249775

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH VĂN CHÍNH ĐÁNH GIÁ PHÉP BIẾN HÌNH Á BẢO GIÁC THUẬN VÀ NGƯC MIỀN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN BỊ CẮT NHỮNG ĐOẠN THẲNG THEO BÁN KÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. VÕ ĐĂNG THẢO ĐH. Khoa học Tự nhiên TP. HCM TP. HỒ CHÍ MINH – 2009 2 LỜI CẢM ƠN Tôi tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS. TS. Võ Đăng Thảo – Người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi một cách không mệt mỏi trong quá trình làm luận văn này. Huỳnh Văn Chính 3 MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU VÀ KÍ HIỆU . 4 1.1 Tổng quan 4 1.2 Đối tượng và mục đích nghiên cứu 5 1.3 Các kí hiệu 8 1.4 Các hàm phụ . 12 2 CÔNG CỤ 16 2.1 Đònh nghóa phép biến hình bảo giác . 16 2.2 Bất đẳng thức Carleman và các hệ quả 16 2.3 Đònh nghóa phép biến hình K – á bảo giác 20 2.4 Mở rộng bất đẳng thức Carleman . 21 2.5 Mở rộng bất đẳng thức ɺɺ Grotzsch . 26 3 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP H . 31 3.1 Đánh giá các diện tích bởi lớp H . 31 3.2 Đánh giá ( ) ( ) ( ) m R, h , M R, h , h z bởi lớp H . 35 3.3 Đánh giá ( ) ( ) ɶ ɶ c h , d h bởi lớp H 38 3.4 Cận dưới đúng cho ∼ c 39 3.4.1 Đặt vấn đề .39 3.4.2 Giải quyết vấn đề 39 4 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP G . 44 5 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP F . 49 5.1 Đánh giá lớp hàm F . 49 5.2 Mối liên hệ giữa các miền chuẩn . 52 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 4 Chương 1 MỞ ĐẦU VÀ KÍ HIỆU 1.1 Tổng quan Lý thuyết hình học hàm một biến phức là một bộ phận quan trọng của giải tích phức, đã và đang phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong các ngành khoa học kỹ thuật như: hệ phương trình eliptic, thủy động học, khí động học, nước ngầm, điện từ trường, nổ đònh hướng, đàn hồi, … Năm 1928, nhà toán học người Đức Grotzsch ɺɺ (xem [7], [8]) khởi xướng phép biến hình K – á bảo giác (viết tắt PBHKABG, xem đònh nghóa ở mục 2.3) như một sự mở rộng tự nhiên phép biến hình bảo giác (viết tắt PBHBG, xem đònh nghóa ở mục 2.1), xuất phát từ chỗ muốn khắc phục sự không tồn tại PBHBG hình vuông lên hình chữ nhật với các cạnh không bằng nhau, sao cho các đỉnh tương ứng với nhau, về sau nhằm giải quyết mô hình ứng dụng hàm phức có tính thực tế hơn. Việc đánh giá các đại lượng hình học qua các lớp PBHKABG giữ vai trò rất quan trọng trong lý thuyết cũng như thực hành. Người ta đã xây dựng được nhiều đánh giá tối ưu cho các PBHBG những miền đơn liên. Đối với các PBHBG và nhất là PBHKABG những miền đa liên, 5 ngoài các kết quả của Grotzsch ɺɺ (xem [5, chương V], [9, chương VII]) và Võ Đăng Thảo (xem [10] - [15]), các đánh giá hiện còn ít và sơ lược. Luận văn này là một đóng góp nhỏ vào khiếm khuyết đó. 1.2 Đối tượng và mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi xét miền chuẩn E là miền 1z > với p ( ) 1 p≤ < ∞ nhát cắt ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 arg 1 , 1 1,2, ., . j L z z j c z d j p p π       = = − < ≤ ≤ < ∞ =         (1.1) Gọi H là lớp các PBHKABG ( ) ,w h z z E= ∈ có tính đối xứng quay cấp ( ) 1,2, .p p = , tức ( ) 2 2 , , i i p p h e z e h z z E π π      = ∀ ∈         (1.2) trong đó trường hợp 1p = là hiển nhiên và mỗi h H∈ biến miền E lên B là miền nằm trong 1w > sao cho ( ) h ∞ = ∞ , 1z = thành đường cong kín  1 C ngoại tiếp đường tròn 1w = , nhát cắt j L thành  j σ ( ) 1,2, .,j p= . Do (1.1), (1.2) và tương ứng biên trong PBHKABG miền B cũng giống như miền E có tính đối xứng quay cấp p , nghóa là miền B trùng chính nó bởi phép quay  2 , i p w e w w B π = ∈ . 6 Gọi A là miền nằm trong 1 ξ > , chứa ξ = ∞ , giới hạn bởi đường cong kín 1 C ngoại tiếp đường tròn 1 ξ = và p thành phần biên j σ ( ) 1,2, .,j p= sao cho miền A trùng chính nó bởi phép quay 2 , i p e A π ξ ξ ξ = ∈ ɶ . Gọi G là lớp các PBHKABG ( ) 1 , ,z g g h h H ξ − = = ∈ miền A lên miền E . Do (1.2), ta có ( ) 2 2 , , i i p p e g g e A g G π π ξ ξ ξ       = ∀ ∈ ∀ ∈         , (1.3) tức là hàm g G∈ cũng có tính đối xứng quay cấp p . Mỗi miền A như trên có thể biến bảo giác đơn diệp (một – một) bởi một hàm ( ) z g ξ = lên miền chuẩn 1 z > với p nhát cắt nằm trên các tia xuất phát từ 0z = sao cho ( ) g ∞ = ∞ và 1 C tương ứng với 1 z = . Các hàm ( ) , z g A ξ ξ = ∈ vừa nêu chỉ sai khác nhau một phép quay (xem [9, tr.335]). Tương tự trường hợp [10, tr.109] có thể chứng minh ( ) g A phải trùng với chính nó bởi phép quay một góc 2 p π , hàm g và 1 g − đều có tính đối xứng quay cấp p . Như vậy với mỗi miền A đã nêu tồn tại duy nhất một hàm 0 g đã nêu và một miền chuẩn E đã nêu sao cho ( ) 0 g A E= trong đó j σ tương ứng với j L ( ) 1,2, ., j p = . Gọi F là lớp các PBHKABG ( ) w f ξ = miền A lên miền B sao cho ( ) f ∞ = ∞ , các thành phần biên 1 C , j σ của A tương ứng với thành 7 0 0 0 phần biên  1 C ,  j σ ( ) 1,2, ., j p = của B trong đó  1 C ngoại tiếp đường tròn 1 w = và ( ) 2 2 , . i i p p f e e f A π π ξ ξ ξ      = ∀ ∈         (1.4) Như vậy, mỗi f F∈ có thể xem như hợp của PBHBG đơn diệp g miền A lên miền chuẩn E , tức g G∈ với 1K = , với PBHKABG h H∈ miền E lên miền B , tức là f h g=  . A ( ) z g ξ = E ( ) w h z= B 1 1 0 c 0 d 1 ξ z w ( ) w f ξ = Hình 1.1: Miền đa liên A, E, B với trường hợp p = 2. Mục đích chính của luận văn này là đánh giá các đại lượng hình học của các miền ảnh bởi , g G h H ∈ ∈ và f F ∈ từ các đại lượng của các miền ban đầu. Nội dung chính của luận văn bao gồm: 8 – Chương 1. Mở đầu và kí hiệu: Tổng quan, đặt vấn đề. Ở đây cũng đưa ra các kí hiệu và các hàm phụ được sử dụng trong luận văn. – Chương 2. Công cụ: Trình bày một số kiến thức cơ bản về PBHBG và PBHKABG. Ở đây, chúng tôi cũng nhắc lại một số bất đẳng thức cơ bản được sử dụng nhiều lần để đánh giá các đại lượng liên quan đến miền ảnh. – Chương 3: Các đánh giá cho lớp H các PBHKABG miền chuẩn E lên miền B . – Chương 4: Các đánh giá cho lớp G các PBHKABG miền A lên miền chuẩn E . – Chương 5: Các đánh giá cho lớp F các PBHKABG miền A lên miền B . Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo của luận văn. 1.3 Các kí hiệu Với miền A • 1 s : diện tích ngoài (1) của tập đóng do biên 1 C bao bọc. • j s s = : diện tích ngoài của tập đóng giới hạn bởi thành phần biên j σ ( ) 1,2, .,j p= (1) Diện tích ngoài của tập đóng bò chặn D là cận dưới đúng của diện tích các đa giác chứa D. 9 • { } min j j c c ξ ξ σ = = ∈ ( ) 1,2, .,j p= • { } max j j d d ξ ξ σ = = ∈ ( ) 1,2, .,j p= Với miền B •   ( ) 1 1 s s h= : diện tích ngoài của tập đóng do biên  1 C của ( ) B h E= , h H∈ . •  ( ) j s s h= ɶ : diện tích ngoài của tập đóng giới hạn bởi thành phần biên  j σ ( ) 1,2, .,j p= của ( ) B h E= , h H∈ . • ( )  ( )  { } min j j c c h c h w w σ = = = ∈ ɶ ɶ ( ) 1,2, .,j p= , h H∈ . • ( )  ( )  { } max j j d d h d h w w σ = = = ∈ ɶ ɶ ( ) 1,2, .,j p= , h H∈ . Với 1 r< < +∞ , gọi ( ) { } 1 E r E z z r= ∩ < , ( ) { } 2 E r E z z r= ∩ > , ( ) r γ − là thành phần biên ngoài của ( ) 1 E r và ( ) r γ + là thành phần biên trong cùng (gần gốc tọa độ nhất) của ( ) 2 E r . Rõ ràng nếu đường tròn z r= không có điểm chung với các nhát cắt j L ( ) 1,2, .,j p= , tức 0 1 r c< < hoặc 0 d r< < +∞ thì ( ) ( ) ( ) r r r γ γ γ − + = = và đó chính là đường tròn z r= . Gọi ( ) ,r h γ − ∼ và ( ) ,r h γ + ∼ là các tập điểm của mặt phẳng w lần lượt tương ứng với ( ) r γ − và ( ) r γ + bởi h H ∈ , tức thỏa ( ) h ∞ = ∞ . Với h H ∈ , ta kí hiệu: • ( ) ( ) { } , min ,m r h w w r h γ − = ∈ ∼ • ( ) ( ) { } , max ,M r h w w r h γ + = ∈ ∼ 10 • ( ) ( ) 1 , , lim r K m r h m h r →∞ ′ ∞ = • ( ) ( ) 1 , , lim r K M r h M h r →∞ ′ ∞ = • ( ) ( ) * , , lim K r m r h m h r →∞ ∞ = • ( ) ( ) * , , lim K r M r h M h r →∞ ∞ = • ( ) , S r h − : diện tích trong (2) của miền chứa 0w = giới hạn bởi ( ) , r h γ − ∼ • ( ) ,S r h + : diện tích ngoài của của tập đóng giới hạn bởi ( ) ,r h γ + ∼ • ( ) ( ) 2 , , lim r K S r h S h r π − →∞ ′ ∞ = . Rõ ràng nếu 0 1 r c< < hoặc 0 d r< < +∞ thì ( ) ( ) , ,S r h S r h − + = ( ) ,S r h= , h H∈ , còn nếu 0 0 c r d≤ ≤ thì ( ) ( ) , ,S r h S r h ps + − = + ɶ . Thay cho các hàm h H∈ các kí hiệu tương tự như trên cũng sẽ được dùng cho các hàm g G∈ và f F∈ . Hơn nữa, ( ) 1,r∀ ∈ +∞ và h H∈ ta luôn có bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , , , .m r h S r h S r h M r h h H π π − + ≤ ≤ ≤ ∈ (1.5) Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , , .m h S h M h h H ′ ′ ′ ∞ ≤ ∞ ≤ ∞ ∈ (1.6) (2) Diện tích trong của một miền D là cận trên đúng của diện tích các đa giác nằm trong D.