Nội dung tài liệu là phần vuông góc, bắt đầu từ phần vector, với đầy đủ lí thuyết và các ví dụ cụ thể, được tác giả giải chi tiết. Phần I là phần vecto, phần II là phần chứng minh các quan hệ vuông góc và bài tập tổng hợp
Page 1 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 QUAN HỆ VUÔNG GÓC BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN PHẦN MỘT: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Những kiến thức cơ bản cần nhớ ⊻ Các quy tắc trong hình học phẳng: • Với ba điểm bất kỳ ta luôn có: + AB BC AC + = + AC AB BC − = + 2 AB AC AM + = với M là trung điểm của BC • Nếu ABCD là hình bình hành ta có: AB AD AC + = • Điều kiện để 3 điểm , , A B C thẳng hàng là với mọi điểm O ta có: OA mOB nOC = + với 1 m n + = Hoặc AB kBC = • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì + 0 GA GB GC + + = + Với mọi điểm M ta có 3 MA MB MC MG + + = • Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k khi MA kMB = khi đó với mọi điểm O bất kỳ ta luôn có: 1 OA kOB OM k − = − ⊻ Các quy tắc trong hình không gian. Các quy tắc trong hình phẳng thì cũng đúng trong hình không gian. Ngoài ra ta cần nắm thêm các tính chất sau: Page 2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 • Cho ba véc tơ , , a b c không đồng phẳng. Khi đó với mọi véc tơ d ta luôn có: d ma nb pc = + + . Trong đó bộ ba số , , m n p là duy nhất. Điều đó có nghĩa là Nếu tồn tại một cách biễu diễn khác d xa yb zc = + + thì ta suy ra m x n y p z = = = • Điều kiện để , , a b c đồng phẳng là tồn tại duy nhất cặp số , m n sao cho a mb nc = + Hoặc tồn tại 3 số , , m n p sao cho 0 ma nb pc + + = • Bốn điểm , , , A B C D đồng phẳng khi tồn tại các số , m n sao cho AB mAC nAD = + Hoặc OD mOA nOB pOC = + + trong đó: 1 m n p + + = • Để chứng minh đường thẳng ( ) d song song với mặt phẳng ( ) P ta làm như sau: Trên ( ) d lấy một véc tơ a , Trên ( ) P lấy 2 véc tơ , b c sau đó chứng minh , , a b c đồng phẳng. Tức là a mb nc = + PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG VÉC TƠ: + Chọn một hệ véc tơ cơ sở gồm 3 véc tơ: , , a b c không đồng phẳng; + Biểu diễn các véc tơ thông qua , , a b c + Dựa vào các tính chất véc tơ để tìm điều kiện, hoặc tính toán các kết quả. Ví dụ 1: Cho tứ diện , ABCD M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho 2 , 2 MA MB ND NC = − = − ; các điểm , , I J K lần lượt thuộc , , AD MN BC sao cho IA kID = , KB kKC = . Chứng minh rằng các điểm , , I J K thẳng hàng. Lời giải: Page 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Cách 1: Ta có IJ IA AM MJ = + + (1); IJ ID DN NJ = + + (2) Từ (2) ta có: kIJ kID kDN kNJ = + + hay kIJ IA kDN MJ = + + (3) Từ (1) và (3) ta có: ( ) 1 k IJ AM kDN − = − hay 1 1 1 1 IJ AM DN k k = − − − Chứng minh tương tự trên ta có: 1 1 1 1 JK MB NC k k = − − − Mặt khác 2 , 2 MA MB ND NC = − = − nên 2 2 1 1 k IJ MB NC k k = − − − Từ đó ta có 2 IJ JK = . Vậy ba điểm , , I J K thẳng hàng. Cách 2: Vì 2 MA MB = − nên với điểm O bất kỳ thì 2 3 OA OB OM + = Tương tự 2 ; ; ; 3 1 1 1 OD OC OA kOD OB kOC OM kON ON OI OK OJ k k k + − − − = = = = − − − Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 2 2 . 1 2 1 1 3 1 3 OJ OA OB kOD kOC k OI k OK k k = + − − = − + − − − ( ) 1 1 2 2 3 3 3 OI OK OI OK = + = + Mặt khác 1 2 1 3 3 + = Vậy ba điểm , , I J K thẳng hàng. K J I N M D C B A Page 4 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Ví dụ 2: Cho hình hộp ' ' ' ' ABCDA B C D ; các điểm , M N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và ' DC sao cho , ' MC mMA ND mNC = = . Xác định m để các đường thẳng MN và ' BD song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết 0 ' ' 60 ABC ABB CBB= = = và , ' , BA a BB b BC c = = = . Lời giải: Xác định m : Đặt , ' , BA a BB b BC c = = = thì ' BD a b c = + + Do MC mMA = nên 1 1 BC mBA c ma BM m m − − = = − − Tương tự ta có: ( ) ' 1 1 1 1 1 a c m b c BD mBC m BN a b c m m m m + − + − = = = − + − − − − Từ đó 1 1 1 1 m m m MN BN BM a b c m m m + = − = − − − − − Do , ' AC BD chéo nhau và ', ' DC BD chéo nhau nên: / / ' ' MN BD MN kBD MN ka kb kc ⇔ = ⇔ = + + Mặt khác , , a b c không đồng phẳng nên điều ấy xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 1 m k m m k m m k m + = − = − = − Suy ra 1 1 2 m m m + = − ⇔ = − . Từ đó ta có 1 3 k = Vậy 1 2 m = − thì / / ' MN BD Tính : MN Page 5 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Khi ấy: ( ) 1 3 MN a b c = + + do đó ( ) 2 2 2 2 1 2 . 2 . 2 . 9 MN a b c a b a c b c = + + + + + Hay ( ) 2 2 2 2 1 9 MN a b c ab ac bc = + + + + + tức là 2 2 2 1 3 MN a b c ab bc ca = + + + + + . Ví dụ 3: Cho lăng trụ ' ' ' ABCA B C . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của ' BB và ' ' A C . Điểm K thuộc ' ' B C sao cho ' 2 ' KC KB = − . Chứng minh rằng bốn điểm , , , A I J K cùng thuộc một mặt phẳng. Lời giải: A B C D A' B' C' D' M N I J K A B C A' B' C' M Page 6 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Đặt ' , , AA a AB b AC c = = = . Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ' 2 2 2 2 AI AB AB b a b a b = + = + + = + (1) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ' ' 2 2 2 2 AJ AA AC a a c a c = + = + + = + (2) ( ) 2 ' 2 ' 3 2 3 3 3 a c a b AC AB a b c AK + + + + + + = = = (3) Từ (1),(2),(3) ta có ( ) 2 3 AK AI AJ = + Vậy , , AI AJ AK đồng phẳng tức là các điểm , , , A I J K cùng thuộc một mặt phẳng. Chú ý: Có thể chứng minh các điểm , , , A I J K thuộc một mặt phẳng bằng cách chứng minh AI và JK cắt nhau tại M . Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng ( ) P bất kỳ không qua S , cắt các cạnh , , , SA SB SC SD lần lượt tại các điểm 1 1 1 1 , , , A B C D . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 SA SC SB SD SA SC SB SD + = + Lời giải: Vì ABCD là hình bình hành nên SA SC SB SD + = + hay SD SA SC SB = + − Đặt 1 1 1 1 ; ; ; SA aSA SB bSB SC cSC SD dSD = = = = (với , , , a b c d là các số lớn hơn 1) Khi đó: 1 1 1 1 ; SA SC SB SD a c b d SA SC SB SD + = + + = + Và ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . a c b SD SD SA SC SB aSA cSC bSB SA SC SB d d d d d d = = + − = + − = + − Mặt khác các điểm 1 1 1 1 , , , A B C D thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra 1 a c b d d d + − = tức là a c b d + = + . Như vậy 1 1 1 1 SA SC SB SD SA SC SB SD + = + . Page 7 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Ví dụ 5: Cho hình lập phương ' ' ' ' ABCDA B C D . Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc ' AD và DB sao cho ( ) '; 0, 1 MA kMD ND kNB k k = = ≠ ≠ a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp ( ) ' A BC b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng ' A C , chứng tỏ rằng MN vuông góc với ' AD và DB . Lời giải: a) Đặt ' ; ; AA a AB b AD c = = = . Khi đó ta có: . . . 0 a b bc c a = = = và 2 2 2 a b c = = Vì ' MA kMD = nên ( ) ' MA k MA AD = + Vậy ( ) 1 k AM a c k = + − Tương tự ta có: 1 1 1 1 AD k AB k AN b c k k k − = = − + − − − Từ đó ( ) 1 1 1 k k MN AN AM c a b k k + = − = + − − − hay 1 ' 1 1 k k MN BC BA k k + = + − − . Như vậy ba véc tơ , , ' MN BC BA đồng phẳng A B C D A' B' C' D' M N Page 8 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Mặt khác ', AD DB cắt mp ( ) ' ' A BCD , các điểm , M N lần lượt thuộc ', AD DB với 0, 1 k k ≠ ≠ nên MN không thuộc mp ( ) ' A BC . Vậy MN song song mp ( ) ' A BC . b) Ta có: ' ; ' , ' A C a b c A C AD = − + + chéo nhau; ' , A C BD chéo nhau mà ', M AD N DB ∈ ∈ . Do đó đường thẳng MN song song với đường thẳng ' A C khi và chỉ khi ' MN mA C = , tức là: 1 1 1 1 k k k a b c ma mb mc k k k + − + = − + + − − − Do , , a b c là ba véc tơ không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 1 k m k k m k k m k = − − − = − + = − Suy ra 1 1 2 k k k − = + ⇔ = − Vậy khi 1 2 k = − thì MN song song với ' A C Khi đó ( ) 1 3 MN a b c = − − Mặt khác ' , AD a c DB b c = + = − Vậy ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 . ' 0; . 0 3 3 MN AD a c MN DB b c = − − = = − − + = Điều này khẳng định MN vuông góc với ' AD và DB . Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm , , , M N P Q lần lượt thuộc , , , AB BC CD DA sao cho 1 2 1 , , , 3 3 2 AM AB BN BC AQ AD DP kDC = = = = . Hãy xác định k để bốn điểm , , , P Q M N cùng nằm trên một mặt phẳng. Page 9 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Lời giải: Cách 1: Từ 1 3 AM AB = , ta có 2 3 BM BA = . Mặt khác 2 3 BN BC = nên / / MN AC Nếu có k các điểm , , , M N P Q thuộc một mặt phẳng thì mp ( ) MNQ cắt mp ( ) ACD theo giao tuyến PQ nên / / PQ AC Mặt khác 1 2 AQ AD = nên 1 2 DP DC = Vậy 1 2 k = thì các điểm , , , M N P Q cùng thuộc một mặt phẳng. Cách 2: Đặt , , DA a DB b DC c = = = khi đó , BC c b AB b a = − = − Do 1 3 AM AB = nên ( ) 1 1 1 3 3 3 AM b a a b = − = − + ( ) 2 1 2 3 3 3 AN AB BN b a c b a b c = + = − + − = − + + AP AD DP a kDC a kc = + = − + = − + 1 2 AQ a = − Khi đó: 2 2 2 1 1 1 ; ; 3 3 3 3 6 3 MN a c MP a b kc MQ a b = − + = − − + = − − A B C D M N P Q Page 10 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Các điểm , , , M N P Q thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có số , x y sao cho MP xMN yMQ = + 2 1 2 2 1 3 3 3 3 6 3 a b kc xa xc ya yb ⇔ − − + = − + − − Do , , a b c không đồng phẳng nên điều đó tương đương với 2 1 2 3 6 3 1 1 3 3 2 3 x y y x k − − = − − = − = 3 1 1, , 4 2 y x k ⇒ = = = Vậy 1 2 k = thì các điểm , , , M N P Q cùng thuộc một mặt phẳng. Ví dụ 7: Cho hình hộp ' ' ' ' ABCDA B C D . Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng ', , ' ' AA BC C D lần lượt tại , , M N P sao cho 2 NM NP = . Tính ' MA MA Lời giải: P N M D' C' B' A' D C B A [...]... SB = SC hoặc SB, SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC Page - 19 - QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Việc nhận biết đường cao một khối chóp chính là chìa khóa quan trọng nhất để giải quyết các bài toán trong quan hệ vuông góc: Các dấu hiệu 1,2,3 là những tính chất quen thuộc trong hình không gian Đối với các dấu hiệu 4, 5: Ta có thể... phẳng PHẦN HAI: CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ VUÔNG GÓC Những vấn đề chung: Dấu hiệu nhận biết đường cao khối chóp: Dấu hiệu 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao Dấu hiệu 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến giao tuyến của mặt bên và đáy - Dấu hiệu 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính... QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 S K I A B C D Ví dụ 6) Trong mặt phẳng (α ) cho hình vuông ABCD Các tia Bx và Dy vuông góc với mặt phẳng (α ) và cùng chiều Các điểm M và N lần lượt thay đổi trên Bx , Dy sao cho hai mặt phẳng ( MAC ) và ( NAC ) vuông góc với nhau Chứng minh rằng: a) BM DN không đổi b) ( AMN ) ⊥ ( CMN ) Lời giải: a) Đặt BM = m, DN = n, AB = a Gọi O là tâm hình vuông. .. với đường thẳng a , b { 2) Để chứng minh một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P ) ta có thể dùng một trong các cách sau: 20 a⊥c ⇒a⊥b b / /c Page - Dùng tính chất bắc cầu: QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 - Xác định góc tạo bởi đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) và chỉ ra góc đó bằng 900 - Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng ( P ) - Dựa... A2 An Vấn đề 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc 1) Để chứng minh hai đường thẳng a , b vuông góc với nhau ta có thể dùng các cách: - Chứng minh góc tạo bởi 2 đường thẳng a , b bằng 900 - Chứng minh a ⊥ ( P ) trong đó ( P ) chứa đường thẳng b - Dùng phương pháp véc tơ để chứng minh m.n = 0 trong đó các véc tơ m, n có giá cùng phương... OD 2 = n 2 + 2 2 MN 2 = BD 2 + ( BM − DN ) = 2a 2 + ( m − n ) 2 27 Trong hình thang vuông BDNM ta có 2 Page Ta có OM 2 = BM 2 + BO 2 = m 2 + QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 a2 a2 a2 2 Vậy m 2 + + n 2 + = 2a 2 + ( m − n ) ⇒ m.n = 2 2 2 Vậy BM DN = a2 không đổi 2 b) Hạ OH ⊥ MN Trong tam giác vuông MON ta có: 1 1 1 1 1 = + = + 2 2 2 2 a a2 OH OM ON m2 + n2 +... Suy ra FGA = 900 Hay ∆FGA vuông cân ở G Từ đó thu được kết quả như trên Ví dụ 8) Cho tam giác nhọn ABC và đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với mp ( ABC ) Các điểm M và N lần lượt thay đổi trên ( NBC ) Tìm vị trí của M , N sao cho ∆ sao cho ( MBC ) vuông góc với a) Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất b) Diện tích toàn phần tứ diện MNBC nhỏ nhất Page 30 Lời giải: QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG... 1 • Khi cắt hình chóp, lăng trụ bởi mặt phẳng ( P ) qua một điểm M vuông góc với đường thẳng a + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với a tại điểm N + Tìm trong hình chóp , lăng trụ một đường thẳng ∆ khác MN sao cho ∆ ⊥ a Thông thường việc tìm ∆ khá đơn giản, ta chỉ cần dựa vào các dấu hiệu nhận biết đường cao, hoặc dựa vào quan hệ vuông góc cơ bản để phát hiện ∆ + Mặt phẳng ( P ) cần tìm chứa đường thẳng... = 2 MA ' Ví dụ 8: Cho hai tam giác ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau a) Chứng minh rằng AD vuông góc với CB b) Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho MA = k MB , ND = k NB Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC Lời giải: A M 11 D I C Page B N QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 a)Gọi I là trung điểm của BC thì AI ⊥... chứa một đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (Q ) + Lấy một điểm M thuộc ∆ , Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( P ) + Mặt phẳng ( P ) cần tìm chứa đường thẳng ∆ và MH 3 • Để tính diện tích thiết diện và giải các câu hỏi liên quan học sinh cần nắm chắc các kiến thức như: + Nếu hình S ' là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( P ) Đồng thời góc tạo bởi hai mặt phẳng . Page 20 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 Việc nhận biết đường cao một khối chóp chính là chìa khóa quan trọng nhất để giải quyết các bài toán trong quan hệ vuông góc: Các. đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc 1) Để chứng minh hai đường thẳng , a b vuông góc với nhau ta có thể dùng các cách: - Chứng minh góc tạo bởi. Page 1 QUAN HỆ VUÔNG GÓC LỚP 11- GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 2012 QUAN HỆ VUÔNG GÓC BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN PHẦN MỘT: VÉC TƠ TRONG KHÔNG