Lý thuyết xác suất thống kê

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 1 MỤC LỤC _____________________________________________________ 1 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT _______________________ 2 CHƯƠNG 2: BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN __________________________ 34 CHƯƠNG 3: PHÂN PHỐI XÁC SUẤT __________________________ 53 CHƯƠNG 4: MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ________________ 72 CHƯƠNG 5: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT ________________________ 91 MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO. __________________________________ 107 ĐỀ 1: ______________________________________________________ 107 ĐỀ 2: ______________________________________________________ 111 ĐỀ 3: ______________________________________________________ 116 ĐỀ 4: ______________________________________________________ 119 ĐỀ 5: ______________________________________________________ 123 ĐỀ 6: ______________________________________________________ 127 ĐỀ 7: ______________________________________________________ 130 ĐỀ 8: ______________________________________________________ 133 ĐỀ 9 ______________________________________________________ 137 ĐỀ 10 _____________________________________________________ 141 ĐỀ 11 _____________________________________________________ 146 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 2 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT Bài 1. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày các cách biểu diễn qua Ak và qua giản đồ Venn các biến cố sau đây: A : tất cả đều xấu. B : có ít nhất 1 sản phẩm xấu. C : có ít nhất 1 sản phẩm tốt. D : không phải tất cả các sản phẩm đều tốt. E : có đúng 1 sản phẩm xấu. F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt. Giải: a, A : tất cả đều xấu. A =  1    +  2    +  3    b, B : có ít nhất 1 sản phẩm xấu. B =  1     2  3 +  1     2     3 +  1     2     3    LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 3 c, C : có ít nhất 1 sản phẩm tốt. C =  1  2     3    + 1  2  3    + 1  2  3 d, D : không phải tất cả các sản phẩm đều tốt. D =  1  2     3    ++ 1  2  3    e, E : có đúng 1 sản phẩm xấu. E =  1     2  3 + 1  2     3 +  1  2  3    LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 4 f, F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt. F =  1  2  3    + 1  2  3 Bài 2: Ba người, mỗi người bắn một phát. Gọi Ai là biến cố thứ I bắn trúng. Hãy biếu diễn qua Ai các biến cố Bài giải Ai là biến cố người thứ i bắn trúng Chỉ có người thứ nhất bắn trúng: P(A) = 1 2 3 A A A Người thứ nhất bắn trúng còn người thứ 2 bắn trật: P(B) = 1 2 3 1 2 3 A A A A A A Cả 3 người đều bắn trúng: P(D) = 1 2 3 A A A Có ít nhất 2 người bắn trúng: P(E) = 1 ( 0) ( 1)P X P X    = 1 2 3 1 2 3 1 ( ( )P A A A P A A A    Chỉ có 2 người bắn trúng: P(F) = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A A A A A A A A Không có ai bắn trúng P(G) = 1 2 3 A A A LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 5 Không có hơn 2 người bắn trúng P(H) = 1 2 3 1 (A A A )P Người thứ nhất bắn trúng hoặc người thứ 2 và thứ 3 bắn trúng P(I)= 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2A A A A A A A A A A A A A A A    Người thứ nhất bắn trúng hay người thứ 2 bắn trúng P(K)= 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3      A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Có ít nhất 1 người bắn trúng: P(C) = 1 2 3 A A A Bài 3: Ba sinh viên A, B, C cùng thi môn xác suất thống kê. Xét các biến cố: A : sinh viên A đậu, B : sinh viên B đậu, C : sinh viên C đậu. Hãy biểu diễn qua A, B, C các biến cố sau : a) Chỉ có A đậu. b) A đậu, B rớt. c) Có ít nhất 1 người đậu. d) Cả 3 người cùng đậu. e) Có ít nhất 2 người đậu. f) Chỉ có 2 người đậu. g) Không có ai đậu. h) Không quá 2 người đậu. Giải a) Xác suất chỉ có A đậu: ()P P ABC b) Xác suất A đậu, B rớt: ()P P ABC ABC LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 6 c) Xác suất có ít nhất 1 người đậu: 1 ( )P P ABC d) Xác suất cả 3 người cùng đậu: ()P P ABC e) Xác suất có ít nhất 2 người đậu: ()P P ABC ABC ABC ABC    f) Xác suất chỉ có 2 người đậu: ()P P ABC ABC ABC   g) Xác suất không có ai đậu: ()P P ABC h) Xác suất không quá 2 người đậu: 1 ( )P P ABC Bài 4. Quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu Bj ( j = 1, 2, 3, 4) là biến cố sinh viên j làm bài thi đạt yêu cầu. Hãy viết các biến cố sau đây a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu, b) có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu, c) có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu, d) không có sinh viên nào đạt yêu cầu. Giải. a) Biến cố có đúng 1 sinh viên đạt yêu cầu: B B B B + B B B B + B B B B + B B B B 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 b) Biến cố có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 B B B B + B B B B + B B B B + B B B B c) Biến cố có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu: B B B B + B B B B + B B B B + B B B B + 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 B B B B + B B B B + B B B B + B B B B + 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 B B B B + B B B B + B B B B + B B B B + 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 B B B B + B B B B + B B B B 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 d) Biến cố không có sinh viên nào đậu: 1 2 3 4 B B B B LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 7 Bài 5: Một công ty liên doanh cần tuyển một kế toán trưởng, một trưởng phòng tiếp thị, có 40 người dự tuyển trong đó có 15 nữ. Tính xác suất trong 2 người được tuyển có: a) kế toán trưởng là nữ b) ít nhất 1 nữ Giải: a) Gọi A là biến cố nhận được kế toán trưởng là nữ 1 1 1 1 15 14 15 25 2 40 3 () 4 C C C C PA C   b) Gọi B là biến cố nhận được trong 2 người được tuyển không có người nữ Do đó B là biến cố trong 2 người được tuyển có ít nhất 1 nữ 2 25 2 40 ( ) 0,3846 ( ) 1 ( ) 1 0,3846 0,6154 C PB C P B P B        Bài 6. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt. Giải. Không gian mẫu:  = C 4 10 = 210 Số cách chọn để lấy được 3 sản phẩm tốt và một sản phẩm xấu là: CC 1 3 3 7 . = 105 Vậy xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt là: 0.5 210 105 P  Bài 7: Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen. a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra, tính xác suất nhận được bi đen. b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 8 c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen. Giải a) Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp ra, xác xuất để nhận được bi đỏ : 3/10=0.3 b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi, xác suất để lấy được bi đen : Gọi B là biến cố lấy được 2 bi đen Số cách lấy được bi đen = lần 1 và lần 2 được bi đen. P(B)=  3 1 . 3 1  10 1 . 10 1 = 0,09 c) Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp ,xác xuất để được bi đen C3 2 /C10 2 =1/15 Bài 8: Trong 100 người phỏng vấn có40 người thích dùng nước hoa A, 28 người thích dùng nước hoa B, 10 người thích dùng cả 2 loại A,B. Chọn ngẫu nhiên 10 người trong số 100 người trên. Tính xác suất người này : a) Thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa trên b) Không dùng loại nào cả Giải Xét các biến cố: A: Thích dùng nước hoa A, P(A) = 0,4 B: Thích dùng nước hoa B, P(B) = 0,28 AB: Thích dùng cả 2 loại nước hoa A và B , P(AB) = 0,1 A+B : Thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa .    : Không dùng loại nước hoa nào cả a) Xác suất để người này thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa trên là P(A+B) Với: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,4 + 0,28 – 0,1 = 0,58 b) Xác suất để người này không dùng loại nước hoa nào cả là P(.    ) : LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 9 P( .    ) = P(+          ) = 1- P(A+B) = 1- 0,58=0,42 Bài 9: Một cơ quan có 210 người, trong đó có 100 người gần cơ quan, 60 người trong 100 người là nữ, biết rằng số nữ gấp đôi số nam trong cơ quan. Chọn ngẫu nhiên một người trong cơ quan. Tính xác suất để: a) Người này là nam b) Người này gần cơ quan c) Người này phải trực đêm(người trực đêm phải gần cơ quan hoặc là nam) Bài giải Xét các biến cố: A: Biến cố người ngần cơ quan. B: Biến cố nam. A+B: Biến cố người trực đêm phải gần cơ quan hoặc là nam. AB: Biến cố người trực đêm phải gần cơ quan và là nam P(AB)= 40 2 210 21  Vì cơ quan có 210 người và số nữ chiếm gấp đôi số nam nên ta có số nam là 70 người còn số nữ là 140 người. a) P(B)= 70 1 210 3  b) P(A)= 100 0.476 210  c) P(A+B)=P(A)+P(B) – P(AB)= 14 0.476 0.619 3 21    Bài 10:Mỗi sinh viên được thi tối đa 2 lần 1 môn thi. Xác suất để 1 sinh viên đậu môn xác suất thống kê ở lần thi thứ nhất là P1, lần thi thứ 2 là P2 . Tính xác suất để sinh viên này vượt qua được môn xác suất thống kê. Giải LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 10 Xét các biến cố : Ai : sinh viên đậu môn xác suất thống kê lần thứ i, P(A1) = P1, P(A2) = P2 A : sinh viên vượt qua được môn xác suất thống kê Xác suất để sinh viên này vượt qua được môn xác suất thống kê là P(A) P(A) = P(A1) + P(A2/  1    ).P(  1) = P1 + P2(1- P1) Bài 11: Cho A và B là 2 biến cố sao cho 1 1 1 ( ) ; ( ) ; ( ) 2 3 6 P A P B P C   . Hãy tính: 1) 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 6 3 P A B P A P B P AB        2) 15 ( ) ( ) 1 ( ) 1 66 P A B P AB P AB       3) 21 ( ) 1 ( ) 1 33 P A B P A B       4) 5 ( ) ( ) 6 P AB P A B   5) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 6 3 P AB P A P AB     6) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 6 6 P AB P B P AB     7) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 P A B P A P B P AB        8) () ( ) 1 () P AB P A B PB  9) ( ) 1 () ( ) 2 P AB P A B PB  10) ( ) 1 () ( ) 2 P AB P AB B PB  11) () () () P BAB P AB B PB    [...]... bắn 1 viên đạn, với xác suất bắn trúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8 Biết rằng nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,5; trúng 2 phát thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,8; còn nếu trúng 3 phát đạn thì chắc chắn con thú bị tiêu diệt a) Tính xác suất con thú bị tiêu diệt 25 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 b) Giả sử con thú bị tiêu diệt Tính xác suất nó bị trúng 2 phát... lượt từng sản phẩm Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của nhà máy là 0,01 a) Cho nhà máy sản xuất 10 sản phẩm Tính xác suất để có 2 phế phẩm 33 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 b) Nhà máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm đẻ xác suất có ít nhất một chính phẩm trên 0.99 Bài giải Gọi X là số phế phẩm sản xuất ra Gọi Y là số chính phẩm sản xuất ra Ta có p=0.01 a) Với n=10 Xác suất để có 2 phế... = 6% = 0,06 P(B) = 8% = 0,08 P(AB) = 5% = 0,05 Xác suất 1 người mắc cả 2 bệnh: P(A + B) = P(A) +P(B) – P(AB) = 0,06 + 0,08 – 0,05 = 0,09 P(A + B) là xác suất biến cố 1 người mắc cả 2 bệnh là biến cố đối đối của xác suất biến cố 1 người không mắc bệnh nào cả 𝐴 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 là biến cố nhận được một người không mắc bệnh nào cả 12 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 P(𝐴 𝐵 ) = P(𝐴 + 𝐵) = 1 – P(A + B)... thứ 2 mua được gà trống 2 1 6 3 P(B) = = c) Xác suất này bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứ nhất là gà trống hay gà mái 5 2 2 1 2 7 6 7 6 7 P(D) = P(A) P(B/A) + P(B) P(A/B) = + = 14 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 Bài 17: Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng Xác suất để công ty A thua lỗ là 0,2; xác suất để công ty B thua lỗ là 0,4 Tuy nhiên trên... hạt giống loại 2 21 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 B3: Biến cố hạt giống loại 3 Ta có: 2 1 1 P(B1)= , P(B2)= , P(B3)= 3 4 12 P(AǀB1)= 4 5 P(AǀB2)= 3 5 P(AǀB3)= 2 5 Công thức xác suất toàn phần: P(A)=P(AǀB1)P(B1)+P(AǀB2)P(B2)+P(AǀB3)P(B3)= 4 2 3 1 2 1 + + = 0.72 5 3 5 4 5 12 Bài 27 Hai nhà máy cùng sản suất 1 loại linh kiện điện tử Năng suất nhà máy hai gấp 3 lần năng suất nhà máy một Tỷ lệ...LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 12) P( A B B)  P( AB) 1  2 P( B) 13) P( A  B AB)  P[( A  B) AB] P( AB)  1 P( AB) P( AB) 14) P( A B A  B)  P( AB) 1  P( A  B ) 4 Bài 12: Đội tuyển cầu long trường ĐH Tài chính- marketing có 3 vận động viên, mỗi vận động viên thi đấu một trận .Xác suất thắng trận của các vận động viên A,B,C lần lượt là: 0.9;0.7;0.8 tính xác suất ; a) Đội... Trung tâm mà linh kiện ấy bị hỏng là: P(A) = P(A1) P(A|A1) + P(A2) P(A|A2) = 0,25  0,1%  0,75%  0,2% =0,175% b) Xác suất để linh liện bị hỏng do nhà máy 1 sản xuất là: 22 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 P(A1|A) = P(AA1 ) P(A)P(A | A1 ) 0.25  0,1% = = = 0,143 P(A) P(A) 0,175% Xác suất để linh kiện bị hỏng do nhà máy 2 sản xuất là: P(A2|A) = P(AA 2 ) P(A)P(A | A 2 ) 0,75  0,2% = = = 0,857 P(A)... 1: mỗi bình đựng 6 bi trắng 3 bi đen 3 bình loại 2: mỗi bình đựng 5 bi trắng 4 bi đen 23 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 3 bình loại 3: mỗi bình đựng 2 bi trắng 7 bi đen Lấy ngẫu nhiên 1 bình và từ bình đó lấy ngẫu nhiên 1 bi a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi trắng b) Biết bi lấy ra là bi trắng tính xác suất để bình lấy ra là bình loại 3 Giải Gọi Ai là biến cố lấy được bi từ bình thứ i A là... a) Tính xác suất để không có cô nào nhận đúng thư viết cho mình, b) Tính xác suất để có ít nhất 1 cô nhận đúng thư của mình, c) Tổng quát hóa với n cô gái Tính xác suất có ít nhất 1 cô nhận đúng thư Xấp xỉ giá trị xác suất này khi cho n -> ∞ Giải Gọi 𝐴 𝑖 là biến cố cô thứ i nhận được lá thư của mình 𝐴 𝐽 là biến cố lá thư thứ j được gửi B là biến cố không ai nhận đúng thư của mình Ta có: Xác suất: 1... Một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 mới 6 cũ, lần đầu chọn ra 3 quả để sử dụng, sau đó bỏ vào lại, lần 2 chọn ra 3 quả a) Tính xác suất 3 quả bóng chọn lần 2 là 3 bóng mới 27 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13 b) Biết rằng lần 2 chọn được 3 bóng mới, tính xác suất lần đầu chọn được 2 bóng mới Giải Xét các biến cố: E: Lấy được 3 bóng mới lần 2 A: Lấy được 3 bóng mới lần 1, P(A) = C93 12 = . thi. Xác suất để 1 sinh viên đậu môn xác suất thống kê ở lần thi thứ nhất là P1, lần thi thứ 2 là P2 . Tính xác suất để sinh viên này vượt qua được môn xác suất thống kê. Giải LÝ THUYẾT XÁC SUẤT. quá 2 người đậu. Giải a) Xác suất chỉ có A đậu: ()P P ABC b) Xác suất A đậu, B rớt: ()P P ABC ABC LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 6 c) Xác suất có ít nhất 1 người đậu:. SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13. 10 Xét các biến cố : Ai : sinh viên đậu môn xác suất thống kê lần thứ i, P(A1) = P1, P(A2) = P2 A : sinh viên vượt qua được môn xác suất thống kê Xác suất