SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT TỨ KỲ ***** ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2013 MÔN TOÁN – Khối A, B, A 1 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số: 2 1 2 x y x − = − (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Cho đường thẳng d: y = - x + m và hai điểm M(3;4) và N(4;5). Tìm các giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 4 điểm A, B, M, N lập thành tứ giác lồi AMBN có diện tích bằng 2. Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: 2 3 cos (2sin 2sinx 1) 2cos inx 1x x x s+ + = + + Câu 3: (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 1 1 2 1 3 2 1 x x x + ≥ + + − − Câu 4: (1,0 điểm) Tính tích phân: 2 2 2 4 2 0 tan . ( 1) 1 tan x x x I dx x π + + = + ∫ Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các cạnh bên bằng a , đáy A'B'C' là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh B trên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm H của cạnh A'B'. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tính thể tích khối tứ diện EHB'C' và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A'). Câu 6: (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 (1 )(1 )(1 )F a b c= + + + Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có: 3 2, 2 2AB BC = = , điểm E thuộc đoạn DC sao cho 4 2 3 EC = , điểm 14 17 ( ; ). 3 3 I thuộc đường thẳng BE. Biết đường thẳng AC có phương trình : x - 5y + 3 =0 và các điểm A, B có hoành độ nguyên dương. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D của hình chữ nhật. Câu 8: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B(-1;-4;-1); C(0;-2;-2); D(-1;-2;-3). Gọi A là trung điểm của BD và (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD. Tìm điểm E trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ACE vuông tại A và 3 6 . 2 AE AC = Câu 9: (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 . 4( ) 1 z i z z z z z i + + = + + − ***************Hết*************** Đáp án + Thang điểm đề thi thử Đại học lần 2 (2013)– Khối A Câu Đáp án Điểm 1 (2điểm ) 1) (1 điểm). Khảo sát hàm số * Tập xác định: \{2}D = ¡ 2 3 ' ( 2) y x − = − , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ( ) ;2 , 2;−∞ +∞ 0,25 * Cực trị: * Giới hạn: lim 2, lim 2 x x y y →−∞ →+∞ = = 2 2 lim , lim x x y y − + → → = −∞ = +∞ -Đồ thị hàm số có : Tiệm cận đứng: x=2 , tiệm cận ngang: y= 2. 0,25 * Bảng biến thiên: x −∞ 2 +∞ 'y - y 2 +∞ −∞ 2 0,25 * Đồ thị: 0,25 2) (1 điểm) Tìm m để Với x ≠ 1, xét PT 2 1 2 x x m x − = − + − . ( ) 2 2 1 0 1x mx m⇔ − + − = 0,25 Đt d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt ( ) pt 1⇔ có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ 2 4 12 ' 8 4 4 2 2 1 0 4 12 m m m m m m < − ∆ = − + ⇔ − + − ≠ > + 0.25 Gọi 1 2 ,x x là 2 nghiệm pt (2), ta có 1 2 1 2 . 2 1 x x m x x m + = = − và ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ;A x x m B x x m− + − + là giao điểm. 0,25 Có MN vuông góc với d nên 4 điểm A, B, M, N lập thành tứ giác AMBN có diện tích bằng 2 ⇔ M, N nằm về hai phía so với đường thẳng d và 4 AMBN S = + 2 2 1 2 1 2 0 2 2 2 ( ) 4 4 8 0 8 AMBN m S AB x x x x m m m = = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = + m=0 loai, m= 8 t/m. Kết luận : m= 8. 0.25 2 (2điểm 1) (1 điểm). Giải phương trình lượng giác 2 2 2 2 2 2cos (sin cos ) sin 2 cos sinx 1 2cos (sin cos )(sin cos ) (sin cos ) cos sinx=0 (sinx cos ).(2cos 2sin .cos sinx+ cos 1) 0 sinx cos 0(1) 2cos 2sin .cos sinx+cos 1 0(2) PT x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − − + = + ⇔ − + − − + − ⇔ − + − − = − = ⇔ + − − = 0,25 (1) 2 sin( ) 0 , 4 4 x x k k Z π π π ⇔ − = ⇔ = + ∈ 0.25 2 (2) 2cos cos 1 sinx(2cos 1) 0 (2cos 1)(cos 1) sinx(2cos 1) 0 2cos 1 0 cos sinx=-1 x x x x x x x x ⇔ + − + − = ⇔ − + + − = − = ⇔ + 2 1 cos 3 2 2 1 sin( ) 4 2 2 2 x k x x k x x k π π π π π π π ± = + = ⇔ ⇔ = + − + = − = + 0,25 0,25 2) (1 điểm). Giải bất phương trình Điều kiện: 2 1 (*)x− < < − BPT ⇔ 2 2 1 1 3( ) ( 2) ( 1) 2 1 x x x x + ≥ + − − − + − − ⇔ 3 2. 1( 2 1 )x x x x≥ + − − + − − − 0,25 Đặt 2 1 2 1 2. 1 2 a a x x x x − = + − − − ⇒ + − − = , ta được BPT: 3 3 2 3 6 0 ( 2)( 2 3) 0 2 2 a a a a a a a a − ≤ ⇔ − + ≥ ⇔ + − + ≥ ⇔ ≥ − 0,25 2 1 2 2 2 1 6 4 2 1 4 2 (2 7)(1)x x x x x x x x x+ − − − ≥ − ⇔ + + ≥ − − ⇔ + + + ≥ − − ⇔ + ≥ − + 0,25 . BPT (1) nghiệm đúng với mọi x t/m ( *) KL: BPT có tập nghiệm S = ( 2; 1)− − 0.25 3 (1điểm ) Tính tích phân 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 (1 tan ) tan tan ( ) 1 tan 1 tan x x x x I dx x dx J K x x π π + + = = + = + + + ∫ ∫ 0,25 3 3 4 4 2 0 0 3 192 x J x dx π π π = = = ∫ 0,25 2 4 4 4 2 4 2 0 0 0 0 tan 1 cos2 1 sin 2 sin ( ) ( ) 2 2 2 41 tan x x x K dx xdx dx x x π π π π = = = − = − + ∫ ∫ ∫ 0.25 3 1 1 . : 8 4 192 8 4 KL I π π π = − − = − − 0,25 Cho hình lăng trụ 4 a) Thể tích khối tứ diện EHB'C' BE//( A'B'C') nên d(E, (A'B'C')= B'H 0,25 (1điểm ) Tam giác B'HC' vuông tại H nên 2 2 3 ' ' ' 2 a B H BB B H= − = 0 2 2 ' ' ' ' ' 2 3 ' ' ' ' 1 3 3 ' '. ' '.sin 60 2 4 8 1 1 3 3 ' . . 3 3 2 8 16 A B C HB C EHB C HB C S A B B C a S a a a a V B H S ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = = 0,25 3 3 3 . ' ' . ' ' . ' ' ' . ' ' ' ' ' 3 3 ( ,( ' ' ' ')) ; 8 8 4 B ACC A B ACC A ABC A B C B A B C ACC A V a a a d B A C C A V V V S = = − = − = 0.25 ' ' 3 2 2 ' , IJ ' , ' . 3 15 15 4 ' ' IJ ( ,( ' ') 4 5 15 . 4 ACC A A I AB AC A J AC S A J AC a a a A J A A d B ACC A a a ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ = = − = ⇒ = = 0,25 Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 )(1 ) 1 1 2( ) ( ) 2 ( ) 1 ( 1) (1 ) (1) F a b c a b c a b a c c b a b c ab bc ca ab bc ca abc abc ab bc ca abc = + + + = + + + + + + + = − + + + + + − + + = + + − + − 0,25 Áp dụng BĐT Cô- si cho các số không âm ta có: 3 2 2 1 26 ( ) (1 ) ( ) 3 27 27 a b c abc abc + + ≤ = ⇒ − ≥ (2) 0,25 2 2 2 ( ) 1 2 (1 ) ( ) 3 3 3 a b c ab bc ca ab bc ca + + + + ≤ = ⇒ − − − ≥ (3) 0,5 6 (2điểm ) Từ (1), (2), (3) suy ra 2 2 3 2 26 10 ( ) ( ) ( ) 3 27 9 F ≥ + = . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c⇔ = = = KL: GTNN của F là Cm được BI vuông góc với AC nên PT đt BI: : 14 17 5( ) 0 5 29 0 3 3 x y x y− + − = ⇔ + − = ( ;29 5 )B t t⇒ − Gọi J là giao điểm của AC và BE , tìm được 71 22 ( ; ) 13 13 J 0,25 Tam giác ABC có 2 2 2 2 1 1 1 13 72 72 13 BJ BJ BA BC = + = ⇒ = 0,25 2 2 2 2 2 5( / ) 71 22 72 71 72 71 36 ( ) (29 5 ) 26( ) ( ) 77 13 13 13 13 13 13 13 ( / ) 13 t t m t t t t t k t m = ⇔ − + − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = (5 3; ); 31 3 2 1( / ), ( ). 13 A AC A a a AB a t m a loai ∈ ⇒ − = ⇒ = = Với a=1 ( ) * được A(2;1) 0,25 Đt BC đi qua điểm B(5; 4) và có VTPT (3;3)AB = uuur nên pt BC là: 9 0x y+ − = , tìm được C(7;2). ( ) 4; 1AB DC D= ⇒ − uuur uuur Kết luận: ( ) ( ) ( ) ( ) 2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1A B C D − 0,25 2) (1 điểm) Lập phương trình mặt phẳng (P) A là trung điểm của BD nên ta có A(-1; -3; -2) MP (P) đi qua điểm A( -1; -3; -2) và có VTPT (0;2; 2)BD = − uuur nên có PT: y-z +1 =0 0,25 Gọi điểm E(x; y; z), ( 1; 3; 2); (1;1;0)AE x y z AC= + + + = uuur uuur theo bài ra ta có hệ pt 2 2 2 ( ) 1 . 0 4 0 9.6 3 6 ( 1) ( 3) ( 2) .2 4 2 E P z y AE AC x y x y z AE AC ∈ = + = ⇔ + + = + + + + + = = uuur uuur 0,25 2 2 2 2 1 1 1 4 4 4 0 ( 3) ( 3) ( 3) 27 ( 3) 9 6 z y z y z y x y x y x y y y y y y y = + = + = + ⇔ = − − ⇔ = − − ⇔ = − − = − − + + + + = + = = − 0,25 y = 0 ta được điểm E( -4; 0; 1) y = -6 ta được điểm E( 2; -6; -5) 0,25 Tìm số phức… Đặt ( ) ,z a bi a b= + ∈ ¡ , theo bài ra ta có: 2 2 2 2 2( ) ( ( 1) ).(1 ) 8a b a b i i a b a+ + + + + = + + 0,25 2 2 2 2 7 1 0 8 ( 1) 1) 0 1 0 a b a b a b a a ai b b i a b + − − − = ⇔ + − + + − − + + = ⇔ + + = 0,25 Giải hệ được 2 2 2 2 2 2 à 4 2 4 2 2 2 a a v b b − + = = − + − − = = . Vậy 2 2 4 2 2 2 4 2 , 2 2 2 2 z i z i + + − − = − = − 0,5 . (1 ) (1) F a b c a b c a b a c c b a b c ab bc ca ab bc ca abc abc ab bc ca abc = + + + = + + + + + + + = − + + + + + − + + = + + − + − 0,25 Áp dụng BĐT C - si cho các số không âm ta có: 3. ' ' . ' ' . ' ' ' . ' ' ' ' ' 3 3 ( ,( ' ' ' ')) ; 8 8 4 B ACC A B ACC A ABC A B C B A B C ACC A V a a a d B A C C A. − = − = 0.25 ' ' 3 2 2 ' , IJ ' , ' . 3 15 15 4 ' ' IJ ( ,( ' ') 4 5 15 . 4 ACC A A I AB AC A J AC S A J AC a a a A J A A d B ACC A a a ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ = =