TA`I LIE-U LUYE-N THI CHUYEN_HI`NH HO-C 9

LUYỆNTHICHUYÊN:PHÂNHÌNHHỌC ĐỖTRUNGTHÀNH −GIÁOVIÊNTHCS Trang1  Bài1: ChotứgiácABCDnội tiếptrongđườngtròn (O).ĐườngthẳngBDvàcáctiếptuyếnvới (O) tại A,Cđồngquitại S.Gọi Ilàgiaođiểm củaACvàBD.Chứngminhrằng: a)AB.DC=AD.BC b) SB IB AB.CB SD ID AD.CD = = HD:a)ΔSAB ΔSDAnên: SA AB SB SD DA SA = = (1) ΔSCB ΔSDCnên: SC CB SB SD DC SC = = (2) DoSA=SBvàtừ (1)và(2): AB BC DA DC = ÞAB.DC=AD.BC b)Từ(1)và(2): SB SB.SC AB.CB SD SD.SA AD.CD = = . Tươngtựphần a)TừΔIAB ΔIDCvàΔICB ΔIDA Þ IB AB.CB ID AD.CD = Þđpcm  Bài2: ChoΔABCvuôngcânởA.ADlàtrungtuyếnthuộccạnhhuyền,Mlàmộtđiểmthayđổi trênđoạnAD.GọiN,PtheothứtựlàhìnhchiếuvuônggóccủaMxuốngABvàAC.Hlàhình chiếuvuônggóccủaNxuốngđườngthẳngPD. a)Xácđịnhvị trí củaNđểΔAHBcódiện tíchlớnnhất. b)CmR:KhiMthay đổi,HNluôn điquamộtđiểm cốđịnh. HD:a)KẻBE//ACcắtPDtại E ÞBE=PC=BN Þ · · 0 NEB NHB 45 = = . Mặtkhác: · · 0 AHN APN 45 = = Þ · 0 AHB 90 = ,HNlàphângiáccủa · AHB . Þ 2 2 2 4 2 2 2 AHB 1 1 AH BH AB S AH .BH 4 4 2 16 æ ö + = £ = ç ÷ è ø .Dấu“=”xảyra ÛAH=BH ÛH≡D≡M. b)HNluôn điquađiểm chínhgiữacủanửađườngtròn đườngkínhAB(HNlàphângiác · AHB ).  Bài3: ChohìnhvuôngABCDcạnha.Mộtgóc · 0 xBy 45 = quayxungquanhBsaochoBxcắtcạnh ADtạiM,BycắtcạnhCDởN(M,NkhôngtrùngvớiD).GọiE,Ftươngứnglàgiaođiểmcủa BM,CNvớiAC. a)CmR:cáctứgiácABFM,BCNE,MEFNnội tiếp. b)CmR:MNluôntiếpxúcvới mộtđườngtròn cố định vàchuviΔMNDkhôngđổi. c)Tìm vị trí củaM,Nvànêucáchdựngcácđiểm đóđểΔMNDcódiện tíchlớn nhất. HD:a) · · 0 FBM FAM 45 = = ÞABFMnội tiếp.Tươngtự:BCNEnội tiếp. Þ · · · 0 0 BEN BCN 180 BEN 90 + = Þ = .Tươngtự: · 0 MFN 90 = Þđpcm b)Lấy điểmKtrêntiađối củatiaADsaochoAK=CN: ÞBK=CNvà · · · · · KBM KBA ABM NBC ABM = + = + · · 0 0 90 NBM 45 NBM = - = = ÞΔKMB=ΔNBM(c.g.c)ÞBA=BL ÞMNtiếpxúcvới (B,a) Lại có:ΔKBM=ΔNMB ÞKM=MN.Từđó,suyra: P ΔMND =MN+ND+MD=KA+AM+MD+DN=CD+ND+MD+MA=2a. c)Có:MD+ND+MN=2a ÞMD+ND+ 2 2 MD ND + =2a Þ4a 2 = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 MD ND 1 MD ND MD ND MD ND 1 MD ND 2 2 + æ ö æ ö + + + ³ + + = + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø I C A O D B S H E D A B C M N P 45 0 K L H F E N C B A DM LUYNTHICHUYấN:PHNHèNHHC TRUNGTHNH GIOVIấNTHCS Trang2 2 1 4 1 .MD.ND 2 ổ ử + ỗ ữ ố ứ M:MD.ND=2S MND ịS MND ( ) 2 2 a 2 2 1 Ê + . Du=xy ra MD=ND ã ã 0 MBA NBC 22,5 = = Bi4: ChonangtrũntõmOngkớnhAB=2R,Mlmtimbtkỡtrờnnangtrũn (MkhỏcAvB).HMH ^ABtiH.GiP,Q,Ilnltltõm ngtrũnnitipcỏctamgiỏc MAH,MBH,AMB. a)ChngminhimIltrctõmca DMPQ b)Tỡmqutớch imIkhi imMdi ngtrờnnangtrũn c)XỏcnhvtrớcaimMtrờnnangtrũn chuvi DPHQlnnht HD:a)Dthy:A,P,IthnghngvB,Q,Ithnghng. GiKMP ầAB: ã ã ã KMB KMH BMH = + , ã ã ã MKB KMA MAB = + Mtkhỏc: ã ã KMH KMA = v ã ã BMH MAB = Suyra:BMKcõntiBcúBIlphõngiỏc ịBI ^ MK Tngt:LAB ầMQ ịAMLcõn ịAI ^ ML ịpcm b)Thun: ã ã ã 0 0 0 0 MAB MBA AIB 180 180 45 135 2 + = - = - = Vy imIthuccungchagúc135 0 vtrờn onAB(thuccựngmtnamtphngchaM) oli:GisIlimbtkỡ thuccungchagúc ịKIN ^AB,v(I,IN)khaitiptuyn AA vBB vi(I, IN) gi M l giao ca AA v BB. Ta cn chng minh M ẻ (O) hay ã 0 AM'B 90 = .Tacú: ã ã ã ã ã ã 0 0 0 0 AIB 135 IBA IAB 45 M'AB M'BA 90 AM'B 90 = ị + = ị + = ị = . c)Tacú: ã ã PMH QBH = (Gúccúcnht/vuụnggúc). ã ã 0 PHM QHB 45 = = ịMPH BQH(g.g)nờn: ã PH MH MA PH MA tgMBA QH HB MB QH MB = = = ị = . Licú: ã ã 0 AMB PHQ 90 = = ịHPQ MAB(c.g.c).Tacú: ã ã ã ã 0 HQP MBA MBA HQF 180 = ị + = ịBHQFnitip.Túsuyra: ã ã 0 MFE QHB 45 = = MEFcõntiMnờn:ME=MF.MQF=MQH(c.g.c)nờn:MF=MHvQF=QH. Tngt:PH=PE ịC PQH =PH+QH+QP=EP+PQ+QF=EF= 2MF 2MH = Vy:C PQH lnnht MHlnnht HO.Khiú:Mlimchớnhgianangtrũn(O) Bi5: Chongtrũn (OR)vPlmtimnm bờntrongngtrũn.QuaPvhaidõyABv CDvuụnggúcvi nhau.a)ChngminhrngPA 2 +PB 2 +PC 2 +PD 2 khụngi b)Gi Iltrungim caBC.Tỡm qu tớch im I HD:a)Kngkớnh BE.TacúAE//CD ịAC=DE.pdngL Pitagocho Dv.BED:BD 2 +DE 2 =BD 2 +AC 2 =BE 2 =4R 2 Suyra:PA 2 +PB 2 +PC 2 +PD 2 =AC 2 +BD 2 =4R 2 =Const c)Thun:Gi Kltrungim caOPtacú: 2 2 2 2 1 2IK IO IP PO 2 = + - Dv.PBCcúPIltrungtuyn ịIP=IB ịOI 2 +IB 2 =OI 2 +IP 2 =OB 2 =R 2 ịIK= 2 2 2R OP 2 - ịIthuc ngtrũn 2 2 2R OP K 2 ổ ử - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ oli:LyimIthucngtrũn(K).QuaIdngmtngthngvuụnggúcviOIgi giaocangthngnyvi (O)lB,C.Gi giaoim caBPvCPvi (O)lA,D.Tacn chngminhAB ^ CD. L K F E I Q P H O A B M K I E D C O A B P LUYNTHICHUYấN:PHNHèNHHC TRUNGTHNH GIOVIấNTHCS Trang3 IKltrungtuyn ca DOPInờn: 2 2 2 2 1 2IK IO IP PO 2 = + - m:2.IK 2 = 2 2 2R OP 2 - Suyra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2R OP 1 IO IP OP OI IP R 2 2 - = + - + = =OB 2 .Mtkhỏc:OI 2 +IB 2 =OB 2 Suyra:IP=IB.Hay:IP= 1 2 BC. ị DPCBvuụngti P.Vy:AB ^ CD Bi6: ChobaimA,B,Ctheothtnm