ĐỀ THI THỬ SỐ 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 21 2 x y x + = + (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d song song với đường thẳng 3x – y + 14 = 0. Câu 2 (1,0 điểm). a) Chứng minh rằng 22 2 23 cos cos cos . 332 xx x ππ ⎛⎞ ⎛ ⎞ +++ += ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ b) Giải phương trình 2 2 2 log ( 3) 8log 2 1 4. xx −− −= Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 0 (sin). Ixx xdx π =− ∫ Câu 4 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2( 1) 3 (5 ) zzii += + − . Tính môđun của z. b) Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, 0 60 , BAC = cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3 SA a = . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM. Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(–2;1) và thỏa mãn điều kiện 0 90 , AIB = chân đường cao kẻ từ A đến BC là D(–1;–1), đường thẳng AC đi qua điểm M(–1;4). Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;–1), B(3;4;1) và C(4;1;–1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 5. Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình ( ) 22 2 42 3( 2) 1 3 1 . 1 xxxx xx −+ > −+ − −+ Câu 9 (1,0 điểm). Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22. Sxyz =++ Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………….…… 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm có 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 2,00 a (1,00 điểm) • TXĐ: D = \{ 2}. − • Giới hạn và tiệm cận: 22 lim 2; lim ; lim x xx yy y +− →±∞ →− →− ==−∞=+∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = –2, tiệm cận ngang y = 2. 0,25 • Sự biến thiên: 2 3 '0,\{2} (2) yx x =>∈− + ⇒ Hàm số đồng biến trên từng khoảng (–∞;–2) và (–2;+∞). 0,25 • Bảng biến thiên: • H àm s ố kh ô ng c ó c ực tr ị . 0,25 • Đồ thị: 0,25 b (1,00 điểm) Gọi 00 (; ) Mx y là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó y’(x 0 ) = 3. 0,25 Ta có phương trình 0 2 0 2 00 1 3 3( 2)1 3. (2) x x x x =− ⎡ =⇔ + =⇔ ⎢ =− + ⎣ 0,25 Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (–1;–1) và (–3;5) lần lượt là: 32, 314 yx yx =+ =+ . 0,25 Từ giả thiết ta được 32. yx =+ 0,25 2 2 1,00 a (0,5 điểm) Ta có 31 2 4 cos 2 cos 2 cos 2 22 3 3 Axx x ππ ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ =+ + + + + ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ 0,25 ( ) [ ] 31 31 3 cos 2 2cos 2 cos cos 2 cos 2 . 22 3 22 2 xx xx π π ⎡⎤ ⎛⎞ =+ + + − =+ − = ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ 0,25 b (0,5 điểm) ĐK: 1 ,3. 2 xx >≠ Với điều kiện đó, phương trình tương đương với 22 2 3 4log 3 4log (2 1) 4 log 1 21 x xx x − −− −=⇔ = − 0,25 34 2 3 2342 1. 342 21 xx x xx x xx x −= − − ⎡ ⇔=⇔−=−⇔ ⇔= ⎢ −=− + − ⎣ Phương trình có nghiệm 1. x = 0,25 3 1,00 33 2 000 0 (sin) sin sin. 33 x Ixxxdx xxdx xxdx π πππ π =− =− =− ∫∫∫ 0,25 Tính 1 0 sin . Ixxdx π = ∫ Đặt sin cos . ux dudx dv xdx v x == ⎧⎧ ⇒ ⎨⎨ ==− ⎩⎩ 0,25 1 00 0 cos cos sin . Ixx xdx x π ππ ππ ⇒=− + =+ = ∫ 0,25 3 . 3 I π π ⇒= − 0,25 4 1,0 a (0,5 điểm) Đặt ,( , ) zabiab =+ ∈ . Khi đó: 2( 1) 3 (5 ) 2( 1) 3( ) 1 5 1 5(1 ) 0. zziiabi abiia bi += + −⇔ ++= − ++⇔−+ − = 0,25 1 2. 1 a z b = ⎧ ⇔⇒= ⎨ = ⎩ 0,25 b (0,5 điểm) Gọi X là biến cố: “chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm 5 bạn sao cho 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm”. Ta có 5555 20 15 10 5 CCCC Ω= cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D. 0,25 Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A, có 555 15 10 5 CCC cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại Do vai trò các nhóm như nhau, có 555 15 10 5 4 CCC cách chia các bạn vào các nhóm A, B, C, D trong đó 5 bạn nữ thuộc một nhóm. Xác suất cần tìm là: 5 20 41 () 3876 PX C == . 0,25 5 1,00 3 Xét tam giác ABC có 0 2 tan 60 2 3 23. ABC BC AB a Sa ∆ == ⇒= 0,25 23 . 11 .3.232. 33 SABCD ABC VSASaaa ∆ == = 0,25 - Gọi N là trung điểm cạnh SA. Do SB // (CMN) nên (, ) (,( )) ( ,( )) ( ,( )). dSBCM dSB CMN dB CMN dACMN = = = - Kẻ , AE MC E MC ⊥∈ và kẻ , AH NE H NE ⊥∈ Chứng minh được () AH CMN ⊥ (,( )) . dACMN AH ⇒= 0,25 Tính 2 AMC S AE MC ∆ = trong đó: 2 113 sin .4. 3 23 . 222 13 13 AMC SAMACCAMaaa a AE MC a ∆ ⎫ === ⎪ ⇒= ⎬ ⎪ = ⎭ Tính được 23 23 23 (,( )) ( , ) . 29 29 29 aaa AH d A CMN d SB CM=⇒ =⇒ = 0,25 6 1,00 Do 0 90AIB =⇒ 0 45 ACB = hoặc 0 135 ACB = 0 45 ACD⇒=⇒ tam giác ACD vuông cân tại D nên DA = DC. Hơn nữa, IA = IC. Suy ra, DI ⊥ AC ⇒ đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và AC vuông góc ID. 0,25 Viết phương trình đường thẳng AC: 290 xy −+= . Gọi (2 9; ) Aa a AC −∈ . Do 2( , ) 210 DA d D AC== nên 0,25 22 2 1 ( 7;1) (2 8) ( 1) 2 10 6 5 0 5(1;5) aA aa aa aA =⇒ − ⎡ −++= ⇔−+=⇔ ⎢ =⇒ ⎣ Theo giả thiết bài cho ⇒ (1; 5) A . 0,25 Viết phương trình đường thẳng DB: x + 3y +4 = 0. Gọi (3 4;). Bb b −− Tam giác IAB vuông tại I nên .03(32)4(1)0 2 IA IB b b b =⇔− − + −=⇔=− (2; 2). B ⇒− Đáp số: (1; 5), (2; 2) . AB − 0,25 7 1,0 Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với (2;3;0). I 0,25 Bán kính của (S) là 3 2 AB R == . Phương trình của (S): 222 (2)(3) 3. xyz −+−+= 0,25 4 Gọi (0;0; ) MtOz ∈ . Do V MABC = 5 nên 1 [, ] 5 6 AB AC AM = 11 4 5. t ⇔+= 0,25 1(0;0;1) 11 4 15 11 4 15 13 13 11 4 15 (0;0; ). 22 tM t t t tM =⇒ ⎡ += ⎡ ⎢ ⇔+=⇔ ⇔ ⎢ ⎢ +=− =− ⇒ − ⎣ ⎣ 0,25 8 1,00 ĐK: 1. x ≥ Với điều kiện đó ( ) ( ) 222 2 22 22 2 2 82 6( 2) 2 6 1 0 1 42 3 1 1 2 5 0. 1 BPT x x x x x xx xxxx xx xx ⇔−+ − −− −> −+ ⎛⎞ ⇔−−+−−+ +−−> ⎜⎟ ⎜⎟ −+ ⎝⎠ 0,25 Xét hàm số 42 () 5 1 ft t t =+− + với 0. t ≥ Ta có 22 '( ) 1 . (1) 1 ft tt =− ++ • '( ) 0 1. ft t =⇔= • Bảng xét dấu Suy ra () (1), [0;+ ) () 0, [0;+ ). ft f t ft t ≥∈∞⇒≥∈∞ Dấu “=” xảy ra ⇔ t = 1. 0,25 Do 22 2 42 0, [0;+ ) 5 0, [0;+ ). 1 xx x xx x xx −≥ ∈ ∞⇒ + −−≥ ∈ ∞ −+ Dấu “=” xảy ra khi 2 15 1. 2 xx x + −=⇔= 0,25 Khi đó: ( ) ( ) 22 22 2 2 42 31 12 50 1 xxxx xx xx ⎛⎞ −− + − − + + −− > ⎜⎟ ⎜⎟ −+ ⎝⎠ 2 2 2 2 10 15 10 . 2 42 50 1 xx xx x xx xx ⎡ ⎢ −− ≠ ⎢ + ⎢ ⇔−−≠ ⇔≠ ⎢ ⎢ +−−≠ ⎢ −+ ⎣ Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 15 [1; ) \ 2 S ⎧⎫ + ⎪⎪ =+∞ ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ . 0,25 9 1,00 Ta có: 2( ) ( 7) xy zxy += − . Do x, y, z là các số dương nên xy – 7 > 0. Khi đó, từ giả thiết ta được 2( ) . 7 xy z xy + = − Suy ra: 4( ) (; ) 2 7 xy Sfxy xy xy + ==++ − với điều kiện 0, 0, 7 xyxy >> > (*) 0,25 Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số f(x;y) theo ẩn y ta được: 2 ' 22 4( 7) 4 ( ) 28 4 (; ) 1 1 . (7) (7) y xy x x y x fxy xy xy −− + + =+ =− −− '22 2 0 2 77 (; ) 0 14 21 4 0 21 . y fxy xy xy x y x x =⇔ − + − =⇔ =+ + 5 Suy ra: 0 2 11 7 (; ) 2 41 . fxy x x x =++ + 0,25 Xét hàm số 2 11 7 () 2 41gx x x x =++ + với x > 0 với 2 3 2 11 28 '( ) 2 . 7 1 gx x x x =− − + '( ) 0 3. gx x =⇔= Khi đó () (3) () 15. gx g gx ≥⇔≥ 0,25 Với điều kiện (*), ta có 0 (; ) () 15. Sfxy gx≥=≥ Vậy min 15 S = khi 3, 5, 2. xyz === 0,25 Hết . ĐỀ THI THỬ SỐ 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0. liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………….…… 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC. cận ngang y = 2. 0,25 • Sự biến thi n: 2 3 '0,{2} (2) yx x =>∈− + ⇒ Hàm số đồng biến trên từng khoảng (–∞;–2) và (–2;+∞). 0,25 • Bảng biến thi n: • H àm s ố kh ô ng