UBND huyện Vĩnh Bảo Hải phòng trờng THCS Nguyễn bỉnh khiêm đề kiểm tra học sinh giỏi năm học 2010- 2011 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(2 điểm). a, Phân tích đa thức thành nhân tử : x 4 + 2011x 2 +2010x+ 2011. b, Cho đa thức f(x)= ax 3 + bx 2 + cx+ d. Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lợt cho các nhị thức (x-1); (x-2); (x-3) đều có số d là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị -18. Câu 2 (2 điểm). a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 12 2 68 2 3 + + xx xx . b, Rút gọn : 2 1 2 1 2 1 1 1 1 xy x yz y zx z xy x y yz y z zx z x + + + + + + + + + + + + + + + + + . Bi 3(2 điểm). a, Tỡm tt c cỏc s chớnh phng gm 4 ch s bit rng khi ta thờm 1 n v vo ch s hng nghỡn , thờm 3 n v vo ch s hng trm, thờm 5 n v vo ch s hng chc, thờm 3 n v vo ch s hng n v, ta vn c mt s chớnh phng. b, Chứng minh rằng với mọi n N thì n 5 và n luôn có chũ số tận cùng giống nhau. Bi 4 (2,5 im). Cho tam giác cân ABC đỉnh A, O là trung điểm của đờng cao AH. Đờng thẳng BO gặp AC ở E, đờng thẳng CO gặp AB ở F. Biết diện tích tứ giác AEOF là S. a, Tính diện tích của tam giác ABC theo S. b, Đờng thẳng song song với BC kẻ qua O cắt AB ở M và cắt AC ở N. Tính diện tích của hình ENMF . Bài 5(1,5 điểm). Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M, hai đờng thẳng DM và CB cắt nhau tại K, CM cắt AK tại N. Chứng minh rằng BN DK. UBND huyện Vĩnh Bảo Hải phòng trờng THCS Nguyễn bỉnh khiêm Biểu điểm kiểm tra học sinh giỏi năm học 2010- 2011 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài1 (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x 4 + 2011x 2 +2010x+ 2011 = x 4 +x 2 + 1+2010x 2 +2010x+ 2010 =[(x 2 +1) 2 -x 2 ] + 2010(x 2 +x+ 1) =(x 2 + x+1) ( x 2 -x+2011) 1 Ta có f(x) -6 chia hết cho x-1; x-2; x-3 Vì đa thức bậc 3 nên có dạng f(x)-6= m(x-1)(x-2)(x-3) m là hằng số Lại có f(-1) =-18=> -18-6=m(-2)(-3)(-4)<=> m=1 Vậy f(x)-6= (x-2)(x-3)(x-4)=> f(x)= x 3 -6x 2 +11x 1 2 a, A = 12 2 68 2 3 + + xx xx = 2 )1( 1 1 2 3 2 )1( 1)1(2)12 2 (3 + = ++ x x x xxx Đặt y = 1 1 x => A = y 2 2y + 3 = (y 1) 2 + 2 2 => min A = 2 => y = 1 1 1 1 = x => x = 2 Vậy min A = 2 khi x = 2 (1/2 điểm) (1/2 b, A= 2 1 2 1 2 1 1 1 1 xy x yz y zx z xy x y yz y z zx z x + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 1 ( 1) ( ) * 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 xy x xy x y x y x y x y xy x y xy x y x y x y + + + + + + = = + = + + + + + + + + + + + * 2 1 1 1 1 1 yz y y z yz y z y z + + = + + + + + + * 2 1 1 1 1 1 zx z z x zx z x z x + + = + + + + + + Vậy A= 3 Bài 3 Gi abcd l s phi tỡm a, b, c, d N, 090 a,d,c,b,a Với k, m N, 31<k<m<100 Ta cú: 2 kabcd = 2 m)3d)(5c)(3b)(1a( =++++ 2 kabcd = 2 m1353abcd =+ Do ú: m 2 k 2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 hoÆc m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k=56 k=4 (lo¹i) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) Cần chứng minh: n 5 – n M 10 - Chứng minh : n 5 - n M 2 n 5 – n = n(n 2 – 1)(n 2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n 2 + 1) M 2 ( vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp) - Chứng minh: n 5 – n M 5 n 5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n 2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5 - Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n 5 – n M 2.5 tức là n 5 – n M 10 Suy ra n 5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. Bµi 4 Bµi 5 (1,5 ®iÓm). a, KÎ HD//BO Ta thÊy OE,HD lµ ®êng trung b×nh cña c¸c tam gi¸c AHD, CBE Suy ra AE=ED=DC Tõ ®ã suy ra AE/AC=1/3 nªn S AOE =1/3 S AOC =1/3 S COH . Do ®ã S AOE =1/6 S AHC => S ABC =6S b, EN=1/2 AE=> S OEN =1/2S OAE ; S OEK =1/3 S OEA => S ONEK =( 1 1 5 ( ) 2 3 6 OEA OEA S S+ = S MNEF =2S ONEK = 5 6 (S OEA +S OEA )= 5 6 S Trªn tia ®èi tia AB lÊy ®iÓm E sao cho AE= BK. CE c¾t KA kÐo dµi t¹i H, Nèi CH, DE, EK Ta cã ∆ BCE= ∆ CDK=> CE ⊥ DK (1) ABCD lµ h×nh vu«ng => CK ⊥ EB (2) Ta cã ∆ ADE= ∆ BAK=> DE ⊥ AK (3) => M lµ trùc t©m tam gi¸c CEK=> CM ⊥ EK Tõ 1 vµ 3 => H lµ trùc t©m ∆ ADE => DH ⊥ EK Tõ 2 vµ 4 => CM//DH=> NK/HK=MK/DK AB//CD=> MK/DK=BK/CK => NK/HK=BK/CK=> CE//BN kÕt hîp víi 1 cã BN ⊥ DK ⇒ ⇔ . d. Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lợt cho các nhị thức (x-1); (x-2); (x-3) đều có số d là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị -18. Câu 2 (2 điểm). a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của:. s hng n v, ta vn c mt s chớnh phng. b, Chứng minh rằng với mọi n N thì n 5 và n luôn có chũ số tận cùng giống nhau. Bi 4 (2,5 im). Cho tam giác cân ABC đỉnh A, O là trung điểm của đờng cao. f(x) -6 chia hết cho x-1; x-2; x-3 Vì đa thức bậc 3 nên có dạng f(x)-6= m(x-1)(x-2)(x-3) m là hằng số Lại có f(-1) =-18=> -18-6=m(-2)(-3)(-4)<=> m=1 Vậy f(x)-6= (x-2)(x-3)(x-4)=> f(x)=