SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT PHÚC THÀNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn thi: TOÁN. Khối A, B, D Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số 3 2 3 3 4y x mx m= − + (m là tham số) có đồ thị là (C m ). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Câu II (2.0 điểm ) 1. Giải phương trình: 2 3 4 2sin 2 2 3 2(cot 1) sin 2 cos x x x x + + − = + . 2. Tìm m để hệ phương trình: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = có nghiệm thực. Câu III (1.0 điểm ) Tính tích phân 6 0 tan( ) 4 cos2x x I dx π π − = ∫ Câu IV (1.0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh 3 2 a SA = ; các cạnh còn lại đều bằng a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến mp(SAC). Câu V (2.0 điểm) 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: (P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d): 1 2 1 2 1 x y z+ − = = − Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 8 π . 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có A( 0 ; 2), B( 4 ; 5) và giao điểm của hai đường chéo thuộc đường thẳng (d) có phương trình x – y – 1 = 0. Hãy tính toạ độ các điểm C, D. Câu VI (2.0 điểm) 1. Thực hiện phép tính 2011 2010 (1 ) (1 ) i i + − ( trong đó 2 1i = − ). 2. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 P xy yz zx = + + + + + −−−−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−−−− Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD: Câu Nội dung Điểm I 1. Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x 3 − 3x 2 + 4 + TXĐ: R + Sự biến thiên: y’ = 3x 2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 Hàm số đồng biến trên: (−∞; 0) và (2; +∞) Hàm số nghich biến trên: (0; 2) Hàm số đạt CĐ tại x CĐ = 0, y CĐ = 4; đạt CT tại x CT = 2, y CT = 0 y” = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1 Đồ thị hàm số lồi trên (−∞; 1), lõm trên (1; +∞). Điểm uốn (1; 2) 0.25 Giới hạn và tiệm cận: 3 3 3 4 lim lim 1 x x y x x x →±∞ →±∞ = − + = ±∞ ÷ 0.25 LËp BBT: 0.25 §å thÞ: 0.25 2/. Ta có: y’ = 3x 2 − 6mx = 0 ⇔ 0 2 x x m = = Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0. 0.25 Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m 3 ), B(2m; 0) ⇒ 3 (2 ; 4 )AB m m= − uuur Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m 3 ) 0.25 Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 0.25 0 x 4 +∞ −∞ − + + 0 0 y’ −∞ 2 +∞ y 0 x y O 3 3 2 4 0 2 m m m m − = ⇔ = Giải ra ta có: 2 2 m = ± ; m = 0 0.25 Kết hợp với điều kiện ta có: 2 2 m = ± II 2/. Đk: 2 x k π ≠ 0.25 Phương trình đã cho tương đương với: ( ) 2 2 2 2 2 4 3 1 2 3 2 sin 2 2(sin cos ) 3 3 2 sin cos 3 2 3 0 tg cotg tg cotg tg tg x x x x x x x x x x x + + − = + ⇔ + − = ⇔ + − = 0.25 ⇔ 3 3 1 3 6 tg tg x k x x x k π = − + π = − ⇔ π = = + π 0.25 KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : 6 2 x k π π = + ; k∈Z 0.25 2/. 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 0 (2) x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = Điều kiện: 2 2 1 0 1 1 0 2 2 0 x x y y y − ≥ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ − ≥ 0.25 Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t 3 − 3t 2 = y 3 − 3y 2 . 0.25 Hàm số f(u) = u 3 − 3u 2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔ 2 2 2 1 0x x m− − + = 0.25 Đặt 2 1v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v 2 + 2v − 1 = m. Hàm số g(v) = v 2 + 2v − 1 đạt 0;1 0;1 min ( ) 1; m ( ) 2 [ ] [ ] axg v g v= − = Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2 0.25 Tính tích phân 6 0 tan( ) 4 os2x x I dx c π π − = ∫ 1.00 ( ) 2 6 6 2 0 0 tan( ) 1 tan 4 os2x 1 tan x x I dx dx c x π π π − + = = − + ∫ ∫ Đặt 2 2 1 tan dt= (tan 1) cos t x dx x dx x = ⇒ = + 1 0 0; 6 3 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 0.25 0.25 Suy ra 1 1 3 3 2 0 0 1 1 3 ( 1) 1 2 dt I t t − = − = = + + ∫ . 0.25 Vậy 1 3 2 I − = 0.25 IV Tính theo a khoảng cách từ B đến mp(SAC) 1.00 ( Không có hình, hoặc hình vẽ sai không chấm điểm) Gọi M là trung điểm của BC thì ,SM BC AM BC⊥ ⊥ . Suy ra tam giác SMA đều vì có các cạnh bằng 3 2 a . Diện tích tam giác SMA bằng 2 3 3 16 a 0.25 Ta có 2 3 1 1 3 3 3 2 2. . . . . 3 3 16 16 SABC SBAM SAM a a V V BM S a = = = = 0.25 Gọi N là trung điểm của SA. Ta có CN SA ⊥ 13 4 a CN⇒ = ( vì tam giác CAN vuông tại N). 2 1 1 3 13 39 . . 2 2 2 4 16 SCA a a a S SACN⇒ = = = 0.25 Ta có 3 2 ( ,( )) ( ,( )) 3 1 1 39 . . 16 3 3 16 SABC SCA B SAC B SAC a a V S d d= = = . Suy ra: ( ;( )) 3 13 B SAC a d = 0.25 1. Viết phương trình mặt cầu 1.00 Đường thẳng (∆) có phương trình tham số là: 1 2 ; 2 x t y t t R z t = − = − + ∈ = + Gọi tâm mặt cầu là I. Giả sử I (−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆). 0.25 Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên: 0.25 V | 2 1 2 4 2 2 | | 6 5| ( ; ) 3 3 3 t t t t d I − + − − − − + ∆ = = = ⇔ 2 3 7 3 t t = =− ⇒ Có hai tâm mặt cầu: 2 1 8 7 17 1 ; ; ; ; 3 3 3 3 3 3 I I − − − ÷ ÷ vµ Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có chu vi bằng 8 π => r = 4 nên mặt cầu có bán kính là R = 5. 0.25 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 2 2 2 2 2 2 1 8 7 17 1 25 25 3 3 3 3 3 3 x y z x y z + + − + − = − + + + + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ vµ 0.25 2. Hãy tính toạ độ các điểm C, D. 1.00 Tâm I thuộc (d) nên I( x ; x – 1) . 0.25 Có ( ;3 ), (4 ;6 )IA x x IB x x= − − = − − uur uur 0.25 Do IA vuông góc với IB 9 . 0 ; 2. 2 IA IB x x ⇒ = ⇒ = = uuruur 0.25 Ta được hai nghiệm : C 1 ( 9 ; 5 ), D 1 ( 5; 2 ) và C 2 ( 4 ; 0 ), D 2 ( 0 ; - 3). 02.5 VI 1. Thực hiện phép tính 1.00 Ta có 2010 2011 2010 (1 ) 1 (1 ). (1 ) 1 i i i i i + + = + ÷ − − 0.25 Mà : 2 1 (1 ) 1 2 1 1 (1 )(1 ) 2 i i i i i i i + + + − = = = − − + 0.25 Suy ra 2010 2011 2010 2 1005 2010 (1 ) 1 (1 ) (1 ) ( ) (1 ) 1 (1 ) 1 i i i i i i i i i i + + = + = + = + = − − ÷ − − 0.25 Vậy 2011 2010 (1 ) 1 (1 ) i i i + = − − − 0.25 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 1.00 2/. Ta có: [ ] 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 9 1 1 1 xy yz zx xy yz zx + + + + + + + ≥ ÷ + + + (phải cm) 0.25 2 2 2 9 9 3 3 P xy yz zx x y z ⇒ ≥ ≥ + + + + + + Do 2 2 2 y z x xy z zx+ + ≥ + + (phải cm) 0.25 ⇒ 9 1 3 6 P ≥ = + 0.25 Vậy GTNN là P min = 3 2 khi 2x y z= = = 0.25 Chú ý: Nếu thí làm cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa ! . SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT PHÚC THÀNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn thi: TOÁN. Khối A, B, D Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu. + −−−−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−−−− Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD: Câu Nội dung Điểm I 1. Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x 3 − 3x 2 + 4 + TXĐ: R + Sự biến thi n: y’ = 3x 2 − 6x. phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có A( 0 ; 2), B( 4 ; 5) và giao điểm của hai đường chéo thu c đường thẳng (d) có phương trình x – y – 1 = 0. Hãy tính toạ độ các điểm C, D. Câu VI (2.0