tài lệu ôn thi môn toán

tổng hợp tài liệu ôn thi môn toán tổng hợp đầy đủ kiến thức đánh cho học sinh ôn thi và giáo viên nghiên cứu và tham khảo tổng hơp tài liệu ôn thi môn toán tông hợp đầy dủ kiên thức đanh cho học sinh on thi và giao viên nghiên cứu và tham khảo

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

Chủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

*) Tìm các tiệm cận đứng, ngang (nếu có)

*) Lập bảng biến thiên và điền đầy đủ các yếu tố

*) Nêu sự đồng biến,nghịch biến và cực trị (nếu có)

*) Tìm các điểm đặc biệt ( giao với trục Ox, giao với trục Oy) và một số điểm

3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x)

- Đưa phương trình về dạng f(x) = A(m)

- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = A(m)

- Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ và biện luận kết quả

Lưu ý: Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm m để phương trình có 3, 4 nghiệm, ta chỉ trả lời đúng

yêu cầu của mỗi bài toán đưa ra.

4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]

- Nhận xét: Hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]

- Hàm số đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 (f(x) có đạo hàm tại x0)

- Nếu y’ là một tam thức bậc hai có biệt thức ∆ thì y’ đạt cực trị ⇔ ∆ > 0

6) Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)

- Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x)

- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho

II BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1: Cho hàm số y= − +x3 3x2−1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3−3x2+ =m 0

Bài giải a)

• Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và (2;+∞).

• Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2

Bài giải a)

Bài 3: Cho hàm số 2 3

x y x

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) trong các trường hợp:

a) y x= −3 3x2+2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

b) y x= 4−2x2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x

y= x

Bài giải a)

(2x 1)

y = −

−

0 2

2

x k

Bài 5: Cho hàm số 4 2

3x 1

y= − +x + có đồ thị (C)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x4−3x2+ =m 0 có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= − +x4 3x2+1 trên [0; 2]

Bài giải a)

Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:

b)

• x4−3x2+ = ⇔ − +m 0 x4 3x2+ = +1 m 1

⇔ < + < ⇔ < <

c)

• Hàm số y= − +x4 3x2+1 liên tục trên [0;2].

• y'= −4x3+6x

•

( ) ( ) ( )

3

0 0; 23

230; 22

Bài 7: Cho hàm số 2 1

2

x y x

−

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Bài giải a)

Thực hiện tương tự các bước khảo sát bài 3, ta có đồ thị (C) như sau:

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số 1 3 2

3

y= x −x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3

Bài 2: Cho hàm số y=2x3−3(m2+1)x2+6mx−2m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

b) Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại x = 1 Khi đó xác định giá trị cực trị của hàm

số tại đó

Bài 3: Cho hàm số 3 2

y= − +x x − có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

d :y= − +9x 7.

c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= − +x3 3x2−4 trên [1; 3]

Bài 4: Cho hàm số y x= −3 mx2+ −m 1, m là tham số

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi m = 3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 2

c) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4−6x2+ + =1 m 0

b) Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu

c) Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu

d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4−2x2+ −6 4m=0

BT 9: Cho hàm số 3 2

2

x y x

+

=+a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ là những số nguyên

BT 10: Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

−a) Khảo sát hàm số

b) Cho đường thẳng d có phương trình 2x-y+m = 0 CMR d luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m

x y

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

cho tại hai điểm phân biệt

Bài 13: Cho hàm số 2 3

1

x y

x

−

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1) Công thức lũy thừa

• Cho a>0, b>0 và m n, ∈¡ Khi đó

α

n

a a

log

c a

c

b b

• loga f x( ) log= a g x( )⇔ f x( )=g x( ) với a>0.

• Nếu a>1 thì loga f x( ) log> a g x( )⇔ f x( )>g x( )

• Nếu 0<a<1 thì loga f x( ) log> a g x( )⇔ f x( )<g x( )

 Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t

 Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện

 Nếu có nghiệm thỏa thì thay t a= x để tìm x và kết luận

c) Phương pháp lôgarit hóa

lấy lôgarit 2 vế đưa phương trình về dạng đơn giản hơn

4)

Phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

( ) 0, ( ) 0log ( ) log ( )

5) Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit

Cách giải tương tự như cách giải phương trình mũ và lôgarit

II BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1: Giải cac phương trình sau

3 4

3 4 01

52

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Bài 2: Giải các phương trình sau

Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 1.

Bài 3: Giải các phương trình sau

1) log log log

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

Bài 4: Giải các bất phương trình sau:

Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).

Bài 5: Giải các bất phương trình sau:

6 0

3

x x

x x

x x

x

> −

+ >

x x

x x

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm 0; 1 1;9

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình

Bài 3: Giải các bất phương trình sau

2

x

e x> − f) log (3 x− +3) log (3 x− <5) 1

* Chú ý : Thường các em đặt t là căn, mũ, mẫu.

- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào

có luỹ thừa cao nhất

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số

- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức

- Nếu tích phân chứa dx

x thì đặt t =lnx.

- Nếu tích phân chứa ex thì đặt t e = x

- Nếu tích phân chứa dx

- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t =sinx

- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t= cosx

) (

ham nguyen

lay v

ham dao

lay dx

du dv

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

II BÀI TẬP MINH HỌA

BÀI 1: Tính các tích phân sau

x

x

=+

sin 2cos

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Tính các tích phân sau

∫ x x x dx 7.

11

sin

x cos

x d x

 Căn bậc hai của số thực a âm là : ±i a| |

 Phương trình bậc hai trên tập số phức az2+bz+c=0 (a 0)≠ :

* Nếu ∆= 0 thì p.trình có một nghiệm kép (thực) x = -

2

b a

* Nếu ∆> 0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2 =

2

i i

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Tìm nghịch đảo của các số phức sau:

a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

b) Phần thực của z thuộc đoạn [ 2;1]− .

c) Phần thực của z thuộc đoạn [ 2;1]− và phần ảo của z thuộc đoạn [1;3]

Chủ đề 5: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

*).Góc giữa hai mặt phẳng :

1 2

.) )

a a a

*).Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d ’ : Ta thực hiện hai bước

+ Tìm quan hệ giữa 2 vtcp ard, auurd /

+ Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ:

(0 90 )

ϕ = o ≤ ≤ ϕ o

uuur r uuur

Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ → →

AC ,

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

ABCD là hình bình hành ⇔ uuur uuurAB DC=

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

+ Viết phương trình (BCD)

Dạng4: Tìm hình chiếu của điểm M

a H là hình chiếu của M trên mp(α )

 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc (α) : ta có uur ra d =n( ) α

a.Điểm M / đối xứng với M qua mp(α )

/ / /

2 2 2

H M M

H M M

/ / /

2 2 2

H M M

H M M

* Dạng 6: Khoảng cách

+ Viết phương trình mp(α ) chứa A và ⊥∆

+ Tìm giao điểm H của ∆ và (α )

+ Tính d(A, ∆) = AH

b) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và (α ) với ∆ //( ) α :

+ d( ,( )) ∆ α =d M( ,( )) α

c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ∆, ∆’ :

+ Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa ∆’ và //∆

*(S) : x 2 + + − y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 − − + = (2) (với a 2 + + − > b 2 c 2 d 0)

 d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)

*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I trên mp(α ) )

+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuơng gĩc mp(α) : ta cĩ uura d =nr( ) α

*Tìm bán kính R và tâm H của đường trịn giao tuyến:

+ Bán kính R = r2 −d2( ,( ))I α

+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I trên mp(α) )

II BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1 : Trong khơng gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) và C(1;1;-3)

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuơng tại A Tính diện tích tam giác ABC

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AM, với AM là trung tuyến của tam giác ABC

c) Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC

d) Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC)

Bài giải

a)

 Ta cĩ: uuurAB= − −( 2; 2; 4)⇒ AB=2 6, uuurAC=(0; 2; 1)− − ⇒AC= 5

 Suy ra: uuur uuurAB AC = + − = ⇔0 4 4 0 uuurAB⊥uuurAC

 Hay tam giác ABC vuơng tại A

S= AC AB= =b)

 Gọi nr=uuur uuurAB AC∧ =(10; 2; 4)−

 Mp(P) qua A(1;3;-2) nhận nr=(10; 2; 4)− làm VTPT có phương trình tổng quát:

Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) x−2y+2z+ =1 0

a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC

c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P)

Bài 3: Cho mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 2x+6y− + =8z 1 0.

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

a) (P) đi qua 3 điểm A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1)

b) (P) qua DE và song song với GH với D(1;1;1), E(2;1;2), G(-1;2;2) và H(2;1;-1)c) (P) là mặt phẳng trung trực của MN với M(2;3;1), N(-4;1;5)

( 6; 2; 4)

uuuur

.Mp(P) làmp trung trực của MN qua I(−1; 2;3), nhận MNuuuur= − −( 6; 2; 4) làm VTPT có

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số

của đường thẳng d biết:

a) d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC

b) d qua C và vuông góc với mp(ABC)

0 1

0 2

0 3

312122

Thực hiện tương tự: d và ∆3 chéo nhau.

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng

1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD và song song với đường thẳng AB

3/ Viết phương trình đường thẳng AD

4/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm

M(1, -2 ; 3)

1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách

từ M đến mp(P)

2/ Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mp(P)

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba

điểm A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8)

1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P)

2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5 Chứng minh rằng mặt cầu này cắt mặt phẳng (P)

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1),

C(1 ; 0 ; -4)

1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC)

Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0),

D(0 ; 0 ; 3)

1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện

2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5)

1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB

2/ Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) tại A

3/ Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O.

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4)

1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đọan AB 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B Tìm điểm đối xứng của B qua A

Bài 9 :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)

b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0

c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0

d)Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0

e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

f).Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ

Bài 10 :Cho hai đường thẳng (d): 1 1 2

b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng

c)Tính góc giữa (d1) và (d2)

Bài 11:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1)

a) Viết phương trình đường thẳng BC

b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 12 :Cho ( )α : 2x+5y z+ +17 0= và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0

a/ Tìm giao điểm A của (d) và ( )α

b/ Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mp ( )α

Bài 13 :Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình

x + 2y + z –1= 0

a/ Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P)

b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P)

Bài 14 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng

a) Viết phương trình mp( P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d)

b) Viết phương trình mp ( Q ) : biết mp(Q) qua M và vuông góc đường thẳng (d)

c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d)

Bài 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng

(P ) :x y+ +2z+ =1 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + − z2 2 x + 4 y − 6 z + = 8 0

a Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)

b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Chủ đề 6: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) Thể tích:

13

Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ

Giải

a) Ta có V B h = , trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ

b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức Sxq = 2 π r l

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

c) Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB Tính thể tích khối chóp S.AIH

b) Gọi I là trung điểm SC

cầu là trung điểm I của SC còn bán kính mặt cầu là

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD cậnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600

a) Tính thể tích khối chóp

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA bằng a và SA vuông góc đáy.

a) Tính thể tích khối chóp

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp