Đây là giáo àn bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 dành cho những thầy cô dạy bồi dưỡng môn toán 6
Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 Ngày soạn : 04/9/2013 Ngày dạy : 11/9/2013(Buổi 1) THỨ TỰ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH. TÍNH NHANH VÀ TÍNH HỢP LÍ I. MỤC TIÊU - Ôn tập lại các tính chất của phép cộng và phép nhân, phép trừ và phép chia. - Rèn luyện kỹ năng vận dụng các tính chất trên vào các bài tập tính nhẩm, tính nhanh và giải toán một cách hợp lý. - Vận dụng việc tìm số phần tử của một tập hợp đã được học trước vào một số bài toán. - Hướng dẫn HS cách sử dụng máy tính bỏ túi. II. CHUẨN BỊ GV: Nội dung bài học HS: Ôn lại các kiến thức đã học III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC 1. ổn định tổ chức 2. Kiểm tra bài cũ : Kết hợp khi học bài 3 Bài học HOẠT ĐỘNG 1: ÔN TẬP LÝ THUYẾT. chúng ta dùng dấu “+” để chỉ phép cộng: Viết: a + b = c +)Phép nhân hai sốtự nhiên bất kìluôn cho ta một sốtự nhiên duy nhấtgọi là tích của chúng. Ta dùng dấu “.” Thay cho dấu “x” ở tiểuhọc để chỉ phép nhân. Viết: a . b = c * Chú ý: Trong một tích nếu hai thừa số đều bằng số thì bắt buộc phải viết dấu nhân “.” Còn có một thừa số bằng số và một thừa số bằng chữ hoặc hai thừa số bằng chữ thì không cần viết dấu nhân “.” Cũng được .Ví dụ: 12.3 còn 4.x = 4x; a . b = ab. +) Tích của một số với 0 thì bằng 0, ngược lại nếu một tích bằng 0 thì một trong các thừa số của tích phải bằng 0. * TQ: Nếu a .b= 0thì a = 0 hoặc b = 0. +) Tính chất của phép cộng và phép nhân: a)Tính chất giao hoán: a + b= b+ a a . b= b. a b)Tính chất kết hợp: ( a + b) +c = a+ (b+ c) (a .b). c =a .( b.c ) c)Tính chất cộng với 0 và tính chất nhân với 1: a + 0 = 0+ a= a a . 1= 1.a = a d)Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: a.(b+ c )= a.b+ a.c Câu 1: Phép cộng và phép nhân có những tính chất cơ bản nào? Câu 2: Phép trừ và phép chia có những tính chất cơ bản nào? Hoạt động 2: Bài tập *.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất. a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 = Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau: a/ 8 x 17 x 125 b/ 4 x 37 x 25 a) =(67+33) + 135 = 100 + 135 = 235 b) =(277+ 323) + (113+ 87) = 600 + 200= 800 a) = (8 .25).17 =100.17=1700 b) = ( 25.4).37 = 100.7=700 Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí: a/ 997 + 86 b/ 37. 38 + 62. 37 c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001 d/ 67. 99; 998. 34 a/ 997 + (3 + 83) = (997 + 3) + 83 = 1000 + 80 = 1083 Sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng. Nhận xét: 997 + 86 = (997 + 3) + (86 -3) = 1000 + 83 = 1083. Ta có thể thêm vào số hạng này đồng thời bớt đi số hạng kia với cùng một số. b/ 37. 38 + 62. 37 = 37.(38 + 62) = 37.100 = GV: Hoàng Văn Thám 1 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 3700. Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Bài 4: Tính nhanh các phép tính: a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999 b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997 Bài 5: Tính nhanh: a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72 d) 55. 14 +)Tính nhanh tích hai số bằng cách tách một thừa số thành tổng hai số rồi áp dụng tính chất phân phối: c/ 43. 11 = 43.(10 + 1) = 43.10 + 43. 1 = 430 + 43 = 4373. 67. 101= 6767 423. 1001 = 423 423 d/ 67. 99 = 67.(100 – 1) = 67.100 – 67 = 6700 – 67 = 6633 998. 34 = 34. (100 – 2) = 34.100 – 34.2 = 3400 – 68 = 33 32 a/ 37581 – 9999 = (37581 + 1 ) – (9999 + 1) = 37582 – 10000 = 27582 b/ 7345 – 1998 = (7345 + 2) – (1998 + 2) = 7347 – 2000 = 5347 c/ ĐS: 385322 d/ ĐS: 5596 Bài 6 :Tính nhanh: a) 25. 12 b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302 e) 125.18 g) 123. 1001 Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất: a) 463 + 318 + 137 + 22 b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 c) (321 +27) + 79 d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 f) 347 + 418 + 123 + 12 Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất: a) 5. 125. 2. 41. 8 b) 25. 7. 10. 4 c) 8. 12. 125. 2 d) 4. 36. 25. 50 Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c = a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d) Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất: a) 38. 63 + 37. 38 b) 12.53 + 53. 172– 53. 84 c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d, 39.8 + 60.2 + 21.8 e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 VD: Tính nhanh: 45.6 = ( 40 + 5). 6 = 40. 6 + 5. 6 = 240 + 30 = 270. +) Sử dụngtính chất giao hoán kết hợp của phép cộng để tính bằng cách hợp lí: VD:Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất: 135 + 360 + 65 + 40 = (135 + 65) + ( 360 + 40) = 200 + 400 = 600 +. Sử dụng tính chất giao hoán kết hợp của phép nhânđể tính bằngcách hợp lí nhất: VD: Tính bằng cách hợp lín hất: 5. 25. 2. 37. 4 = (5. 2). (25. 4). 37 = 10. 100. 37 = 37 000. *. Sử dụng tính chất phân phối để tính nhanh: VD: Tính bằng cách hợp lí nhất: a) 28. 64 + 28. 36 = 28.(64 + 36 ) = 28. 100 = 2800 b) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12 = 24. 25 + 24. 37 + 24. 38 = 24.(25 + 37 + 38 ) = 24. 100 = 2400 *Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa 2 chữ số đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục. GV: Hoàng Văn Thám 2 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 vd : 34 .11 =374 ; 69.11 =759 d ) 79.101 =79(100 +1) =7900 +79 =7979 *Chú ý: muốn nhân một số có 2 chữ số với 101 thì kết quả chính là 1 số có được bằng cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau vd: 84 .101 =8484 ; 63 .101 =6363 ; 90.101 =9090 *Chú ý: muốn nhân một số có 3 chữ số với 1001 thì kết quả chính là 1 số có được bằng cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau Ví dụ:123.1001 = 123123 Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy số, tập hợp Bài 1:Tính tổng sau: a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + . + 100 b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + . + 100 c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + . + 301 d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .+ 201. Bài 2: (VN)Tính các tổng: a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + . + 302 b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .+ 203. c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + . + 301 d) D =8 + 15 + 22 + 29 + . + 351 Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + . a)Tìm số hạng thứ100 của tổng. b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên. Bài 4: (VN ) Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + . a)Tìm số hạng tứ50 của tổng. b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên. Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91 Bài 6: (VN) Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501. d)Tính tổng các chữ số của A. Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + . + 1998 + 1999 Bài 8: Tính tổng của: a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số. a)Số số hạng củ dãy là: (100-1):1+1 = 100 A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050 b)số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499 c,d)(HS tự giải lên bảng trình bày) lưu ý: số cuối = (số số hạng-1) . khoảng cách- số đầu a. vậy số thứ 100 = (100-1) .3 – 5 = 292 b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000 c. A= {13;14;15;16; ;90} Số số hạng là: 90 -13 +1 =78 A = (90+ 13)78 : 2 =4017 - áp dụng theo cách tích tổng của Gauss - Nhận xét: Tổng trên có 1999 số hạng Do đó S = 1 + 2 + 3 + . + 1998 + 1999 = (1 + 1999). 1999: 2 = 2000.1999: 2 = 1999000 a/ S 1 = 100 + 101 + . + 998 + 999 Tổng trên có (999 – 100) + 1 = 900 số hạng. Do đó S 1 = (100+999).900: 2 = 494550 Bài 9: (VN)Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bài 10: Cho dãy số: a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, . Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên b/ S 2 = 101+ 103+ . + 997+ 999 Tổng trên có (999 – 101): 2 + 1 = 450 số hạng. Do đó S 2 = (101 + 999). 450 : 2 = 247500 ( ĐS: a/ 14751 b/ 10150 ) a/ a k = 3k + 1 với k = 0, 1, 2, ., 6 b/ b k = 3k + 2 với k = 0, 1, 2, ., 9 c/ c k = 4k + 1 với k = 0, 1, 2, . hoặc c k = 4k + 1 với k ∈ N GV: Hoàng Văn Thám 3 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2 1k + , k ∈ N Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2k , k ∈ N) *Dạng 3: Tìm x Bài 1:Tìm x ∈ N biết a)(x –15) .15 = 0 b) 32 (x –10 ) = 32 Bài 2:Tìm x ∈ N biết : a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445 c) 315+(125-x)= 435 Bài 3:Tìm x ∈ N biết : a) x –105 :21 =15 b) (x- 105) :21 =15 Bài 4: Tìm số tự nhiên x biết a( x – 5)(x – 7) = 0 b/ 541 + (218 – x) = 73 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x – 47) – 115 = 0 e/ (x – 36):18 = 12 a) ⇔ x –15 = 0 ⇔ x =15 b) ⇔ x –10 = 1 ⇔ x = 11 *.Dạng 4: Ma phương Cho bảng số sau: Các số đặt trong hình vuông có tính chất rất đặc biệt. đó là tổng các số theo hàng, cột hay đường chéo đều bằng nhau. Một bảng ba dòng ba cột có tính chất như vậy gọi là ma phương cấp 3 (hình vuông kỳ diệu) Bài 1: Điền vào các ô còn lại để được một ma phương cấp 3 có tổng các số theo hàng, theo cột bằng 42 HS theo dõi 4. Củng cố: GV hệ thống lại nội dung bài dạy 5. Hướng dẫn về nhà: Hoàn thành các bài tập còn lại - Chuẩn bị chủ đề “Luỹ thừa với số mũ tự nhiên” RÚT KINH NGHIỆM : Ngày soạn : 15/9/2013 Ngày dạy : 21/9/2013(Buổi 2) Ngày dạy : 10/10/2013(Buổi 3) DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức cần đạt - Học sinh nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính về số tự nhiên, về luỹ thừa 2. Kĩ năng cần đạt GV: Hoàng Văn Thám 4 Trường THCS Bình An Thịnh 9 19 5 7 11 15 17 3 10 1 5 1 0 12 1 5 1 0 17 16 14 12 11 1 8 13 Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 - Thực hiện các phép tính thành thạo - Tính tổng dãy số có quy luật -Các bài toán về luỹ thừa: So sánh hai luỹ thừa, tìm số mũ, tìm cơ số 3. Các dạng bài - Thực hiện các phép tính, tính nhanh và hợp lí - Các bài toán về dãy số có quy luật - Các bài toán liên quan đến luỹ thừa: So sánh hai luỹ thừa, tìm chữ số tận cùng, số chính phương. II. CHUẨN BI - GV phân lọai các dạng bài toán về dáy số tự nhiên viết theo quy luật. - HS ôn tập về dãy số dã học ở tiểu học. III. NỘI DUNG DẠY HỌC: Bài toán 1 : Tính các tổng sau 1. A = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 2. B = 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + + 3 100 Giải : 1. 2A = 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 10 + 2 11 . Khi đó : 2A – A = 2 11 – 1 2. 3B = 3 + 3 2 + 3 3 + + 3 100 + 3 101 . Khi đó : 3B – B = 2B = 3 101 – 1 . Vậy B = Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là : Tính tổng S = 1 + a + a 2 + a 3 + + a n , a ∈ Z + , a > 1 và n ∈ Z + Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a 2 + a 3 + a 4 + + a n + a n+1 . Rồi trừ cho S ta được : aS – S = ( a – 1)S = a n+1 – 1 . Vậy : 1 + a + a 2 + a 3 + + a n = . Từ đó ta có công thức : a n+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a 2 + a 3 + + a n ) . Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau: 2 3 2007 2 3 100 ) 1 7 7 7 7 ) 1 4 4 4 4 a A b B = + + + + + = + + + + + c) Chứng minh rằng : 14 14 – 1 chia hết cho 3 d) Chứng minh rằng : 2009 2009 – 1 chia hết cho 2008 Bài toán 2 : Tính các tổng sau 1) A = 1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 + + 3 100 2) B = 7 + 7 3 + 7 5 + 7 7 + 7 9 + + 7 99 Giải : 1) A = 1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 + + 3 100 . Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3 2 , rồi trừ cho A ta được : 3 2 A = 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 + + 3 100 + 3 102 A = 1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 + + 3 100 3 2 A – A = 3 102 – 1 . Hay A( 3 2 – 1) = 3 102 – 1 . Vậy A = ( 3 102 – 1): 8 Từ kết quả này suy ra 3 102 chia hết cho 8 GV: Hoàng Văn Thám 5 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 2 ) Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 7 2 rồi trừ cho B , ta được : 7 2 B = 7 3 + 7 5 + 7 7 + 7 9 + + 7 99 + 7 101 B = 7 + 7 3 + 7 5 + 7 7 + 7 9 + + 7 99 7 2 B – B = 7 101 – 7 , hay B( 7 2 – 1) = 7 101 – 7 . Vậy B = ( 7 101 – 7) : 48 Tương tự như trên ta cũng suy ra 7 101 – 7 chia hết cho 48 ; 7 100 - 1 chia hết cho 48 Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau : A = 2 + 2 3 + 2 5 + 2 7 + 2 9 + + 2 2009 B = 1 + 2 2 + 2 4 + 2 6 + 2 8 + 2 10 + + 2 200 C = 5 + 5 3 + 5 5 + 5 7 + 5 9 + + 5 101 D = 13 + 13 3 + 13 5 + 13 7 + 13 9 + + 13 99 Tổng quát : Tính * b) 2 4 6 2 1 1 n S a a a a = + + + + + , với ( 2, a n N ≥ ∈ ) c) 3 5 2 1 2 n S a a a a + = + + + + , với ( * 2, a n N ≥ ∈ ) Bài tập khác : Chứng minh rằng : a. A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + …+ 2 60 chia hết cho 21 và 15 b. B = 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + … + 3 11 chia hết cho 52 c. C = 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + …+ 5 12 chia hết cho 30 và 31 Bài toán 3 : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Lời giải 1 : Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990. A = 990/3 = 330 Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta có kết quả tổng quát sau : A = 1.2 + 2.3 + … + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3 Lời giải khác : Lời giải 2 : 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 ).2.3 = (1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 ).6 = 990 = 9.10.11 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có : (1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 ).6 = 9.10.11, hay (1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 ) = 9.10.11/6 Ta có kết quả tổng quát : P = 1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + … + (2n + 1) 2 = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 GV: Hoàng Văn Thám 6 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 Bài tập vận dụng : Tính các tổng sau : 1. P = 1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + + 99 2 2. Q = 11 2 + 13 2 + 15 2 + … + 2009 2 . 3. M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100 Từ bài toán 3 ==> Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11. Tính giá trị của C. Giải : Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3 Theo cách giải 2 của bài toán 2, ta lại có : C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11) = 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + 8 ( 7 + 9) + 10( 9 + 11) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10 = 2.2 2 + 2.4 2 + 2.6 2 + 2.8 2 + 2.10 2 = 2.( 2 2 + 4 2 + 6 2 + 8 2 + 10 2 ) Vậy C = 2.(2 2 + 4 2 + 6 2 + 8 2 + 10 2 ) = 10.11.12/3 .Từ đó ta có : 2 2 + 4 2 + 6 2 + 8 2 + 10 2 = 10.11.12/6 Ta lại có kết quả tổng quát là : 2 2 + 4 2 + 6 2 + …+ (2n) 2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Bài tập áp dụng : 1. Tính tổng : 20 2 + 22 2 + … + 48 2 + 50 2 . 2. Cho n thuộc N*. Tính tổng : n 2 + (n + 2) 2 + (n + 4) 2 + … + (n + 100) 2 . Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ .Bài toán có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n. 3.Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 999.1000 Bài toán 4 : Chứng minh rằng : 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải 1 : Xét trường hợp n chẵn : 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = (1 2 + 3 2 + 5 2 + … + (n – 1) 2 ) + (2 2 + 4 2 + 6 2 + … + n 2 ) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = (1 2 + 3 2 + 5 2 + … + n 2 ) + (2 2 + 4 2 + 6 2 + … + (n – 1) 2 ) = n(n + 1)(n + 2)/6 + (n – 1)n(n + 1)/6 = n(n + 1)(n + 2 + n – 1)/6 = n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( đpcm) Lời giải 2 : S = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ n² S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + n.n = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + …n[(n+1)-1] = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 +…+ n(n + 1 ) – n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ n( n + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + … + n ) = - = n( n + 1 ). ) = n( n + 1) GV: Hoàng Văn Thám 7 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 Vậy S = Vậy ta có công thức tính tổng của dãy số chính phương bắt đầu từ 1 là : 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Bài tập áp dụng : Tính giá trị của các biểu thức sau: N = 1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + …+ 99 2 A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + + 10000 B = - 1 2 + 2 2 – 3 2 + 4 2 - … - 19 2 + 20 2 . Gợi ý: Tách B = (2 2 + 4 2 + … + 20 2 ) – (1 2 + 3 2 + …+ 19 2 ) ; tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi tìm kết quả của bài toán. Bài toán 5 . Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Giải Nhận xét : Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 3 + 97.99.101 1 97.33.101 A 2 + = = 161 651 Trong bài toán 2 ta nhân A với 3. Trong bài toán 5 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử. Bài toán 6 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10. Lời giải : Trở lại bài toán 2. mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Học tập cách đó , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số .Ta giải được bài toán như sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] 4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980. Từ đó ta có kết quả tổng quát A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101 Bài toán 7 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 GV: Hoàng Văn Thám 8 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 Giải : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 15 95.97.99.101 A 8 + = = 11 517 600 Trong bài 6 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 7 ta nhân A với 8 (bốn lần khoảng cách) vì mỗi hạng tử của A cũng có 3 thừa số. Bài toán 8 : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Giải A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + … + (98 + 1).100 = 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 Cách khác : A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Bài tập áp dụng 1. Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Giải : A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 - 3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 2. Tính A = 1.2 2 + 2.3 2 + 3.4 2 + … + 99.100 2 Giải : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Bài tập áp dụng : 1. Tính A = 1 2 + 4 2 + 7 2 + …. +100 2 . 2. Tính B = 1.3 2 + 3.5 2 + 5.7 2 + … + 97.99 2 . 3. Tính A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 GV: Hoàng Văn Thám 9 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 4. Tính B = 1.3 + 5.7 + 9.11 + … + 97.101 5. Tính C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 6. Tính D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 7. Tính E = 1.3 3 + 3.5 3 + 5.7 3 + … + 49.51 3 8. Tính F = 1.99 2 + 2.98 2 + 3.97 2 + … + 49.51 2 Bài toán 9 : Tính tổng S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ Lời giải : Trước hết ta chứng minh một kêt quả sau đây : với n là số tự nhiên thì ta có n 2 – n = (n – 1)(n + 1) . Thật vậy : n 2 – n = n( n 2 – 1) = n( n 2 – n + n – 1) = n[(n 2 – n) + ( n – 1)] = n[n(n – 1) + ( n – 1)] = (n – 1)n( n + 1) đpcm Áp dụng kết quả trên để tính S Ta có S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ S = 1 3 – 1 + 2 3 – 2 + 3 3 – 3 + 4 3 – 4 + 5 3 – 5 +…+ n 3 – n + ( 1 + 2 + 3 + …+ n ) S = 0 + 2( 2 2 – 1 ) + 3( 3 2 – 1 ) + 4( 4 2 – 1 ) + …+ n( n 2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n ) S = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + … + n ) S = = = n( n + 1). = n( n + 1 ). Nhận xét Vì = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n , nên ta có kết quả rất quan trọng sau đây : 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … +n )² Bài toán 10 : Tính các tổng sau : a ) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + + b ) B = 1 + 11 + 111 + 1111 + + c ) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + + Giải : a) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + + = 10 1 – 1 + 10 2 – 1 + 10 3 – 1 + + 10 10 – 1 = 10 1 + 10 2 + 10 3 + + 10 10 – 10 = ( 10 1 + 10 2 + 10 3 + 10 4 + + 10 10 ) – 10 = 0 – 10 = 00 GV: Hoàng Văn Thám 10 Trường THCS Bình An Thịnh [...]... 8. 16 ≥ 2n ≥ 4 23.24 ≥ 2n ≥ 22 27 ≥ 2n ≥ 22 => n ∈ { 2;3;4;5 ;6; 7} Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng : 415 915 < 2n 3n < 18 16 2 16 Với bài này , giáo viên gợi ý học sinh quan sát , nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán : 415 915 < 2n 3n < 18 16 2 16 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2) 16 361 5 < 6n < 361 6 63 0 < 6n < 63 2 => n = 31 Bây giờ, học sinh. .. 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2n 5 5 5 5 5 3 +3 +3 2 +2 Hướng dẫn: 3 2x+1 3y = 12x a 2x+1 3y = 22x.3x => 3y 22x = x +1 3x 2 3y-x = 2x+1 => y-x = x-1 = 0 Hay x = y = 1 b 10x : 5y = 20y 10x = 20y 5y 10x = 100y 10x = 1002y => x = 2y 4 b 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2n 5 5 5 5 5 3 +3 +3 2 +2 4.4 5 6. 6 5 5 = 2n 5 3.3 2.2 46 66 = 2n 36 2 6 => 46 = 2n => 212 = 2n... cách làm , giáo viên có thể gợi ý : hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) => 263 < 528 (2) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 62 57 Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 Bài 4 So sánh : a, 10750 và 7375 b, 291 và 535 GV: Hoàng Văn Thám 23 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp... Tìm x biết : x (6- x)2003 = (6- x)2003 Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số mũ như bài trên) Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn x (6- x)2003 = (6- x)2003 x (6- x)2003 - (6- x)2003 = 0 (6- x)2003 (x-1) = 0 => (6- x)2003 = 0 hoặc (x-1) = 0 * Nếu (6- x)2003 = 0 => (6- x) = 0 x =6 * Nếu (x-1) = 0 => x = 1 Vậy : x ∈ {1 ;6} Bài 3 : Tìm... = (113 )66 0 = 133 166 0 (1) (2) 371320 = 372 )66 0 = 1 369 660 Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320 g, Ta có : 1010 = 210 510 = 2 29 510 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 3 29 510 (**) Từ (*) và (**) => 1010 < 48 505 h, Có : 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 Bài 3 Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không... 3)4 + (5c - 6) 2 ≤ 0 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5 )6 ≤ 0 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19 )6 ≤ 0 d, (7b -3)4 + (21a - 6) 4 + (18c +5 )6 ≤ 0 1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số Bài 1 : Tìm n ∈ N biết : a, 2008n = 1 GV: Hoàng Văn Thám c, 32-n 16n = 1024 16 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 b, 5n + 5n+2 = 65 0 Năm học :2013-2014... Tìm x biết rằng: a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8 c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = 9 Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp a, x3 = -27 GV: Hoàng Văn Thám b, (2x – 1)3 = 8 13 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 x3 = (-3)3 Năm học :2013-2014 3 (2x – 1) = (-2) x = -3 3 => 2x – 1 = - 2 Vậy... GV: Hoàng Văn Thám 20 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 b 10a + 168 = b2 Năm học :2013-2014 Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con đường bế tắc không có lời giải Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải bài toán này : a) 2a + 124 = 5b (1) * Xét a = 0, khi đó... GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT 1 Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b Μ 45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để a56b Μ 45 ⇔ a56b Μ 5 và 9 Xét a56b Μ 5 ⇔ b ∈ {0 ; 5} Nếu b = 0 ta có số a56b Μ 9 ⇔ a + 5 + 6 + 0 Μ 9 ⇒ a + 11 Μ 9 ⇒a=7 Nếu b = 5 ta có số a56b Μ 9 ⇔ a + 5 + 6 + 0 Μ 9 ⇒ a + 16 Μ 9 ⇒a=2 Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7 560 a = 2 và b = 5 ta có số 2 560 Ví... Bài 1: Tìm x biết: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 GV: Hoàng Văn Thám (1) 19 Trường THCS Bình An Thịnh Giáo án BDHSG toán 6 Năm học :2013-2014 Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và cơ số Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau : Đặt x-1 = y ta có: x+2=y+3 x+4=y+5 yy+3 = yy+5 Khi . 35.34 +35.38 + 65 .75 + 65 .45 d, 39.8 + 60 .2 + 21.8 e, 36. 28 + 36. 82 + 64 .69 + 64 .41 VD: Tính nhanh: 45 .6 = ( 40 + 5). 6 = 40. 6 + 5. 6 = 240 + 30 = 270. +) Sử dụngtính chất giao hoán kết hợp. = 100 2y => x = 2y 4 b. n 2 22 66 666 6 . 333 4444 55 555555 555 5555 = + +++++ ++ +++ n 2 2.2 6. 6 . 3.3 4.4 5 5 5 5 = n 2 2 6 . 3 4 6 6 6 6 = => 4 6 = 2 n => 2 12 = 2 n =>. 43. 1 = 430 + 43 = 4373. 67 . 101= 67 67 423. 1001 = 423 423 d/ 67 . 99 = 67 .(100 – 1) = 67 .100 – 67 = 67 00 – 67 = 66 33 998. 34 = 34. (100 – 2) = 34.100 – 34.2 = 3400 – 68 = 33 32 a/ 37581 – 9999