Phòng Giáo dục và đào tạo Duy xuyấN Đề kiểm Định chất lợng học sinh khá,giỏi năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bi 1:(4 điểm) Cho biu thc: M = + + + 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x : + + 2 10 2 2 x x x a. Rỳt gn M b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất. Bi 2:(3 điểm) Cho biu thc: A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 a. Phõn tớch biu thc A thnh nhõn t. b. Chng minh: Nu a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc thỡ A < 0. Bi 3:(3 điểm) a. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: A = x 2 + 2y 2 2xy - 4y + 2014 b. Cho cỏc s x,y,z tha món ng thi: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 v x 3 + y 3 + z 3 = 1. Tớnh tng: S = x 2009 +y 2010 + z 2011 Bài 4:(3 điểm) a. Giải phơng trình: 209 1 2 ++ xx + 3011 1 2 ++ xx + 4213 1 2 ++ xx = 18 1 b. Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). Bi 5:(7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. a. Tính tổng: HD HE HF AD BE CF + + b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF. d. Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN. Chứng minh đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. Hết Họ và tên thi sinh Số báo danh Phòng Giáo dục và đào tạo DUY XUYÊN Hớng dẫn chấm môn toán 8 Bài Nội dung Điểm 1 a + + + 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x = + + + 2 1 )2(3 6 )2)(2( 2 xxxxx x = 2( 2) ( 2) ( 2)( 2) x x x x x + + + = 6 ( 2)( 2)x x + + + 2 10 2 2 x x x = 2 ( 2)( 2) (10 ) 2 x x x x + + + = 6 2x + M = 6 2 . )2)(2( 6 + + x xx = x2 1 0,5 0,5 0,5 0,5 b + Nếu x 2 thì M 0 nên M không đạt GTLN. + Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN, Mà (2 x) là số nguyên dơng 2 x = 1 x = 1. Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1. 0,5 0,5 0,5 0,5 2 a A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 - 2bc)( b 2 + c 2 - a 2 + 2bc) = 2 2 ( )b c a 2 2 ( )b c a + = (b + c a)(b + c + a)(b c a)(b c + a) 0,5 0,5 0,5 b Ta cú: (b+c a ) >0 ( BT trong tam giỏc) Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b c a ) <0 ; (b + c a ) >0 Vy A< 0 0,5 0,5 0,5 3 a A = x 2 - 2xy + y 2 +y 2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010 Do (x-y) 2 0 ; (y - 2) 2 0 Nờn:(x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010 2010 Du ''='' xảy ra x y = 0 v y 2 = 0 x = y = 2. Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2 0,5 0,5 0,5 b Ta cú: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) kt hp cỏc iu kin ó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 Mt trong cỏc tha s ca tớch (x + y)(y + z)(z + x) phi bng 0 Gi s (x + y) = 0, kt hp vi /k: x + y + z = 1 z = 1, lại kt hp vi /k: x 2 + y 2 + z 2 = 1 x = y = 0. Vy trong 3 s x,y,z phi cú 2 s bng 0 v 1 s bng 1, Nờn tng S luụn cú giỏ tr bng 1. 0,5 0,5 0,5 4 a Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: { } 4; 5; 6; 7x ) 1 1 1 ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)x x x x x x + + + + + + + + = 1 18 ( 1 1 4 5x x + + ) + ( 1 1 5 6x x + + ) + ( 1 1 6 7x x + + ) = 1 18 1 1 4 7x x + + = 1 18 (x + 4)(x +7) = 54 (x + 13)(x 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phơng trình là: S = { } 13;2 0,5 0,5 0,5 0,5 b + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chứng minh (x + 1) và (x 2 + 1) nguyên tố cùng nhau ! Vì nếu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ) 2 1 1 x d x d + + M M 2 2 1 1 x x d x d x d + + + M M M 1 1 x d x d + M M 2 dM mà d lẻ nên d = 1. + Nên muốn (x + 1)(x 2 + 1) là số chính phơng Thì (x+1) và (x 2 + 1) đều phải là số chính phơng Đặt: 2 2 2 1 1 x k x t + = + = (k + x)(k x) = 1 1 0 k x = = hoặc 1 0 k x = = + Với x = 0 thì (2y + 1) 2 = 1 y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) = { } (0;0),(0; 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 5 O K I N M E H F A D B C 0,5 a Trớc hết chứng minh: HD AD = ( ) ( ) S HBC S ABC 0,5 0,5 Tơng tự có: ( ) ( ) HE S HCA BE S ABC = ; ( ) ( ) HF S HAB CF S ABC = Nên HD HE HF AD BE CF + + = ( ) ( ) ( ) ( ) S HBC S HCA S HAB S ABC + + HD HE HF AD BE CF + + = 1 0,5 0,5 b Trớc hêt chứng minh BDH : BEC BH.BE = BD.BC Và CDH : CFB CH.CF = CD.CB. BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 c Trớc hết chứng minh: AEF : ABC ã ã AEF ABC= Và CDE : CAB ã ã CED CBA= ã ã AEF CED= mà EB AC nên EB là phân giác của góc DEF. Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE. Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm) 0,5 0,5 0,5 d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) ã ã OHM OCN= .(1) Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên: ã ã OHC OCH= .(2) Từ (1) và (2) ta có: ã ã OHC OHB= HO là phân giác của góc BHC Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc BHC nên O là điểm cố định. Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O. 0,25 0,25 O,25 0,25 Chú ý: + Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20. + Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. + Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm. + Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung của bài đó. . không đạt GTLN. + Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN, Mà (2 x) là số nguyên dơng 2 x = 1 x = 1. Vậy để M đạt GTLN thì. thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ) 2 1 1 x d x d + + M M 2 2 1 1 x x d x d x d + + + M M M 1 1 x d x d + M M 2 dM mà d lẻ nên d = 1. + Nên muốn (x + 1)(x 2 + 1) là số chính phơng. 209 1 2 ++ xx + 3011 1 2 ++ xx + 4213 1 2 ++ xx = 18 1 b. Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). Bi 5:(7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao