Phương pháp toạ độ trong không gian

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC TỔ TOÁN - TIN CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trần Anh Tuấn Vĩnh Phúc, năm 2009-2010 Mục lục 1 Vectơ trong không gian 4 1.1 Tâm tỉ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các vectơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Toạ độ của vectơ và điểm 5 2.1 Toạ độ của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Toạ độ của điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ 6 3.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.1 Biểu thức toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2.3 ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Phương trình tổng quát 9 5 Phương trình tham số 9 6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 11 7 Chùm mặt phẳng 11 8 Khoảng cách 12 9 Phương trình tổng quát 14 10 Phương trình tham số và phương trình chính tắc 14 11 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 16 11.1 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 11.2 Hai đường thẳng đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 11.3 Hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 12 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 18 13 Khoảng cách 22 13.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường t hẳng . . . . . . . . . . . . . . . 22 13.1.1 Cách xác định khoảng cách từ A đến d . . . . . . . . . . . . . . . . 23 13.1.2 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 13.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 13.2.1 Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . 23 13.2.2 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 14 Một số vấn đề về điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 25 14.1 Hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . 25 14.2 Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 25 14.3 Hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 1 Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoà n toàn giống như trong mặt phẳng. Vì vậy, các phép toán vectơ t rong không gian cũng có các tính chất như trong mặt phẳng. 1.1 Tâm tỉ cự Cho n điểm A 1 , A 2 , . . . , A n và n số a 1 , a 2 , . . . , a n sao cho a = a 1 + a 2 + ···+ a n = 0. Khi đó tồn tại duy nhất điểm G sao cho a 1 −−→ GA 1 + a 2 −−→ GA 2 + ··· + a n −−→ GA n = −→ 0 . (*) Thật vậy, lấy một điểm O cố định ta có (∗) ⇔ a 1 ( −−→ OA 1 − −→ OG) + a 2 ( −−→ OA 2 − −→ OG) + ···+ a n ( −−→ OA n − −→ OG) = −→ 0 ⇔ (a 1 + a 2 + ···+ a n ) −→ OG = a 1 −−→ OA 1 + a 2 −−→ OA 2 + ···+ a n −−→ OA n ⇔ −→ OG = 1 a (a 1 −−→ OA 1 + a 2 −−→ OA 2 + ···+ a n −−→ OA n ). Điểm G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A 1 , A 2 , . . . , A n gắn với hệ số a 1 , a 2 , . . . , a n . Đặc biệt, khi a 1 = a 2 = ··· = a n = 1, tồn tại duy nhất điểm G sao cho −−→ GA 1 + −−→ GA 2 +···+ −−→ GA n = −→ 0 và G được gọi là t rọng tâm của hệ điểm A 1 , A 2 , . . . , A n . Ví dụ 1. Trong một tứ diện, ba đoạn thẳng nối các trung điểm của ba cặp cạnh đối diện đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạ n. Điểm đồng quy đó được gọi là trọng tâm của tứ diện. a) Chứng minh rằng G là tr ọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi −→ GA + −−→ GB + −→ GC + −−→ GD = −→ 0 . b) Cho tứ diện ABCD và một số dương k. Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn | −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC + −−→ MD| = k. 1.2 Các vectơ đồng phẳng Định nghĩa. Ba vectơ được gọi l à đồng ph ẳng nếu ba đ ườn g thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng. Định lí 1. Cho ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c , trong đó −→ a và −→ b không cùng phương. Ta có ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại k và l sao cho −→ c = k −→ a + l −→ b . Định lí 2. Nếu ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c không đồng phẳng thì với mọi v ectơ −→ v , tồn tại duy nhất bộ ba số k, l, m sao cho −→ v = k −→ a + l −→ b + m −→ c . Hệ quả. Nếu ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c không đồng phẳng thì k −→ a + l −→ b + m −→ c = −→ 0 ⇔ k = l = m = 0. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 4 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn Chú ý. i) A, B, C thẳng hàng ⇔ −→ AB và −→ AC cùng phương ⇔ ∃k : −→ AB = k −→ AC. B nằm giữa A và C ⇔ ∃k ∈ [0; 1] : −→ AB = k −→ AC. ii) A, B, C, D đồng phẳng ⇔ −→ AB, −→ AC, −−→ AD đồng phẳng. Ví dụ 2. Cho góc tam diện Oxyz. Xét các đường phân giác trong và phân giác ngoài của ba góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng a) Ba đường phân g iá c ngoài nằm trên một mặt phẳng; b) Hai đường phân giác trong và một đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A  B  C  D  . Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh B  C  và CD sao cho B  M = CN. Chứng minh rằng a) AC  ⊥ A  B; b) AM ⊥ BN. Bài tập Bài 1. Tìm quỹ tích các điểm M trong không gian sao cho k 1 MA 2 1 + k 2 MA 2 2 + ···+ k n MA 2 n = k với k 1 , k 2 , . . . , k n và k là những số cho trước. Bài 2. Cho hai vectơ −→ AB = −→ u và −−→ CD = −→ v . Gọi C  và D  là hình chiếu của C và D trên AB. Vectơ −→ v  = −−→ C  D  được g ọ i là hình hciếu của vectơ −→ v trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng −→ u . −→ v = −→ u . −→ v  . Bài 3. Cho M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD. Lấy P trên BC sao cho BP = kP C (k cho trước). Tìm Q trên cạnh AD sao cho M, N, P, Q đồng phẳng. Bài 4. Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = b, SC = c,  ASB = α,  BSC = β,  CSA = γ và G là trọng tâm của ∆ABC. Tính SG. Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A  B  C  D  . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B  C  , DD  . a) Chứng minh rằng A  C ⊥ (MNP ); b) Tìm cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng M P và AC  . Bài 6. Cho I là trung điểm của đường cao AH của tứ diện đều ABCD, K là hình chiếu của I trên AD và G là trọng tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng G, I và K thẳng hàng. 2 Toạ độ của vectơ và điểm Trong không gian, cho ba trục x  Ox, y  Oy, z  Oz đôi một vuông góc với nhau và −→ i , −→ j , −→ k là các vectơ đơn vị tương ứng trên mỗi trục. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ toạ độ Descartes (Đề - các) vuông góc Oxyz hay hệ toạ độ Oxyz. Điểm O được gọi là gốc toạ độ; các trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung và trục cao; các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 5 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 2.1 Toạ độ của vectơ Với mọi vectơ −→ v , tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho −→ v = x −→ i + y −→ j + z −→ k . Bộ ba số (x; y; z) được gọi là toạ độ của −→ v , kí hiệu là −→ v (x; y; z) hay −→ v = (x; y; z). Cho hai vectơ −→ a (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và −→ b (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Ta có: ♥ −→ a ± −→ b = (x 1 ± x 2 ; y 1 ± y 2 ; z 1 ± z 2 ); ♥ k −→ a = (kx 1 ; ky 1 ; kz 1 ), k ∈ R. Chú ý. ♥ −→ a = −→ b ⇔ x 1 = x 2 , y 1 = y 2 , z 1 = z 2 . ♥ −→ 0 = (0; 0; 0). ♥ −→ a và −→ b cùng phương ⇔ ∃k : x 1 = kx 2 , y 1 = ky 2 , z 1 = kz 2 ⇔     y 1 z 1 y 2 z 2     =     z 1 x 1 z 2 x 2     =     x 1 y 1 x 2 y 2     = 0. 2.2 Toạ độ của điểm Với một điểm M trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của vectơ −−→ OM cũng được gọ i là toạ độ của điểm M. Như vậy, nếu −−→ OM = x −→ i + y −→ j + z −→ k hay −−→ OM = (x; y; z) thì bộ ba số (x; y; z ) được gọi là toạ độ của điểm M, kí hiệu là M(x; y; z) hay M = (x; y; z). Cho A = (x A ; y A ; z A ) và B = (x B ; y B ; z B ). Ta có: ♥ −→ AB = (x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ); ♥ −−→ MA = k −−→ MB ⇔              x M = x A − kx B 1 − k , y M = y A − ky B 1 − k , z M = z A − kz B 1 − k (k = 1). Đặc biệt, khi k = −1 ta có: M là trung điểm của AB ⇔          x M = x A + x B 2 , y M = y A + y B 2 , z M = z A + z B 2 . 3 Tích vô hướng và tích c ó hướng của hai vectơ Cho hai vectơ −→ a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và −→ b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 6 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 3.1 Tích vô hướng 3.1.1 Biểu thức toạ độ −→ a −→ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 . 3.1.2 Ứng dụng ♥ | −→ a | = √ −→ a 2 =  x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 . ♥ cos( −→ a , −→ b ) = −→ a . −→ b | −→ a |.    −→ b    = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2  x 2 1 + y 2 1 + z 2 1  x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 . Hệ quả. −→ a ⊥ −→ b ⇔ −→ a . −→ b = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0. ♥ Nếu A = (x A ; y A ; z A ) và B = (x B ; y B ; z B ) thì AB =    −→ AB    =  (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2 . Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A  B  C  D  cạnh a. Các điểm P và Q được xác định bởi −→ AP = − −−→ AD  và −−→ C  Q = − −−→ C  D. a) Chứng minh đường thẳng P Q đi qua trung điểm của BB  . b) Tính độ dài đoạ n PQ. 3.2 Tích có hướng 3.2.1 Định nghĩa Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ −→ a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và −→ b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) là vectơ [ −→ a , −→ b ] = −→ a ∧ −→ b =      y 1 z 1 y 2 z 2     ;     z 1 x 1 z 2 x 2     ;     x 1 y 1 x 2 y 2      = (y 1 z 2 − y 2 z 1 ; z 1 x 2 − z 2 x 1 ; x 1 y 2 − x 2 y 1 ). 3.2.2 Tính chất ♥ −→ a và −→ b cùng phương ⇔ [ −→ a , −→ b ] = −→ 0 . ♥ [ −→ a , −→ b ] ⊥ −→ a , [ −→ a , −→ b ] ⊥ −→ b . ♥    [ −→ a , −→ b ]    = | −→ a |.    −→ b    . sin( −→ a , −→ b ). ♥ [ −→ a , −→ b ] = −[ −→ b , −→ a ]. ♥ [ −→ a + −→ b , −→ c ] = [ −→ a , −→ c ] + [ −→ b , −→ c ]; [ −→ a , −→ b + −→ c ] = [ −→ a , −→ b ] + [ −→ a , −→ c ]. ♥ [k −→ a , −→ b ] = [ −→ a , k −→ b ] = k[ −→ a , −→ b ] (k ∈ R). Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 7 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 3.2.3 ứng dụng ♥ Hình bình hành ABCD có diện tích S ABCD =    [ −→ AB, −−→ AD]    . ♥ Tam giác ABC có diện tích S ABC = 1 2    [ −→ AB, −→ AC]    . ♥ Ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c đồng phẳng ⇔ [ −→ a , −→ b ]. −→ c = 0. ♥ Hình hộp ABCD.A  B  C  D  có thể tích V ABCD.A  B  C  D  =    [ −→ AB, −−→ AD]. −−→ AA     . ♥ Tứ diện ABCD có thể tích V ABCD = 1 6    [ −→ AB, −→ AC]. −−→ AD    . Ví dụ 5. Cho ba điểm A(1; 3; −2), B(5; −3; 7) và C(−1; 0; 1). a) Chứng minh A, B và C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính diện tích và độ dài đường cao kẻ từ A của ∆ABC. Bài tập Bài 7. Cho hình chóp SABC với đáy ABC là một tam giác vuông ở C, BC = a, AC = b, SA = h và SA ⊥ (ABC). Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AC và SB. a) Tính độ dài đoạn MN. b) Tìm hệ thức giữa a, b và h để MN vuông g óc với AC và SB. Bài 8. Cho ba điểm A(0; 4; 1), B(5; −10; 3) và C(−1; 2; 3 ). a) Chứng minh A, B và C là ba đỉnh của một tam giác. b) Xác định điểm D để tứ giác ABCD là một hình bình hành. c) Tính chu vi và diện tích ∆ABC. d) Tính độ dài đường cao, đường trung tuyến và đường phân g iác tro ng kẻ từ A của ∆ABC. Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A  B  C  D  với A(−1; 1; 2), B(1; 0; 1), D(−1; 1; 0) và A  (2; −1; −2). a) Tính thể tích hình hộp đã cho. b) Tính độ dài đường cao AH của hình hộp đó. Bài 10. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(−2; 1; −1). a) Chứng minh A, B, C và D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của t ứ diện ABCD. c) Tính thể tích và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ diện ABCD. apter Mặt phẳng trong không gian Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 8 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 4 Phương trình tổng quát Mặt phẳng đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) nhận −→ n (A; B; C) = −→ 0 làm vectơ pháp tuyến có phương trình là A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z −z 0 ) = 0. Mặt phẳng trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 = 0). Mặt phẳng này nhận −→ n (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Một mặt phẳng cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc = 0 khi và chỉ khi nó có phương trình theo đoạn chắn là x a + y b + z c = 1. Ví dụ 1. Cho điểm M trong góc tam diện vuông Oxyz. Xác định mặt phẳng qua M cắt góc tam diện theo một tứ diện có thể tích nhỏ nhất. Hướng dẫn. Ta coi góc tam diện vuông Oxyz là một hệ toạ độ Descartes vuông góc. Giả sử M có toạ độ M(x 0 ; y 0 ; z 0 ). Xét mặt phẳng α qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c 5 Phương trình tham số Cặp ( −→ u , −→ v ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng α nếu chúng không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trên α. Mặt phẳng α đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) nhận −→ u (a 1 ; b 1 ; c 1 ) và −→ v (a 2 ; b 2 ; c 2 ) làm cặp vectơ chỉ phương có phương t rình tham số là      x = x 0 + a 1 t 1 + a 2 t 2 , y = y 0 + b 1 t 1 + b 2 t 2 , z = z 0 + c 1 t 1 + c 2 t 2 (t 1 , t 2 ∈ R). Khi đó α nhận −→ n = [ −→ u , −→ v ] =      b 1 c 1 b 2 c 2     ;     c 1 a 1 c 2 a 2     ;     a 1 b 1 a 2 b 2      làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là     b 1 c 1 b 2 c 2     (x − x 0 ) +     c 1 a 1 c 2 a 2     (y − y 0 ) +     a 1 b 1 a 2 b 2     (z − z 0 ) = 0. Chú ý. Phương trình mặt phẳng α hoàn toàn được xác định nếu biết: (i) M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ α và vectơ pháp tuyến −→ n (A; B; C). α : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 9 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn (ii) M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ α và cặp vectơ chỉ phương −→ u (a 1 ; b 1 ; c 1 ), −→ v (a 2 ; b 2 ; c 2 ). α :     b 1 c 1 b 2 c 2     (x − x 0 ) +     c 1 a 1 c 2 a 2     (y − y 0 ) +     a 1 b 1 a 2 b 2     (z − z 0 ) = 0. (iii) A(x 1 ; y 1 ; z 1 ), B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) ∈ α và −→ u (a; b; c)  α. Khi đó α đi qua A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) và nhận −→ u (a; b; c), −→ AB(x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ) làm cặp vectơ chỉ phương. (iv) A(x 1 ; y 1 ; z 1 ), B(x 2 ; y 2 ; z 2 ), C(x 3 ; y 3 ; z 3 ) ∈ α. Khi đó α đi qua A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) và nhận −→ AB, −→ AC làm cặp vectơ chỉ phương. Chuyển phương trình tổng quát của mặt phẳng sang phương trình tham số Giả sử mặt phẳng α có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 = 0). ♥ Cách 1: Xác định ba điểm A, B, C ∈ α rồi sử dụng chú ý (iv). ♥ Cách 2: Đặt x = f(t 1 ), y = g(t 2 ) rồi từ phương trình tổng quát của α rút ra z = h(t 1 , t 2 ) (Chọn 2 toạ độ và chọn cách đặt một cách thích hợp). Chuyển phương t rình tham số của mặt phẳng sang phương trình tổng quát Giả sử mặt phẳng α có phương trình tham số là      x = x 0 + a 1 t 1 + a 2 t 2 , y = y 0 + b 1 t 1 + b 2 t 2 , z = z 0 + c 1 t 1 + c 2 t 2 (t 1 , t 2 ∈ R) . ♥ Cách 1: Khử các tham số t 1 và t 2 từ các phương trình tr ên. ♥ Cách 2: Mặt phẳng α đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có cặp vectơ chỉ phương −→ u (a 1 ; b 1 ; c 1 ), −→ v (a 2 ; b 2 ; c 2 ) nên có vectơ pháp tuyến −→ n = [ −→ u , −→ v ] =      b 1 c 1 b 2 c 2     ;     c 1 a 1 c 2 a 2     ;     a 1 b 1 a 2 b 2      , và do đó có phương t rình tổng quát là     b 1 c 1 b 2 c 2     (x − x 0 ) +     c 1 a 1 c 2 a 2     (y − y 0 ) +     a 1 b 1 a 2 b 2     (z − z 0 ) = 0. Ví dụ 2. Cho A(1; 3; 2) và B(3; −1; 4). a) Viết phương trình mặt phẳng trung trực α của AB. b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, vuông góc với α và vuông góc với mặt phẳng (Oyz). c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với α. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 10 [...]... 13 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn c) Giả sử a, b, c thay đổi thoả mãn a2 + b2 + c2 = k 2 không đổi Hỏi khi nào diện tích ∆ABC đạt giá trị lớn nhất? Chứng minh rằng khi đó OH cũng lớn nhất Bài 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác đều OAB cạnh a nằm trong mặt phẳng (Oxy) có AB Oy và A thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (Oxy) a Xét điểm S(0; 0; ) 3 a) Xác định toạ. .. định toạ độ điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng α Phương pháp chung Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên α Gọi A là điểm đối xứng của A qua α thì H là trung điểm của AA nên xA = 2xH − xA , yA = 2yH − yA , zA = 2zH − zA Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 25 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn Bài toán 9 Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng α Phương. .. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 26 Phương pháp toạ độ trong không gian 14.3 Trần Anh Tuấn Hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng Bài toán 11 Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d Phương pháp chung → Giả sử đường thẳng d nhận − làm vectơ chỉ phương u → ♥ Cách 1: Mặt phẳng α qua A vuông góc với d nhận − làm vectơ pháp tuyến nên ta u có phương trình của α Hình chiếu vuông... Chuyên Vĩnh Phúc 30 Phương pháp toạ độ trong không gian a) MA + MB nhỏ nhất b) |MA − MB| lớn nhất Bài 28 Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(7; −2; 3) và đường thẳng d: y−2 z−2 x+1 = = 3 −2 2 a) Chứng minh rằng AB và d đồng phẳng b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d c) Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 31 Trần Anh Tuấn Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn... Vĩnh Phúc 18 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn → → ♥ Cách 2: Xác định các vectơ chỉ phương −1 và −2 của d1 và d2 Đường thẳng cần tìm u u − = [− , →] làm vectơ chỉ phương → → − đi qua A và nhận u u1 u2 Chú ý Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tổng quát thì sử dụng cách 1; nếu yêu cầu viết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc thì sử dụng cách 2 Ví dụ 5 Viết phương trình... nhau 10 Phương trình tham số và phương trình chính tắc − → → Đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0 ; z0 ) và nhận − (a; b; c) = 0 làm vectơ chỉ phương có u ♥ phương trình tham số là  x = x0 + at,  y = y0 + bt,   z = z0 + ct Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 14 (t ∈ R); Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn ♥ phương trình chính tắc là y − y0 z − z0 x − x0 = = a b c (Quy ước: Nếu mẫu số bằng không. .. −5 x + 3y − 3z + 16 = 0; Bài toán 5 Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước Phương pháp chung Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 19 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn ♥ Cách 1: Viết phương trình các mặt phẳng α1 qua A vuông góc với d1 và α2 qua A chứa d2 Nếu α1 ≡ α2 thì mọi đường thẳng qua A không song song với d2 đều thoả mãn bài... → Cho một điểm A và đường thẳng d đi qua M và nhận − làm vectơ chỉ phương u Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 22 Phương pháp toạ độ trong không gian 13.1.1 Trần Anh Tuấn Cách xác định khoảng cách từ A đến d → ♥ Gọi α là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d thì α nhận − làm vectơ pháp u tuyến nên ta có phương trình của α ♥ Xác định toạ độ giao điểm H của d và α Khi đó H là hình chiếu của A trên d nên d(A,... 1 = 0 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau Tính khoảng cách giữa d1 và d2 b) Viết phương trình các mặt phẳng α1 chứa d1 và α2 chứa d2 sao cho α1 α2 c) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2 d) Viết phương trình mặt phẳng cách đều d1 và d2 Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy √ ABCD là một hình thoi với AC cắt BD tại gốc toạ độ O, A(2;... Chứng minh rằng d cắt và không vuông góc với α Xác định toạ độ giao điểm của d và α b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên α 14.2 Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng Bài toán 7 Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng α Phương pháp chung Đường thẳng d qua A vuông góc với α nhận vectơ pháp tuyến của α làm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số của . . . . 27 3 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 1 Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoà n toàn giống như trong mặt phẳng Tính thể tích và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ diện ABCD. apter Mặt phẳng trong không gian Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 8 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 4 Phương trình tổng. Ozx đôi một vuông góc được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 5 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 2.1 Toạ độ của vectơ Với mọi vectơ −→ v , tồn tại duy nhất