trờnmtngthngdsaochoAB=2,BC=4.Mt ngtrũn di ng(O)cútõmOviquaB,C.Gi AT,ATlhaitiptuyn ktA n (O),vi T,Tlhaitipim. a)Tỡm qu tớch cỏcim TvT b)VngkớnhMBca(O).Gi PAM(O).Chngminh:AM.AP=AO 2 OC 2 c)Tỡm qu tớch cỏcim MvP HD:a)Thun:Tachngminh TA 2 =AT 2 =AB.AC= 2 (2 3) Suyra:TvTthuc ngtrũn (A 2 3 ) o:Ly mtim T 1 btkỡ thuc (A 2 3 ).QuaT 1 vmtng thngvuụnggúcvi AT 1 ct trungtrc caBCti O.Tacn chng minhAT 1 ltiptuyn ca(OOB):KtiptuynAT 2 Tacú: AT 2 2 =AB.AC=AT 1 2 ịOT 1 =OT 2 ịOT 1 lbỏn kớnh (O).Suyra: AT 1 ltiptuyn ca(O). b)Tacú:AT 2 =AM.AP.MAT 2 =OA 2 OT 2 hay:AT 2 =OA 2 OC 2 ịAM.AP=OA 2 OB 2 c)Qu tớch M: Thun: DBCMvuụngti C ịCM ^ d ịMthuc ngthngcvuụnggúcvi dti C o:GisMthucngthngcquatrungim IcaBCkmtngthngvuụnggúcvi d giaovi MBti O 1 Vngtrũn (O 1 O 1 B).Tacn chngminhMthuc(O 1 O 1 B). Tacú:OI//BC ịOIlngtrungbỡnhca DBMC ịOB=OM ịM ẻ (O 1 O 1 B). *Qu tớch P: Thun:Tacú: ã 0 APB 90 = ịPthucngtrũn ngkớnhAB o:LymtimPbtkỡtrờnngtrũnngkớnhAB.QuaCvmtngthngvuụng gúcvi dgiaoviAPti M.Gi O 2 lgiaocangtrungtrcBCviBM,v(O 2 O 2 B)tacn chngminh:PvMthuc(O 2 O 2 B):OIlngtrungbỡnhca DBMCnờnOM=OB ịM thucng trũn.Tacú: ã BPM =90 0 nờnPthucng trũn ngkớnh BMhay:OP=OB. Bi7: Chohai ngtrũn(O,R)v R O', 2 ổ ử ỗ ữ ố ứ tipxỳcngoi tiA.Trờnngtrũn(O)lyimB saochoAB=RvimMtrờncunglnAB.TiaMActngtrũn(O)tiimthhailN. QuaNkngthngsongsongvi ABctng thngMNti Qvctngtrũn (O)ti P. a)ChngminhOAM OAN. b)Chngminh di on NQkhụngphthucvov trớ im M. c)T giỏcABQPlhỡnhgỡ?ti sao? d)Xỏcnh v trớ im Mdin tớch tgiỏcABQNtgiỏtr lnnht.Tớnhgiỏtr útheoR. HD:a)Ddngchngminh cOAM OAN. b)Ta)suyra: MA OA NA O 'A = . MA MA OA 2 MA NA MN OA O 'A 3 ị = = = + + Mtkhỏc:AB//NQ ị AB MA . NQ MN = H Q P N B O' A O M d P M T' T A B C O LUYỆNTHICHUYÊN:PHÂNHÌNHHỌC ĐỖTRUNGTHÀNH −GIÁOVIÊNTHCS Trang4 R 2 3R Hay: NQ const. NQ 3 2 = Û = = c)Dễ thấy:ABQPlàhình thangvì AB//NQ. Tacó: · 1 ABQ 2 = sđ ¼ » ( ) 1 MB AB 2 + = sđ ¼ · · · 1 1 AM AOM AO'M APN 2 2 = = = Mà: · · APN PAB(soletrong) = Þ · · ABQ BAP = ÞABQPlàhìnhthangcân. d)KẻAH ^ QN.Tacó:S=S ABQN = 1 2 (AB+QN).AH=(1,5R+R).AH=2,5R.AH.Dođó: Smax ÛAHmax.MàAH≤AN ÛH ºN ÛAN ^NQ ÛAN ^ABtại A Û · 0 MAB 90 = ÛMlàđiểm đối xứngcủađiểmBquađiểm O. Khi đó,ΔAMBvuôngtại A,tacó:AM 2 =MB 2 – AB 2 =4R 2 –R 2 =3R 2 ÞAM= R 3 . Mặtkhác:Do AM 3 1 R 3 AN AM MN 2 2 2 = Þ = = .Vậy:Max S ANQB = 2 5R R 3 5 3R . 4 2 8 =  Bài8: Chođườngtròn(I;R)nộitiếp DABCtiếpxúcvớicáccạnhBC,CA,ABlầnlượttạicác điểmA’,B’,C’. a)Gọicácgiaođiểmcủa(I)vớicácđoạnIA,IB,IClầnlượtlàM,N,P.Chứngminhrằngcác đườngthẳngA’M,B’N,C’Pđồngqui. b)AIkéodàicắtđườngtrònngoạitiếp DABCtạiD(khácA).chứngminhrằng: IB.IC 2R ID = . HD:a)Chứngminh:A’M,B’N,C’Plàbaphângiáccủa DA’B’C’. b)GọiHlàtrungđiểmcủaBI.Tacó: · · µ 1 DBC CAD A 2 = = · µ µ 1 DIB (A B) 2 = + .Mặtkhác: · µ · µ µ 1 1 DBI B DBC (B A) 2 2 = + = + Suyra: · · DBI DIB = Þ DDBIcântạiD ÞDHlàphângiác µ D Þ · µ µ · 1 1 HDI D C ACI 2 2 = = = Þ DHDI DA’CI.Suyra: ID IH 2IH IB IC IA' 2IA' 2IA' = = = ÞIB.IC=ID.2IA’=ID.2R Þ IB.IC 2R ID =  Bài9: Cho DABCvuôngởA(AC>AB)hạAH ^BCtạiH.Đườngtròn(H,HA)cắtcácđường thẳngAB,AClầnlượttạiPvàQ(P,Q≠A). a)ChứngminhP,H,QthẳnghàngvàtứgiácBPCQnộitiếp b)GọiMlàtrungđiểmcủacạnhBC.Chứngminh:AM ^ PQ HD:a) · 0 PAQ 90 = ,PQlàđườngkính(A,HA) ÞBađiểmP,H,Qthẳnghàng. ∆AHQcântạiH: µ µ 1 A Q = mà µ µ 1 C A = (Cùngphụvới · CAH ) Nên: µ µ C Q = ÞBPCQnộitiếp. b) DMABcân Þ µ · 2 B BAM = = µ µ 1 Q H + , $ µ µ 1 2 P C H = + . Mà µ µ µ µ 1 2 C Q,H H = = Þ µ $ · 2 1 B P BAM = = Dođó: $ µ · µ 0 1 3 3 P A MAB A 90 + = + = Þ · 0 AEP 90 = Vậy:PQ ^AMtạiE. 2 1 1 3 2 2 1 E M P Q H A B C M H N P A' C' B' I D A B C LUYỆNTHICHUYÊN:PHÂNHÌNHHỌC ĐỖTRUNGTHÀNH −GIÁOVIÊNTHCS Trang5  Bài10: ChonửađườngtròntâmO,đườngkínhBCvàmộtđiểmAtrênnửađườngtròn(AkhácB vàC).HạAHvuônggócvớiBC(HthuộcBC).TrênnửamặtphẳngcóbờBCchứađiểmAdựng haiđườngtròn đườngkínhHBvàHC,chúnglầnlượtcắtABvàACtạiEvàF. a)ChứngminhAE.AB=AF.AC. b)Chứngminh EFlàtiếptuyếnchungcủahai đườngtròn đườngkínhHBvàHC c)GọiIvàKlầnlượtlàhaiđiểmđốixứngvớiHquaABvàAC.ChứngminhbađiểmI,A,K thẳnghàng. d)ĐườngthẳngIKcắttiếptuyếnkẻtừBcủanửađườngtròn(O)tạiM.ChứngminhMC,AH, EFđồngqui. HD:a) DBEHcótrungtuyến O’Eứngvới cạnh BHbằng 1 BH 2 nên DBEHvuôngtại E.Suyra: HE ^ AB. Tươngtự:HF ^ AC. ÁpdụnghệthứclượngvớihaitamgiácvuôngAHBvàAHC, tacó: AH 2 =AE.AB,AH 2 =AF.AC.Suyra:AE.AB=AF.AC. b)TứgiácAFEHlàhìnhchữnhậtvìcóbagócvuông. GọiDlàgiaođiểmcủaAEvàEF,tacó:DA=DH=DE=DF. DO 1 ED= DO 1 HD(c.c.c). Suyra: · · 0 1 1 O ED O HD 90 = = . Dođó:EF ^ O’EtạiEnên:EFlàtiếptuyếncủađườngtròn(O 1 ). Tươngtự:EFlàtiếptuyến(O 2 ) ÞEFlàtiếptuyếnchung c)Theotínhchấtđốixứngtacó: µ µ µ µ 1 2 3 4 A A ,A A = = Þ · · µ µ · 0 1 2 IAH HAK 2(A A ) 2.BAC 180 + = + = = ÞBađiểmI,A,Kthẳnghàng. d)SB//AH Þ · µ 2 SBA A = (Sole)= µ 1 A Þ DMBAcântạiA ÞMA=MB Mặtkhác: · 0 MBA S 90 + = $ mà µ µ 1 5 A A = và · µ 1 MBA A = Þ µ 5 S A = $ Þ DMABcântạiA ÞMA=MS Suyra:MA=MS.GiảsửMCcắtAHtạiD’.TheoĐLTalét: AD ' CD ' HD ' MS CM MB = = màMS=MB nên:AD’=D’H ÞD’H=D’Amặtkhác:DH=DA ÞD≡D’. Vậy:AH,EF,MCđồngquitạitạiD.  Bài11: Cho DABCvuôngởA(AC> AB)đườngcaoAH.Đườngtròn(H;HA)cắt cácđường thẳngAB,AClầnlượttạiPvàQ(P,QkhácA). a)Chứngminh:P,H,Qthẳnghàng.TứgiácBPCQnộitiếp b)GọiMlàtrungđiểmcủacạnhBC.Chứngminh:AM ^ PQ. HD:a)PQlàđườngkính đườngtròntâmAbánkínhHA. ÞBađiểmP,H,Qthẳnghàng. Tacó: · · HQA HAQ = (DAHQcân) Lạicó: · · · 0 ACB HAQ( 90 CAH) = = - Þ · · ACB AQB = ÞBPCQnộitiếp. b) · · APQ AHP = (DAHPcân), · · CAM ACM = mà · · ACM AQP = Suyra: · · · · 0 APQ CAM APQ AQP 90 + = + = Þ · 0 AEH 90 = .Vậy:AM ^ PQ.  Bài12: ChoAlàmộtđiểmbấtkìtrênnửađườngtròn đườngkínhBC(A≠B,C).HạAH ^ BCtại H.GọiI,Klầnlượtlàtâmcủađườngtrònnộitiếp DAHBvà DAHC.ĐườngthẳngIKcắtcáccạnh AB,AClầnlượttạiM,N.Chứngminh: 5 4 3 2 1 O 2 O 1 S D F M K E I H B C A E M P Q H A B C LUYNTHICHUYấN:PHNHèNHHC TRUNGTHNH GIOVIấNTHCS Trang6 a) DAIH DCKHv DHIK DABC b) DMANltamgiỏccõn c)XỏcnhvtrớcaimA chuvicangtrũnngoitip DMHNtgiỏtrlnnht. HD:a)Dthy: à à 1 2 H H = (=45 0 )v à à à ã 1 1 1 1 A C C BAH 2 2 ổ ử = = = ỗ ữ ố ứ ị DAIH DCKH(g.g) Suyra: à HI CH AH AB , tgC HK AH CH AC = = = ị HI AB HK AC = Licú: ã ã 0 IHK BAC 90 = = Suyra: DHIK DABC(c.g.c) b) DHIK DABC ị à ã ã ã 0 C HKI NCH NKH 180 = ị + = ịNCHKnitip.Doú: ã ã 0 ANM KHC 45 = = . Vy: DAMNvuụngcõntiA. c) DAKH= DAKN(g.c.g) ịAN=AH=AM ịAltõmngtrũnngoitip DHMN. Doú:C HMN =2 pAH ịC HMN lnnht AHlnnhtm:AHOA Du=xyra AN=OA HO.Khi úAlimchớnhgiacana(O)vC HMN =2 pR. 2 1 1 1 1 N M K I H B C A . BCN 180 BEN 90 + = Þ = .Tươngtự: · 0 MFN 90 = Þđpcm b)Lấy điểmKtrêntiađối củatiaADsaochoAK=CN: ÞBK=CNvà · · · · · KBM KBA ABM NBC ABM = + = + · · 0 0 90 NBM 45. AA v BB. Ta cn chng minh M ẻ (O) hay ã 0 AM'B 90 = .Tacú: ã ã ã ã ã ã 0 0 0 0 AIB 135 IBA IAB 45 M'AB M'BA 90 AM'B 90 = ị + = ị + = ị = . c)Tacú: ã ã PMH QBH = (Gúccúcnht/vuụnggúc). ã. µ 0 1 3 3 P A MAB A 90 + = + = Þ · 0 AEP 90 = Vậy:PQ ^AMtạiE. 2 1 1 3 2 2 1 E M P Q H A B C M H N P A' C' B' I D A B C LUYỆN THI CHUYÊN:PHÂNHÌNHHỌC ĐỖTRUNGTHÀNH