ ththỡ tam giỏc HAE cngvuụngcõnvdo ú ( ) ( ) ( ) 2 2 CE a d D HC d D SHC = = = suyra 2 2 2 4 3 .DE a a AD a = ì = ị = 0.25 Suyra ( ) 2 1 4 2 ABCD S B C DA AB a = + ì = (.v.d.t.).Vy 3 . D 1 4 3 3 S ABC ABCD a V SH S = ì ì = (. v.t.t.) 0.25 Page 3 suyra khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SHC) bằng độ dài đoạn DC V Ta có : 3(x 2 + y 2 + z 2 ) =(x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 ) ( vì : x + y + z =3) ị 3(x 2 + y 2 + z 2 ) = (x 3 + xy 2 ) + (y 3 + yz 2 ) + (z 3 + zx 2 ) + x 2 y + y 2 z + z 2 x Mặt khác ta có: x 3 + xy 2 2 x 2 y y 3 + yz 2 2 y 2 z z 3 + zx 2 2 z 2 x Từ đó ta có: 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3(x 2 y + y 2 z + z 2 x) hay x 2 + y 2 + z 2 x 2 y + y 2 z + z 2 x Vậy: P 222 xyz++ + 222 xyyzzx xyz ++ ++ Đặt: t = 222 xyz++ theo giải thiết ta có: 9 =(x + y + z) 2 Ê 3(x 2 + y 2 + z 2 ) ị t 3 và xy + yz + zx = 9t 2 - . Suy ra: P 9t t 2t - + Đặt 9t f(t)t 2t - =+ với t 3 . Ta có: 2 2 4t18 f'(t) 4t - = ; 3 f'(t)0t 2 == Bảng biến thiên: x - Ơ 3 2 - 3 2 3 + Ơ y + 0 - 0 + y + Ơ 4 Vậy t 3 Min f(t)4 = Dấu = xảy ra t = 3 Vậy: Min P = 4 khi x = y =z =1 0.25 0.25 0.25 0.25 VIa 1 0.25 0.25 0.25 Tìm đ ợc toạ độ điểm A(-2;2;3) Viết đ ợc ptđt AB: x13t y2t (t) z3 =+ ỡ ù =-ẻ ớ ù = ợ Ă 0.25 0.25 0.25 + Page 4 2 IK qua I v song song vi AB cú phng trỡnh 1 0x y ng thng Chiu cao k t C ca ABC bng h= 2 2 2 1 2. 2 1 ( 1) 2. 4 2 2 2 ABC S AB h 2 2 AB IK suy ra K nm trờn ng trũn (C ) tõm I bỏn kớnh 2 cú phng trỡnh 2 2 ( 2) ( 1) 2x y Ta im K l nghim ca h 2 2 ( 2) ( 1) 2 1 0 x y x y Tỡm c 1;0K hoc 3;2K . Vì C ẻ AB suy ra: C( 1+3t; -2t; 3) vì AC vuông góc với mp( a ) nên ta Từ đó tìm đ ợc Vậy AC = 0.25 0.25 VIIa Giả sử số phức z = a + bi Từ giải thiết ta có: ( ) ( ) 22 a1b11 b20 a1 b2 ỡ -+-= ù ớ -= ù ợ = ỡ ớ = ợ Suy ra: z =1 + 2i Vậy: Số phức liên hợp của số phức z là: 1 - 2i 0.25 0.25 0.25 0.25 VIb 1 Giả sử C(a ;b) theo bài ra Cẻ(E) nên ta có: 22 ab 1 94 += Ta có : ptđt AB là: 2x + 3y =0 K/c từ C đến đ ờng thẳng AB là: 2a3b h 13 + = Diện tích tam giác ABC là: 2a3b S522a3b 213 + ==+ Ta có: ( ) 2 22 2 abab 2a3b6.6.66 3294 ổử ổử +=+Ê+= ỗữ ỗữ ốứ ốứ Do đó: S 6Ê Dấu = xảy ra khi: ab 32 = Từ đó tìm đ ợc: a = 32 2 và b = 2 KL: C 32 ;2 2 ổử ỗữ ỗữ ốứ ( vì C có hoành độ và tung độ đều d ơng) 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HAHI => HI lớn nhất khi I A Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. )31;;21( tttHdH ++ịẻ vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. ==ị^ uuAHdAH là véc tơ chỉ ph ơng của d) )5;1;7()4;1;3( ịị AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 ú 7x + y -5z -77 = 0 0.25 0.25 0.25 0.25 VIIb Biến đổi pt về dạng: xx x 242 2128 + = + Đặt t = x 2 ( t > 0) Suy ra t = 4 Kết luận nghiệm của pt đã cho là: x = 2 0.25 0. 5 0.25 THE END 2210 ;;3 77 C 696 7 . đáp án và biểu điểm Chú ý: HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Câu Đáp án Biểu điểm 1 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 32yxx=-+ Ta có: TXĐ: D = Ă Sự biến thi n. có: Hoành độ điểm A là 2 nên tung độ điểm A là 4 vậy A(2;4) Ph ơng trình đ ờng thẳng d qua A và có hệ số góc k là: y = k(x-2) + 4 Ta có ph ơng trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C). (1) +-yx Đặt 41 (u0)=-ux và 3 v= 21 -x Khi đó ta có hệ pt: 23 uv1 u2v1 += ỡ ớ -= ợ Giải hệ pt ta đ ợc u =1 và v = 0. Thay vào tìm đ ợc nghiệm 1 x 2 = và y =0 Kết luận : nghiệm