SKKN-Áp dung Viét

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán A. Đặt vấn đề. 1. lý do chọn đề tài. Trong chơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh đợc làm quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phơng trình bậc hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán. Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trờng T.H.C.S tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Đứng trớc vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: Một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh. 2. đối tợng và phạm vi nghiên cứu. Trong đề tài này, tôi chỉ đa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải một số bài toán thờng gặp ở cấp T.H.C.S. Do đó chỉ đề cập đến một số loại bài toán đó là: a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc hai một ẩn. c) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh. d) áp dụng định lý Viét giải phơng trình và hệ phơng trình. e) Định lý Viét với bài toán cực trị. B. nội dung. -1- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Định lý Viét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì: * Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt) a) Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là: x 1 = 1 còn nghiệm kia là: x 2 = b) Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là: x 1 = - 1 còn nghiệm kia là: x 2 = * Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện: thì u, v là hai nghiệm của phơng trình: x 2 Sx + P = 0. điều kiện để có hai số u, v là: S 2 4P 0. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải một số dạng toán. I. ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả m n các yêu cầu đặt ra.ã 1. Các ví dụ: -2- = =+ a c xx a b xx 21 21 . a c a c = =+ Pvu Svu . Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình mx 2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện 1 2 2 2 1 =+ xx Bài giải: Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép): m 0 ; ' 0 ' = (m - 2) 2 - m(m - 3) = - m + 4 ' 0 m 4. Với 0 m 4, theo định lý Viét, các nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình có liên hệ: x 1 + x 2 = m m )2(2 ; x 1 .x 2 = m m 3 Do đó: 1 = 2 2 2 1 xx + = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 2 2 )2(4 m m - m m )3(2 m 2 = 4m 2 - 16m + 16 - 2m 2 + 6m m 2 - 10m + 16 = 0 m = 2 hoặc m = 8 Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 m 4 Vậy với m = 2 thì 2 2 2 1 xx + = 1 Ví dụ 2: Cho phơng trình x 2 - 2(m - 2)x + (m 2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 phân biệt thoả mãn 5 11 21 21 xx xx + =+ Bài giải: Ta phải có: + =+ >+= (3) (2) (1) 5 xx x 1 x 1 0.xx 03)2m(m2))(m( 21 21 21 22' (1) ' = m 2 - 4m + 4 - m 2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m < 6 7 (2) m 2 + 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3 (3) 0).5)(( 5. 2121 21 21 21 =+ + = + xxxx xx xx xx -3- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Trờng hợp: x 1 + x 2 = 0 x 1 = - x 2 m = 2 không thoả mãn điều kiện (1) Trờng hợp: 5 - x 1 .x 2 = 0 x 1 .x 2 = 5 Cho ta: m 2 + 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0 = = K)Đ mãn(thoả 4m (loại) 2m Vậy với m = - 4 phơng trình đã cho có 2 nghiệm x 1 , x 2 phân biệt thoả mãn 5 x x 1 x 1 21 21 x+ =+ Ví dụ 3: Cho phơng trình: mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình thoả mãn x 1 + 4x 2 = 3 b) Tìm một hệ thức giữa x 1 ; x 2 mà không phụ thuộc vào m Bài giải: a) Ta phải có: += =+ = + =+ 0)4()1((' 0 34 4 . )1(2 2 21 21 21 mmm m xx m m xx m m xx Từ (1) và (3) tính đợc: m m x m m x 3 85 ; 3 2 12 + = = Thay vào (2) đợc m m m mm 4 9 )85)(2( 2 = + 2m 2 - 17m + 8=0 Giải phơng trình 2m 2 - 17m + 8 = 0 đợc m = 8; m = 2 1 thoả mãn điều kiện (4). Vậy với m = 8 hoặc m = thì các nghiệm của phơng trình thoả mãn x 1 + 4x 2 = 3. b) Theo hệ thức Viét: x 1 + x 2 = 2 + m 2 -4- (1) (2) (3) (4) 2 1 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 x 1 + x 2 = 1 - m 4 (*) Thay m 2 = x 1 + x 2 - 2 vào (*) đợc x 1 x 2 = 1 - 2(x 1 + x 2 - 2) Vậy x 1 .x 2 = 5 - 2(x 1 + x 2 ) Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x 2 + 2x + m = 0 (1) x 2 + mx + 2 = 0 (2) Bài giải: Gọi x 0 là nghiệm chung nào đó của 2 phơng trình khi đó ta có 02 0 2 0 =++ mxx 02 0 2 0 =++ mxx Trừ theo từng vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x 0 = m - 2 Nếu m = 2 cả hai phơng trình là x 2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm Nếu m 2 thì x 0 = 1 từ đó m = - 3 Với m = - 3: (1) là x 2 + 2x 3 = 0; có nghiệm x 1 = 1 và x 2 = - 3 Và (2) là x 2 - 3x + 2 = 0; có nghiệp x 3 = 1 và x 4 = 2 Rõ ràng với m = - 3 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1. 2. Bài tập: Bài 1: Cho phơng trình x 2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x 1 = 2x 2 . Bài 2: Cho phơng trình mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình thoả mãn: x 1 + 4x 2 = 3. -5- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 d) Tìm một hệ thức giữa x 1 , x 2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 3: a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x 2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x 2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của ph- ơng trình (2) và ngợc lại. II. ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập ph- ơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc hai một ẩn số: 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho x 1 = 2 13 + ; x 2 = 31 1 + Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: x 1 ; x 2 Ta có: x 1 = 2 13 + ; x 2 = 31 1 + = ( )( ) 2 1331 = + 3131 Nên x 1 .x 2 = 2 13 + . 31 1 + = 2 1 x 1 + x 2 = 2 13 + + 31 1 + = 3 Vậy phơng trình bậc hai có 2 nghiệm: x 1 ; x 2 là x 2 - 3 x+ 2 1 = 0 Hay 2x 2 - 2 3 x + 1 = 0 Ví dụ 2: Cho phơng trình: x 2 + 5x - 1 = 0 (1) Không giải phơng trình (1), hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phơng trình (1) Cách giải: Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phơng trình đã cho theo hệ thức viét, ta có: x 1 + x 2 = -5; x 1 .x 2 = - 1 -6- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Gọi y 1 ; y 2 là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có: y 1 + y 2 = 44 21 xx + y 1 y 2 = 44 21 xx . Ta có: 44 21 xx + = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 - 2x 1 2 .x 2 2 = 729 2 = 727 44 21 xx . = (x 1 .x 2 ) 4 = (- 1) 4 = 1 Vậy phơng trình cần lập là: y 2 - 727y + 1 = 0 Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình: x 2 + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình thoả mãn hệ: = = 35xx 5xx 3 2 3 1 21 Các giải: Điều kiện = p 2 - 4q 0 (*) ta có: x 1 + x 2 = -p; x 1 .x 2 = q. Từ điều kiện: = = 35xx 5xx 3 2 3 1 1 2 ( ) ( ) ( ) =++ = 35xx xx 21 21 2 221 2 1 2 25 xxxx ( ) ( ) ( ) =++ =+ 35xx 5x4xxx 21 2121 2121 2 2 25 2 xxxx = = 7qp 25p 2 1 q 4 Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6 Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*) 2) Bài tập: Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là 3 + 2 và 23 1 + Bài 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện: Có tích hai nghiệm: x 1 .x 2 = 4 và 1 1 1 x x + 1 2 2 x x = 4 7 2 2 k k Bài 3: Xác định có số m, n của phơng trình: x 2 + mx + n = 0 -7- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Sao cho các nghiệm của phơng trình làm m và n. Iii. ứng dụng của định lý viét trong giải toán chứng minh. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phơng trình: x 2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phơng trình x 2 + qx + 2 = 0 Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6. Hớng dẫn học sinh giải. Đây không phải là một bài toán chứng minh đẳng thức thông thờng, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của 2 phơng trình và hệ số của các phơng trình đó. Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý Viét vào trong quá trình biến đổi vế của đẳng thức, để suy ra hai vế bằng nhau. Cách giải: a,b là nghiệm của phơng trình: x 2 + px + 1 = 0 b,c là nghiệm của phơng trình: x 2 + qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có: = =+ 1a.b p -ba và = =+ 2b.c q -cb Do đó: (b a)(b c) = b 2 + ac - 3 (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b 2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b 2 + ac +3 6 = b 2 + ac - 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm) Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = - 2 (1); a 2 + b 2 + c 2 = 2 (2) Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn 0; 3 4 khi biểu diễn trên trục số: Cách giải: Bình phơng hai vế của (1) đợc: a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 4 -8- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1 bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a 2 + 2a + 1 Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phơng trình: X 2 + (a + 2)X + (a 2 + 2a + 1) = 0 (*) Để (*) có nghiệm thì ta phải có: = (a+2) 2 - 4(a 2 +2a+1) 0 a(3a + 4) 0 - 3 4 a 0 Chứng minh tơng tự ta đợc: - 3 4 b 0; - 3 4 c 0 2. Bài tập: Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x 2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y 2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q) 2 Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = () 200 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9. iii. áp dụng định lý viét giải phơng trình và hệ phơng trình. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: + 1 5 x x x + + 1 5 x x x =6 Hớng dẫn: ĐKXĐ: {xR x - 1} Đặt: + += + = 1 5 1 5 . x x x x x xu = =+ ?. ? u u Tính: u, v, rồi từ đó tính x. Bài giải: ĐKXĐ: {x R x - 1} -9- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Đặt: + += + = 1 5 1 5 . x x x x x xu (*) + + + = + ++ + =+ 1 5 . 1 5 1 5 1 5 . x x x x x xu x x x x x xu = =+ 6. 5 u u u, v là nghiệm của phơng trình: x 2 - 5x + 6 = 0 = 25 24 = 1 x 1 = 2 15 + = 3 x 2 = 2 15 = 2 u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3 Nếu: = = 2 3 u thì (*) trở thành: x 2 - 2x + 3 = 0 ' = 1 3 = - 2 < 0 Phơng trình vô nghiệm: Nếu: = = 3 2 u thì (*) trở thành: x 2 - 3x + 2 = 0 Suy ra: x 1 = 1; x 2 = 2 Vậy phơng trình có hai nghiệm x 1 = 1; x 2 = 2. Ví dụ 2: Giải các hệ phơng trình: a) = =+ 31xy 11yx b) 2 2 + + = + = x y yx 7 xy x y 12 Bài giải: a) x,y là nghiệm của phơng trình: x 2 - 11x +31 = 0 =(-11) 2 - 4.1.31 = 121 124 = - 3 < 0 Phơng trình vô nghiệm Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm. b) Đặt x + y = S và xy = P Ta có hệ: = =+ 12S.P 7PS Khi đó S và P là hai nghiệm của phơng trình: t 2 7t + 12 = 0. -10- [...]... a) 2 2 x + y = 4 b) x+y =3 4 4 x + y = 17 V Định lý viét với bài toán cực trị: 1 Các ví dụ: Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 - (2m - 1)x + m 2 = 0 2 Tìm m để x12 + x2 có giá trị nhỏ nhất Bài giải: Xét: = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0 Nên phơng trình đã cho có hai nghiệm với mọi m Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2 2 2 x1 + x2... + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Cách giải: Để phơng trình đã cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 0 -5 m-1 (*) Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - 1 x1 x2 = m 2 + 4m + 3 2 m 2 + 8m + 7 Do đó: A = 2 Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7) 0 Suy ra: A = 9 m 2 + 8m 7 9 (m + 4) 2 = ... (m là tham số) 2 Tìm m sao cho 2 nghiệm x 1; x2 của phơng trình thoả mãn 10x 1x2 + x1 + x 2 đạt 2 giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó -13- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 C Kết luận ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi ngời học phải có tính sáng tạo, có t duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, ngời giáo viên... của các em Cần thờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau Nghiên cứu đề tài ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không . lý Viét trong giải toán chứng minh. d) áp dụng định lý Viét giải phơng trình và hệ phơng trình. e) Định lý Viét với bài toán cực trị. B. nội dung. -1- Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 Định lý Viét: . giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Đứng trớc. nghiên cứu đề tài: Một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học