Đề số 9 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) x x x x x 2 2 2 1 lim 3 2 →+∞ + − + b) x x x 2 2 2 2 lim 4 → + − − Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 1= : x khi x f x khi x x x 1 1 ( ) 1 1 ² 3 + ≤ = > − Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y xsin(cos )= b) x x y x 2 2 3 2 1 − + = + Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD. a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD). b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC). c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD). II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x x 5 3 1 0− − = có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (–1; 2). Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y x 3 cos= . Tính y ′′ . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số x y x 3 1 1 + = − tại giao điểm của (C) với trục hoành. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x x 3 2 4 2 0+ − = có ít nhất hai nghiệm. Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y x x 2 2= − . Chứng minh rằng: y y 3 1 0 ′′ + = . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số x y x 2 1 2 − = − tại điểm có tung độ bằng 1. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 9 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 a) 2 2 2 1 1 2 2 1 lim lim 2 3 2 3 x x x x x x x x x →+∞ →+∞ + − + − = + + 0,50 2 3 = 0,50 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 lim lim 4 2 2 2 2 x x x x x x x x → →+∞ + − − = − − + + + 0,50 ( ) x x x 1 lim 0 ( 2) 2 2 →+∞ = = + + + 0,50 2 x khi x f x khi x x x 1 1 ( ) 1 1 ² 3 + ≤ = > − ( ) ( ) ( ) 1 1 lim lim 1 1 2 x x f x x f − − → → = + = = 0,50 ( ) 2 1 1 1 1 lim lim 2 3 x x f x x x + → + → = = − − 0,25 f x( ) không liên tục tại x =1 0,25 3 a) y x y x xsin(cos ) ' sin .cos(cos )= ⇒ = − 0,50 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3 2 3 ' 2 1 2 1 x x x x x x x x y y x x − + − − + − + − + = ⇒ = + + 0,25 = ( ) 2 2 8 2 1 2 3 x x x x − + − + 0,25 4 a) Vì SA ABCD SA BC BC AB BC SAB( ) , ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 SA A BCD SA CD CD AD CD SAD( ) , ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 b) SA A BCD SA a( ),⊥ = , các tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒ FE là đường trung bình tam giác SBD FE BD⇒ P 0,25 BD AC FE AC SA ABCD BD SA FE SA, ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 FE SAC FE AEF SAC AEF( ), ( ) ( ) ( )⊥ ⊂ ⇒ ⊥ 0,25 c) SA ABCD( )⊥ nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) · SCA ϕ ⇒ = 0,50 2 SA a AC a 0 1 tan 45 2 2 ϕ ϕ ⇒ = = = ⇒ = 0,50 5a Gọi f x x x 5 ( ) 3 1= − − ⇒ f x( ) liên tục trên R 0,25 f(0) = –1, f(2) = 25 f f(0). (2) 0⇒ < nên PT có ít nhất một nghiệm ( ) 1 0;2c ∈ 0,25 f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c 2 ( 1;0 ) ∈ − 0,25 1 2 c c≠ ⇒ PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2) 0,25 6a a) y x y x x y x x 3 2 3 cos ' 3cos .sin ' (sin3 sin ) 4 = ⇒ = − ⇒ = − + 0.50 ( ) 3 " 3cos3 cos 4 y x x= − + 0.50 b) Giao của (C) với Ox là 1 0; 3 A − ÷ 0,25 ( ) ( ) 2 4 ' ' 0 4 1 y k f x = ⇒ = = − 0,50 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y x 1 4 3 = − 0,25 5b Gọi f x x x 3 2 ( ) 4 2= + − ⇒ f x( ) liên tục trên R 0,25 f(0) = –2, f(1) = 3 ⇒ f(0).f(1) < 0 ⇒ PT có ít nhất một nghiệm ( ) 1 0;1c ∈ 0,25 f(–1) = 1, f(0) = –2 f f( 1). (0) 0⇒ − < ⇒ PT có ít nhất một nghiệm ( ) 2 1;0c ∈ − 0,25 Dễ thấy 1 2 c c≠ ⇒ phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực. 0,25 6b a) 2 2 1 1 2 ' ' 2 x x y x x y y y x x − − = − ⇒ = ⇒ = − 0,25 y x y y x x x x x y y y y y 2 2 2 2 2 3 3 3 (1 ) (1 ) 2 1 2 1 ′ − − − − − − − + − + − − ′′ = = = = 0,50 3 3 3 1 " 1 . 1 1 1 0y y y y − ⇒ + = + = − + = (đpcm) 0,25 b) x y x 2 1 2 − = − ( C ) x y x x x x 2 1 1 1 2 1 1 0 1 − = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇒ A(0; 1) 0,50 ( ) ( ) 2 3 3 ' 0 4 2 y k f x − = ⇒ = = − − 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x 3 1 4 = − + 0,25 3 . 20 10 – 2 011 MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 9 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 a) 2 2 2 1 1 2 2 1 lim lim 2 3 2 3 x x x x x x x x x →+∞ →+∞ + − + − = + + 0,50 2 3 = 0,50 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 lim lim 4 2 2 2 2 x. Đề số 9 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 20 10 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2, 0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) x x x x x 2 2 2 1 lim 3 2 →+∞ +. x + → + → = = − − 0 ,25 f x( ) không liên tục tại x =1 0 ,25 3 a) y x y x xsin(cos ) ' sin .cos(cos )= ⇒ = − 0,50 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3 2 3 ' 2 1 2 1 x x x x x x x x y