Nội dung trong đề cương tổng hợp kiến thức môn Toán lớp 8 học kỳ 2 ( đại số và hình học), mỗi nội dung có ví dụ minh họa cụ thể và phần bài tập để học sinh tự rèn luyện. Tổng hợp thêm một số đề thi qua các năm học.
Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN 8 HỌC KÌ II A. PHẦN ĐẠI SỐ I. Phương trình bậc nhất một ẩn 1 . Phương trình bậc nhất một ẩn 1.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b = 0 (với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0) Phương trình có nghiệm duy nhất: b x a = − - Nếu a = 0, b ≠ 0 : pt vô nghiệm - Nếu a = 0, b = 0 : pt vô số nghiệm 1.2. Cách giải Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do (không chứa ẩn) sang vế phải. Sau đó thu gọn rồi tìm x. *Chú ý: Khi chuyển vế hạng tử nào thì phải đổi dấu số hạng đó. 1.3. Ví dụ: Giải các pt sau { } 2 – 4 0 4 ) 2 4 2 2 2 a x x x x S = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = { } 2 – 4 5 5 2 5 5 4 3 9 3 3 b) x x x x x x S = + ⇔ − = + ⇔ − = ⇔ = − = − 2. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất 2.1. Phương trình có chứa dấu ngoặc a. Cách giải: thực hiện phá ngoặc bằng cách nhân các thừa số trong cùng hạng tử hoặc nếu đằng trước dấu ngoặc là “dấu trừ” thì phải đổi dấu các hạng tử trong ngoặc đó. b. Ví dụ: Giải pt: ( ) { } 10 – (5 3) 4 3 10 – 5 + 3 4 12 5 + 3 4 12 5 4 12 3 9 9 x x x x x x x S x x x x − = + =⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + = + − = = − 2.2. Phương trình có mẫu là số a. Cách giải • Bước 1: Quy đồng, khử mẫu hai vế. • Bước 2: Giải phương trình vừa tìm được. b. Ví dụ: Giải phương trình 2 2 1 5 ( : 6) 2 6 3 3( 2) (2 1) 5.2 x x MSC x x + + − = ⇔ + − + = NTP – THA5 1 Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 6 6 2 1 10 6 2 10 6 1 4 5 5 4 5 4 x x x x x x S ⇔ + − − = ⇔ − = − + ⇔ = ⇔ = = 3. Phương trình tích 3.1. Định nghĩa: phương trình tích là phương trình có dạng: A(x). B(x) = 0 Cách giải: A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 * Mở rộng: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (. 0 ) 0 ( ) 0 A x BA x B x x x xC C = = = ⇔ = * Nếu phương trình có bậc từ bậc hai trở lên và chưa có dạng tích thì phải đưa phương trình về dạng phương trình tích bằng cách phân tích thành nhân tử. 3.2. Ví dụ: Giải phương trình a) (2 1)(3 2) 0 2 1 0 3 2 0 1 2 2 3 1 2 ; 2 3 x x x x x x S + − = + = ⇔ − = = − ⇔ = = − b) 2 ( 1) 3( 1) 0 ( 1)(2 3) 0 1 0 2 3 0 1 3 2 3 1; 2 x x x x x x x x x S + − + = ⇔ + − = + = ⇔ − = = − ⇔ = = − { } 3 2 c) 4 0 ( 4) 0 ( 2)(x 2) 0 0 2 0 2 0 0 2 2 0; 2;2 x x x x x x x x x x x x S − = ⇔ − = ⇔ − + = = ⇔ − = + = = ⇔ = = − = − 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu 4.1 Cách giải Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu được). • Bước 1: Tìm ĐKXĐ: điều kiện của biến để tất cả mẫu thức khác không. • Bước 2: Quy đồng, khử mẫu hai vế. • Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. • Bước 4: Kết luận: các giá trị nào của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của phương trình. Nghiệm không thỏa (nghiệm ngoại lai) thì loại bỏ đi. 4.2. Ví dụ: Giải phương trình: a) 1 3 1 1 1 2 2 − = − − + x xx ⇔ )1)(1( 3 1 1 1 2 +− = − − + xxxx (1) ĐKXĐ: −≠⇔≠+ ≠⇔≠− 101 101 xx xx 2 2 5 ) 2 2 4 x x b x x x − = − + − 2 5 2 2 ( 2)( 2) x x x x x x ⇔ − = − + − + (2) ĐKXĐ: −≠⇔≠+ ≠⇔≠− 202 202 xx xx NTP – THA5 2 Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 MTC: )1)(1( −+ xx (1) 2( 1) 1( 1) 3 2 2 3 3 5 3 x x x x x ⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ − = 8 =⇔ x (tmđk) { } 8S = MTC: )2)(2( −+ xx (2) 5)2(2)2( =−−+⇔ xxxx { } 2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 5 0 6 5 0 5 5 0 ( 1) 5( 1) 0 ( 1)( 5) 0 1 0 1 ( ) 5 0 5 ( ) 1;5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x tm x x tm S ⇔ + − + = ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ − − = − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = = 5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiến thức cần nhớ: ≥ = − < 0 0 a neáu a a a neáu a Ví dụ: Giải các phương trình sau a) = +3 4x x ● = ⇔ ≥ ⇔ ≥3 3 3 0 0x x x x Ta có: 3x = x + 4 ⇔ 3x – x = 4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (nhận) ● = − ⇔ < ⇔ <3 3 3 0 0x x x x Ta có: -3x = x + 4 ⇔ -3x – x = 4 ⇔ - 4x = 4 ⇔ x = -1 (nhận) Vậy { } = −1;2S b) − = −3 9 2x x ● − = − ⇔ − ≥ ⇔ ≥3 3 3 0 3x x x x Ta có: x - 3 = 9 – 2x ⇔ x + 2x = 9 + 3 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4 (nhận) ● − = − − ⇔ − < ⇔ <3 ( 3) 3 0 3x x x x Ta có: - (x – 3) = 9 – 2x ⇔ - x + 3 = 9 – 2x ⇔ - x + 2x = 9 - 3 ⇔ x = 6 (loại) Vậy { } = 4S 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình 6. 1. Cách giải chung * Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc sau): • Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện cho ẩn; • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; • Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. * Bước 2: Giải pt: Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải ngắn gọn và phù hợp. * Bước 3: Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận. - Các dạng bài thường gặp: toán về số, phần trăm; toán chuyển động; toán năng xuất. Trong từng dạng toán thường có 3 đại lượng tham gia là: đại lượng đã biết; đại lượng NTP – THA5 3 Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 cần phải đi tìm và đại lượng trung gian và ta cũng luôn lập phương trình qua đại lượng trung gian đó. Do đo, khi giải ta có thể lập bảng như sau: Các sự vật, sự việc trong đề bài ĐL đã biết (1) ĐL đi tìm (2) ĐL trung gian Số thứ nhất Xe máy Kế hoạch …. …. Mối quan hệ của 1 và 2 Số thứ hai Ô tô Thực tế …. …. Mối quan hệ của 1 và 2 6.2. Ví dụ: Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35 km/h. Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường Nam Định - Hà Nội dài 90 km. Hỏi sau bao lâu kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau? Giải: 24 phút = 5 2 giờ Gọi x (h) là thời gian hai xe gặp nhau kể từ khi xe máy khởi hành ( x > 5 2 ) ĐL đã biết Vận tốc (km/h) ĐL đi tìm Thời gian đi (h) ĐL trung gian Quãng đường đi (km) Xe máy 35 x 35x Ô tô 45 x - 5 2 45(x - 5 2 ) Hai xe đi ngược chiều gặp nhau nghĩa là đến lúc đó tổng quãng đường hai xe đi được đúng bằng quãng đường Nam Định - Hà Nội. Ta có phương trình : 35x + 45(x - 5 2 ) = 90 Giải phương trình tìm được: x = 7 1 1 21' 20 h h= II. Bất phương trình bậc nhất một ẩn 1. Định nghĩa: Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn . 2. Cách giải: Tương tự như cách giải phương trình đưa về bậc nhất rồi biểu diễn nghiệm trên trục số. * Chú ý : - Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó. - Khi chia cả hai về của bất phương trình cho số âm phải đổi chiều bất phương trình. 3. Ví dụ: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số a) 2x – 3 > 0 2 – 4 0 2 4 2 x x x > ⇔ > ⇔ > Biễu diễn tập nghiệm trên trục số b) -3x – 15 ≥ 0 3 – 15 0 3 15 15 3 5 x x x x − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ − Biễu diễn tập nghiệm trên trục số B. PHẦN HÌNH HỌC NTP – THA5 4 Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 I. Định lí Ta - lét 1. Định lí Ta-let trong tam giác : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 2. Định lí đảo của ĐL Ta-let: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. 3. Hệ quả của định lí Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. II. Tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy. III. Tam giác đồng dạng 1. Các trường hợp tam giác đồng dạng a) Định lí về hai tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. NTP – THA5 GT ∆ABC: B’C’ //BC KL ' 'AB AC AB AC = ; ' ' ' ' AB AC B B C C = ; ' 'B B C C AB AC = GT ∆ABC ; B’ ∈ AB;C’ ∈ AC ' ' ' ' AB AC B B C C = KL B’C’ //BC GT ABC : B’C’ // BC; (B’ ∈ AB ; C’ ∈ AC) KL ' ' ' 'AB AC B C AB AC BC = = GT ABC: AD là phân giác của · BAC KL AB AC DB DC = 5 Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 ⇒∆ ∆ MN / /BC AMN ABC *Lưu ý: Định lí cũng đúng đối với trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại b) Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: 3 trường hợp *Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. *Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng. * Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng. 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông * Trường hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì chúng đồng dạng. NTP – THA5 a NM C B A GT ∆ ∆ = = ABC vµ A'B'C' cã: AC BC AB A 'B' A 'C' B'C' KL ∆ ∆:ABC A 'B 'C'(c.c.c) GT µ µ ∆ ∆ = = ABC vµ A'B'C' cã: BC AB A 'B' B'C' B B' KL ∆ ∆:ABC A 'B'C'(c.g.c) GT µ µ µ µ ∆ ∆ = = ABC vµ A'B'C' cã: A A ' B B' KL ∆ ∆:ABC A 'B'C'(g.g ) GT µ µ µ µ ∆ ∆ = = = 0 ABC vµ A'B'C' cã: A A ' 90 C C' KL ∆ ∆:ABC A 'B'C'(g.g) 6 S Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 *Trường hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. * Trường hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai giác đó đồng dạng. = => ∆ ∆: Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã: BC AB ABC A 'B'C'(c.c.c) A 'B' B'C' IV. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng - Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. - Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. ∆ ∆:A 'B'C' ABC theo tØ sè k ⇒ = = 2 A 'B 'C' ABC S A 'H' k vµ k AH S V. Công thức tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng Hình Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần Thể tích - Lăng trụ đứng: Hình có các mặt bên là hìn chữ nhật, đáy là một đa giác. - Lăng trụ đều: là hình lăng trụ có đáy là đa giác đều. S xq = 2p.h P: nửa chu vi đáy h: chiều cao S tp = S xq + 2S đ V = S.h S: diện tích đáy h : chiều cao NTP – THA5 GT = Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã: AC AB A 'B' A 'C' KL ∆ ∆:ABC A 'B'C' 7 Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 Hình Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần Thể tích - Hình hộp chữ nhật: hình có 6 mặt là hình chữ nhật. S xq = 2(a+b).h a, b : hai đáy h: chiều cao S tp = 2(ab+ac+bc) V = abc - Hình lập phương: là hình có 6 mặt là hình vuông (3 kích thước bằng nhau). S xq = 4a 2 a: cạnh hình lập phương S tp = 6a 2 V = a 3 - Hình chóp đều: là hình chóp có mặt đáy là đa giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh. S xq = p.d p : nửa chu vi đáy d: chiều cao của mặt bên S tp = S xq + S đ V = 1 3 S.h S: diện tích đáy h : chiều cao VI. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (học ở lớp 9) NTP – THA5 8 Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 2 b ab'= 2 c ac'= 2 2 2 a b c= + (Pi_ta_go) bc = ah 2 h b'c'= 2 2 2 1 1 1 b c h + = VII. Diện tích các hình (nhắc lại) .S a b= 2 S a = 1 S ah 2 = 1 S ah 2 = 1 S ah 2 = 1 S (a b)h EF.h 2 = + = . = S a h 1 2 1 S d d 2 = × C. PHẦN BÀI TẬP I. Phương trình và bất phương trình Bài 1. Giải các phương trình bậc nhất sau NTP – THA5 a H h b' b c' c CB A a h a h a F E b h a h a d 1 d 2 9 a b h a Đề cương ôn tập toán 8 – HK 2 Năm học 2014 - 2015 a) 3x - 2 = 2x – 3 b) 2x + 3 = 5x + 9 c) 5 - 2x = 7 d) 10x + 3 - 5x = 4x +12 e) 11x + 42 - 2x = 100 - 9x - 22 Bài 2. Giải các phương trình sau a) 2x –(3 - 5x) = 4(x + 3) b) x(x + 2) = x(x + 3) c) 2(x - 3) + 5x(x - 1) = 5x 2 Bài 3. Giải các phương trình sau a/ x xx 2 3 5 6 13 2 23 += + − + c/ 2 2x 3 x 4x 5 4x − −=+− + b/ 3 3 4x5 7 2x6 5 3x4 + + = − − + d/ 5 5 2x4 3 1x8 6 2x5 − + = − − + Bài 4. Giải các phương trình sau a) (2x + 1)(x - 1) = 0 b) (x + 2 3 )(x - 1 2 ) = 0 c) (3x - 1)(2x - 3)(x + 5) = 0 d) 3x - 15 = 2x(x - 5) e) x 2 – x = 0 f) x 2 – 2x + 1 – 4 = 0 g) x 3 – 9x = 0 h) x 2 – x = 4x - 6 i) (x + 1)(x + 4) =(2 - x)(x + 2) Bài 5. Giải các phương trình sau a) 7 3 2 1 3 x x − = − b) 2(3 7 ) 1 1 2 x x − = + c) 1 3 3 2 2 x x x − + = − − d) 8 1 8 7 7 x x x − − = − − Bài 6. Giải các phương trình sau a) 2 5 5 20 5 5 25 x x x x x + − − = − + − b) 1 1 2 1 1 2 − = + + − x x xx c) 2 2( 3) 2( 1) ( 1)( 3) x x x x x x x + = − + + − d) x x x x x − − − + − = − + 4 13 4 12 16 76 5 2 Bài 7. Giải các phương trình sau a) |5 − 2x| = 1 – x; b) |8 − x| = x 2 + x; c) |−2x| = 4x – 3; d) |5x – 2| = |1 – x|; e) |x – 1| + |1 – x| = 10; f) |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 2006x Bài 8. Giải và biểu diễn tập nghiệm trên trục số các bất phương trình sau a) 2x + 2 > 4 b) 3 2 5x + ≥ − c) 10 - 2x > 2 d) 1 2 3x− ≤ Bài 9. Giải các bất phương trình sau a) 10x + 3 – 5x ≤ 14x + 12 b) (3x - 1) < 2x + 4 c) 4x – 8 ≥ 3(2x - 1) – 2x + 1 d) x 2 – x(x + 2) > 3x – 1 e) 3 2 5 23 xx − > − f) 23 1 6 2 xxx ≤ − − − II. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1. Hai thư viện có cả tất cả 20.000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thư viện thứ hai 2.000 cuốn sách thì số sách của hai thư viện bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện . Giải: Gọi x (cuốn) là số sách ban đầu của thư viện I (2000 < x <20000). Lúc đầu Lúc chuyển Phương trình Thư viện I x x - 2000 x – 2000 = 20000 – x + 2000 Thư viện II 20000 - x 20000 – x + 2000 ĐS: Số sách lúc đầu ở thư viện thứ nhất 12000; thứ hai là 8000. NTP – THA5 10 . giác đã cho. II. Tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy. III. Tam giác. thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. 3. Hệ quả của định lí Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành. mà chọn cách giải ngắn gọn và phù hợp. * Bước 3: Trả lời : Ki m tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều ki n của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận. - Các dạng bài