Chuyên đề bồi d ỡng học sinh giỏi lớp 5 chuyên đề 1: các dạng toán về chữ số và số A- Thay đổi chữ số của một số I- Dạng 1: Thay đổi chữ số của một số a)Phơng pháp chung: Thông thờng dạng toán có cách giải sau: *Cách 1: Dùng phân tích số để biến đổi quan hệ trong bài toán về các đẳng thức để giải *Cách 2: Đa bài toán về bài toán điền chữ số. *Cách 3: đa bài toán về các dạng toán điển hình. b) Ví dụ minh họa: +Bài toán 1: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng đơn vị là 8. Nếu chuyển chữ số 8 lên đầu thì ta đợc một số mới có 3 chữ số, số mới đem chia cho số ban đầu đợc thơng là 5 d 25. Tìm số đó. Giải: Gọi số cần tìm là ab8 thì số mới là 8ab. Theo đề bài ta có: 8ab = ab8 x 5 + 25 Hay : 800 + ab = ( ab x 10 + 8 ) x5 + 25 => 800 + ab = ab x 50 + 40 + 25 800 + ab = ab x 50 + 65 => ab x 49 = 800 65 => ab x 49 = 735 ab = 735 : 49 => ab = 15. Vậy số cần tìm là: 158 Thử lại: 815 : 158 = 5 ( d 25 ) + Bài toán 2: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5. Nếu chuyển số 5 ra đằng sau số đó thì đợc số mới có 3 chữ số kém số ban đầu 324 đơn vị. Giải: Gọi số cần tìm là 5ab thì số mới là ab5. Theo đề bài ta có: 5ab ab5 = 324 Hay: 500 + ab ( ab x 10 + 5) = 324 => 500 + ab ab x 10 5 = 324 ab x 9 = 171 => ab = 171 : 9 => ab = 19 . Vậy số cần tìm là 519. c) Các bài toán: 1- Tìm số có 4 chữ số mà chữ số tận cùng là 5. Nếu chuyển số 5 này lên đầu ta đợc số mới kém số đó 531 đơn vị. 2- Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu ta đổi chỗ hai chữ số của chúng cho nhau thì ta đợc một số mới kém số ban đầu 45 đơn vị. 3- Hãy tìm một số tự nhiên có 2 chữ số sao cho khi đổi vị trí của hai chữ số rồi viết thêm chữ số 0 vào bên phải của hai chữ số thì đợc số mới gấp 45 lần số phải tìm. 4- Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số 7 ở hàng đơn vị của số đó lên đầu thì đợc một số mới gấp 2 lần số cũ và thêm 21 đơn vị. 5- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đo bằng 9 và nêu đổi chỗ các hai chữ số của số đó cho nhau ta đợc số mới hơn số cũ 45 đơn vị. 6- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 15 và nếu đổi chỗ hai chữ số của số đo cho nhau ta đợc hai số mới có hiệu là 9 đơn vị. 7- Tìm số thập phân abc,de1 biết abc,de1 : 0,3 = 1abc,de II- Dạng 2: Thêm, bớt chữ số của một số a) Phơng pháp chung: *Cách 1: Đa bài toán về dạng toán điển hình để giải. *Cách 2: Dùng phân tích số để biến đổi mối quan hệ trong bài toán về đẳng thức đơn giản để giải (thờng chỉ đối với bài toán cho biết số cần tìm có số lợng chữ số cụ thể). b) Ví dụ: + Bài toán 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó ta đợc số mới ( có 3 chữ số ) bằng 5 lần số phải tìm. .Cách 1: Gia sử số cần tìm là ab ( a # 0). Khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số ab thì ta đợc một số mới 3ab. Ta có 3ab ab = 300 Theo đề bài nếu biểu diễn số cần tìm là 1 đoạn thẳng thì số mới là 5 đoạn thẳng nh thế. Số cần tìm là: 300 : ( 5 1 ) = 75. . Cách 2: Sử dụng phân tích cấu tạo số. + Bài toán 2: Tìm một số có 3 chữ số có chữ số hàng đơn vị là 3. Nếu xóa chữ số 3 đó ta đợc một số mới kém số phải tìm là 408 đơn vị. . GV giải tơng tự bài toán 1. Số cần tìm là 45. c) Các bài tập: 1- Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó thì ta đợc một số mới bằng 17 lần số phải tìm. 2- Tìm một số biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải số đó thì ta đợc một số mới lớn hơn số phải tìm là 18 036 đơn vị. 3- Tìm một số biết rằng nếu viết thêm số 97 vào bên phải số đó thì ta đợc một số mới lớn hơn số phải tìm là 1 978 đơn vị. 4- Tìm một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5 và nếu xóa chữ số này thì số đó giảm đi 26 lần. 5- Tìm một số có 3 chữ số biết rằng nếu xóa đi một chữ số ở hàng đơn vị của số đó thì ta đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu là: a) 252 đơn vị. b) 142 đơn vị. 6- Cho một số có hai chữ số, nêu viết thêm một chữ số a vào đằng trớc số đó ta đợc số mới gấp 3 lần số đã cho. Tìm số đó và chữ số a. 7- Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó thì ta đợc một số gấp 7 lần số đó. 8- Tìm một số tự nhiên biết rằng khi viết xen vào giữa hai chữ số của nó chính số đó thì số đó đợc tăng thêm 1180 đơn vị. 9- Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có 2 chữ số chính số đó thì ta đợc một số mới có 4 chữ số và gấp 99 lần số ban đầu. Tìm số đó. 10- Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó thì ta đợc một số gấp 3 lần số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó. B- Tìm số theo diều kiện cho tr ớc về chữ số. I- Dạng 1: Vận dụng cấu tạo số. a) Phơng pháp giải: - Diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu kèm theo các điều kiện ràng buộc của các kí hiệu đó. - Diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán. - Biến đổi các đẳng thức đã lập đợc về các đẳng thức đơn giản hơn. - Dùng phơng pháp lựa chọn. Leloi.com 1 Chuyên đề bồi d ỡng học sinh giỏi lớp 5 - Thử lại để xác định số cần tìm. b) Ví dụ: +Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 14 lần chữ số hàng chục của nó. Giải: Gọi số cần tìm là ab ( 1 < = a< 10 ; 0 <=b < 10) Theo đề bài ta có: ab = a x 14, hay: a x 10 + b = a x 14 => a x 10 + b = a x 4 + a x 10 b = a x 4. Do 0 < = b < 10 nên a chỉ có thể lấy các giá trị: 1 ; 2. a b = a x 4 Số cần tìm 1 2 4 8 14 28 Thử lại: 14 = 1 x 14 ( đúng) 28 = 2 x 14 ( đúng) +Bài toán 2: Tìm số tự nhiên khác 0, biết rằng số đó gấp 21 lần chữ số hàng đơn vị của nó. Giải: Gọi số cần tìm là Ab, với A là chỉ số chục và b là chữ số hàng đơn vị ( 0 < b < 10 ) Theo đề bài ta có: Ab = b x 21. Hay: A x 10 + b = b x 21 => A x 10 + b = b x 20 + b A x 10 = b x 20 => A x 10 = b x 2 x 10 => A = b x 2 Ta có : b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Số cần tìm 21 42 63 84 105 126 147 168 189 Thử lại: Ta thấy các số vừa tìm đợc đều thỏa mãn đề bài. II- Dạng 2: Dùng phơng pháp lựa chọn. Ví dụ: + Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng 9 và tích các chữ số của số đó bằng 18. Giải: Gọi số cần tìm là ab ( a # 0. Theo đề bài ta có: a + b = 9 và a x b = 18. Các số mà tổng các chữ số bằng 9 là: 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90. Trong các số đó ta chỉ thấy có 36 và 63 là phù hợp điều kiện: tích các chữ số bằng 18 ( 3 x 6 = 18). Vậy số cần tìm là: 36; 63. ( Ta cũng có thể lập bảng để thử chọn) + Bài toán 2: Tìm số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó trừ đi 5 thì đợc số có 2 chữ số giống nhau. Giải: Các số có hai chữ số mà 2 chữ số giống nhau là: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99. Theo đề bài ta có: ( Số cần tìm ) 5 = aa. Hay ( Số cần tìm) = aa + 5 aa 11 22 33 44 55 66 77 88 99 Số cần tìm 16 27 38 49 60 71 82 93 104 Kết quả Loại Loại Loại Loại Nhận Nhận Nhận Nhận Loại Số cần tìm là : 60; 71; 82; 93. III- Dạng 3: Đa về bài toán điền chữ số. Ví dụ: Tìm một số có 5 chữ số biết rằng số đó tăng lên 9 lần nếu viết 5 chữ số của số đó theo thứ tự ngợc lại. Giải: Gọi số cần tìm là abcde ( a # 0). Theo đề bài ta có: abcde Ta thấy a phải nhỏ hơn 2 để cho abcde x 9 thì đợc số có 5 chữ số. Do a khác 0 nên a =1 x 9 để 9 x 9 có tận cùng là 1. Ta có: 1bcd9 edcba x 9 9dcb1 - Nếu b = 1, ta có : 11cd9 Ta thấy d = 7 để cho 7 x 9 + ( nhớ) có tận cùng là 1. Lúc đó dù c = 0 x 9 thì 11079 x 9 khác 97011, còn c > hoặc = 1 thì 11cd9 x 9 là số có 9cd11 sáu chữ số. Vậy b không thể là 1. - Nếu b = 0 ta có: 10cd9 x 9 9cd01 Ta thấy d = 8 để cho 8 x 9 + 8( nhớ) có tận cùng bằng 0. Vậy 100c89 x 9 = 98c01 Hay: ( 10089 + c00) x 9 = 98001 + c00 => 10089 x 9 + c00 x 9 = 98001 + c00 90801 + c00 x 8 = 98001 + c00 => 90801 + c00 x 8 = 90801 + 7200 c00 x 8 = 7200 => c00 = 7200 : 8 => c00 = 900. Ta có c = 9. Vậy số cần tìm là 10989. Các bài tập ứng dụng 1- Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó gấp 71 lần chữ số hàng đơn vị của nó. 2- Tìm số tự nhiên biết rằng số đó gấp 51 lần chữ số hàng chục của nó. 3- Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 9 lần tổng các chữ số của nó. 4- Tìm số có hai chữ số biết rằng số đo bằng 8 lần chữ số hàng chục cộng với 7 lần chữ số hàng đơn vị. 5- Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 12 lần hiệu giữa các chữ số của nó. 6- Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng của số đó với các chữ số của nó là 103. 7- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng của số đó với số có hai chữ số nh thế nhng viết theo thứ tự ngợc lại là 187. 8- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng số lẻ nhỏ nhất của hai chữ số, còn chữ số hàng đơn vị thì lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị. 9- Tìm số có bốn chữ số biết rằng tích của hai chữ số ngoài cùng là 40, tích của hai chữ số ở giữa là 28, chữ số hàng nghìn nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng trăm. 10- Tìm số lẻ có ba chữ số biết rằng nếu dem số đó cộng với 631 thì đợc số có ba chữ số giống nhau. Leloi.com 2 Chuyên đề bồi d ỡng học sinh giỏi lớp 5 11-Tìm số có hai chữ số biết rằng tích các chữ số của số đó là 12, còn tổng các chữ số của số đó là7 12- Tìm số có năm chữ số biết rằng số gồm 5 chữ số trên viết theo thứ tự ngợc lại bằng 4 lần số phải tìm. C- Các bài toán về chữ số tận cùng. I- Dạng 1: Xác định số chẵn số lẻ. *Ghi nhớ: 1- Tổng các số chẵn là một số chẵn. Tổng các số lẻ là: Số chẵn khi lợng số lẻ là số chẵn. Là số lẻ khi lợng số lẻ là số lẻ. Tổng số chẵn với số lẻ là số lẻ. 2- Hiệu của hai số lẻ là số chẵn. Hiệu của hai số chẵn là số chẵn. Hiệu SC SL = SL. 3- Tích của các số lẻ là số lẻ. Tích có một thừa sô là SC thì tích là SC. *Ví dụ: 1)Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? ( không cần tính tổng). Giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; ; 1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; ; 1996. Số lợng số lẻ là: (1997 1) : 2 + 1 = 999 ( số). Số l ợng số chẵn là: (1996 2) : 2 + 1 = 998 ( số) Ta có: Tổng của 999 số lẻ là số lẻ. Tổng của 998 số chẵn là số chẵn. Tổng của một số chẵn với một số lẻ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ. 2) Không cần làm tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672 x 41 x 37 = 1 019 423 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161 Giải: a) Kết quả là sai. Vì có một thừa số chẵn ( 672) nên tích phải là số chẵn mà 1 019 423 là số lẻ. b) Kết quả sai. Vì có tổng các số chẵn là số chẵn mà 9 161 là số lẻ. II- Dạng 2: Xác định một chữ số tận cùng. *Ghi nhớ: 1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy. 2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy. 3- .Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0. . Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5. . Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6. . Tích a x a không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8. *Ví dụ: 1) Tìm các chữ số tận cùng của tích sau: a) 1 x 3 x 5 x 7 x x 57 x 59. b) 2 x 12 x 22 x x 82 x 92 . c) 39 x 49 x 59 x x 1 979 x 1 989. Giải: a) Trong phép nhân có chứ thừa số 5 nên tích là một số chia hết cho 5, do đó chữ số tận cùng của tích là 0 hoặc 5. Vì các thừa số là số lẻ nên tích là số lẻ. Vậy chữ số tận cùng của tích là 5. b) Tích gồm các thừa số tận cùng là 2 nên tích có 10 thừa số và ta có: 2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x 62 x 72 x 82 x 92. * *6 x * *6 x * *4 * *6 x * *4 = * *4 Do tích của hai số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 4; tích của bốn số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 6; tích của số có tận cùng bằng 6 với số có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 4, nên tích: 2 x 12 x 22 x x 82 x 92 có chữ số tận cùng là 4. c) Ta thấy: 49 39 = 10; 59 49 = 10; 1989 1979 = 10. Vậy qui luật dãy số cách nhau 10 đơn vị. Ta có tích gồm các thừa số có hàng đơn vị là 9 từ 39 đến 1989. Số lợng thừa số của tích là: (1989 39) : 10 + 1 = 196 thừa số. Do tích của hai số tận cùng bằng 9 thì có tận cùng là 1. 39 x 49 = 1911 nên ta tách các thừa số của tích thành nhóm mỗi nhóm có hai thừa số liền nhau rồi thay thế 2 thừa số bằng tích riêng của chúng ( có tận cùng là 1). Số nhóm có là: 196 : 2 = 98 (nhóm) Tích có thể viết: * *1 x * *1 x * *1 x x * *1 = * *1 98 thừa số Vì tích các số có tận cùng là 1, nên tích 39 x 49 x 59 x x 1979 x 1989 có chữ số tận cùng là 1. 2) Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau: a) 81 x 82 x 83 x 84 + 85 x 86 + 87 x 88 x 89 x 90 + 91 x 92 x 93 b) 81 x 63 x 45 x 27 37 x 29 x 51 x 12. Gi ải: a) Ta thấy : - Do 1 x 2 x 3 x 4 = 24 nên 81 x 82 x 83 x 84 có chữ số tận cùng là 4. - Do 5 x 6 = 30 nên 85 x 86 có chữ số tận cùng là 0. - Do 7 x 8 x 9 x 0 = 0 nên 87 x 88 x 89 x 90 có chữ số tận cùng là 0. - Do 1 x 2 x 3 = 6 nên 91 x 92 x 93 có chữ số tận cùng là 6. Vì 4 + 0 + 0 + 6 = 10 nên kết quả dãy tính có chữ có tận cùng là 0. b) Ta thấy: - Do 1 x 3 x 5 x 7 = 105 nên 81 x 63 x 45 x 27 có số tận cùng là 5. - Do 7 x 9 x 1 x 2 = 126 nên 37 x 29 x 51 x 12 có chữ số tận cùng là 6. Vậy : 81 x 63 x 45 x 27 37 x 29 x 51 x 12 = * *5 - * *6 = * *9. Dãy số có tận cùng là 9. * Các bài tập luyện tập: 1- Không cần tính kết quả hãy kiểm tra kết quả của các phép tính sau đây đúng hay sai? Giải thích. a) 9783 + 1789 + 8075 + 301 + 2779 = 22472. b) 568 + 12540+ 6384 = 8191 c) 4624 x 123 = 568751 d) ( 20 + 4 + 6 + + 100 + 102) : 3 = 815 e) abc x abc 853467 = 0 2- a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chúng có thể là một số lẻ đợc không. b) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng có thể là một số lẻ đợc không? c) Số 2003 có thể là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nào? Leloi.com 3 Chuyên đề bồi d ỡng học sinh giỏi lớp 5 3- Tổng của 2003 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là số chẵn hay lẻ? ( không cần tính tổng) 4- Có thể tìm số tự nhiên A và B sao cho (A + B) x ( A B) = 2010 hay không? 5- An mua một số vở. An đa cho bạn Bình và bạn Châu đếm lại. Bình đếm mỗi lần 6 quyển thì thừa 2 quyển, Châu đếm mỗi lần 4 quyển thì thừa 3 quyển. Em hãy chứng tỏ trong hai bạn Bình và Châu có ít nhất một bạn đếm sai? 6- Các tích sau tận cùng bằng chữ số nào: a) 24 x 34 x 44 x x 114 x 124. b) 198 x 208 x 218 x x 448 x 458. c) 3 x 13 x 23 x x 103. d) 17 x 37 x 57 x 77 x x 157 x 177. 7- Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau: a) 11 x 22 x 33 x 44 + 55 + 66 x 77 x 88 x 99. b) 32 x 44 x 75 x 69 21 x 49 x 65 x 55. c) 1991 x 1992 x 1993 x 1994 x 1995 x 1996 x 1997 x 1988. 8- Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 255024 và 24024. Chuyên đề 2: các dạng toán về dãy số nguyên. A- Dãy số tự nhiên và dãy số cách đều . I- Dạng 1: Tìm qui luật thành lập dãy số, điền thêm số hạng vào dãy số. * Ví dụ: Tìm qui luật thành lập và điền tiếp 3 số hạng nữa vào dãy số 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; + Ta nhận thấy: 1 = 0 + 1; 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; . Vậy dãy số đã cho đợc thành lập theo qui luật: kể từ số hạng thứ ba trử đi mỗi số hạng đều bằng tổng hai số hạng liên tiếp ngay trớc nó. Ta có 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34. Ta có dãy số: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; II- Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không? Ví dụ: Cho hai dãy số: 1) 3; 6; 9; và 2) 4; 7; 10; 13; Hỏi số 1997 có phải là một số hạng của dãy số đã cho không? Ta thấy: - Dãy số 3; 6; 9; gồm các số chia hết cho 3 và dãy số 4; 7; 10; 13; gồm các số hạng chia cho 3 d 1. Do 1997 chia cho 3 d 2 nên 1997 không phải là một số hạng của các dãy số trên. III- Dạng 3: Xác định số hạng và số lợng số trong dãy số. * Ví dụ: Cho dãy số: 354; 355; 356; ; 2005; 2006. Hỏi: a) Dãy số đó có bao nhiêu số? b) Dãy số đó có bao nhiêu chữ số? c) Số hạng thứ 100 là số nào? * Giải: Dãy số 354; 355; 356; ; 2005; 2006 là dãy số tự nhiên liên tiếp bắt dầu từ số 354. a) Số lợng các số có trong dãy số là: ( 2006 354 ) + 1 = 1653 ( số) b) Ta có: + Các số có ba chữ số gồm: 354; 355; 356; ; 998; 999 có tất cả: ( 999 354 ) + 1 = 646 ( số có ba chữ số) + Các số có bốn chữ số gồm: 1000; 1001; 1002; ; 2005; 2006 có tất cả: ( 2006 1000) + 1 = 1007(số có bốn chữ số) Vậy dãy số cos tất cả: 3 x 646 + 4 x 1007 = 5966 ( chữ số) c) Nhận xét: Theo câu b) ta có 646 số có ba chữ số nên số hạng thứ 100 là số có ba chữ số. Số hạng thứ nhất là: 354. Số hạng thứ hai là: 354 + 1 x ( 2 1 ) = 355 Số hạng thứ ba là: 354 + 1 x ( 3 1 ) = 356 Số hạng thứ t là: 354 + 1 x ( 4 1 ) = 357 v.v Ta thấy mỗi số hạng trong dãy số bằng số hạng thứ nhất cộng với tích của 1 và hiệu của số thứ tự của số đó với 1. Do đó ta có: Số hạng thứ n là: 354 + 1 x ( n 1 ) Số hạng thứ 100 là: 354 + 1 x ( 100 1 ) = 453. IV-Dạng 4: Xác định số hạng và số lợng trong dãy số cách đều. Ví dụ: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; ; 2004. a) Hỏi dãy số đó có bao nhiêu chữ số? b) Nếu phải viết 184 csố thì viết đến số nào? c) Tìm chữ số thứ 2000 của dãy số. *Gi ải: a) Dãy số đã cho là dãy số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 đến 2004. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém) nhau 2 đơn vị. Ta thấy trong dãy số đó: + Từ 2 đến 8 có: (8 2) : 2 + 1 = 4 (chữ số) + Từ 10 đến 98 có: ( 98 10 ) : 2 + 1 = 45 ( số có hai chữ số) + Từ 100 đến 998 có: ( 998 100) : 2 + 1 = 450 ( số có ba chữ số) + Từ 1000 đến 2004 có: ( 2004 1000 ) : 2 + 1 = 503 ( số có bốn chữ số) Vậy số lợng chữ số của dãy số là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 503 = 3456 ( chữ số) b)Ta thấy: Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 98 thì phải viết tới: 1 x4 +2 x 45 = 94 (chữ số) Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45 +3 x 450 =1444( csố) Do 94 < 184 < 1444 nên 184 chữ số chỉ dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số. Số lợng chữ số dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số là: 184 94 = 90 ( chữ số) Số lợng số chẵn có 3 chữ số viết đợc là: 90 : 3 = 30 ( số). Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị và số khoảng cách ít hơn số lợng số là 1 nên: Số khoảng cách ( mỗi khoảng cách 2 đơn vị ) là: 30 1 = 29 ( khoảng cách ) Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 hơn số 100 là: 2 x 29 = 58 ( đơn vị ) Leloi.com 4 Chuyªn ®Ị båi d ìng häc sinh giái líp 5 Sè ch½n cã 3 ch÷ sè thø 30 cđa d·y sè lµ: 100 + 58 = 158. VËy nÕu 184 ch÷ sè th× viÕt ®Õn sè 158. c) Ta thÊy: NÕu viÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp tõ 2 ®Õn 998 th× ph¶i viÕt tíi: 1 x 4 + 2 x45+3 x 450=1444(ch÷ sè) NÕu viÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp tõ 2 ®Õn 2004 th× ph¶i viÕt tíi 3 456 ch÷ sè (theo c©u a). Do 1444 < 2000 < 3456 nªn ch÷ sè thø 2000 thc c¸c sè ch½n cã 4 ch÷ sè. Sè lỵng ch÷ sè dïng ®Ĩ viÕt c¸c sè ch½n cã 4 ch÷ sè lµ: 2000 1444 = 556 ( ch÷ sè)– Sè lỵng sè ch½n cã 4 ch÷ sè lµ: 556 : 4 = 139 ( sè) Sè ch½n cã 4 ch÷ sè ®Çu tiªn lµ 1000, sè ch½n cã 4 ch÷ sè thø 139 lµ: 1000+(139-1)x2=1276 VËy d·y sè ch½n liªn tiÕp tõ 2 ®Õn 1276 cã ®óng 2000 ch÷ sè. Do ®ã ch÷ sè thø 2000 cđa d·y sè lµ 6 ( cđa sè 1276). V- D¹ng 5: ViÕt d·y sè c¸ch ®Ịu“ ” *VÝ dơ: ViÕt d·y sè c¸ch ®Ịu biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn lµ 1 vµ sè h¹ng thø 20 lµ 77. *HiƯu cđa sè h¹ng thø 20 vµ sè h¹ng ®Çu tiªn lµ: 77 1 = 76– Tõ sè h¹ng thø nhÊt ®Õn sè h¹ng thø 20 cã sè kho¶ng c¸ch lµ: 20 1 = 19 ( kho¶ng c¸ch)– Gi¸ trÞ mçi kho¶ng c¸ch lµ: 76 : 19 = 4 ( ®¬n vÞ) VËy d·y sè ph¶i t×m lµ: 1; 5; 9; 13; 17; ; 77; … … VI- D¹ng 6: TÝnh tỉng c¸c sè h¹ng trong d·y sè c¸ch ®Ịu .“ ” • C«ng thøc tÝnh tỉng: - NÕu n lµ sè ch½n th× : a1 + a2 + + an = ( a1 + an) x … 2 n - NÕu n lµ sè lỴ th×: a1 + a2 + + an = a1 + ( a2 + an ) x … 2 1−n C¸c bµi tËp øng dơng 1- T×m qui lt thµnh lËp cđa d·y sè sau, råi ®iỊn tiÕp theo 3 sè h¹ng vµo d·y sè: a) 1; 4; 7; 10; b) 5; 7; 12; 19; 31; 50; c) 5; 8; 11; 24; 43; 78; … … … d) 1; 4; 9; 16; 25; e) 1; 2; 6; 24; 120; g) 2; 20; 56; 110; 182; … … … 2- T×m sè h¹ng ®µu tiªn cđa d·y sè sau: ; 10; 16; 26; 42 . BiÕt d·y sè cã 7 sè h¹ng.… 3- §iỊn thªm s¸u sè h¹ng n÷a vµo tỉng sau: 9 + + 16 = 100.… 4- Em h·y cho biÕt 50 vµ 133 cã thc d·y sè sau kh«ng: 90; 95; 100; … 5- Em h·y cho biÕt: a) Sè 2006 cã thc d·y sè: 1; 4; 7; 10; … b) Sè nµo trong c¸c sè: 666; 1000; 9999 thc d·y sè: 3; 6; 12; 24; … 6- Cho d·y sè: 100; 97; 94; cã bao nhiªu sè h¹ng biÕt r»ng sè h¹ng ci cïng cđa d·y sè ®ã lµ sè nhá nhÊt cã 1 ch÷ sè kh¸c 1 vµ chia 3 … d 1? T×m sè h¹ng thø 17 cđa d·y sè. 7- Tõ 1 ®Õn 2004 cã bao nhiªu ch÷ sè tËn cïng lµ 4? 8- Cho d·y sè: 1; 3; 5; 7; ; 2005. Hái d·y sè cã bao nhiªu sè h¹ng vµ sè h¹ng thø 100 lµ sè nµo?… 9- a) Tõ 563 ®Õn 2005 cã bao nhiªu sè tù nhiªn liªn tiÕp? b) D·y sè lỴ liªn tiÕp tõ 147 ®Õn 2005 cã bao nhiªu sè? c) D·y sè ch½n liªn tiÕp tõ 140 ®Õn 2004 cã bao nhiªu sè? 10- H·y viÕt d·y sè c¸ch ®Ịu cã 10 sè h¹ng ®Ịu lµ c¸c sè tù nhiªn, biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn lµ 10 vµ sè h¹ng ci cïng lµ 37. 11- Cho d·y sè c¸ch ®Ịu cã 9 sè h¹ng, cã sè h¹ng thø n¨m lµ 19 vµ sè h¹ng thø chÝn lµ 35. H·y viÕt ®đ c¸c sè h¹ng cđa d·y sè ®ã. 12- a) ViÕt tÊt c¶ 50 sè ch½n liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1996. Hái sè ci cïng ph¶i viÕt lµ sè nµo? b) ViÕt 96 sè ch½n liªn tiÕp. Sè ci cïng cđa d·y lµ 2004. Hái sè ®Çu tiªn cđa d·y lµ sè nµo? 13- Ngêi ta ®¸nh m¸y ch÷ c¸c sè: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ®Ĩ d¸n vµo trong mét qun s¸ch dµy 500 trang ( ®¸nh sè trang ). Hái ph¶i gâ … vµo m¸y ch÷ bao nhiªu lÇn( chØ tÝnh nh÷ng lÇn gâ vµo ch÷ sè vµ gi¶ sư kh«ng lÇn nµo gâ nhÇm)? 14- ViÕt c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1. Hái ch÷ sè thø 2004 lµ ch÷ sè nµo? 15-ViÕt liªn tiÕp c¸c sè ch½n b¾t ®Çu tõ 2004. Hái nÕu ph¶i viÕt 480 ch÷ sè th× ph¶i viÕt ®Õn sè nµo? 16- TÝnh c¸c tỉng sau: a) 1 + 3 + 5 + 7 + + 2005 … b) 1 + 4 + 9 + 16 + + 100 c) 2 + 4 + 8 + 16 + .( cã 16 sè h¹ng).… … 17- Mét phßng häp cã hµng ghÕ ®Çu gåm 12 ghÕ, hµng ghÕ thø hai cã 13 ghÕ, hµng ghÕ thø ba cã 14 ghÕ, cø xÕp nh thÕ nµo cho ®Õn hµng ghÕ ci cïng cã 30 ghÕ. Hái phßng häp cã bao nhiªu hµng ghÕ? Vµ phßng häp Êy cã ®đ cho 390 ngêi ngåi kh«ng? Chuyªn ®Ị 3: c¸c bµi to¸n cã ph¬ng ph¸p gi¶i ®iĨn h×nh D¹ng I: C¸c bµi to¸n vỊ sè trung b×nh céng. *Vd :Việt có 10 hòn bi, Nam có 7 hòn bi, Hòa có nhiều hơn Nam 2 hòn bi, Bình có số bi kém mức trung bình của cả bốn bạn là 1 hòn bi. Tính số bi của Bình? 1. Long có 15nhãn vở, Li có 19 nhãn vở, Quy có số nhãn vở bằng trung bình cộng của Long và Li, Phượng có số nhãn vở kém trung bình cộng của cả bốn người là 9 nhãn vở. Hỏi Phượng có bao nhiêu nhãn vở? 2. Một quầy lương thực ngày thứ nhất bán được 350 kg gạo.ngày thứ hai bán được 275 kg gạo.Ngày thứ ba bán được nhiều hơn trung bình cộng số gạo của cả ba ngày là 45 kg gạo. Hỏi ngày thứ ba quầy hàng bán được bao nhiêu kg gạo? 3. Tìm năm số chẵn liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là 3286. 4. Tìm 7 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là số nhỏ nhất có 5 chữ số. Leloi.com 5 Chuyªn ®Ị båi d ìng häc sinh giái líp 5 5. Một đội xe tải có 5 chiếc xe, trong đó có hai xe A và B mỗi xe chở 3 tấn, hai xe C và D mỗi xe chở được 45 tạ, còn xe E chở hơn mức trung bình cộng của toàn đội là 1 tấn. Hãy tính xem xe E chở mấy tấn 6. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 17. 7. Tìm ba số biết trung bình cộng của chúng bằng 2. 8. Tuổi trung bình của bố và mẹ hơn tuổi của mẹ là 2 tuổi. Hỏi bố hơn mẹ mấy tuổi? 9. Tìm trung bình cộng của các số sau bằng cách tính nhanh: a. 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 . b. 1, 2, 3, 4, 5, ………………………, 23. 10.Tìm 2 số biết trung bình cộng của chúng là 123, số thứ nhất hơn số thứ hai 46 đơn vò. 11.Trung bình cộng tuổi của ba, mẹ, An và Bình là 18. Nếu bỏ An ra thì trung bình cộng tuổi của ba người còn lại là 21. Tìm tuổi của An. 12: Thành có 20 viên bi, Đức có 22 viên bi, An có số bi hơn mức trung bình cộng số bi của ba bạn là 6 viên. Hỏi An có bao nhiêu viên bi? D¹ng II: C¸c bµi to¸n vỊ t×m hai sè khi biÕt tỉng vµ hiƯu cđa hai sè dã. 1- T×m hai sè ch½n liªn tiÕp cã tỉng b»ng 98. 2- T×m hai sè lỴ cã tỉng b»ng 120, biÕt gi÷a chóng cã 5 sè ch½n. 3- Trung b×nh céng cđa hai sè b»ng 59. T×m hai sè biÕt sè lín h¬n sè bÐ 6 ®¬n vÞ. 4- T×m hai sè biÕt trung b×nh céng cđa hai sè lµ 23,8 vµ sè thø nhