S GD & T HI PHềNG TRNG THPTAN DNG THI TH I HC NM 2013 Mụn: TON, Khi A, A1 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu I (2,0 im) Cho hm s 2 1 1 x y x = + ( ) C . a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ( ) C ca hm s. b) Tỡm m ng thng d cú phng trỡnh y x m= + ct th ( ) C ti hai im phõn bit A, B sao cho tam giỏc ABM l tam giỏc u, bit rng M = (2; 5). Cõu II (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh: ++=+ 4 2sin213coscos xxx 2. Gii bt phng trỡnh sau: 2 2 x 91 x 2 x+ > + Cõu III (1,0 im) Tớnh tớch phõn e 1 (x 2)ln x x dx x(1 ln x) + + Cõu IV (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O; tam giỏc SBD u cnh 2a , tam giỏc SAC vuụng ti S cú 3SC a= ; gúc gia mp(SBD) v mt ỏy l 0 60 . Tớnh theo a th tớch khi chúp S.ABCD v khong cỏch gia ng thng AC v ng thng SB. Cõu V (1,0 im) Cho x, y, z là 3 số thực dơng và thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 3 2012 3 2012 3 2012 2013x x y y z z + + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 1 1 1 1 1 1A x y z x y z = + + ữ ữ ữ PHN RIấNG (3,0 im): Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B) A. Theo chng trỡnh Chun Cõu VI.a (2,0 im) 1) Cho im M(1;1) v hai ng thng d 1 : 3x - y - 5 = 0, d 2 : x + y - 4 = 0. Vit phng trỡnh ng thng d i qua im M v ct d 1 , d 2 tng ng ti A, B sao cho 2MA - 3MB = 0. 2) Trong khụng gian ta Oxyz cho mt cu (S) : 2 2 2 2 4 2 0x y z x y z+ + = ct cỏc tia Ox, Oy, Oz ln lt ti A, B, C khỏc O . Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. Cõu VII.a (1,0 im) Trong cỏc s phc z tha món iu kin iziz +=+ 351 . Tỡm s phc z cú mụun nh nht. B. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (2,0 im) 1) Trong mt phng vi h trc ta ,Oxy cho elip 2 2 ( ): 1 8 4 x y E + = cú cỏc tiờu im 21 , FF ( 1 F cú honh õm). ng thng d i qua 2 F v song song vi ng phõn giỏc ca gúc phn t th nht ct )(E ti A v B. Tớnh din tớch tam giỏc . 1 ABF 2) Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho mt cu ( S ) v ng thng d cú phng trỡnh l 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 9S x y z + + + = , (d): 22 1 1 = = zyx . Vit phng trỡnh mt phng (P) vuụng gúc vi ng thng d v ct mt cu ( S ) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 2. Cõu VII.b (1,0 im) ) Cho khai triển ( ) 2 0 1 2 1 2 n n n x a a x a x a x+ = + + + + * ( )n N . Tính tổng: A= 1 2 2 . n a a n a+ + + . Biết: 2 3 2 14 1 3 n n C C n + = Ht P N-THANG IM Câu Đáp án Điểm II. (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) + Tập xác định D = ¡ { } \ 1− + Sự biến thiên 2 3 ' 0 1 ( 1) y x x = > ∀ ≠ − + Hàm đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;− +∞ Hàm số không có cực trị. 0,25 + Giới hạn và tiệm cận lim lim 2 x x y y →−∞ →+∞ = = nên đồ thị có T/c ngang y = 2 1 1 lim , lim x x y y − + →− →− = +∞ = −∞ nên đồ thị có T/c đứng x = -1 0.25 Bảng biến thiên 0,25 Đồ thị 0.25 2. (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 2 1 ( 1)( ) 1 x x m x x x m x − = − + ⇔ − = + − + + (x = - 1 không là nghiệm của PT ) ⇔ x 2 - (m - 3)x - m – 1 = 0 (1) 0,25 (1) là PT bậc hai có ∆ = (m – 3) 2 + 4(m + 1) = m 2 - 2m +13 = (m - 1) 2 + 12 > 0 m ∀ Nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 , hay đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm pb A,B. Theo hệ thức Viet: x 1 + x 2 = m – 3, x 1 . x 2 = - m – 1 0,25 Khi đó A(x 1 ; -x 1 +m), B(x 2 ; -x 2 + m) suy ra *) 2 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 2[( ) 4 ]AB x x x x x x= − = + − AM = 2 2 2 2 1 1 1 2 ( 2) ( 5) ( 2) ( 2)x x m x x− + − + − = − + − , BM = 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 5) ( 2) ( 2)x x m x x− + − + − = − + − = AM 0,25 Để tam giác MAB đều ta phải có: AB = AM = BM, hay 2 2 2 1 2 1 2 2( ) ( 2) ( 2)x x x x− = − + − 2 1 4 5 0 5 m m m m = ⇔ + − = ⇔ = − Kết luận. 0.25 2.1 (1,0 điểm) Ta có: xxxxxxx 2cos2sin12coscos2 4 2sin213coscos ++=⇔ ++=+ π 02coscos2cossin2cos2 2 =−+⇔ xxxxx 0,25 ( ) 0)cossin1)(sin(coscos0)sin(cossincoscos2 22 =−++⇔=−−+⇔ xxxxxxxxxx 0,25 = + −= += ⇔ =− =+ = ⇔ 2 1 4 cos 1tan 2 1sincos 0sincos 0cos π π π x x kx xx xx x Zk kx kx kx ∈ = +−= += ⇔ , 2 4 2 π π π π π 0,5 2.2 (1,0 điểm) Điều kiện x 2≥ Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) 2 2 x 91 10 x 2 1 x 9 0+ − − − − − − > 0,25 2 2 x 9 x 3 (x 3)(x 3) 0 x 2 1 x 91 10 − − ⇔ − − + − > − + + + ( ) x 3⇔ − 2 x 3 1 (x 3) 0 x 2 1 x 91 10 + − − + > ÷ − + + + (*) 0,25 Ta có 2 x 3 1 (x 3) 0 x 2 1 x 91 10 + − + − < − + + + với mọi x 2≥ . Do đó (*) ⇔ x < 3. 0,25 Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 2 x 3 ≤ < 0,25 III. (1,0 điểm) (1,0 điểm) I = ∫ ∫ = + −+ e e dxdx xx xxx 1 1 )ln1( ln2)ln1( -2 dx xx x e ∫ + 1 )ln1( ln 0,25 Ta có : ∫ −= e edx 1 1 0,25 Tính J = dx xx x e ∫ + 1 )ln1( ln Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J = dt t t ∫ − 2 1 1 = dt t ) 1 1( 2 1 ∫ − = (t - ln t ) = 1 - ln2 0,25 Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2 0,25 IV. (1,0 điểm) (1,0 điểm) * Tính thể tích… - Trong mp(SAC) dựng SH AC⊥ tại H. - Do SBDV đều nên SO BD⊥ , lại do ABCD là hình thoi nên AC BD⊥ mp( ) mp( )BD SAC BD SH SH ABCD⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ I S H O D C B A - Vỡ SBDV u cú cnh 2 3a SO a = v SO BD - Li do ã 0 60CO BD SOC = l gúc gia mp(SBD) v mp(ABCD) 0 3 3 .sin 60 3. 2 2 a SH SO a = = = - Nhn thy: SOCV cú ã 0 3, 60SC SO a SOC SOC= = = V l tam giỏc u 2 2 3 . 1 1 3 2 3 . .2 .2 3 2 3 2 2 1 1 3 . . .2 3 3 3 3 2 ABCD S ABCD ABCD CO a AC a S AC BD a a a a V SH S a a = = = = = = = = * Tớnh khong cỏch gia SB v AC. - Gi I l trung im SD // mp( )//OI SB IAC SB ( ; ) ( ;( )) ( ;( ))d AC SB d B IAC d D IAC h = = = . - Ta thy: I l trung im SD nờn 1 ( ;( )) ( ;( )) 2 d I ABCD d S ABCD= ; Li thy: 3 . . 1 1 3 2 4 4 ADC ABCD I ADC S ABCD a S S V V= = = V ; - Li cú: 2 2 2 2 2 2 3 4CD CO OD a a a= + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 5 2 4 2 4 2 SC CD SD a a a a IC + + = = = Tam giỏc ICO cú ã 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 ; ; 3 cos 2 2. . 4 a OI OC IC IC IO a OC a IOC OI OC + = = = = = ã ã ã 2 2 2 13 sin 1 cos 4 1 1 13 39 39 . .sin . . 3. 2. 2 2 4 8 4 OIC IAC IOC IOC IOC a a S OI OC IOC a a S S = = = = = = = V V V - M . . 1 . . 3 I ACD D IAC IAC V V h S= = V 3 2 . 3 3 3 39 3 : 4 4 13 D IAC IAC V a a a h S = = = V Vy 3 . 3 S ABCD V a= v 3 ( ; ) 13 a d AC SB = . 0,5 0,5 V. (1,0 im) (1,0 im) Từ giả thiết: ( ) ( ) ( ) 3 2012 3 2012 3 2012 2013x x y y z z + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2012 2013 3 2013 2012 x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + + 0,25 Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpki, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1x y z x y z x y z+ + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2013 2012 2012 2013 0 0 2013 x y z x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + + < + + 0,25 Ta có 2 2 2 1 1 1 1 1 1A x y z x y z = + + ữ ữ ữ ( ) ( ) 1 1 1 9 x y z x y z x y z x y z = + + + + + + ữ + + do 1 1 1 9 x y z x y z + + + + 0,25 §Æt t= x+y+z, 9 ( ) (0 2013)A t f t t t = − = < ≤ Ta cã: ( ] 2 9 ( ) 1 0 0;2013f t t t = + > ∀ ∈ f(t) max=f(2013)=2013- 9 4052160 2013 2013 = dÊu "=" x¶y ra khi : x= y =z = 2013 3 VËy 4052160 max 2013 A = , khi : x= y =z = 2013 3 0,25 VIa. (2,0 điểm) VIIa. (1,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Ta có A ∈ d 1 nên A(x 1 ;3x 1 -5), B ∈ d 2 nên B(x 2 ;4-x 2 ) 0,25 Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA = 3MB nên −= = )2(32 )1(32 MBMA MBMA 0,25 (1) )2;2(, 2 5 ; 2 5 2 2 5 )3(3)63(2 )1(3)1(2 2 1 21 21 BA x x xx xx ⇒ = = ⇔ −=− −=− ⇔ Suy ra d: x - y = 0. 0,25 ( ) )3;1(,2;1 1 1 )3(3)63(2 )1(3)1(2 )2( 2 1 21 21 BA x x xx xx −⇒ = = ⇔ −−=− −−=− ⇔ Suy ra d: x - 1 = 0. Vậy có d: x - y = 0 hoặc d: x - 1 = 0. 0,25 2. (1,0 điểm) (S) : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 6x y z− + − + − = có tâm w(1;2;1) bán kính R = 6 (S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) . Gọi I tâm đường tròn (A,B,C) thì I giao điểm của d đi qua w và vuông góc mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC) Giải hệ 2 2 4 0x y z+ + − = và 1 2 2 1 2 x t y t z t = + = + = + ta được 2 9 t − = suy ra 5 16 5 ( ; ; ) 9 9 9 I và r = IA = 2 2 2 5 16 5 5 2 2 9 9 9 3 − + + = ÷ ÷ ÷ 0,25 0,25 0,25 0,25 Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R). Ta có iyxiyx )1(3)5(1 +−+=−++ (1) 2222 )1()3()5()1( +++=−++⇔ yxyx 43 =+⇔ yx . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + 3y = 4. Mặt khác 162410)34( 22222 +−=+−=+= yyyyyxz Hay 5 22 5 8 5 6 52 2 ≥+ −= yz Do đó 5 2 5 6 min =⇒=⇔ xyz . Vậy iz 5 6 5 2 += 0,25 0,25 0,25 0,25 1. (1,0 điểm) 1 48 :)( 22 =+ yx E có ).0;2(),0;2(248 21 FFc −⇒=−= VIb. (2,0 điểm) VIIb. (1,0 điểm) Từ giả thiết 2: −=⇒ xyd hay .02 =−− yx 0.25 Từ hệ . 3 2 ; 3 8 ),2;0( 1 48 2 22 −⇒ =+ −= BA yx xy 0.25 . 3 16 22.2 3 8 . 2 1 );(. 2 1 1 1 === ABFdABS ABF (đvdt) 0.5 2. (1,0 điểm) (S) có tâm I( 1; 0; -2) có bán kính R = 3, đường thẳng d có VTCP )2;2;1( −=u .(P) vuông góc với d nên VTPT của (P) là )2;2;1( −=n 0.25 Giả sử (P) có phương trình : 022 =+−+ Dzyx Ta có 54))(;( 2 =−= RPId 0.25 5 )2(21 5 222 = −++ + ⇔ D 535 =+⇔ D 0.25 −−= −= ⇔ −=+ =+ ⇔ 553 553 535 535 D D D D Vậy có hai mp thỏa mãn đề bài là: =−−−+ =−+−+ 055322:)( 055322:)( zyxP zyxP 0.25 (1,0 điểm) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 3 2 14 1 3 n n C C n + = t×m ®îc n =9 0,5 Víi n=9 ta cã ( ) 9 2 9 0 1 2 9 1 2 x a a x a x a x+ = + + + + 0,25 LÊy ®¹o hµm hai vÕ ta ®îc : ( ) 8 8 1 2 9 9 2 1 2 2 9x a a x a x+ = + + + Cho x= 1 ta ®îc A= ( ) 8 1 2 9 2 9. 9 2 1 2a a a+ + + = + . 0,25 Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 3 2 14 1 3 n n C C n + = t×m ®îc n =9 0,5 - - - Hết - - - . (1,0 điểm) Ta có: xxxxxxx 2cos2sin12coscos2 4 2sin213coscos ++=⇔ ++=+ π 02coscos2cossin2cos2 2 =−+⇔ xxxxx 0,25 ( ) 0)cossin1)(sin(coscos0)sin(cossincoscos2 22 =−++⇔=−−+⇔ xxxxxxxxxx 0,25 = + −= += ⇔ =− =+ = ⇔ 2 1 4 cos 1tan 2 1sincos 0sincos 0cos π π π x x kx xx xx x Zk kx kx kx ∈ = +−= += ⇔. S GD & T HI PHềNG TRNG THPTAN DNG THI TH I HC NM 2013 Mụn: TON, Khi A, A1 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu. xxxxxxxxxx 0,25 = + −= += ⇔ =− =+ = ⇔ 2 1 4 cos 1tan 2 1sincos 0sincos 0cos π π π x x kx xx xx x Zk kx kx kx ∈ = +−= += ⇔ , 2 4 2 π π π π π 0,5 2.2