Đề thi HSG Trờng Năm học 2010-2011 Môn Toán 8 thời gian 90 phút. Bi 1: Cho biu thc: A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 a. Phõn tớch biu thc A thnh nhõn t. b. Chng minh: Nu a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc thỡ A < 0. Bi 2: a. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau : A = x 2 2xy + 2y 2 - 4y + 2015 b. Cho 4a 2 + b 2 = 5ab và 2a> b > 0 Tính: 22 4 ba ab P = Bi 3:Cho M = + + + 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x : + + 2 10 2 2 x x x a. Tìm ĐKXĐ của M b. Rỳt gn M c.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất. Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ M vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tứ giác AEMF là hình gì? vì sao? b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân? c) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi? Vì sao? d) Tính : ANB + ACB = ? Hdc đề thi HSG Trờng Môn Toán 8 Bi 1: (5) a). A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 - 2bc)( b 2 + c 2 - a 2 + 2bc) = 2 2 ( )b c a 2 2 ( )b c a + = (b + c a)(b + c + a)(b c a)(b c + a) (3) b). Ta cú: (b+c a ) >0 ( BT trong tam giỏc) Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b c a ) <0 ; (b + c a ) >0 Vy A< 0 (2) Bi 2: (4) a). A = x 2 - 2xy + y 2 +y 2 - 4y + 4 + 2011 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2011 2011 Du ''='' xảy ra x y = 0 v y 2 = 0 x = y = 2. Vy GTNN ca A l 2011 tại x = y =2 (3) b). Từ 4a 2 + b 2 = 5ab ta có (a-b)(4a-b) = 0 vì 2a> b > 0 => 4a>b>0 => a=b => P = 3 1 . (1đ) Bi 3: (4) a) KX: x 0, x 2; x -2 (1) b) M = + + + 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x : + + 2 10 2 2 x x x = 6 2 . )2)(2( 6 + + x xx = x2 1 (2) c). Nếu x 2 thì M 0 nên M không đạt GTLN. Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN, Mà (2 x) là số nguyên dơng 2 x = 1 x = 1. Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1. (1đ) Bài 4 : (7đ) a) Tứ giác AEMF là hình bình hành vì có các cạnh đối song song. (2đ) b) Gọi EF cắt MA và MN tại O và K=> OK//AN (đtb ) Mặt khác AE=NF (cùng bằng MF) => AFEN là hình thang cân. (2đ) c) Tứ giác AEMF đã là hình bình hành, nó sẽ trở thành hình thoi khi có AM là phân giác góc BAC=> khi đó M là giao phân giác góc BAC với cạnh BC (HS có thể tìm ra M là trung điểm BC vì ABC cân) (2đ) d) Ta có EN=EB (cùng bằng EM) => ENB = EBN Mà ENA+ C = NAC+ ABC (T/c tam giác cân và hình thang cân) O B C A N M F E K Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên => tứ giác ANBC tổng hai góc đối này bằng tổng hai góc đối kia nên : ANB + ACB = 180 0 (1đ) . không đạt GTLN. Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN, Mà (2 x) là số nguyên dơng 2 x = 1 x = 1. Vậy để M đạt GTLN thì