Chủ đề 1 : Vectơ và các phép toán vectơ A. Khái niệm véc tơ 1. Cho ABC. Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác 0 2. Cho tứ giác ABCD a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0 b/ Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR : MQ = NP 1. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CA. a/ Xác định các vectơ cùng phơng với MN b/ Xác định các vectơ bằng NP 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành. 3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR : a/ I là trung điểm AB và DI = CB b/ AI = IB = DC 4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN c/ CMR : AL = 0 B. Các phép toán véctơ 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC 5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : AB + CD + EA = CB + ED 6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : AD + BE + CF = AE + BF + CD 7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF 8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR : a/ DO + AO = AB b/ OD + OC = BC c/ OA + OB + OC + OD = 0 d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý) 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. CMR : OD + OC = AD + BC 10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý 'AA , 'BB , 'CC CMR : 'AA + 'BB + 'CC = 'BA + 'CB + 'AC . 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính | |AB AD + theo a 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a. 1 a/ Tính | |AB AD + theo a b/ Dựng u = +ACAB . Tính | |u r ? 13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a a/ Dựng v = +ACAB . b/ Tính | |v r ? 14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ , , ,OA OB OC OD uuur uuur uuur uuur có độ dài bằng nhau và OA OB OC OD+ + + uuur uuur uuur uuur = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật 2. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : AM + BN + CP = 0 b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP 15. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG 16. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. a/ CMR : AD + BC = 2 EF b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0 c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý) d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất 17. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0 b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH c/ CMR : +ACAB + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) 18. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H. CMR : AD + BE + CF = 3 GH 19. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR : a/ OA + OB + OC + OD = 0 b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB CD = AC + DB 20. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : a/* CD + FA BA ED + BC FE = 0 b/ AD FC EB = CD EA FB c/ AB DC FE = CF DA + EB 21. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho : a/ MA MB + MC = 0 b/ MB MC + BC = 0 c/ MB MC + MA = 0 d/ MA MB MC = 0 e/ MC + MA MB + BC = 0 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a. a/ Tính | AB AD | uuur uuur b/ Dựng u = CA AB . Tính | |u r 23. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC. 2 a/ Tính | AB AC | uuur uuur b/ Tính | BA BI | uuur uur 24. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính | AB AC | uuur uuur 4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : AM + BN + CP = 0 b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP 5. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M BC sao cho BM = 2 MC a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG 25. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. a/ CMR : AD + BC = 2 EF b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0 c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý) 26. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0 b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH c/ CMR : AB + AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) 27. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H. CMR : AD + BE + CF = 3 GH 28. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR : a/ OA + OB + OC + OD = 0 b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC 29. Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. a) Tính , ,AI AJ theo AB AC uur uur uuur uuur b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG uuur theo AI uuur và AJ uur 6. Cho ABC có M, D lần lợt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho: AN = 2 1 NC . Gọi K là trung điểm của MN. a/ CMR : AK = 4 1 AB + 6 1 AC b/ CMR : KD = 4 1 AB + 3 1 AC 30. Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : a/ AM = 3 1 AB + 8 1 AC b/ MI = 6 1 AB + 8 3 AC 31. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5 AD CMR : B, C, D thẳng hàng. 32. Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0 a/ Tính PM , PN theo AB và AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng. 33. Cho tam giác ABC.Gọi A là điểm đối xứng với A qua B, B là điểm đối xứng với B qua C, C là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm. 3 34. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A, B, C lần lợt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA, BB, CC đồng qui b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC 35. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau : a/ MA MB= uuur uuur . b/ MA MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur c/ | C + = + uuuur uuuur uuuur uuuur d/ C 3 + = 2 uuuur uuur uuuur uuuur e/ | C + = uuuur uuur uuuur uuuur C. Trục - Toạ độ trên trục: 7. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5. a/ Tìm tọa độ của AB uuur . b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5 MB = 0 d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1 36. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c. a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB MC = 0 c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA 3 NB = NC 37. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1. a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA 2 MB = 1 b/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB 38. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a/ CMR : AC 1 + AD 1 = AB 2 b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR : 2 IAID.IC = c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR : AJ.ABAD.AC = D. Toạ độ trên mặt phẳng: 8. Viết tọa độ của các vectơ sau : a = i 3 j , b = 2 1 i + j ; c = i + 2 3 j ; d = 3 i ; e = 4 j . 39. Viết dới dạng u = x i + y j , biết rằng : u = (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0) 40. Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ : a/ u = 3 a 2 b ; b/ v = 2 a + b ; c/ w = 4 a 2 1 b 41. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2) a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM = 2 AB 3 AC d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN + 2 BN 4 CN = 0 4 42. Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2). a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. 43. Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC. b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 44. Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4). a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng tròn đó. 45. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M. 46. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5) a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C. b/ Tính diện tích ABC. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 47. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0) a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. c/ CMR : ABC vuông cân. d/ Tính diện tích ABC. 9. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. a/ CMR : 2 IA + IB + IC = 0 b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2 OA + OB + OC = 4 OI 48. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC. a/ CMR : 2 AI = 2 AO + AB b/ CMR : 3 DG = DA + DB + DC 49. Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC = 3 BN . Tính AN theo AB và AC 50. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD. a/ CMR : AI = 2 1 ( AD + 2 AB ) b/ CMR : OA + OI + OJ = 0 c/ Tìm điểm M thỏa : MA MB + MC = 0 51. Cho ABC và 1 điểm M tùy ý. a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC và MF = MB + CA . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M. b/ CMR : MA + MB + MC = MD + ME + MF 52. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện : a/ MA = MB b/ MA + MB + MC = 0 c/ MA + MB = MA MB d/ MA + MB = MA + MB e/ MA + MB = MA + MC 5 53. Cho ∆ABC cã träng t©m G. Gäi D vµ E lµ c¸c ®iĨm x¸c ®Þnh bëi → AD = 2 → AB , → AE = 5 2 → AC a/ TÝnh → AG , → DE , → DG theo → AB vµ → AC b/ CMR : D, E, G th¼ng hµng. 54. Cho ∆ABC. Gäi D lµ ®iĨm x¸c ®Þnh bëi → AD = 5 2 → AC vµ M lµ trung ®iĨm ®o¹n BD. a/ TÝnh → AM theo → AB vµ → AC . b/ AM c¾t BC t¹i I. TÝnh IC IB vµ AI AM 55. Trªn mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2). a/ T×m täa ®é ®iĨm D n»m trªn Ox vµ c¸ch ®Ịu 2 ®iĨm A vµ B b/ TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch ∆ OAB c/ T×m täa ®é trong t©m ∆ OAB. d/ §êng th¼ng AB c¾t Ox vµ Oy lÇn lỵt t¹i M vµ N. C¸c ®iĨm M vµ N chia ®o¹n th¼ng AB theo c¸c tØ sè nµo ? e/ Ph©n gi¸c trong cđa gãc AOB c¾t AB t¹i E. T×m täa ®é ®iĨm E. f/ T×m täa ®é ®iĨm C ®Ĩ tø gi¸c OABC lµ h×nh b×nh hµnh. Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D . Chứng minh : 1) 0AB DC BD CA → → → → → + + + = . 2) →→→→ −=− BDACCDAB . Bài 2: Cho hình bình hành ABCD , tâm O và M là điểm tùy ý. Chứng minh : 1) →→→→ =++ ACADACAB 2 . 3) 0AB CD BC DA → → → → → + + + = . 2) →→→→ +=+ MDMBMCMA . 4) →→→→→ =+++ MOMDMCMBMA 4 . Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt trung điểm AD, BC ; O là trung điểm MN. Chứng minh: 1) AB CD AC DB → → → → − = + . 2) 2 MN AB DC AD BC → → → → → = + = + . 2) 0OA OB OC OD → → → → → + + + = . 4) 4IA IB IC ID IO → → → → → + + + = với mọi I. Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I , J , M , N lần lượt là trung điểm của AC , BD , AD và BC. Chứng minh : 1) →→→ =+ MNDCAB 2 . 3) →→→ =+ IJCDAB 2 . 2) →→→ =+ ABIJMN . 4) →→→ =+ IJINIM Bài 5: Cho tứ giác ABCD và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng: 0OM ON OP OQ → → → → → + + + = . Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA . Chứng minh : 1) →→→ =+ ACBNAM 2 1 . 3) →→→→→ =+++ MCBMAPBNA M . 2) 0AM BN CP → → → → + + = . 4) →→→ =+ CNAPCM . Bài 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng: 1) 0GA GB GC → → → → + + = . 2) 3OG OA OB OC → → → → = + + với mọi điểm O. Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. M, N, P, Q, R, S lần lượt trung điểm AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 9: Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến và I là trung điểm của AM. Chứng minh: 1) 2 0IA IB IC → → → → + + = . 2) Với 1 điểm O bất kỳ, chứng minh : →→→→ =++ OIOCOBOA 42 . 6 Bài 10: Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác, vẽ các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: 0RF IQ PS → → → → + + = . Bài 11: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G. 1) Chứng minh rằng: 1) 2 1 3 3 AH AC AB → → → = − . 2) 1 ( ) 3 CH AB AC → → → = − + . 2) Gọi M trung điểm BC. Chứng minh: 1 5 6 6 MH AC AB → → → = − . Bài 12: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O bất kì ta có: ' ' 'OA OB OC OA OB OC → → → → → → + + = + + . Bài 13: Cho tam giác ABC. Xác đònh điểm M thỏa mãn điều kiện: 1) 0MA MB MC → → → → − + = 2) 2 3 0MA MB → → → − = . 3) 2 3 4 0MA MB MC → → → → − + = . Bài 14: Cho hai vectơ (2; 1)a → = , 3 4b i j → → → = + và (7; 2)c → = . 1) Tìm toạ độ vectơ 2 3u a b c → → → → = − + . 2) Tìm toạ độ vectơ x → sao cho x a b c → → → → + = − . 3) Tìm các số k, l để c k a l b → → → = + . Bài 15: Cho ba điểm A(1; 4), B(-2; 1) và 3 6OC i j → → → = + . 1) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. 2) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn thẳng BC, điểm B chia đoạn thẳng AC và điểm C chia đoạn thẳng AB. Bài 16: Cho ba điểm A(0; -4), B(-5; 6) và C(3; 2). 1) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. 2) Tính chu vi tam giác ABC. 3) Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 4) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 17: Cho tam giác ABC có A(-2; 8), B(-6; 1) và C(0; 4). 1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. 2) Tính diện tích tam giác ABC. Bài 18: Cho hai điểm A(-3; 2) và B(4; 3). 1) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua B. 2) Tìm toạ độ điểm M trên trục Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M. 3) Tìm toạ độ điểm N trên trục Oy và cách đều hai điểm A, B. Bài 19: Cho ba điểm A(2; 5), B(1; 1) và C(3; 3). 1) Tìm toạ độ điểm D sao cho 3 2AD AB AC → → → = − . 2) Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm toạ độ tâm hình bình hành đó. Bài 20: Cho tam giác ABC với A(-4; 5), B(1; 2) và C(3; 4). 1) Tìm toạ độ điểm M là trung điểm cạnh BC. 2) Tính độ dài trung tuyến AM. 3) Tìm toạ độ trọng tâm G của tamgiác ABC. 4) Gọi K là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCK. Chứng tỏ A, M, K thẳng hàng. 7 . Xác định các vectơ bằng NP 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành. 3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. + BC 10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý 'AA , 'BB , 'CC CMR : 'AA + 'BB + 'CC = 'BA + 'CB + 'AC . 11. Cho hình vuông. 3 điểm B, C, D thẳng hàng. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 44. Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4). a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng