CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC A). PHẦN DIỆN TÍCH: I . Kiến thức + Diện tích hình chữ nhật S=a.b +Diện tích hình vuông S= a 2 + Diện tích tam giác ABC= 1 2 a.h = 1 2 AH. BC + Diện tích hình thang S= 1 2 (a+b).h = 1 2 (IJ +LK)IM + Diện tích hình bình hành =a.h=AN .DC +Ta có BM =CM ⇒ AMB AMC S S= Ta có AA’// BC ⇒ ' ' 'ABC A B C S S=V II) BÀI TẬP 1.Cho ABC các đường cao AA’ ;BB’ ;CC’ trực tâm H. CMR : ' ' ' 1 ' ' ' HA HB HC AA BB HH + + = Giải ' ' ' '. '. '. ét; ' ' ' '. '. '. 1 BHC AHC ABC AHB ABC ABC ABC ABC HA HB HC HA BC HB AC HC AB X AA BB HH AA BC BB AC HH AB S S S S S S S S + + = + + = + + = = Bài 2 Cho tứ giác ABCD có góc A, góc C bằng 90 0 . Vẽ CH vuông góc với AB. Biêt rằng đường chéo AC là đường phân giác của góc A và CH = a. Tính diện tích tứ giác ABCD theo a. GIẢI µ µ µ µ µ µ · · · ⊥ = = = ⇒ = = = = ⇒ = = + = + = = 0 0 DCK BCH 2 ABCD AHCD HBC AHCD DCK AHCK Kẻ: CK AD tạiK A K H 90 tứ giácAHCK là hìnhchữnhật MàAClà đườngphângiác củagócAnên tứ giácAHCKlà hình vuông CK CH,K H 90 ,DCK HCB(phụ DCH ) S S Tacó S S S S S S a Bài 2. cho hình thang ABCD ( AB//CD ) , hai đường chéo cắt nhau tại O a, CMR = AOD BOC S S b, cho biết = = AOB COD ABCD S 9, S 25tính S GIẢI a) Vì AB//CD ( ) = ⇒ + = + ⇒ = ⇒ X ADC BDC ADO DOC BOC DOC ADO BOC S S S S S S S S b) = = AO BOC ĐặtS S x ∆ ∆ AOB, BOCcó cùngchiềucaohạ từ Bnên = ∆ ∆ = AOB BOC AOD DOC S OA (1) S OC AOD, DOCcó cùng chiềucaohạ từ D xuống cạnh AC nên S OA (2) S OC ⇒ = ⇔ = ⇔ = > = + + + = AOB AOD BOC DOC 2 ABCD S S 9 x Từ (1)và (2) x 15(cm),(x 0) S S x 25 vậyS 9 25 15 15 64 (cm ) Bài 2 : Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD CMR: + = + AOB COD AOD BOC S S S S ( ) ⊥ + = + = + = = ⇒ + = ⇒ + = + + + ⇒ + = + ⇒ W AOB COD ABCD AOB COD ABCD AOB COD ABO COD BOC AOD AOB COD AOD BOC QuaO kẻ HK AB, DCtạiHvà K 1 1 S S OH.AB OK.CD 2 2 1 1 1 CD(OH OK) CD.HK S 2 2 2 2S 2S S 2S 2S S S S S S S S S Bài 4 Cho tam giác ABC với các đường cao AA’ , BB’ ; CC’ , trực tâm H CMR + + = HA' HB' HC' 1 AA' BB' CC' Bài 5 cho hình thang cân ABCD đáy AB<CD gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC, MN giao BD tai I biết AD = 10 ,MI = 6 ,NI = 12 Tính ABCD S Hướng dẫn AB = 2MI = 12 , CD = 2NI = 24 Kẻ AH vng góc với CD , ⊥ BK CD,ABCD là hìnhthangcân − − = = = = = DC AB 24 12 nênAH BKvà DH CK 6 2 2 Bài 6 cho ABC cân tại A . trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM = CA Tia phân giác của góc A cắt BM tại N cho biết : = NBC ABM S 10 TínhS Bài 7 Cho tam giác ABC , gọi M,N là các là trung điêm tương ứng của AC va BC CMR S hình thang ABNM = 3/4 S tam giác ABC Giải Ta có MN là đường trung bình cả tam giác ABC ⇒ MN//AB ⇒ ABNM là hình thang AN , BM là hai đường trung tuyến của tam giác ABC = = = = + = + = ABM BMC ABC BMN MCN ABC ABM BMN ABC ABC ABC 1 S S S 2 1 S S S 4 1 1 3 vậyS S S S S 2 4 4 Bài 8 gọi O là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là a;b Tính tổng diện tích tam giác OAB và OCD theo a và b HD: Ker hai đường thẳng qua O ⊥ AB và BC. Gọi k/c từ O đến AB là x , từ O đến CD là y ⇒ + = x y a Ta có AOB 1 S b.x 2 = ; DOC 1 S b.y 2 = ( ) AOB DOC 1 1 S S b x y a.b 2 2 + = + = Bài 9: Cho ABC∆ có đáy BC cố định và đỉnh A di động trên một đường thẳng d cố định song song với BC. CMR ABC∆ ln co diện tích khơng đổi (HD: ABC∆ cố định vì có đường cao và cạnh đáy khơng đổi) Bài 10: Cho tam giac ABC trung tuyến AD và phân giác BE vng góc với nhau cắt nhau tại F. Cho biết S EFD = 1. Tính S ABC . Gọi x = S ABC. 1 ABF BDF AEF DEF ABD ADC ABF BDF S S AEF DEF S S +∆ = ∆ +∆ = ∆ ⇒ = +∆ = ∆ ⇒ = = ABF BDE BDE DEC S S mà S S⇒ = = 1 1 ; 3 4 ABF BDE DEC ABC A BF ABC S S S s S S⇒ = = = = 1 1 3 3 ABE ABC ABF AEF ABC S S S S S⇒ = ⇒ + = 1 1 1 1 4 3 4 3 ABC ABC x x S S⇒ + = ⇒ + = 12 ( )x ĐVDT= . Câu 11: Nối các đỉnh B và C thuộc đáy của tam giác ABC cân với trung điềm O của đường cao AH. Các đường thẳng này cắt các cạnh bên AC và AB lần lượt ở D và E. Tính diện tích tứ giac AEOD theo S ABC . Hướng dẫn: Do O là trung điểm của AH nên kẻ đường trung bình. Gọi N là trung điểm của DC suy ra HN là đường trung bình của tam giác AHN. 1 3 AD DN NC AC= = = 1 1 ; 2 2 AHC ABC AOC AHC S S S S= = 1 1 1 ; 4 3 3 AOC ABC AOC AOC S S mà S S vì AD AC⇒ = = = Có cùng chiều cao nên 1 2 1 . 2. 12 12 6 AOD ABC ADOE AOD ABC ABC S S S S S S= ⇒ = = = Bài tập 11: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: ABG ACG BCG S S S= = Hướng dẫn BGM CGM S S= có cùng chiều cao GH’ ; CGN AGN AGP BGP S S S S= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 : 2 1 2 ABM AMC ABG BGM AGC CGM ABG AGC ABG BGC ABG BGC AGC Ta có S A S S S S S S CM tương tự S S Từ và S S S = ⇒ + = + ⇒ = = ⇒ = = ⇒ W Bài tập 12: Cho ABC∆ . Trên các tia AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P theo thứ tự sao cho BM=AC, CN=AB, AP=BC. CMR ( ) 3 . . APB BMC CNA ABC S S S S= Hướng Dẫn: Kẻ đường cao BH, AK, CF của ABC∆ Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 . 2 1 1 . 2 2 3 APB APB ABC ABC BMC ACN ABC ABC S BH AP S AP S AC S BH AC S S BM CN Tương tự và S AC S AC = ⇒ = = = = Nhân từng vế của 3 đẳng thức ( ) 1 , ( ) 2 , ( ) 3 ta có: ( ) ( ) 3 . . APB BMC CNA ABC S S S S= ⇒ W BÀI TẬP HƯỚNG DẪN Bài 1: Cho hình thang ABCD ( ) AB CDP khoảng cách từ trung điểm M của AD đến BC là MH. CMR: . ABCD S M H BC= Gợi ý: MH.BC cho a nghó đến diên tích hình bình hành có 1 cạnh bằng BC và chiều cao tương ứng là MH. Đường thẳng qua M song 2 với BC caets AB, DC lần lượt tại E, F. Do đó tứ giác BCFE là hình bình hành Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh DC lấy điểm F sao cho AE=CF. M là điểm tùy ý trên cạnh AD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của EF với MB, MC. CMR: AEGM MHFD GBCH S S S+ = BÀI 1. cho tam giác ABC đường cao AH và tam giác DBC đường cao DK . biết biết AH =1/2 DK CMR: 2 DBC ABC S S= BÀI 2. cho tam giác ABC trung tuến AM CMR : a) ABM ACM S S= b. cho AB =6 cm AC = 8 cm BC=10 cm gọi N là trung điểm của AC Tính MBN S BÀI 3 cho hình chữ nhật ABCD từ A và C kẻ AE và CF cùng vng góc với BD a. CMR : ABCFE ADCFE S S= b. tính diện tích của mỗi da giác trên , biết độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 16 cm và 12 cm BÀI 4 cho tam giác ABC trung tuyến AM gọi I là trung điểm của AM , tia CI cắt AB tại E gọi F là rung điểm của EB . Biết ABC S =36 cm 2 .tính BFC S BÀI 5 cho tam giác ABC trung tuyến AM qua B kẻ đường hẳng // với AM cắt AC tại E gọi I là giao điểm EM vàAB . CMR : a. ABC MEC S S= b. IEK IMB S S = HƯỚNG DẪN CM: AC = AE 1 2 ABC MEC BEC S S S= = 1 2 IEA IACM IMB IACM BEC S S S S S+ = + = IEA IMB S S⇒ = BÀI 6 cho hình thang vuông ABCD µ µ 0 90A D = = có AB =2cm BC=CD=10 cm Tính ABCD S Hướng dẫn Tính ABCD S -> BE -> EC BÀI 7 cho hình thang cân ABCD , AB =10 cm CD=22cm BD là đường phân giac góc D Tính ABCD S Hướng dẫn ABCD S -> AH-> AD và DH BÀI 8 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD=42cm µ µ 0 0 45 , 60C D= = , chiều cao AH =18 cm Tính ABCD S Hướng dẫn ABCD S -> AB-> HK ->DH và KC • Tính KC=BK=18 cm • Tính HD -> AD Ta có AD=2HD ⇒ sử dụng Pitago ⇒ (2HD) 2 =HD 2 +AH 2 ⇒ HD= 2 18 3 BÀI 9 cho tam giác ABC ( có 3 góc nhọn ) . ba đường cao 1 AA ; 1 BB ; 1 CC cắt nhau tại H CMR: 1 1 1 1 1 1 AA' HA HB HC BB CC + + = Hướng dẫn Ta có 1 1 1 1 1 1 . ; AA . 2 2 AA BHC BHC BCA BCA S HA S HA BC S BC S = = ⇒ = Tương tự 1 1 BB HAC ABC S HB S = ; 1 1 CC HAB ABC S HC S = ⇒ 1 1 1 1 1 1 AA' HA HB HC BB CC + + = BÀI 10 Cho tam giác ABC trên ccs tia AB ; BC ; CA ta lấy các điểm M ;N P sao cho A là trung điểm của CP ; B là trung điểm của AM ; C là trung điểm của BN giả sử tam giác ABC có diện tích là s Tích diện tích tam giác MNP theo s Hướng dẫn • CM : ABC S = APB S ⇒ ABC S =1/2 APM S • Tương tự ABC S =1/2 PNC S ; ABC S =1/2 MBN S ⇒ MNP S =7 ABC S BAÌ 11 Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi M ;N lần lượt là trung điểm của 2 đáy BC và AD một đường thẳng // và cắt 2 đáy AB; MN và CD lần lượt tại E, O, F CMR : O là trung điểm của EF HƯỚNG DẪN CM : OE = OF ⇒ FHO EKO∆ =∆ ⇒ FH=EK ⇒ NFM S = NEM S • CM : CDNM S = BANM S • CM : DNF S = ANE S (vì ND=NA ; EF//AD) • CM : FCM S = EBM S (vì CM = MB ; EF// CB) . S ABC . Gọi x = S ABC. 1 ABF BDF AEF DEF ABD ADC ABF BDF S S AEF DEF S S +∆ = ∆ +∆ = ∆ ⇒ = +∆ = ∆ ⇒ = = ABF BDE BDE DEC S S mà S S⇒ = = 1 1 ; 3 4 ABF BDE DEC ABC A BF ABC S S S s S S⇒ = = = = 1. AD và DH BÀI 8 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD=42cm µ µ 0 0 45 , 60C D= = , chiều cao AH = 18 cm Tính ABCD S Hướng dẫn ABCD S -> AB-> HK ->DH và KC • Tính KC=BK= 18 cm • Tính HD. 2 DBC ABC S S= BÀI 2. cho tam giác ABC trung tuến AM CMR : a) ABM ACM S S= b. cho AB =6 cm AC = 8 cm BC=10 cm gọi N là trung điểm của AC Tính MBN S BÀI 3 cho hình chữ nhật ABCD từ A và C kẻ AE