BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 33 22 4 16 1 5 1 x y y x yx HD: Thay 22 45yx , hệ có 4 nghiệm 0; 2 , 1; 3 , 1;3 VD2.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 32 8 12 2 12 0 xy x xy y HD: Thay 22 8 12xy từ phương trình đầu vào phương trình hai, đáp số: 2; 1 , 2;1 VD3. (THPT Bỉm Sơn) Giải hệ phương trình 22 22 21 1 21 1 x y y y x x HD: Trừ từng vế, đáp số 2y VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 16 3 8 x y x xy y x y x y x ĐS: 2;0 , 1; 3 VD5.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 1 2 2 2 2 2 1 1 2 log 2 y x x x xy ĐS: 2 17 17 1;2 , ;2 log 99 VD6.(THPT Thuận Thành số 1) Giải hệ phương trình: 32 3 2 3 2 5 3 3 10 6 6 13 10 x y x y x x y x x x y y HD: Từ phương trình thứ hai suy ra 2yx , thay vào phương trình đầu, đáp số 2; 0xy VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 3 3 2 3 7 3 12 6 1 4 1 3 2 4 x y xy x y x x x y x y HD: Từ phương trình đầu suy ra 1yx , thay vào PT thứ hai. ĐS 2; 1 Trang 2 VD8.(THPT Mai Anh Tuấn) Giải hệ phương trình: 2 20 22 x xy x x y y y x x HD: Sử dụng phương pháp thế để đưa về PT đẳng cấp. ĐS 0;0 , 1;1 VD9.(THPT Hậu Lộc 4) Giải hệ phương trình: 2 4 2 2 2 4 2 0 8 3 4 0 x xy x y x x y x y HD: Chia hai vế PT đầu cho x, chia hai vế PT hai cho 2 x . ĐS: 0;0 , 1;1 , 2;1 . VD10.(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 2 2 7 7 8 3 13 15 2 1 y xy y x x y x x ĐS: 3;2 , 3; 2 . VD11.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình: 2 2 10 1 2 0 x y x y x x y y ĐS: 0;1 , 1;2 . VD12.(THTT – Đề 5) Giải hệ phương trình: 2 1 1 1 6 2 1 4 x x y y x x y HD: Cộng vế với vế. ĐS: 0;3 , 1;0 . VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 22 12 2 1 2 3 3 yx xy x y x x x HD: Từ PT đầu có 2yx yx . ĐS: 3;2 3 . VD14.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 1 3 1 4 6 x x y y y x x y x y HD: Từ PT đầu có 2 1yx , thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp. ĐS: 2;3 . VD15.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình: Trang 3 22 5 3 6 7 4 0 2 3 3 x y y x y y x x HD: Từ PT thứ hai có 3; 1y y x . ĐS: 1;2 , 4;5 . VD16.(THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam) Giải hệ phương trình: 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y HD: Đưa về PT đẳng cấp. ĐS: 11 0;0 , ; , 1;1 22 VD17.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải hệ phương trình: 2 2 2 30 1 3 1 2 2 0 x xy x x y xy x y y HD: Thế 2 3xy x x vào PT thứ hai. ĐS: 1;3 VD18.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 3 3 22 27 7 8 96 x y y x y y x ĐS: 3 3 3 3 3 3 7 19 7 26 7 215 ; ; ; 2 ; 2 ; 2 19 7 26 7 215 7 VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình: 22 3 61 5 xy x x y x y ĐS: 2; 2 VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 1 2 17 0 4 32 x xy y x y xy HD: Từ PT đầu có 2 16x y x , thay vào PT hai. ĐS: 0;8 ; 2;2 ; 6;2 VD20.(THPT Chuyên Lào Cai) Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 22 x y x x y x y y y x y x HD: Từ PT hai có 2xy . ĐS: 33 22 0;0 ; log 4;log 2 VD21.(THPT Cổ Loa) Giải hệ phương trình: 2 3 3 5 3 2 22 99 24 x y y x x x y y x x Trang 4 HD: Từ PT đầu có 33 9yx , kết hợp với PT hai ta có 21yx . ĐS: 1; 2 ; 2; 1 VD22.(THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải hệ phương trình: 3 7 1 2 1 2 4 5 x x y y y x y x y HD: Từ PT đầu có 31 2 yx xy . ĐS: 17 76 2;1 ; ; 25 25 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ VD1. Giải hệ phương trình: 22 2 2 2 2 6 3 7 3 6 2 x y y x xy x x y y x y HD: Đặt ẩn phụ 2 2 3 3 x u x y v y , đáp số: 1 2 15 2 30 1; ; ; 2 15 15 VD2. (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải hệ phương trình: 2 2 2 41 2 7 2 x x y y x x x y y x HD: Đặt 2 1 u x y y v x , đáp số: 2;1 , 5; 2 VD3. (THPT Lý Thái Tổ) Giải hệ phương trình: 33 22 9 3 1 125 45 75 6 yx x y x y HD: Đặt 3 5 ux v y , đáp số: 2 1 5 ;5 , ; 3 3 2 VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 2 3 8 1 0 8 3 13 0 x y y x x x y y HD: Đặt 2 2 3 8 u x y v y x , ĐS 1;1 , 5; 7 VD5. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 58 13 x y xy y x y x y Trang 5 HD: Đặt x y a xy x b , ĐS 3 5 1 5 3 5 1 5 ; , ; 2 2 2 2 VD6. (Chuyên Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 22 13 2 xy x y x y x y HD: Đặt 1 xa y x b y . ĐS 1 1 2;1 2 , 2;1 , 1; 2 VD7. (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 22 3 3 14 14 36 x y x y xy x y x y xy HD: Đặt x y a xy b . ĐS 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ; , ; 2 2 2 2 VD8. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 2 22 2 6 1 7 x x y x xy y HD: Đặt x y a x y b . ĐS 3;2 , 1;2 VD9. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 12 3 4 16 4 5 5 6 x y xy xy HD: Đặt 4 4 x y a xy b . ĐS 3;2 , 1;2 VD10. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 22 4 3 12 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y xy x y xy x y x y x y HD: Đặt 2 2 3 4 x x u y y v . ĐS 3 13 3 13 9 21 ;0 , ; 4 , ; 2 , 2 2 6 VD11. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 1 11 3 xy xy x y y y x x x HD: Đặt 1 u x yv . ĐS 1;0 Trang 6 VD12. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 2 2 1 3 2 4 2 5 3 3 3 6.3 3 2.3 1 2 1 3 3 2 y x y y x y x x y y x HD: Từ phương trình đầu có 21yx , thay vào PT thứ hai. ĐS 11 9 1;1 , ; 42 VD13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 1 1 3 2 4 x y x y xy VD14. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 5 2 15 5 22 4 15 x y x y x y x y HD: Đặt 3 5 x y u x y v . ĐS: 1 58 ; 77 VD15. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 3 1 0 8 3 1 0 x x y y xy HD: Chuyển vế hai PT, nhân từng vế, đặt t xy . ĐS: 3 3 1 4; 4 III. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ VD1. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 1 1 8 20 x x y y x y x y x HD: Từ PT đầu suy ra 0y , nhân hai vế của PT đầu với 2 4 1 1y và thay 2 2 x x y ta đưa đến PT: 2 2 1 1 1 1 2 4 1 2y y y x x x , đến đây sử dụng hàm số …. VD2. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 2 2 2 11 11 4 3 2 2 9 xy xy xx x yy HD: Sử dụng hàm số khẳng định xy , thay vào PT hai ta có xy …ĐS: 17 3 xy VD3.(THPT Thuận Thành II – Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 2 22 1 2 1 4 2 6 3 1 2 4 8 4 4 x y x y x y x x x x xy Trang 7 HD: Từ PT thứ nhất có 4 2 1xy , thay vào PT thứ hai. ĐS: 11 ; 22 . VD4.( Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 3 2 2 1 9 6 3 15 3 6 2 x x y x x y x y x y x HD: Từ PT thứ nhất có 10xy , thay vào PT thứ hai xét hàm số 3 3f t t t , biến đổi đến 33 1 2 1xx . ĐS: 3 33 2 1 2 ; 2 1 2 1 . VD5.( THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải hệ phương trình: 3 3 2 3 3 2 1 2 2 x x y y xy HD: Xét hàm số 3 3 , 1f t t t t , từ PT thứ nhất suy ra 1xy . ĐS: 2;3 VD6.( THPT Hà Trung) Giải hệ phương trình: 3 3 2 22 3 6 3 4 6 10 5 4 x y x x y x y x y y x y HD: Xét hàm số 3 3f t t t , từ PT thứ nhất suy ra 1yx . ĐS: 5; 4 VD7.( BDVH Lê Hồng Phong) Giải hệ phương trình: 32 2 2 3 8 4 2 1 13 1 5 7 1 x x x y y x y y y HD: Từ hai PT của hệ dẫn đến xét hàm số 3 f t t t , suy ra 2 1 2xy . ĐS: 2;1 IV. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 1) 22 4 2 2 4 4 8 x xy y x x y y ; 2) 3 1 1 4 x y xy xy ; 3) 33 22 10 0 1 xy x xy y ; 4) 3 3 3 3 5 17 x xy y x x y y ; Trang 8 5) 1 1 9 2 15 2 xy xy xy xy 6) 22 4 1 1 2 x y x y x x y y y Bài 2. Giải các hệ phương trình 1) 2 2 1 2 1 2 xy y yx x ; 2) 1 6 3 1 6 3 xy yx ; 3) 4 3 4 3 y xy x x yx y ; 4) 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y Bài 3. Giải các hệ phương trình: 1) 2 22 2 2 4 2 14 x xy x xy y ; 2) 22 22 13 25 x y x y x y x y Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 22 8 11 x y x y xy x y m Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 21x y xy m x y xy m m . VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 22 12 2 1 2 3 3 yx xy x y x x x HD: Từ PT đầu có 2yx yx . ĐS: 3;2 3 . VD14.(THPT Phan Đăng. Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 1 3 1 4 6 x x y y y x x y x y HD: Từ PT đầu có 2 1yx , thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp. ĐS: 2;3 . VD15.(THPT. VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình: 22 3 61 5 xy x x y x y ĐS: 2; 2 VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình: