www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com www.dethithudaihoc.com Sở giáo dục và đào tạo nghệ an đề thi thử đại học năm 2013-lần thứ I Trờng thpt thái hoà Môn thi : Toán Thời gian làm bài :180 phút ==========*========= I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) Câu I(2 điểm): Cho hàm số : 3 3 2 y x x = + có th (C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2.Tìm im M thuc th (C) tip tuyn ca (C) ti im M cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là N thoả mãn 6 M N x x = . Câu II (2 điểm) 1.Giải phơng trình: 1 cos .cos2 .cos3 sin .sin 2 .sin3 2 x x x x x x = 2.Gii h phng trình: ( ) = ++=+++ yxyy yxyxyy 33)( 1241213 22 Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = 3 1 2 0 1 x dx x + Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình vuông cnh bng a, SA = 3 a v SA vuông góc vi mt phng áy. Tính theo a th tích khi t din SACD v tính cosin ca góc gia hai ng thng SB, AC. Câu V (1 điểm) Cho các số dơng a, b, c thoả mãn: 3(ab+bc+ca) = 1. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 1 a b c a bc b ca c ab a b c + + + + + + + . II.Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 phần (Phần A hoặc phần B). A.Dành cho Ban Cơ bản Câu VIa (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đờng thẳng (d) có phơng trình x - 4y - 3 = 0. Cạnh BC nằm trên đờng thẳng song song với (d), phơng trình đờng cao kẻ từ B là x + y - 1 = 0 và trung điểm M của cạnh AC là M(1;1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(0; 1; 2), B(-1; 1; 0) và mặt phẳng (P): x - 2z + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại B. Câu VIIa.(1 điểm) : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số trong đó số 3 có mặt đúng 2 lần, 3 số còn lại khác nhau? B.Dành cho Ban Khoa học tự nhiên Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;5), B(-3;1), C(2;-2). Viết phơng trình đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC. 2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 3; 2) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2 = 0. Tìm tọa độ điểm M sao cho M cách đều A, B, C và mặt phẳng (P). Câu VIIb (1 điểm): Chứng minh rằng: 0 50 1 49 2 48 50 0 50 2012 2013 2012 2013 2012 2013 2012 2013 4025 . . . .C C C C C C C C C+ + + + = www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com www.dethithudaihoc.com ============Hết=========== Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Sở giáo dục và đào tạo Nghệ an Kì thi thử đại học năm 2012 Lần thứ 1 Trờng ThPT thái hoà Môn thi: Toán (Thời gian: 180 phút) Đáp án- Biểu điểm (gồm 7 trang) I.Phần chung Câu nội dung điểm 2,0 1.(1 đ) a)Tập xác định: D = R b)Sự biến thiên +)Chiều biến thiên: y= 3x 2 - 3, y=0 1 x = y>0 1 1, ' 0 1 1 x x y x < > < < < 0,25 Hàm số ng bin biến trên các khoảng ( ; 1 ) và ( 1; + ) Hm s nghch bin trờn khong (-1;1) +)Cực trị : Hàm số tcc i ti x = -1, y C = 4 Hm s t cc tiu ti x = 1, y CT =0. +)Giới hạn và tiệm cận: + = = + yy xx lim,lim Đồ thị hàm số khụng cú tim cn. 0,25 +)Bảng biến thiên: + - + - + 0 0 0 4 1 -1 + - y y' x 0,25 I +) Đồ thị: Cắt trục Ox tại (-2;0), (1;0). Cắt trục Oy tại (0;2) Nhận điểm uốn (0;2) làm tâm đối xứng 0,25 www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com www.dethithudaihoc.com 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 2.( 1đ ) Gọi điểm M(a ; a 3 -3a + 2). Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M: y = (3a 2 - 3)(x - a) + a 3 -3a + 2 y = (3a 2 - 3)x -2a 3 +2. 0,25 Phơng trình hoành độ giao điểm : x 3 - 3x + 2 = (3a 2 - 3)x -2a 3 +2 (x-a) 2 (x+2a) = 0 2 x a x a = = . Vậy 2 N x a = 0,25 Theo giả thiết : ( 2 ) 6 2 2 a a a a = = = 0,25 Thay vào ta đơc M(2; 4), M(-2; 0) 0,25 2,0 1.(1đ) . Giải phơng trình: 1 cos .cos2 .cos3 sin .sin 2 .sin3 2 x x x x x x = (1) Biến đổi: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 cos4 cos2 .cos2 cos2 cos4 .sin 2 2 2 2 cos4 .cos2 cos 2 cos2 .sin 2 cos4 .sin 2 1 0 x x x x x x x x x x x x x + = + + = 0,25 ( ) ( ) ( )( ) 2 cos4 .cos2 cos4 .sin 2 sin 2 cos2 .sin2 0 cos2 sin 2 cos4 sin 2 0 cos2 sin 2 0 cos4 sin 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x + + = + = + = = 0,25 II Với cos2 sin 2 0 2sin 2 0 2 4 4 8 2 k x x x x k x + = + = + = = + 0,25 www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com www.dethithudaihoc.com Với 4 2 2 2 cos4 sin 2 0 cos4 cos 2 2 4 2 2 2 x x k x x x x x x k = + = = = + + 12 3 4 k x x k = + = + Kết luận:Phơng trình có các họ nghiệm: 8 2 k x = + ; 12 3 k x = + ; 4 x k = + 0,25 2.(1 đ): Giải h phơng trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 2 1 4 2 1 1 ( ) 3 3 2 y y x y x y y y x y + + + = + + = Điều kiện: 2 2 1 0. x y + + Biến đổi PT (1) về dạng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 1 y x y x y y x y x y x y y x y x y y x x y x y + + = + + = + + = + + = + + = + 0,5 TH1 : 2 2 1 3 x y y x + + = 2 2 2 2 3 0 3 0 9 2 1 2 1 9 6 6 y x y x y y x y y xy x xy + + = + = Thay vào (2): 2 2 1 1( ) 9 2 1 3 3 17 415 6 ( ) 3 51 y x tm y y y y y x tm = = = = = 0,25 TH2 : 2 2 2 2 2 0 0 2 1 1 2 2 1 2 2 x y x y x y x y y y x y x xy y xy + + + + = + + + + = + + = Thay vào (2): 2 2 1 1( ) 1 2 3 3 7 41 2 ( ) 3 21 y x tm y y y y y x l = = + = = = Kết luận: Hệ có nghiệm (x;y): (1; 1), 415 17 ; 51 3 . 0,25 III Tính tích phân: I = 3 1 2 0 1 x dx x + ( ) 1 2 3 2 0 . 1 x x dx x = + 1,0 Đặt 2 1 u x = + , 1 2 2 du xdx xdx du = = Đổi cận: x = 0 1 u = , x =1 2 u = . 0,5 www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com www.dethithudaihoc.com Ta có: I = 2 3 1 1 1 2 u du u = 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 du u u u u = + = 1 16 0,5 1,0 O S A D B C M Thể tích khối tứ diện SACD: 3 1 1 3 . . . 3 2 6 a V SA AD DC= = (đvtt) 0,5 Gi M l trung im ca SD và O = AC BD . Ta có OM//SB nên góc (SB;AC) = góc(OM; OC). Tam giỏc vuụng SAB cú SA = 2 2 2 SA AB a OM a + = = Tng t, SD = 2a MD = a , CM = 2 2 MD CD + = 2 a . 0,25 IV Xét tam giác MOC. 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos 2. . 2 2 2. . 2 a a a OC OM CM COM a OC OM a + + = = = =>cos(SB;AC) = 1 2 2 . Vậy cosin góc giữa hai đờng thẳng SB; AC là 1 2 2 0,25 1,0 Ta có : 2 2 2 1 1 1 a b c a bc b ca c ab + + + + + = 2 2 2 3 3 3 a b c a abc a b abc b c abc c + + + + + Đặt 3 3 3 ; ; a b c u a abc a b abc b c abc c + + + , ( ) 3 3 3 ; ; v a abc a b abc b c abc c + + + Ta có : . . u v u v nên 2 2 2 3 3 3 a b c a abc a b abc b c abc c + + + + + ( ) 2 3 3 3 3 a b c a b c abc a b c + + + + + + + 0,5 V ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c abc a b c a b c abc a b c ab bc ca a b c + + + + + = + + + + + + + = + + www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com www.dethithudaihoc.com => Điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1 3 a b c = = = 0,5 Phần riêng: a.Dành cho ban cơ bản 2,0 1.(1đ) Đờng thẳng qua M và vuông góc với đờng cao từ B là đờng thẳng AC. Phơng trình đờng thẳng AC: (x-1) - (y-1) = 0 <=> x- y = 0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: ( ) 4 3 0 1 1; 1 0 1 x y x A x y y = = = = 0,25 Tọa độ điểm C: ( ) 2 3 3;3 2 3 C M A C M A x x x C y y y = = = = 0,25 Phơng trình đờng thẳng BC: ( ) ( ) 3 4 3 0 4 9 0 x y x y = + = 0,25 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: ( ) 1 0 1 1;2 4 9 0 2 x y x B x y y + = = + = = Đáp số : A(-1;-1); B(-1; 2); C(3;3). 0,25 2. (1đ) Gọi điểm M(a; b; c). Ta có a - 2c +1 = 0. ( ) ( ) 1;0;2 , 1; 1; BA BM a b c = = + Tam giác MAB cân tại B . 0 BA BM BA BM = = 0,25 Ta có hệ: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 1 2 0 5 1 1 a c a c a b c + = + + = = + + + 0,25 VIa Giải hệ trên ta đợc: a =-1; c = 0; b=1 5 Vậy các điểm M thỏa mãn: M(-1;1 5 ;0). 0,5 1,0 Việc lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là việc sắp xếp các số vào dãy 5 ô trống: Số cách sắp xếp số vào ô trống thứ 5: 3 cách (lấy trong các số 2;4;6) 0,25 Số cách sắp xếp 2 số 3 vào 2 trong 4 ô trống (trừ ô trống thứ 5): 2 4 C cách 0,25 Số cách sắp xếp 2 số trong 5 số còn lại (trừ số 3 và số đã xếp vào ô thứ 5) vào 2 ô trống còn lại: 2 5 A cách 0,25 VIIa Theo quy tắc nhân, số các số thỏa mãn: 3. 2 4 C . 2 5 A = 360 số. Đáp số: 360 số 0,25 B.dành cho ban khoa học tự nhiên 2,0 VIb 1.(1đ) www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com www.dethithudaihoc.com Phơng trình đờng thẳng AB: x - y + 4 = 0. Phơng trình đờng thẳng AC: 7x + y -12 = 0. 0,25 Phơng trình đờng phân giác trong và phân giác ngoài góc A : ( ) ( ) 1 2 3 16 0 4 7 12 3 2 0 2 50 x y d x y x y x y d + = + + = + = 0,5 Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 16 3 16 16 . 20 0 B B C C x y x y + + = > => B, C nằm cùng phía đối với đờng thẳng d 1 nên d 1 là đờng phân giác ngoài góc A của tam giác. Vậy phơng trình đờng phân giác trong góc A là d 2 : 3x - y + 2 = 0. 0,25 2.(1đ) Gọi điểm M (a; b; c). Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 ,( ) 5 MA a b c MB a b c MC a b c a b d M P = + + = + + = + + + + = 0,25 Ta có : MA = MB = MC = d(M,(P)) nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 1 5 a b c a b c a b c a b c a b a b c + + = + + + + = + + + + + + = ( ) 2 2 2 3 2 2 1 5 a b c a a b a b c = = + + + + = 0,25 Giải hệ trên ta đợc: M(1;1;-2); M( 23 23 14 ; ; 3 3 3 ) 0,5 1,0 Xét khai triển: P(x) = ( ) ( ) 2012 2013 1 . 1x x+ + = ( ) ( ) 0 1 2012 2012 0 1 2013 2013 2012 2012 2012 2013 2013 2013 C C x C x C C x C x+ + + + + + Hệ số của 50 x trong khai triển P(x) là : 0 50 1 49 2 48 50 0 2012 2013 2012 2013 2012 2013 2012 2013 . . . .C C C C C C C C+ + + + 0,5 Xét khai triển Q(x) = ( ) 4025 1 x+ Hệ số của x 50 trong khai triển là 50 4025 C 0,25 VIIb Do P(x) = Q(x) nên hệ số của x 50 bằng nhau => điều phải chứng minh 0,25 . c + + + + + ( ) 2 3 3 3 3 a b c a b c abc a b c + + + + + + + 0,5 V ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c abc a b c a b c abc a b c ab bc ca a b c + + + + + = + + + + + + + = +. ab + + + + + = 2 2 2 3 3 3 a b c a abc a b abc b c abc c + + + + + Đặt 3 3 3 ; ; a b c u a abc a b abc b c abc c + + + , ( ) 3 3 3 ; ; v a abc a b abc b c abc c + + + . 2 2 2 1 5 a b c a b c a b c a b c a b a b c + + = + + + + = + + + + + + = ( ) 2 2 2 3 2 2 1 5 a b c a a b a b c = = + + + + = 0,25 Giải hệ trên ta