Lý thuyết cánh - Cơ sở lý thuyết thiết kế và khảo sát bơm, quạt, tuabin và máy nén khí hiện đại. Tập 1

Trang 1

GS.TSKH TRAN VAN DAC LY THUYET CANH TAP 1 CƠ SỞ LÝ THUYÉT THIET KE VA KHAO SÁT BOM, QUAT, TUABIN VA MAY NEN KHi

Trang 2

GS TSKH Tran Van Dac

LY THUYET CANH

CƠ SỞ LÝ THUYÉT THIẾT KÉ VÀ KHẢO SÁT BOM, QUAT, TUABIN VA MAY NEN KHI HIEN DAL

Tap I

LTS

NHA XUAT BAN KHOA HOC VA KY THUAT

Trang 3

bar NÓI ĐẦU

Chuyên ngành Máy và Tự động thủy khí trường Đại học Bách khoa Hà,Vội ra đời năm 1972 Đây là cơ sở đại học đêu tiên tổ chức đào tạo bài

bản về máy tuabé 6 mde ta, nang về thiết kế và chế tạo

Sau gan 40 năm ra đời, phát triển và trưởng thành công tác biên soạn giáo trình đã có những bước tiễn rõ rệt, nhưng vẫn ton tai một số lỗ hồng về học liệu cần bổ khuyết để ngành học ngày càng hoàn chỉnh, góp phần cùng có và nâng cao chất lượng đào tạo của Nhà trường, Một trong điều cần bồ khuyết là môn Lý thuyết cánh, cơ sở chủ yếu của kiến thức thiết kế chế tạo và khảo sát đánh giá các máy tuabô (máy cánh dẫn) gồm bơm nước, tuabin nước, quạt công nghiệp, mây nén khí, tuabin khí, các thiết bị truyền động thủy động nh khớp nỗi và hộp số thủy lực trong ngành cơ khí giao thông,

Đây chính là động cơ thúc đây để cuỗn sách này ra đời với lòng mong muốn

hỗ trợ việc học tập của sinh viên, hoạt động nghiên cứu, tìm hiểu của Kỹ sư, cán bộ tại các trường đại học, cao đăng kĩ thuật, các viện nghiên cứu kĩ

thuật, công nghệ của các bộ ngành liên quan đến lĩnh vue nai trên

Lì tính chất phục vụ rộng rãi, nhưng lại chuyên sún nên dòi hoi người

đạc cần có một số kiến thức về thủy lực và cơ chất làn trình độ đại học

Những gì liên quan mà các trường kĩ thuật nói chung 0 và không dạy cũng

có thể tìm được ở đây một số kiến thức bổ sung nhất định (như ở phân môi)

để có thể hiểu được phần lớn cúc vấn đề sách này dễ cập

Về tài liệu tham khảo chúng tôi cố gắng thể hiện quan điểm hỗ trợ người đọc bằng một dựnh sách cho từng chương để Bạn đọc có thể tìm hiểu sâu hơn, mở hơn khi cần thiết và nói chung, tru tiên những tài

nguần gỗ

liệu dễ tiếp cận hơn

Mặc dù người biên soạn đã hết sức có căng nhưng do kiến thức có

hạn, lại cần một quy mô hợp lý, không thể bỏ qua những yêu câu về khuôn

Trang 4

khổ, chắc chân khó tránh khỏi những nhược điểm, thiếu sót ở mặt này mặt kia, mong Bạn đọc lượng thứ Mọi ý kiến đóng góp, xây dựng xin gửi về địa chỉ dacdungl(vnn.vn , chúng tôi hết sức cảm ơn và tham khảo để kịp thời stea chữa

Ở đây tôi muốn dành một chỗ trang trong để bày tò lòng biết ơn của

mình đến những người đã trực tiếp hay gián tiếp thực sự giúp tơi hồn

thành cuốn sách này:

Tôi chân thành cảm ơn các vị lãnh đạo Trường Đại học dân lập Đông

Đô vì đã động viên tinh thân và dành cho tôi thời gian vật chất dé biên soạn cuỗn này

Tôi xin nói lời cảm ơn đến các vị lãnh đạo Khoa Xây dung Dan dung

và Công nghiệp, GSTS Đoàn Định Kiến, Thể Lê Thị Hoàng Yến về những

lời động viên có giá trị và đã bố trí công tác giảng dạy hợp lý đê tôi có thời

gian hồn thành việc biên soạn;

Tơi đặc biệt cảm ơn GS.TS Nguyễn Toàn Thắng, PGS.TS Bùi Quang

Diệu, PGS.TS Nguyễn Văn Xuất Trường ĐH Đông Đô, những người luôn

cổ vũ tôi trong suốt quá trình biên soạn

Tôi muốn nói lời cảm ơn đến TS Phạm Văn Thu, Viện trưởng Viện

Bơm và Thiết bị thủy lợi, Viện Khoa học Thủy lợi Việt Nam đã tạo điều kiện

tổ chức xemina về lý thuyết cánh và các vấn đề liên quan Qua đó giúp tôi khẳng định một nhu cầu có thực, cách tiếp cận và quyết tâm bắt tay vào

biên soạn cuốn này

Tôi hết sức biết ơn Nhà Xuất bản Khoa học và Kỹ thuật đã đưa tới

Bạn đọc một cuốn sách có chất lượng biên tập và im ấn cao, mang tính nghệ

thuật trong cách trình bày, làm vừa lòng Bạn đọc

Trang 5

Phan I

Trang 6

cuuone Ÿ HÀM BIẾN PHỨC DÙNG TRONG CƠ CHÁT LỎNG VÀ LÝ THUYET CANH 1 Khái quát chung 1.1 Số phức

Khi giải các phương trình đại số bậc cao hay tìm điểm không của một đa thức bậc cao ta thường gặp một van để rắc rồi liên quan đến số thực Đơn giản nhất là ở phương trình bậc 2:

âx) +bx+c=0,

khi biệt thức A =ð” - 4e <0 thì trong phạm vi số thực ta nói phương trình

là vô nghiệm vì ở đây không thể lấy căn bậc chẵn của một số âm Nhưng

nếu định nghĩa, dủ chỉ là hình thức, ¿=—l hay ¡Ÿ =~1 thì ta có nghiệm của phương trình

Toán học gọi i 1a sé thuận do đơn vị và nghiệm x,„ x, là cặp số phức liên hiệp (ta sẽ định nghĩa sau để làm rõ nội hàm của nó)

Trang 7

Người ta gọi khoảng cách giữa z và gốc toạ độ là môđun của z, nghĩa là

modz= 4x +y” và góc Ø tạo bởi trục thực (trục x) và đường thing 0z là cụ thể là: arg z = aretan(y/x) acgumen cra Rez 0 x

Hình 1.1.Biéu dién hink học của số phức z = x+ip

Người ta gọi cách biểu diễn như hình 1.1

là giản đỗ Argand (Jean-Robert)

Còn mệt các tiếp cận vectơ của số

* phức như sau Giả sử 7, j và & là các vectơ đơn vị trên trục x, y và z trong hệ toa

Hình 1.2 độ trực chuẩn Đêcác Tuy nhiên ở đây ta chỉ ' _ quan tâm tới các vectơ trong mặt phẳng (x, „) Như vậy nếu cho một vectơ ä thì vectơ Z và tích có hướng (dấu x) kxã đều, nằm trong mặt phẳng (x, y) và trực giao với & Như vậy toán tử nhân vectơ #x làm cho vectơ ä xoay đi một góc 902 theo chiều dương

toán học (ngược chiều kim đồng hồ) mà vẫn nằm trong (x, y) và không

thay đổi độ lớn Nếu Ø là đại lượng vô hướng thì phép toán /Ø xã làm cho

ä quay đi một góc +90 va lam tang trị số của Z lên Ø lần

Nếu nhân vectơ đ với ø + Bk , ta cé vecto đœä+ Ø(k xã) cũng nằm

trong mặt phang (x.y) Như vậy toán tử œ+/Økx làm cho một véctơ nằm

Trang 8

Định nghĩa: Toán từ ở + Bkx được gọi là một số phức trong đó œ là phân thực, /Ø là phân ảo Từ định nghĩa này suy ra (một quan hệ tương

đương)

i=kx

1.3 Gian dé Argand

Hãy xét tích vô hướng của một số phức với vectơ đơn vị i cu thé la

(xtiy)i = xi tykxi =xity Đây là vectơ vị trí ÓP của điểm P(x, y)-

Như vậy một số phức bat kỳ nhân với vecto 7 cho ta vectơ xác định vị

trí của một điểm xác định Điểm này là điểm biểu diễn của chính số phức đó

và được coi là biểu diễn hình học của số phức z=x+jy Trên tính thân đó ta gọi cách mô tả hình học ở trên là sơ để Argand

1.4 Phần thực, phần ảo của một số phức

Cho số phức c= a+iở, trong đó œ và b là các số thực Người ta gọi ø

là phần thực, ð là phần ảo của e và ký hiệu như sau:

Rec=z; lmec =6

Trong giản đồ Argand Rec được đo trên trục hoành (trục x) va Ime

dược đo trên trục tung (trục y)

1.5 Các phép toán đại số đối với số phức

Phép cộng: Cho hai số phức 2,=x,+i, va z¿=x;+y; Ta nhân (tương tác) chúng với 7 để được

Trang 9

vẻ phái biểu: Tông của hai số phức là một số phức có phần thực là tong cua hai phan thực và phần ao là tông của hai phần áo thê hiện bảng công thức

Recs, + Rez, +Res, va Im(z,+2,)=Imz,+imz,

Phép trey 2, — 2, xu ly tương tự như vậy dè được

Re(z, ~2,) = Rez,-Rez, va Im(z,-2,)=Imz, -Imz,

Phép nhân: Cho tương tac voi i

Cy FBO + ivy )i = (x, +4, OX) +2 7) = xa +7 +; 7 —Ỷ

= (4%, =y yy) +(Xy#, XD) )/

= [Oy yy) +a ta]

(x FOGG +i.) = Gt Je) FOG ty)

Có thể để đăng chứng minh nêu hoán vị hai thừa số thì kết quá vẫn thể Điều đó có nghĩa phép nhân số phức cũng tuân thủ luật giao hoán, Thậm

chí nếu triển khai theo phép nhân đại số kết quả cũng tương tự Thực vậy,

do # =-1,

(m+ My Fg) = Ay TL, FD + = (RQ VDA Ms +94)

Đẳng thức của hai số phúc

Phương trình x, +”, = x; +; bao hàm sự bằng nhau của hai vectơ (xy FAY, X =x + wal (+ iyi = xử + MỸ va vi vay + MEM

Kết quả này còn có nghĩa: Dé bai số phức bằng nhan thì phan thực

phải bằng phần thực, phan do phái bằng phân áo

Thương của hai số phúc

Áp dụng quy tắc vừa có được ở trên để khảo sát đẳng thức (x +i) = Oy +A pt ig)

Trang 10

với Xị= DĐ TM] L3) = DỊ TY

Từ hệ phương trình dôi với hai ân số p và Z ta có

Người !a gọi số phức p+¿/là thương của hai số x+j, và x; ty, trên ý nghĩa dưới đây

ati AMI a Oy Ha =ÃD) Set ie fs 2

X +i; ty; Xi +J; (XS;+j„ T0)

Có thể thấy rằng, các quy tác của phúp toán cơ bản của dại sẽ nhị:

cộng, trừ, nhân, chìa đều có thể áp dụng đối với các số phức

Với các kết quả trên thì một số phức bằng không khí cả phần thực lẫn phần ảo đều bằng không (triệt tiêu)

Hệ thức Euler - dụng lượng giác của số phúc

Định lý Euler được phát biểu:

cos $+isind =e”

Trang 11

có hai nghiệm g, se” va g, =cos9+isin J Ca hai déu bing Lkhi 9 lay giá trị 0 Chúng là đồng nhất và phát biêu đã được chứng minh

ũng có thể chứng mính theo cách: chuối Taylor (1) là tổng cua hai

chuỗi Taylor cos(Ø) và sin(/9) nhân với ¿

Như vậy có thể viết

z=x+ÿ =(cosØ+jsin Ø) = re”

trong đó r=vVx °+y” hay r= | (là môdun)

và Ø=arctan” (là acgumen hay đối số của số phức) x 2, PS ane) Hà th, = pe? dg trong dé r=nr, và Ø= Ø +Ø,, Đồng thời thương của hai số phức 4 ne _“^¬ a hag 5 ~ ne 4 trong đó r=ñ/z», và Ø= Ø —Ø, Cũng từ các kết quả trên ta có: Lũy thừa bậc n Ze 2) =(me"9)" = le" = net = re trong dd r=", G=n9 Can bac n Aylin tn ath 13 eh Ph a pl hm „2 trong dé ren, G=9/n 1 m Ta cũng suy ra được Re

Cặp số phức liên hiệp được định nghĩa như sau : z và z, là cặp số phức

Hình L3

Trang 12

liên hiệp nếu Rez, =Rez, va Imz,=-Imz,; trén gidn đồ Argand, chúng

đôi xứng qua trục thực (trục x) (hình 1.3) Người ta ký hiệu cập SỐ phức liên

hiệp như sau Từ các tính chất trên ta có z =x+iy, thì 3 3 3 =i2y ; ZZ=x +y =F dị Z+Z=2X ¡zn và có thể phát biểu các định lý sau:

1 Tổng của cặp số phức liên hiệp là một số thực

2 Hiệu của cặp số phức liên hiệp là một số thuần ảo (có phần

thực bãng không)

3 Tích của hai số phức liên hiệp là một số thực dương và bằng

bình phương médun cua bat ky mét trong hai

4 Nếu một số phức bằng số phức liên hiệp của chính nó, số đó là

số thực

Nếu Z(z) là một hàm của z, ta ký hiệu liên hiệp phức bằng ƒ(Z) Theo

cách này nếu /(z)=6z+3/? thì ƒŒ)=6Z -3/Z? Có thể thấy, tại đây thế Z bằng z ta được ƒ(2)=6z—3iz” Nghịch đảo của một số phức Nếu z=re'”, nghịch đảo của z là 1 ] Ø9 z rẻ” r

Trén mat phing so dé Argand vé vòng tròn bán kính một đơn vi; P là toạ độ của điểm z Từ P vẽ đường thắng tiếp tuyến với đường tròn đơn vi tai

Trang 13

Hink 14

Quay va chuyển dịch hệ trục tham chiếu

Trang 14

2 Hàm biến phức

Phan sau đây giới thiệu rất sơ lược vẻ hàm biến phức gồm những vấn

dé những khái niệm liên quan mật thiết đến cơ chất lòng, trước hết là trong

lĩnh vực ly thuyết cánh đề khi vận dụng có dược sự hiểu đúng và đồng nhất

Mục đích của phan này là cung cấp một lượng hiểu biết tối thiểu dé có thể hiểu chính xác những thao tác những biến đổi toán học và đẳng sau nó là ý nghĩa vật lý trước hét để tránh sai sót và nhằm lẫn khái niệm và cách thao tác 2.1 Định nghĩa

Hàm biển phúc là một hàm trong đó cá biến độc lập và biến nhụ thuê

đều là số phức Chính xác hơn, hàm biển phức là một hàm ma miễn xác dịnh của nó là một tập con cúa mặt phẳng số phức và miễn giá trị của nó

cũng là tập con của mặt phẳng số phức

Đối với một hàm biến phức bất kỹ cả biến độc lập lẫn biển phụ thuộc đều có thể tách ra thành phản thực và phần ảo, cụ thể ở

we f(2)s u(x y) ti(ry) = Re/(2))+¡ Em(ƒ(2))

Trong đó cả s(x.p) và v(Y.}) đều là các hàm số thực Nói cách khác

các thành phan của ham /{z) z(x.w) và v{x.r)có thể thẻ hiện như các

ham thực của hai biển số x va y

2.2 Đạo hàm và các điều kiện/phương trình Cauchy - Riemann Giống trong giải tích hàm thực, một hàm bién phite “tron” w= f(s)

có thể có một đạo hàm tại một điểm riêng trong miền xác định @, Cụ thể là định nghĩa của đạo hàm

Av in f(zt+hj-7

Œ)=— =lim

FO de sàn h

tương tự như trường hợp hàm thực nhưng có một khác biệt rat quan trọng

là: ở hàm thực dộng tác tiệm cận xảy ra trên một trục sổ, một thứ HgHIÊN: đổi với hàm biến phức sự tiệm cận có thể thực hiện trên một hướng bất ky cua mat phang số phức hai thir nguyén va dé đạo hàm tổn tại giá trị giới hạn phải như nhau không phụ thuộc vào hướng tiếp cận của ? tới không (0)

Trang 15

Nếu giới hạn này, tức là đạo hàm của hàm số tồn tại ở mọi điểm z của

O, tandi, ham /(2) là khả ví trên © Cũng có thể chỉ ra rằng mọi hàm khả vi đều là hàm giải tích Đây là một kết quả mạnh hơn rất nhiều so với định

lý tương tự trong lĩnh vực hàm thực (của các số thực) Trong tính toán với

các số thực, ta có thẻ xây dựng một hàm f(x) cé dao ham bac mét tai khắp nơi song không tôn tại đạo hàm bậc hai ở mội hoặc nhiều điểm trong miễn xác định Còn trong mặt phăng số phức nêu một ham f(z) kha vi tai mot

lân cận nào đó thì cũng khả vi vô cùng nhiều lần tại lân cận đó

Vận dụng các phương pháp tính toán vectơ để tính các đạo hàm riêng

của hai hàm thực z(x, y) và v(x,y) là phân thực và phân ảo của hàm f(z)

và bằng cách khảo sat hai đường dẫn tới một điểm z thuộc ©, có thể chỉ ra rằng, sự tên tại của đạo hàm đồng nghĩa với

du Ov_ Gu

{š)= —+ỉ —-i—

Pa ay ay

Thực vậy, điều này có thể chứng minh như dưới đây

Hãy xét tính khả vi của hàm trên như sau:

Theo định nghĩa ta có

df= dibs = ae dy (ae ay]

x oy Ox %

dz = dx + idy

if dutid x et thay {Save ay] Nhu vay Of _ duridv uv idy ee \x ”)

dz dx+idy dx +idy

Ta thấy ngay, dao ham cua f(z) nhu thé nảy là không xác định bởi cứ mỗi cặp gid tri dx, ấjÿ đạo hàm của nó lại lấy một giá trị Để đạo hàm xác

định ta phải tìm cách loại bỏ ảnh hưởng của cặp giá trị đx, áÿ Đơn giản nhất là giản ước chúng đi, tức là không để chúng có mặt trong các biểu thức đạo

ham! Dé lam được điều này hãy tiền hành các bước sau:

- Rút dx va idy lam thira s6 chung

Trang 16

Ou Ov Cu ay cu ov lf du dv), x +ỉ jedety c+ +i dy +i att +i idy df \éx ốc oy oy Ốc ax ildy &y de cle + idly de + idy ôu av ov bu), tice |dx+| ;-—=i- lídy df Xô ox 3% ở dz dx tidy

Có thể thấy nếu trên tử thức các đại lượng trong hai ngoặc đơn bằng

nhau, cụ thể là phần thực bằng phần thực, phần ao bing phần ảo:

Ôu _Ôy | Gu ov

ar er @ (a)

thì có thé ap cx + idy thanh mét thira sé eta tr thie dé gidn ude voi thita số này ở mẫu thức (a) chỉnh là điều kiện Cauchy — Riemann Thye vay

Trang 17

Từ đây có về cộng về oe tro =0 Và về trừ về > ax? Nhu vay ca phan thực lẫn phần áo của hàm khả vi #Œ) đều thoả mãn phương trình Laplace 2.3 Cặp hàm điều hoà

Trong lĩnh vực hàm biến phức người ta gọi hai hàm cùng lúc thoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann là cặp hàm điều hoà Như vậy, hàm thể vận tốc va ham dong là một cặp hàm điều hoà Các cặp hàm điều hòa luôn quy định lẫn nhau Điều đó có nghĩa là biết một hảm, có thể suy ra hàm kia thông qua

điều kiện Cauchy - Riemann Cu thé la biét g(x, y) 14 ham thé vận tốc của một dòng chảy ta có thể xác định hàm dòng (+, y) của dòng chảy đó hoặc

ngược lại Từ đây suy ra hai bài toán a/ Biết ự tìm ø và

b/ Biết ø tìm y Trường hợp a/

Biết rằng, nếu biết được vi phân toàn phần của một hàm bất kỳ ta có

thể xác định được hàm đó dưới dạng có chứa một hằng số tích phân, tức là

tìm nguyên hàm Cụ thể ở đây ta phải tìm cho được

dp = 2 der ay

Ox oy

để suy ra

ø@= ; mộng] (1-2)

Nhờ điều kiện Cauchy-Riemann các đạo hàm riêng của @ chưa biết được thay bằng các đạo hàm riêng tương ứng đã biết của y

Trang 18

_ 2V, ÔW ,\_ rô * Ow

pa fa ea) = ea [s# (1-3)

Nghĩa là ta thực hiện tích phân trên một đường ¿ gẫy khúc bắt đầu từ điểm (xo, yo) và kết thúc ở điểm (x, y) với doạn thứ nhất đặc trưng bởi ¿‡ÿ = 0

Trang 19

1 ' ‹ TA Ty =— ngan] + ngan | x y ty tH _ ¥, VN dụ = ~aretan= + arctan “® + aretan 2 — arclan Bỏ Ỷ xX Xy ve q7 5 Biệt răng arctan— = (—— arctan—) b2 a nén y(x,y) = “(§-moan”) + [Z-scan ”) + arctan —arctan 2" x Xo Xy Xo phá ngoặc và rút gọn, được w(x, y) = arctan z + const x với const = arctan yy / xy 2.4 Hàm chỉnh hình Định nghĩa: Hàm chỉnh hình là hàm biến phức xác định và khá ví trên một tập con mở của mặt phẳng số phức

Suy ra, ham f(z) là hàm chỉnh hình tại miền D bao bởi chu tuyến €

trong mặt phẳng số phức nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

a Cứ mỗi một ze Ð chỉ có một giá trị tương ứng duy nhất của

f(z) bị chặn (nghĩa là môđun của nó không lớn vô cùng) Nói

gon lai f(z) don tri trén D

b Với mỗi giá trị ze D hàm Œ) có một giá trị vi phân hay đạo hàm tương ứng, cũng có nghĩa là điều kiện Cauchy — Riemann phải thỏa, là điều kiện cần nhưng không đủ của tính chỉnh hình

Điều kiện đủ ở đây là ngoài việc phải thỏa điều kiện Cauchy — Riemann

còn phải bảo đảm trên D các đạo hàm riêng theo x và y của cả phan thực lẫn phan ảo của #(z} phải liên tục Nghĩa là nêu

Re) = ø(, y) và Im(f(z)) = v(x, 9) tụ 22 20 dy By

ax” Oy? axe” ay là các hàm liên tục của x và y

Trang 20

“Tính khả ví ở các hàm biến phức dẫn đến những hệ quả mạnh hơn

nhiều so với hàm thực mã ta còn gợi là hàm thường Ví dụ, các hàm chỉnh hình khả vị vô cùng lần, một tính chất hiểm có ở phần lớn các hàm thực Đa

số các hàm sơ cấp, trong đó có hàm mũ các hàm lượng giác va tat cả các hàm da thức là các hàm chỉnh hình

Các hàm chỉnh hình hợp thành một lớp hàm thuộc đối tượng nghiên

cứu trung tâm của giải tích hàm nói chung và hàm biến phức nói riêng, đồng

thời cũng là của toán học Nó được ứng dụng vào rất nhiều lĩnh vực, trong đó có cơ chất lỏng và một bộ phận của môn này là lý thuyết cánh ma ta sé thấy trong các chương khác của tập này Thuật ngữ #àm giải tích thường déng nghĩa véi ham chink hink và đôi khi người ta còn gọi các hàm chỉnh hình là Adm chink quy (regular function)

Trong giải tích hàm biến phức một hàm f(z) la chink hink tai a khi va chi khi kha vi trong pham vi miền mở hình tròn (còn gọi là đĩa) có tâm

tại œ; và là giải tích, nếu trên một đĩa mở tâm ø có thể khai chuỗi luỹ thừa

/@= «6ä „=0 y

Điều đó có nghĩa bán kính hội tụ là dương Đây là một trong các định lý quan trọng nhất của giải tích hàm biến phức Trong số các hệ luận của

định lý này đáng kế nhất là

+ Nếu hai hàm chỉnh hình khớp nhau tại mọi điểm của một tập hợp với một điểm tụ trong nội bộ miễn giao của miền xác định chúng thì cũng khớp

tại mọi nơi trên một tập hợp mở nảo đó

+ Do các chuỗi lũy thừa có thể đạo hàm vô cùng lần nên các hàm

chinh hình cũng vậy tức là khả vi vô cùng lần

+ Bán kính hội tụ luôn luôn là khoảng cách giữa tâm a va điểm kỳ đị

gần nhất; nếu không có cde ky di (tire la neu f(z) là một hàm nguyên), thì bán kính hội tụ là vô cùng Nếu nói một cách chặt chế và chính xác thì đây

Trang 21

+ Trên mặt phẳng số phức không một hàm lỗi nào có thế là hàm nguyên Đặc biệt, trên miền liên thông mở nhất định của mặt phẳng số phức có thể không tồn tại ham lỗi xác định trên tập đó mà là hàm chỉnh hình trên tập này

Ham phan hình Một hàm phân hình trên một tập con mở Ð của mặt

phẳng số phức là một hàm chỉnh hình trên toàn Ð trừ một tập của các điểm kỳ đị cô lập là các điểm cực của hảm đó

Định lý L: Các hàm chỉnh hình là giải tích

Chứng mình Cách chứng mình ở đây do Cauchy đưa ra đầu tiên, đựa vào công thức tích phân Cauchy và sự khai chuỗi luỹ thừa của biếu thức

1

W—Z

Giả sử ƒ khả vi khắp nơi bên trong đĩa mở tâm ø nào đó Giả thiết z nằm trong đĩa mở đó Giả sử C là một đường tròn tâm z định hướng dương

(tức là ngược chiều kim đồng hồ) nằm trong đĩa mở nói trên có bán kính lớn

hơn Ìz al Xuất phát từ công thức tích phân Cauchy 1a có

se | Sat Cá a5 fog trond

` 2ãi 2ai* w-a wo 1 _ w-a fonaw

f)

2ni * w-a (w-a)-(z~a)

1 Long aca Fons [Ly (2 2) ron i 1 2fz-ay "Oni kụ~ 1— 2zi † w~ d1 w~-a w-a _= lr Œ-a} = Loni ca am" 70⁄4

Việc thay đổi thứ tự lấy tổng và lấy tích phân là được phép do cấp số nhân hội tụ đều trong các tập con của các đĩa hội tụ của chúng với biên bị

chặn Vi các nhân từ (z—2)” không phụ thuộc vào biến tích phân w nên có

thể đưa ra ngoài dấu tích phân:

7@=ŠŒ~a)'— ng nh n=0 han

Trang 22

£2)=De,(2~a)" „0

-Lr Z9

với ‹ñ + (le

”2zi*'(w-a)n „ (1-6)

là hằng số thay đôi theo ø Như vậy có thê khai chuỗi ham f(z) thành chuỗi luỹ thừa và do đó ƒ(z) phải là giải tich, DPCM

Cũng cần chú thích thêm rằng, do ở chuỗi lũy thừa có thể đạo hàm từng hạng thức một, hãy áp dụng cách để cập ở trên theo hướng ngược lại

và biểu thức chuỗi lũy thừa của ya

he —

cho ta /#Xa)= yer (1-7)

ai

Day là công thức tích phân Cauchy cho các đạo hàm Do vậy chuỗi luỹ thừa thu được ở trên là chuỗi Taylor của /

Cách lập luận này có hiệu nghiệm nếu z là một điểm nào đó gần điểm

a hơn so với bất kỳ điểm ky dị nào của ƒ Do đó bán kính hội tụ của chuỗi Taylor không thể nhỏ hơn khoảng cách từ ø tới kỳ dị gần nhất

Một trường hợp đặc thù của định lý đồng nhất suy ra từ lưu ý trên là

nếu hai hàm chỉnh hình khớp nhau trên lân cận mở (có thể là rất nhỏ) của 4 thì chúng trùng nhau trên đĩa mở Ö,(2), trong đó ở là khoảng các tử a đến

kỳ dị gần nhất

Một số tính chất đáng kế của hàm chỉnh hình

Do phép lấy vi phân của hàm biến phức là tuyến tính và tuân thủ các quy tắc nhân chia và quy tắc dây chuyển nên các tổng, tích và hợp của các hàm chỉnh hình là chỉnh hình Thương của hai hàm chỉnh hình là chỉnh hình trừ nơi mà mẫu thức bằng không

Dao ham f(a) có thể viết dưới dạng tích phân đường, công thức vi

phan str dung nhan Cauchy:

\ ou

u ead oe

Trang 23

đối với một đường dịnh hướng dương khép kín bao một lẫn quanh ¿ Lí dụ mình hoa

Mọi hàm da thức của z với các hệ số nhức là các hàm chỉnh hình trên C Như vậy các hàm sin, cosin và hàm mũ là chỉnh hình và sự thật thì các hàm lượng giác liên quan mật thiết đến hàm mũ, đồng thời còn được định

nghĩa thông qua hệ thức Euler Nhánh chính của hàm lôga phức là hàm

chỉnh hình trên tập C\{ze R :z<0} Hàm căn bậc 2 có thê định nghĩa như là Ve= an

và đo đó nó là chỉnh hình trên miền mà hàm log cơ số tự nhiên tên tại xác định Hàm 1/z là chỉnh hình trên {z : =z 0}

Như là hệ quả của các phương trình Cauchy - Riemann một hàm thực chỉnh hình phải là hằng số, Do vậy giá trị tuyệt đối của z phân thực và phan ảo của z là không chỉnh hình Một ví dụ điển hình khác về hàm liên tục mả

không chỉnh hình là liên hiệp phức

Mọi hàm hữu tỷ, cụ thể như như f(s) là các hàm phân

hình trên toản bộ mặt phẳng số phức

XS Là e Sỉn: - ` eas

Các hàm ƒŒ)=— va f(z)= = x cũng như hàm gamma va ham

zéta Riemann đều là các hàm phân hình trên toàn mặt phẳng số phức

1

Hàm /(2)=e' xác định trên toản mặt phẳng số phức, trừ gốc tọa dộ

(tức điểm z=0) không phải là điểm cực mà là điểm kỳ dị cô lập cốt yếu,

Do đó nó không là hàm phân hình trên toàn mặt phẳng số phức má phân hình trên C\{0}

Hàm /(z) =In(z) không phần hình trên toản mặt phẳmg số phức do

nó không xác định trên một tập điểm cô lập

Hàm ƒ{z)= Sa 72

do điểm = =0 là điểm cực tích tụ mà không phải là một điểm kỳ dị cô lập không chinh hình trên toàn mặt phẳng số phức

Trang 24

f1 =sin| } cũng không phân hình trên toàn mặt phẳng số Ali Ham /(

phức bởi tại gốc tọa độ nó có một điểm kỷ đị cô lập côt yêu,

2.5 Công thức tích phân Cauchy

Là một mệnh dễ (hệ thức) quan trọng của giải tích hàm biện phức, nói

lên một thực tế là một hàm chính hình xác dịnh trên một đĩa thì hoàn toàn

xác định bởi các piá trị của nó lây tại biên của đĩa đó Công thức này cũng dùng để dẫn ra các công thúc tích phân của các dạo hàm của hàm chính hình, Ý nghĩa giải tích nảy của công thức Cauchy nói lên rằng trong giải tích phức phép vi phân tương đương với phép tích phân: Theo đó, phép vị

phân của hàm biển phức giảng như tích phân có đáng diệu ding dan trong

cách tiệm cận giới hạn đồng dều, một kết quả tượng tự không thể có ở giải tích hàm thực,

* Định lý

Giả sử là một tập con của mặt phẳng số phức Œ #: —> € là một

hàm chính hinh va dia dong D= {z:|>~ |<zÌ năm lọn trong (2 giả sử

đường tròn 7 tạo nên đường biên của Ø thì đôi với mọi œ bên trong D

(1-8)

Ở đây tích phân theo chủ tuyến được định hướng theo chiều ngược kim đồng hồ

Để chứng mỉnh phát biểu này người ta sử dụng định lý tích phân

Cauchy vả tương tự chỉ yêu cầu tính khả ví phức tức điều kiện Cauchy

Riemann phai thea Do mau số của hàm đưới dấu tích phân tong công thức tích phân Cauchy có thể khai chuỗi luỹ thừa của biển (— =„)„ suy ra, các

hàm chỉnh hình là giải tích như đã chứng mình ở phan trên, Đặc biệt / như

Trang 25

Có thê thay đường tròn 7 bằng một đường khép kín cầu Trường được, tức là có độ dài xác định (trong 17 chạy một vòng quanh — bọc một lần — a)

Hơn nữa, như đối với định lý tích phân Cauchy, diễu kiện đủ là ý phải

chỉnh hình trong miễn mở bao bởi một đường và phải liên tục trên đường bao đó

Sơ đỗ chứng mình

Bằng cách sử dụng định lý tích phân Cauchy người ta có thể chỉ ra

rằng tích phân trên € (hoặc một đường cong khép kín cầu trường được) bằng tích phân như vậy lấy với một đường tròn nhỏ tuỳ ý bọc lây 4a Mặt

khác tích phân

trên đường tron C tam a ndo dé 1a 227 Dai lượng này có thể tính trực tiếp qua thơng số hố, tức là thể biến tích phân : z= a+£e”, trong đó 0</<2z

và £ là bán kính của đường tròn đó Lay giới hạn ¢ +0 sé durgc mot gid tri ước lượng mong muốn _—d 22) Fa) z-a sg f@)- f(a) E0 2zi 2zi z~ự z Ví dụ mình hoạ

Khảo sát hàm g(z) = z?+2z+2 Z với chu tuyến là đường tròn C có phương trình |z|=2 Biết rằng khi mẫu thức của hàm này bằng không (0),

đó là nơi hàm có cực nào đó Vị trí của các cực của hàm cũng là vị trí của

Trang 26

chính là hai cực bậc một của hàm đã cho

Hãy gọi chu tuyến bao quanh z, là C, va chu tuyén bao quanh z, là

Bây giờ xung quanh C¡ hàm /(z) là giái tích do C¡ không bọc lay 5;

và điều đó cho phép ta viết / dưới đạng tà mong muốn, cụ thể là

cùng với chu tuyến C› Như vậy tích phân xung quanh chu tuyến € ban đầu là tổng của hai tích phân này: 2 2 [ z — [ z Z Z #

Thê các giá trị có được ở trên

của z¡ và z; vào, ta được Ỉ —_— az =2zi(-2)=-4zi 'zˆ2+2z+2 _M c Kết quả này khơng ngồi sự LJ Ế

mong đợi vì nó hoan tồn thơng nhất Ai et i với một định lý của hàm biên phức fle

Trang 27

Song băng

phái là miễn dơn liên mà là da liên chứa hai điểm kỳ dị z¡ và

bất thích hợp có thể biển Ø thành đơn liền như biểu diễn trên những nhát hình 1.5 Lúc đó ta thực hiện phép tích phân dường thay cho tích phan chủ tuyên đ g&(zkE s Í edi+ J gee [ get | me» | gk+ ak hob LAER He on + Jace f gee J xe iu 1 Gal # Khi ¢ -> 0 taco fof Jeffs f-9 we t

Hai dau am dai vai ©, va C, do hudmg tich phan theo chicu kim dòng,

hồ Kết quả cuối củng, sau khi đã thực hiện phép cộng đại số là 4 ude = 4 gi + đa

é ằ cy

2.6 Khai niém (diém) ky di

Điểm kỳ dị của một ham ƒ(z) trong miễn 7) là nơi mà hàm không còn tính chính hình Người ta phân các điểm kỷ dị ra ba loại sau:

—_ Kỳ dị có thể khử được Ky dij la cure bac a —_ Kỷ đị cột yêu

ÄW dị có thể khư được Nếu một hàm / có thẻ thác trién giải tích từ một ham chính hình trên toản đĩa { J< RY thì Rea(/.ec)=0 Nói chung

phát biểu đảo ngược không có nghĩa chặt chẽ khác thì đó là một hàm sao

cho lim /(=)=k, trong đó & là một hằng số nào đó (có thể dùng quy tắc

Trang 28

Theo cách gọi “dan da” cua gidi khang chuy én, day !a ham có một hạng thức tương tự được nhân với tử thức mà ta có thể giản ước nó với mẫu

thức Ví dụ như hàm đưới dây 3(2 41 <3” z+l có một kỳ đị cô lập có thể khử tại =, =—1 Cực bậc m Tại một cực đơn ¢ thing dư của ƒ (ResÐ xác định được theo công thức

Res(f.c) = limΠ~e)/() we (1-9)

Co thé biểu diễn hàm / dưới dạng thương của hai hàm

- ø(Œ}

/#)=”—~

le)

trong đó ø và h là những hàm chỉnh hình tại một lân cận của c, với

h(c)=0 và gíc) #0, Trong trường hợp đó công thức trên đơn giản hóa thành , ae) Res(f.c) = SO" Rộng ra với cực bậc ?, nếu định nghĩa chặt chẽ, một hàm / có một cực tại z„ nếu lim|J/Œ)|=

ta lấy m bằng số mũ luỹ thừa cao nhất của cực trong chuỗi Laurent Nói

Trang 29

lim(z +I) /(2)=3 <0

Kỳ dị cô lập cốt yếu Định nghĩa chặt chẽ thì đó là một hàm sao cho

lim /(z) chăng bị chặn mà cũng chăng vô cùng, như là một giới hạn không

xác định Một ví dụ điển hình cho trường hợp này là f(=)=sin(1/ 2)

xung quanh z„ =0 là một ky dị cô lập cốt yéu, Diéu điển hình là đối với

những hàm như thế này nếu khảo sát chuỗi Laurent (hay có trường hợp dùng chuỗi Taylor) của nó, sẽ bộc lộ ra ở day 1a bac m bing vỏ cùng (có số cực là vô cùng) Đi theo mạch này nêu ta khai chuỗi Taylor ta sẽ thu được

#(Œ) =sin(1/z) = Ye tate

n=l]

Có thể thấy trường hợp này có số cực vô cùng nhiều, Đây là kiểu ky di

cô lập mà ta chỉ có cách khai chuỗi Laurent thủ công để biết được thing dư của nó thông qua việc đọc hệ số của hạng thức ]/z

Liên quan đến kỳ dị cô lập cốt yếu có Định lý Picard phát biểu như

sau: Hàm có kỳ đị có lập cốt yếu tiệm cận mọi giá trị, trừ giá trị khả dĩ xung

quanh lân cận của điểm kỳ dị,

Một cách phát biểu khác: Móu một hàm giải tích ƒŒ) có một kỳ dị có lập cốt yếu tại một điểm ?ạ thì trên một tập mở nào đó có chứa z„ /Œ)

lấy mọi gid tri phitc kha di, với tỐi đu một ngoại lệ đưn gian: lặp lại vô cùng lần

2.7 Lý thuyết thặng dư

Thang du fa gi? Khi ta nói muốn có một thang dư của một hàm tại một điểm thì điều đó có nghĩa là ta phải tìm hệ số của số hạng của hàm mở rộng

đối với một cực đơn (đôi khi cái đó tạo ra một điểm zêrô trong mẫu thức) tại

điểm đó Ví dụ với

#Œ)=—— mm

Thi thang du tai —1 là 3 Tương tự, đối với

Trang 30

3 3 1 z+2 thang dư tại —l cũng là 3 vi hạng thức thứ hai không phải là cực của hàm tai -1 Đương nhiên các hàm mà ta quan tâm phức tạp hơn rất nhiều, một số a eR ae ay ck LhA tg _f1\

có tam thức bậc hai ở mẫu thức, một số không xác định rõ như snÍ và tuỳ theo kiểu hàm có chứa các kỳ dị cô lập mà ta sẽ làm quen Cũng vậy,

các phương pháp tìm thặng dư thay đổi theo từng kiểu kỳ dị Đây có thể là mục quan trọng nhất của phần này

Định nghĩa Thăng dự của một hàm phân hình tại một kỳ dị cô lập 4, có

thường ký hiệu là Res(ƒ.a) là giá trị R nhất quản sao cho ƒ(z)—

oma

mot nguyén ham trén mot dia thing 0 <‡£ -a< ổ| Như là một phương án,

thặng dư có thể tính toán bằng cách khai chuỗi Laurent và đôi khi được xác

định bằng các hạng thức của nó

Thật vậy, khi ta tính tích phân trên chu tuyến € khép kín

4 Sue

với chu tuyén C boc ldy géc toa d6 Bây giờ hãy đánh giá tích phân này mà không cần dùng đến định lý tích phân chuẩn Ta đã biết chuỗi Taylor cia e*

Trang 31

Ta thấy tích phân trên tuyến C của tất cả các hạng thức khác Không thude dang cz"! déu bang 0 và tích phân đã cho trở thành

(G6 Dan lk

Soa dc 7n ng

Phân thức đơn giản

Có thể đây là van dé kĩ thuật cơ bản nhất và không đòi hỏi nhiều lý

thuyết mà cần đến kĩ năng thao tác dại số Bởi vậy nó cũng có những hạn chế riêng, cụ thể là trên thực tế nó chỉ liên quan đến đa thức và nặng về hướng đẫn kĩ năng thao tác Đối với người ứng dụng việc đó rất quan trọng vì có được những khuôn mẫu, những thực đơn cho các dạng khác nhau

Cho hai ham đa thức ?{=) và Ó(2) với bậc của Ở cao hơn bậc của P;

ta định nghĩa hàm thứ ba là thương của P và Q mà Q là mẫu thức: Pe) Os) ⁄#Œ)= Đồng thời với việc phân tích thừa số của Ở ta có O42) =(2~5,)" (2 ~ sỦ? -

Tùy thuộc vào dạng của (z— z„}” ta có thể đưa hàm về một dạng chuỗi

hữu hạn có các cực đơn hay bậc m như sau

Trang 33

A +0424, =0 ~d-A thal — I Giải ra được Aan 3 A=r+ : ậ jee TL „1L Vay /= etl 4z+D) 4đ=Ð Hàm có hai kì dị cô lập không cốt yếu, một tại z„ =~1 là cục bậc hai vả tại z =l có cực bậc một

2.8 Xác định thăng dư nhờ chuỗi Laurent

Có một phương pháp tổng quát hơn là dùng chuỗi Laurent của hàm

Thật vậy, hãy bát đầu bằng việc xem xét chuỗi Laurent của một hàm

#Œ)= Ð) 4(z—z,}" na

Khi khai chuỗi ta lưu ý rằng nếu muốn có giá trị thặng dư của cực đơn

của một hàm ta đọc hệ số a., của hạng thức có chứa (z=ø#)'”; của cực bậc

Trang 34

ale = {[e-ayre]=a, +e

Nếu bây giờ ta muốn đánh giá ø(>) tại z„ các hạng thức còn lại của #@{z) trên đây đều bằng 0 do dó #2,)= Slee ~z,) (2) ]= Suy ra nêu hàm có cực bậc ø thì (tb) 1 d Res(f.2))= TS Um (m~Dt 4m ụ —nl~Za)/(2]

Định Ip thang dw Cauchy — Định lý thăng dự

Định lý thặng dư Cauchy là một kết quả quan trọng Từ đó người ta

thu được nhiều kết quả về lý thuyết và giải tích hàm biến phức Song quan

trọng hơn nó cho phép ta tính giá trị tích phân một cách gián tiếp mà không cần đến phương pháp truyền thống: lấy tích phân Định lý phát biểu như sau:

Gia sử Tlà chủ tuyển đơn khép kín định hướng dương (ngược chiều

kim đẳng hồ) Nếu ƒ là giải tích trong miễn đơn liên D nhất định chứa T và z¿ là điểm nào đỏ nằm trong thi

6ì Big LM

fas ng Ona Lola

Dinh ly thang die Cauchy là một công cụ mạnh để đánh giá các tích phân đường của các hàm giải tích trên các đường khép kín và cũng thường được dùng để tính toán tích phân của hàm thực Từ đây có định lý tích phân Cauchy và công thức tích phân Cauchy Phát biểu của định lý như sau:

Giá sử U_ là một tập con mở đơn liên của mặt phẳng số phức và

\›.„, là hữu hạn điểm của U và ƒ là một hàm chỉnh hình, xác định trên UY {a ,} Nếu y là một đường cong cầu trường được (không tự cắt tự

that mit và độ dài xác định) trên U và bọc lấy a, nhưng không giao với bắt

At a, new; diém ddu va diém cudi của y bing nhau thi

¢ fe sydz = 207 17,4, )Res( fay) .(1-10a)

kel

Trang 35

Nếu y là một đường cong Jordan 7/(7.œ)=l và như vậy

g f(2)d2 = 201Y Res f.a,) „ (1-10b)

? mm

(Đường cong Jordan là đường khép kín không tự giao/cất, chia mặt

phẳng ra làm hai miễn, miễn trong và miền ngoài mà một đường bất kỳ nỗi một điểm trong với một điểm ngồi ln cất dường phân chia này tại nơi

nào đó)

Ở day Res(f,a,)ky higu thang du cia ftai a, ; /7(.a,) là số lần bọc

của đường cong 7 quanh điểm đc Số lần bọc này là số nguyên tính theo

trực giác và là dương nếu y đi theo chiều ngược với kim đồng hồ (tức là

chiều đương toán học); số này bằng 0 nếu không chạy quanh ø,

Đề đánh giá các tích phân hàm thực người 1a sử dụng định lý thặng dư

như sau: mở rộng hàm dưới dấu tích phân (vốn là hàm thực) thành hàm biến phức trong mặt phẳng số phức rồi xác định giá trị thặng dư của nó ( thường

khá dễ đàng) và một phần của trục thực được mở rộng thành một đường

khép kín bằng cách nối với một nửa đường tròn trong nửa mặt phẳng trên hay nửa mặt phẳng đưới Sau đó có thể tính tích phân trên đường này nhờ sử

dụng định lý thặng dư Thường thì tích phân trên nửa đường tròn này tiễn tới không khi bán kính này tăng dần Chỉ còn lại tích phân trên đoạn nằm trên trục thực mà ta cần tìm lúc đầu 2.9 Ví dụ minh họa liên quan đến xác định thặng dự Tính giá trị thăng dự Giả sử cho một đĩa thủng d ={z:0<|z d <8} trong mặt phẳng số phức và ƒ là một hàm chỉnh hình ít nhất xác định trên D Thặng dư Res(7,c) của ƒ tại e là hệ số a, cla (z—c)" trong chudi Laurent của ƒ

khai tại c Việc tính toán tùy thuộc vào dạng của hảm số Nói chung, phụ

thuộc rất nhiều vào kỹ xảo thao tác đại số Chung nhất vẫn là sử dụng công

thức tích phân Cauchy

Trang 36

trong đó y là dường tròn dịnh hướng ngược chiều kim đồng hồ Ta có thẻ chọn là đường tròn bán kính £ nhỏ tùy ý bọc quanh ec Công thức này sứ dụng trong trường hợp có thể trực tiếp xác

định tích phân một cách dé dang Song nó cũng được dùng để

tính tích phân trong hàm thực các phương pháp tích phân khác trở nên vô hiệu Tích phân

ay

——k ox +1

phat sinh trong ly thuyết xác suất khi cần xác định hàm đặc trưng của phân

bé Cauchy và tích phân này khơng thể tính tốn bảng các phương pháp sơ

cấp Ta sẽ đánh giá tích phân này bằng cách biểu diễn nó như là một giới hạn của các tích phân đường trên chu tuyến C chạy trên trục thực từ =ø đến

a và sau đó theo chiều ngược với kim đồng hồ đi vòng trên nửa đường tròn

có tâm tại gốc toa dé (= Ô) từ a đến -a Ay a>1, như vậy đơn vị ảo ¡

nằm trong đường khép kín đó Tích ch phân trên chu tuyến nảy là

fe ead -F

Trang 37

e

2i

Res f(2)=

Sau đó theo định ly thang du

đ./@) =2ni-Res,_,f(2)= dai = me"

al

Tích phân chu tuyến này có thể chia thành hai tích phân đường: một là

trên đường thẳng từ ~4 đến a ký hiệu là { f(z)dz va doan con lai 1a

Trang 38

Nếu một phần hay toàn bộ hàm có thể khai chuỗi Taylor hay chuỗi

Laurent thi việc tính toán thặng dư đơn gián hơn rất nhiều so với các

phương pháp khác ta có the thay qua các ví dụ dưới đây

Lấy một ví dụ dơn giản, hãy xét cách tính thặng dư tại các kỳ dị của

hàm

⁄)=

Có thể dùng đề tr tính một số tích phân trên chu tuyên nhất định Ta thấy

neay hàm có một kỳ đị tại điểm z=0, nhưng nếu phân tích mẫu thức thành các thừa số thì

sinz

f=

Trang 39

Ví dụ đưới đây cho thay tinh thing du bamg phương pháp khai chuỗi có một vai trò chủ yếu trong định lý đảo I.agrangc Giả sử u(z)= Suz kz) là một hàm nguyên và giả sử yz) = yz" Az voi ban kinh hdi tu duong va voi y, #0; nhu vay v(z) có một nghich dao V(z) tại 0 và ¿(1/V(2)) là chỉnh hình tại 0, ta có Res, (u(l/V)) )= ấy, seo Thực vậy, Res, (u(I/V)) =Res, [x u,V(z)* = Yu, Res, (Yay ) kz) kel

Bởi chuỗi thứ nhất hội tụ đều trên bất kỳ đường tròn nhỏ nảo bọc lấy 0

Sử dung phép dao Lagrange

Res, (VŒ)* ) =

và ta được biểu thức ở trên Nên nhớ rằng với những giả thiết đối xứng

tương ứng mạnh hơn trên „(z) và v(z)cũng suy ra

Res, (u(1/V)) =Res, (r(/U))

trong dé U(z) là một nghịch đảo cục bộ của u(z)tai 0

Trang 40

va lién tiép suy ra rang

ev

= fFKrs fet Al) &