Dethi HSG 6,7,8

Trờng THCS Thanh Xuân Tổ KH Tự nhiên *** đề thi câu lạc bộ em yêu thích môn toán lớp 6 Năm học: 2012-2013 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ). Bài 1 (6 điểm): a) Tìm số nguyên tố p sao cho: p+6, p+12, p+18, p+24 cũng là các số nguyên tố. b) Cho B=2+2 2 +2 3 ++2 100 . Tìm số tự nhiên x sao cho: B+2= 2 x . Bài 2 (4 điểm): So sánh: a) 99 100 và 100.99 99 ; b) 7 8 10 1 A= 10 1 + + và 8 9 10 1 B= 10 1 + + . Bài 3 (4 điểm): a) Tìm số tự nhiên n thoả mãn 3n+7 chia hết cho n+1. b) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 A= 1+ .2.3.4. .98 2 3 98 + + + ữ là một số nguyên. Bài 4 (3 điểm): Phải vẽ bao nhiêu tia phân biệt chung gốc để số góc thu đợc là 45 góc? Bài 5 (3 điểm): a) Tìm chữ số tận cùng của số 6 7 8 2009 ; b) Tìm các số tự nhiên a và b (a<b), biết rằng: BCNN(a,b) +ƯCLN(a,b)= 19 Hết Họ và tên: Lớp : . . . . Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb môn Toán 6 Bài ý Đáp án Biểu điểm 1 6đ a Tìm số nguyên tố p sao cho: p+6, p+12, p+18, p+24 cũng là các số nguyên tố. 3 điểm Nếu p=2 thì p+6=8 là hợp số (loại) Nếu p=3 thì p+12 là hợp số (loại) Nếu p=5 thì p+6=11, p+12=17, p+18=23, p+24= 29 là các số nguyên tố. Nếu p > 5 thì p là 1 trong các dạng: 5k+1; 5k+2; 5k+3; 5k+4 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,5đ với kN. Loại tất cả các trờng hợp này. Vậy p=5. b Cho B=2+2 2 +2 3 + +2 100 . Tìm số tự nhiên x sao cho: B+2= 2 x . 3 điểm Ta có B=2B-B=(2 2 +2 3 ++2 100 +2 101 )-(2+2 2 +2 3 ++2 100 ) =2 101 -2 B+2= 2 201 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 4đ a So sánh: a) 99 100 và 100.99 99 ; 1điểm Ta có : 99 100 =99 99 .99<99 99 .100 Mà 99 99 .99<99 99 .100 Vậy 99 100 < 100.99 99 0,25đ 0,5đ 0,25đ b So sánh: b) 7 8 10 1 A= 10 1 + + và 8 9 10 1 B= 10 1 + + . 3điểm Ta có : 10 7 8 8 8 8 10(10 1) 10 10 9 A= 1 10 1 10 1 10 1 + + = = + + + + 10 8 9 9 9 9 10(10 1) 10 10 9 B= 1 10 1 10 1 10 1 + + = = + + + + 8 9 9 9 10 1 10 1 > + + 10A>10B. Do đó A>B 1,0đ 1,0đ 1,0đ 3 4đ a Tìm số tự nhiên n thoả mãn 3n+7 chia hết cho n+1. 2điểm 3n+7 =(3n+3)+4 M n+14 M n+1 Do n Ơ nên n+1 Ơ , bởi vậy n+1 phải là các ớc tự nhiên của 4. Mà các ớc tự nhiên của 4 là: 1, 2, 4 Nên n+1=1 n=0, . . . Vậy n { } 0;1;3 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b Chứng tỏ rằng: 1 1 1 A= 1+ .2.3.4. .98 2 3 98 + + + ữ là một số nguyên. 2điểm Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ 1 2 3 98 98 2 97 49 50 + + + = + + + + + + ữ ữ ữ 99 99 99 = 1.98 2.97 49.50 + + + Do đó 1 1 1 A= 1+ .2.3.4. .98 2 3 98 + + + ữ là một số nguyên. 1,0đ 1.0đ 4 3đ Phải vẽ bao nhiêu tia phân biệt chung gốc để số góc thu đợc là 45 góc? 3điểm Gọi số tia chung gốc là n. Cứ một tia hợp với n-1 tia còn lại đợc n-1 góc. Nên n tia sẽ có: n(n-1) góc, trong đó mỗi góc đã đợc tính hai lần. Vậy số góc thực tế là : n(n-1): 2 0,5đ 0,5đ 1,0đ n(n-1) =45 n(n-1)=90 n=10 2 Vậy phải vẽ 10 tia phân biệt chung gốc. 1,0đ 5 3đ a Tìm chữ số tận cùng của số 6 7 8 2009 ; 1điểm Số có chữ số tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng là 1. 1,0đ b) Tìm các số tự nhiên a và b (a<b), biết rằng: BCNN(a,b) +ƯCLN(a,b)= 19 2điểm Đặt ƯCLN(a,b) =d thì a=dm; b=dn và (m,n)=1 BCNN(a,b)=ab:d=dm.dn:d=dmn Theo đề bài, dmn+d=19 nên d(mn+1)=19 Do mn+1>1 nên mn+1=19 và d=1. Ta có: d mn+1 mn m n a b 1 19 18 1 18 1 18 2 9 2 9 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Trờng THCS Thanh Xuân Tổ KH Tự nhiên *** đề thi câu lạc bộ em yêu thích môn toán lớp 7 Năm học: 2012-2013 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ). Bài 1 (6 điểm): a) Chứng minh rằng: nếu một trong hai số 2 n -1 và 2 n +1 (nN, n>2) là số nguyên tố thì số thứ hai là hợp số. b) Cho tỉ lệ thức: c b b a = . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức c a cb ba = + + 22 22 Bài 2 ( 5điểm): a) Cho đa thức ( )f x với các hệ số nguyên thoả mãn (3)f . (4)f =5. Chứng minh rằng đa thức ( ) 6f x không có nghiệm nguyên. b) Tìm x, y, z biết: 2012 2013 1 2x y y z z x z x y x y z + + + + + = = = + + (với x, y, z 0). Bài 3 (3 điểm): a) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 3 4 2013 2012 2011 2010 1 1 2 3 2013 + + + + + + + + > 2014 1 b) Cho dãy số a 1 , a 2 , a 3 , thoả mãn điều kiện a 2 =3; a 50 =300; a n +a n+1 =a n+2 với mọi n1. Hãy tính tổng: S= a 1 +a 2 +a 3 + + a 48 . Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC và D là trung điểm BM. Chứng minh : AC = 2AD. Bài 5 (2 điểm): Một tổ học tập có 10 học sinh. Khi viết chính tả, cả tổ đều mắc lỗi, trong đó bạn Bình mắc nhiều lỗi nhất (mắc 5 lỗi ). Chứng minh rằng trong tổ ấy có ít nhất 3 bạn đã mắc một số lỗi bằng nhau. Hết Họ và tên: Lớp : . . . . Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb môn Toán 7 Bài ý Đáp án Biểu điểm 1 6đ a Chứng minh rằng: nếu một trong hai số 2 n -1 và 2 n +1 (nN, n>2) là số nguyên tố thì số thứ hai là hợp số. 3điểm Xét 3 số: 2 n -1; 2 n ; 2 n +1. Trong 3 số này luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 mà 2 n không chia hết cho 3 Nên nếu 1 trong 2 số 2 n -1 và 2 n +1 là nguyên tố thì số thứ 2 sẽ phải là hợp số. 1,5đ 1,5đ b Cho tỉ lệ thức: c b b a = . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức c a cb ba = + + 22 22 3điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) a b a b a b b c b c b c + = = = + 2 . (2) a b a a b a b c b b c c = = = ữ Từ (1) và (2) suy ra c a cb ba = + + 22 22 1,0đ 1,0đ 1,0đ 2 5đ a Cho đa thức ( )f x với các hệ số nguyên thoả mãn (3)f . (4)f =5. Chứng minh rằng đa thức ( )f x - 6 không có nghiệm nguyên. 2điểm Giả sử ( )f x - 6 có nghiệm nguyên a. Khi đó ( )f x - 6 =(x-a).Q(x) là đa thức có hệ số nguyên nào đó. Suy ra (3) (3 ) (3) 6; (4) (4 ) (4) 6 (1)f a Q f a Q= + = + Vì (3)f . (4)f =5 nên: ((3 ) (3) 6).((4 ) (4) 6 )a Q a Q + + =5 ( ) (3 )(4 ) (3). (4) 6(3 ) (3) 6(4 ) (4) 36 5 2a a Q Q a Q a Q + + + = Do 3-a và 4-a là 2 số nguyên liên tiếp nên (3-a)(4-a)là số chẵn. Do đó VT(2) là một số chẵn, nhng VP là số lẻ, điều này là mâu thuẫn. Vậy giả sử trên là sai. Suy ra đa thức ( )f x - 6 không có nghiệm nguyên 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b Tìm x, y, z biết: 2012 2013 1 2x y y z z x z x y x y z + + + + + = = = + + (với x, y, z 0). 3điểm Từ 2012 2013 1x y y z z x z x y + + + + + = = 2012 2013 1 2( ) 2 x y y z z x x y z z x y x y z + + + + + + + = = = = + + (t/c dãy các tỉ số bằng nhau. Mà 2012 2013 1 2x y y z z x z x y x y z + + + + + = = = + + Nên x+y+z=1x+y=1-z; y+z=1-x; z+x=1-y Do đó : 2012 1 2012 2013 2 x y z z z z z + + + = = = 2013 2013 2 3 2013 3 z z z z = = = Tơng tự: 2012 2 ; . 3 3 x y = = Vậy 2012 2 2013 ; ; 3 3 3 x y z = = = 1,0đ 1,0đ 1,0đ 3 3đ a Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 3 4 2013 2012 2011 2010 1 1 2 3 2013 + + + + + + + + > 2014 1 2điểm Ta có: 2012 2011 2010 1 1 2 3 2013 + + + + = 2011 2010 2009 1 2013 1 1 1 1 2 3 4 2012 2013 = + + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ 2013 2013 2013 2013 2 3 4 2013 = + + + + 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1 1 1 1 2013. 2 3 4 2013 = + + + + ữ Khi đó ta có: 1 1 1 1 1 2 3 4 2013 1 1 1 1 2013 2013. 2 3 4 2013 + + + + = + + + + ữ > 1 2014 Đpcm 0,5đ b Cho dãy số a 1 , a 2 , a 3 , thoả mãn điều kiện a 2 =3; a 50 =300; a n +a n+1 =a n+2 với mọi n1. Hãy tính tổng: S= a 1 +a 2 +a 3 + + a 48 . 1điểm Từ a n +a n+1 =a n+2 a n =a n+2 - a n+1 với mọi n1 Do đó: S= a 3 -a 2 +a 4 -a 3 + +a 50 -a 49 = a 50 -a 2 =300-3=297 0,5đ 0,5đ 4 3đ Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC và D là trung điểm BM. Chứng minh : AC = 2AD. 3điểm Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE=DA. Ta có: ADB=EDM (c.g.c) AB=ME và ã ã ABD=EMD AB=ME=MC=1/2BC Mặt khác : ã ã ã EMA=EMD+DMA ã ã ã CMA=ABD+BAM (góc ngoài của tam giác ABM) ã ã DMA=BAM (tam giác ABM cân) AME=AMC (c.g.c) AC=AE=2AD 0,25đ 1,0đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 5 2đ Một tổ học tập có 10 học sinh. Khi viết chính tả, cả tổ đều mắc lỗi, trong đó bạn Bình mắc nhiều lỗi nhất (mắc 5 lỗi ). Chứng minh rằng trong tổ ấy có ít nhất 3 bạn đã mắc một số lỗi bằng nhau. 2điểm Ta coi thỏ là học sinh (trừ bạn Bình) nên có 9 thỏ; lồng là số lỗi chính tả học sinh mắc phải nên có 4 lồng: Lồng i gồm những học sinh mắc i lỗi (i=1,2,3,4). Có 9 thỏ nhốt vào 4 lồng, mà 9=4.2+1, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất một lồng chứa không ít hơn 2+1=3 thỏ, tức là có ít nhất 3 bạn mắc một số lỗi bằng nhau. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Trờng THCS Thanh Xuân Tổ KH Tự nhiên *** đề thi câu lạc bộ em yêu thích môn toán lớp 8 Năm học: 2011-2012 Thời gian: 120 phút. Bài 1 (6 điểm): a) Cho m là một số nguyên dơng. Hãy tìm các chữ số x và y (x0) sao cho số A=xy5 100m(m+5)+ là số chính phơng. b) Cho a+b+c=0 và a 2 +b 2 +c 2 =14.Tính giá trị của biểu thức B=a 4 +b 4 +c 4 Bài 2 (3 điểm): Cho biểu thức A= 4 2 3 2 1 1 x x x x + + Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài 3 (4 điểm): Một bể có hai vòi nớc. Một vòi lấy nớc vào có vận tốc gấp ba lần vòi tháo nớc ra. Nếu ta mở cả hai vòi khi bể không có nớc thì sau 2 giờ bể đầy. Hỏi vòi tháo nớc ra đặt ở độ cao bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình vòi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút? Bài 4 (5 điểm): Cho hình thoi ABCD có cạnh a và à 0 A 60= . Một đờng thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N. a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi. b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD? Bài 5 (2 điểm): Trên một vòng tròn ngời ta đặt 20 đồng xu màu trắng và một đồng xu màu đen. Biết rằng đối diện với một đồng xu màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen. Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau. Hết Họ và tên: Lớp : . . . . Đáp án và biểu điểm chấm đề thi clb môn Toán 8 Bài ý Đáp án Biểu điểm 1 a Cho m là một số nguyên dơng. Hãy tìm các chữ số x và y (x0) sao cho số A=xy5 100m(m+5)+ là số chính phơng. 3điểm Số A=xy5 100m(m+5)+ (m nguyên dơng) là số chính phơng vàchia hết cho 5 nên có dạng: A=(10t+5) 2 =100t 2 +100t+25 với t Ơ . Từ đó suy ra : 100t 2 +100t+25=100x+10y+5+100m 2 +500m (1) Do đó 10y+5-25 phải chia hết cho 100, suy ra y=2, thay vào (1) ta đợc t 2 +t=m 2 +5m+x (2) Đặt t=m+v, thay vào (2) ta đợc : (m+v) 2 +m+v= m 2 +5m+x 2m(2-v)=v 2 +v-x. Đẳng thức xảy ra với m bất kỳ khi và chỉ khi v=2 và x=v 2 +v=6. Vậy các chữ phải tìm là : x=6; y=2. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ b Cho a+b+c=0 và a 2 +b 2 +c 2 =14. Tính giá trị của biểu thức B=a 4 +b 4 +c 4 3điểm Ta có a 2 +b 2 +c 2 =14( a 2 +b 2 +c 2 ) 2 =14 2 a 4 +b 4 +c 4 +2a 2 b 2 +2a 2 c 2 +2b 2 c 2 =196 a 4 +b 4 +c 4 =196-2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) Lại có: a+b+c=0( a+b+c) 2 =0 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc=0 14+2(ab+bc+ac)=0 (vì a 2 +b 2 +c 2 =14) ab+bc+ac=-7 (ab+bc+ac) 2 =49 a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 +2abc(a+b+c)=49 a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 =49 (vì a+b+c=0) Khi đó B=196-2. 49=98 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 Cho biểu thức A= 4 2 3 2 1 1 x x x x + + Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên. 3 điiểm Ta có: A= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 2 3 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x + + + = = + + + + 1,0đ 1,0đ = 2 1 1 1 1 x x x x x + = + + (với x-1) Do x nguyên nên để A nguyên thì x+1 phải là ớc của 1. Suy ra: x=0; x=-2 (tm) 1,0đ 3 Một bể có hai vòi nớc. Một vòi lấy nớc vào có vận tốc gấp ba lần vòi tháo nớc ra. Nếu ta mở cả hai vòi khi bể không có nớc thì sau 2 giờ bể đầy. Hỏi vòi tháo nớc ra đặt ở độ cao bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình vòi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút? 4 điiểm Trong1h vòi thứ nhất chảy đợc vào bể: 2 3 (bể) Vòi thứ hai chảy ra trong 1h đợc: 2 9 (bể) Khi mức nớc đã ở trên độ cao đặt vòi chảy ra thì trong 1h hai vòi mở cùng một lúc đợc : 2 2 4 3 9 9 = (bể) Gọi x(h) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình cho đến khi nớc bắt đầu chảy ra đợc. Trong thời gian này vòi thứ nhất chảy đợc 2 3 x(bể). Sau x giờ đó hai vòi cùng mở trong thời gian là: 2-x (giờ) Ta có phơng trình: 2 4 (2 ) 1 3 9 x x+ = Giải đợc x=1/2 giờ. Vậy độ cao của vòi tháo nớc ra so với độ cao của bể nớc là : 1 3 1 : 2 2 3 = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4 Cho hình thoi ABCD có cạnh a và à 0 A 60= . Một đờng thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N. a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi. b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD? 3điểm a 0,5đ Xét AMN có BC//AN nên: MB MC AB CN = (theo ĐL Ta let) Tơng tự ta có: MC AD = CN DN MB AD AB DN = hay MB. DN=AB.AD Mà AB=AD =a (do ABCD là hình thoi) Nên: MB. DN=AB.AD=a 2 có giá trị không đổi. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b ABD có AB=AD (gt) ; à 0 A 60= ABD đều ã ã ã ã 0 0 ABD=ADB=60 DBM=BDN 120 = (2 góc kề bù) (1) Theo cmt ta có MB. DN=a 2 , BD=a nên BM BD BD DN = (2) Từ (1) và (2) MBD và BDN đồng dạng (c-g-c) ả à 1 1 M =B Xét BMD có ả ả 0 1 1 M D 60+ = (vì ã 0 DBM 120= cmt) à ả 0 1 1 B D 60+ = à ả ã 0 1 1 B D BKD 180+ + = (ĐL tổng 3 góc của tam giác) ã 0 BKD 120= 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 Trên một vòng tròn ngời ta đặt 20 đồng xu màu trắng và một đồng xu màu đen. Biết rằng đối diện với một đồng xu màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen. Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau. 2điểm Giả sử không tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau(1) thì không có hai đồng xu trắng đặt cạnh nhau, do đó các đồng xu trắng phải xếp xen kẽ nên cũng có 20 đồng xu màu đen. Xét hai đồng xu trắng đen đối diện nhau trên vòng tròn, đồng xu trắng đợc đánh số 1, đồng xu đen đối diện đánh số 21. Do các đồng xu trắng đen xếp xen kẽ nên các đồng xu đen mang số 2, 4, 6, , 20 lại xảy ra hai đồng xu đen số 20 và số 21 cạnh nhau, điều này trái với (1). Vậy phải tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau. 0,5đ 1,5đ