ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Năm học 2012 - 2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm có 04 câu, 01 trang) Câu I: (6,0 điểm). Tìm x biết: a) 1 2 1 x 3 3 4 + = b) 3x 1 17 12+ − =− c) x = 5 3 1 22 13 2 4 2 3 13 11 2 + − − + d) ( ) 2 2 2 . 462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19 11 .13 13 .15 19 . 21 + + + − + = ÷ Câu II: (8,0 điểm). 1. Cho S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 100 a) Chứng minh rằng S M 15 b) Tìm chữ số tận cùng của S. c) Tính tổng S. 2. Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao? 3. Chứng minh rằng: a) 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 1 2 3 4 199 200 101 102 200 − + − + + − = + + + b) 51 52 100 . . . . . . 1. 3 . 5 . . . . . 99 2 2 2 = Câu III: (3,0 điểm). Một ô tô đi từ A lúc 8h. Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A. Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều. Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h. Câu IV: (3,0 điểm). 1. Cho A = 1 3 5 9999 . . . . . 2 4 6 10000 So sánh A với 0,01. 2. Chứng minh rằng: ( ) 1 2 3 . . . n 7 + + + + − M10 , với ∀ n ∈ N. Hết Câu Đáp án Điểm Câu I: (6,0 điểm) a) 1,5 điểm 1 2 1 x 3 3 4 + = 2 1 1 x 3 4 3 = − 2 1 x 3 12 − = x = 1 2 : 12 3 − x = 1 . 3 12 . 2 − x = 1 8 − 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ b) (1,5 điểm) 3x 1 17 12+ − = − 3x 1+ = -12 + 17 3x 1+ = 5 3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5 3x = 4 3x = - 6 x = 4 3 x = - 2 Vậy x = 4 3 ; x = - 2 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ c) (1,5 điểm) 5 3 1 22 13 2 x 4 2 3 13 11 2 + − = − + = 5 3 1 .2.11 . 13 22 13 2 4 2 3 .2.11.13 13 11 2 + − ÷ − + ÷ = 65 66 143 88 52 429 + − − + = 12 4 465 155 − − = 0,5đ 0,5đ 0,5đ d) (1,5 điểm) Vì 2 2 2 . . . 11 .13 13 .15 19 . 21 + + + = 1 1 1 1 1 1 11 13 13 15 19 21 − + − + + − = 1 1 10 11 21 231 − = Nên ta có ( ) 10 . 462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19 231 − + = 20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19 [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19 [2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1 2,04 : (x + 1,05) = 1 . 0,12 x + 1,05 = 2,04 : 0,12 x + 1,05 = 17 x = 17 - 1,05 x = 15,95 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu II: (8 điểm) 1. (3,0 điểm) a) (1,25 điểm) S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 100 Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có: S = (2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + (2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 ) + + (2 97 + 2 98 + 2 99 + 2 100 ) = 2 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + 2 5 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + + 2 97 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) = 2 . 15 + 2 5 . 15 + + 2 97 . 15 = 15 (2 + 2 5 + + 2 97 ) M 15 (ĐPCM) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ b) (0,75 điểm) Vì S M 15 ⇒ S M 5 (1) Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S M 2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ S M 10 hay S có chữ số tận cùng là 0. 0,25đ 0,25đ 0,25đ c) (1,0 điểm) 2S - S = 2 (2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 100 ) - (2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 100 ) S = (2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 101 ) - (2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 100 ) hay S = 2 101 - 2 0,5đ 0,25đ 0,25đ 2. (2,0 điểm) Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x Ta có: (x - 1) : 2 + 1 = n ⇒ (x - 1) : 2 = n - 1 ⇒ x - 1 = (n - 1). 2 ⇒ x - 1 = 2n - 2 ⇒ x = 2n - 2 + 1 ⇒ x = 2n - 1 Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; 2n - 1 Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là: 1 + 3 + 5 + + (2n - 1) = (2n - 1 + 1) . n : 2 = 2n . n : 2 = n 2 là một số chính phương. Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ 0,25đ 3. (3,0 điểm) a) (1,5 điểm) Ta có 1 - 1 1 1 1 1 2 3 4 199 200 + − + + − = 1 + 1 1 1 1 1 1 1 3 5 199 2 4 6 200 + + + − + + + + ÷ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 5 6 199 200 2 4 6 200 + + + + + + + + − + + + + ÷ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 199 200 2 3 100 + + + + + − + + + + ÷ = 1 1 1 1 101 102 103 200 + + + + (ĐPCM) 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) (1,5 điểm) Ta có: 1 . 3 . 5 99 = ( ) ( ) 1. 3 .5 99 2 . 4 . 6 100 (2 .4 . 6 100) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.2.3.4.5.6 99.100 1.2 . 2.2 . 2.3 2.50 = ( ) 50 1 .2 . 3 99 .100 1 . 2.3 50 . 2.2.2 2 14 2 43 thõa sè 2 = 50 51 .52 .53 99 . 100 2.2.2 2 14 2 43 thõa sè 2 = 51 52 53 100 . . . . . . . 2 2 2 2 (ĐPCM) 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu III: (3 điểm) Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h. Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h = 9 h 2 Một giờ xe thứ nhất đi được : 1 6 (quãng đường AB). Một giờ xe thứ hai đi được : 2 9 (quãng đường AB). Phân số chỉ 20km là : 2 9 - 1 6 = 1 18 (quãng đường AB) Vậy quãng đường AB dài : 20 : 1 18 = 360 (km) Vận tốc xe thứ nhất là : 360 . 1 6 = 60 (km/h) Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ nhất đi trước xe thứ hai 1 giờ). Do đó, chúng gặp nhau (kể từ khi xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = 3 (h) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 . 2 = 240 km. 0,25đ Câu IV: (3 điểm) 1. (1,5 điểm) A = 1 3 5 9999 . . 2 4 6 10000 Đặt B = 2 4 6 10000 . . 3 5 7 10001 Vì 1 2 3 4 5 6 9999 10000 ; ; ; ; 2 3 4 5 6 7 10000 10001 < < < < Nên A < B mà A > 0 ; B > 0 ⇒ A 2 < A . B = 1 3 5 9999 2 4 6 10000 . . . . . 2 4 6 10000 3 5 7 10001 ÷ ÷ = 1 2 3 4 5 6 9999 10000 . . . . . . 2 3 4 5 6 7 10000 10001 ÷ = ( ) 2 2 1 1 1 0,01 10001 10000 100 < = = ÷ ⇒ A 2 < (0,01) 2 Hay A < 0,01 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 2. (1,5 điểm) Ta có: 1 + 2 + 3 + + n = ( ) n. n 1 2 + Vì n ∈ N ⇒ n . (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có thể có các tận cùng là: 0; 2 ; 6 ⇒ ( ) n. n 1 2 + không bao giờ có tận cùng là 7. ⇒ ( ) 1 2 3 n 7 + + + + − không bao giờ có tận cùng là 0. ⇒ ( ) 1 2 3 n 7 + + + + − M 10, với ∀ n ∈ N (ĐPCM) 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ * Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Tùy theo bài làm của học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm. Hết Người ra hướng dẫn chấm Tổ trưởng chuyên môn Hiệu trưởng . S = (2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + (2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 ) + + (2 97 + 2 98 + 2 99 + 2 100 ) = 2 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + 2 5 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + + 2 97 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) = 2 ) 1 .2. 3.4.5.6 99.100 1 .2 . 2. 2 . 2. 3 2. 50 = ( ) 50 1 .2 . 3 99 .100 1 . 2. 3 50 . 2. 2 .2 2 14 2 43 thõa sè 2 = 50 51 . 52 .53 99 . 100 2. 2 .2 2 14 2 43 thõa sè 2 = 51 52 53 100 . . . . . . . 2 2 2. (2) Từ (1) và (2) ⇒ S M 10 hay S có chữ số tận cùng là 0. 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ c) (1,0 điểm) 2S - S = 2 (2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 100 ) - (2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 100 ) S = (2 2 + 2 3 + 2 4