ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ================== ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Khối A – A 1 - B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2, 0 điểm). Cho hàm số y = x 4 – 2x 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. Câu 2 (1, 0 điểm). Giải phương trình: 5 2013 sin)sin2cos3(sin 5 2013 cos)cos2sin3(cos ππ xxxxxx −+=−− Câu 3 (1, 0 điểm). Giải phương trình 13284 2 =++− xxx (x ∈ R) Câu 4 (1, 0 điểm). Tính tích phân dxxxI ∫ −+= 4 3 4 4 sin)2sin22( π π π Câu 5 (1, 0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ∆SAB đều và ∆SCD vuông cân tại S. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AMCN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Câu 6 (1, 0 điểm). Cho các số x, y, z thuộc khoảng (0; 1) và thỏa mãn xyz = (1 – x)(1 – y)(1 – z). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 + z 2 . Câu 7a (1, 0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2; -3), phương trình đường thẳng AB là 3x + 4y – 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ của A lớn hơn 2. Câu 8a (1, 0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4; -4, 3), B(1; 3; -1), C(-2; 0; -1). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt phẳng (α): x + y + z + 2 = 0 và (β): x – y – z – 4 = 0 theo hai giao tuyến là hai đường tròn có bán kính bằng nhau. Câu 9a (1, 0 điểm). Gọi z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình 1 2 1 2 −= − − iz z . Tính giá trị biểu thức P = )1)(1( 2 2 2 1 zz ++ . ======HẾT====== Thí sinh không được dùng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ================== HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Khối A - A 1 - B I. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi. 3. Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II. Đáp án và thang điểm CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x 4 – 2x 2 1. TXĐ: D = R 2. Sự biến thiên: a.Chiều biến thiên: +) y’ = 4x 3 – 4x; y’ = 0 ⇔ 4x 3 – 4x = 0 ⇔ x = 0, x = ±1 0.25 +) Xét dấu y’: Suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; -1) và (0; 1); đồng biến trên (-1; 0) và (1; +∞) b) Cực trị: -Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y CT = -1, đạt cực đạt tại x = 0, y CĐ = 0. c) Các giới hạn: +∞= −∞→ y x lim , +∞= +∞→ y x lim 0.25 d) Bảng biến thiên: 0.25 3. Đồ thị hàm số: - Đồ thị hàm số nhận oy làm trục đối xứng: - Đồ thị hàm số qua hai điểm: )0;2(− , )0;2( 0.25 b) Giả sử đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt A(a; a 4 – 2a 2 ) và B(b; b 4 – 2b 2 ) (a ≠ b). Khi đó y = y’(a)(x – a) + a 4 – 2a 2 và y = y’(b)(x – b) + b 4 – 2b 2 đều là phương trình của tiếp tuyến d. 0.25 Đồng nhất thức, ta có: −+−=−+− = 2424 2)('2)(' )(')(' bbbbyaaaay byay =−++ =−++ ⇔ 0]2)(3)[( 01 22 22 baba baba . 0.25 Giải hệ ta được hai nghiệm là (1; -1), (-1; 1) 0.25 Vậy đường thẳng y = -1 là tiếp tuyến cần tìm. 0.25 2 5 2013 sin)sin2cos3(sin 5 2013 cos)cos2sin3(cos ππ xxxxxx −+=−− 0 5 2013 cos 5 2013 2sin 5 2013 3cos = +− +− +⇔ πππ xxx 0.25 0 5 2013 2sinsin 5 2013 2sin2 = +− +−⇔ ππ xxx ( ) 01sin2 5 2013 2sin =+ +⇔ xx π 0.25 0 5 2013 2sin = +⇔ π x hoặc 01sin2 =+ x 0.25 Phương trình có các họ nghiệm: 210 2013 ππ kx +−= , π π 2 6 kx +−= , π π 2 6 7 kx += 0.25 3 Biến đổi: 13284 2 =++− xxx 4 1 32)32( 4 9 64 2 ++−+=+−⇔ xxxx 22 2 1 32 2 3 2 −+= −⇔ xx ⇔ ++−=− −+=− (2) (1) 2 1 32 2 3 2 2 1 32 2 3 2 xx xx 0.5 Giải (1), (2) ta được 4 173 + =x , 4 215 − =x 0.5 4 Tính tích phân dxxxI ∫ −+= 4 3 4 4 sin)2sin22( π π π dxxxdxxx ∫∫ − −= − −+= 4 3 4 2 4 3 4 4 sin 4 cos4 4 sin) 2 2cos1(2 π π π π ππππ 0.5 Đặt −= 4 cos π xt ⇒ dxxdt . 4 sin −−= π 1 4 =⇒= tx π ; 0 4 3 =⇒= tx π 0.25 Suy ra: 3 4 3 4 4 1 0 3 1 0 2 === ∫ tdttI 0.25 5 Ta có: )()()( SMNABCDSMNAB MNAB SMAB ⊥⇒⊥⇒ ⊥ ⊥ 0.25 Trong mặt phẳng (SMN) kẻ SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có 2 3 aSM = , MN = a, 22 1 a CDSN == Ta có MN 2 = SM 2 + SN 2 suy ra ∆SMN vuông tại S. Suy ra: 222 111 SNSMSH += ⇒ SH = 4 3a , 0.25 2 2 1 2 1 aSS ABCDAMCN == . 24 3 . 3 1 3 . a SSHV AMCNAMCNS == 0.25 Ta có: )(SCDSM SNSM CDSM ⊥⇒ ⊥ ⊥ . Vì AB // CD ⇒ AB // (SCD) nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = SM = 2 3a 0.25 6 Từ giả thiết: xyz = (1 – x)(1 – y)(1 – z) ⇒ xyz = 1 – (x + y + z) + (xy + yz + zx) – xyz ⇒ xy + yz + zx = 2xyz + (x + y + z) - 1 0.25 Mặt khác: x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 – 2(xy + yz + zx) = (x + y + z) 2 - 2(x + y + z) + 2 – 4xyz ≥ 3 2 3 .42)(2)( ++ −+++−++ zyx zyxzyx 0.25 Đặt t = x + y + z, vì x, y, z thuộc (0; 1) nên 0 < t < 3. Suy ra x 2 + y 2 + z 2 ≥ t 2 – 2t + 2 - 27 4 3 t , t ∈ (0; 3). 0.25 Khảo sát hàm số f(t) = t 2 – 2t + 2 - 27 4 3 t , t ∈ (0; 3) và tìm được giá trị nhỏ nhất là 4 3 khi x = y = z = ½. 0.25 7 Cạnh hình vuông ABCD là a = 2d(I, AB) = 4 Vì ABCD là hình vuông nên IA = IB = a 2 2 =2 2 0.25 Khi đó A, B thuộc đường tròn (C) tâm I(2; -3), bán kính R = 2 2 , có phương trình là: (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 8 0.25 Suy ra A, B là giao của AB và (C) có tọa độ là nghiệm của hệ: =++− =−+ 8)3()2( 0443 22 yx yx ta được: − 5 13 ; 5 24 A , − 5 1 ; 5 8 B (Vì x A > 2 ) 0.25 3x+4y-4=0 D C B A I Vì I là trung điểm của AC và BD nên −− 5 17 ; 5 4 C , − 5 29 ; 5 12 D 0.25 9 Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S). Vì (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt phẳng (α): x + y + z + 2 = 0 và (β): x – y – z – 4 = 0 theo hai giao tuyến là hai đường tròn có bán kính bằng nhau nên ta có hệ: −−−=+++ =+− =+− ⇔ = = = 42 9223 15473 ))(,())(,( cbacba cba cba IdId ICIA IBIA βα 0.25 Giải hệ ta được: = = = 3 0 1 c b a hoặc −= −= = 7/9 7/12 7/19 c b a 0.25 Với = = = 3 0 1 c b a , viết được phương trình mặt cầu: 25)3()1( 222 =−++− zyx 0.25 Với −= −= = 7/9 7/12 7/19 c b a , mặt cầu có phương trình: 49 1237 ) 7 9 () 7 12 () 7 19 ( 222 =++++− zyx 0.25 9 Từ giả thiết: 1 2 1 2 −= − − iz z ⇔ i iz z = − − 2 1 (1) hoặc i iz z −= − − 2 1 (2) 0.25 Từ (1) ta tìm được: iz 5 4 5 2 1 += , từ (2) ta tìm được: 0 2 =z 0.5 Suy ra: P = )1)(1( 2 2 2 1 zz ++ i 25 16 25 13 += 0.25 . THPT LƯU HOÀNG ================== ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Khối A – A 1 - B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2, 0 điểm). Cho hàm. danh: ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ================== HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Khối A - A 1 - B I. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí. +∞= −∞→ y x lim , +∞= +∞→ y x lim 0.25 d) Bảng biến thi n: 0.25 3. Đồ thị hàm số: - Đồ thị hàm số nhận oy làm trục đối xứng: - Đồ thị hàm số qua hai điểm: )0;2(− , )0;2( 0.25 b) Giả sử đường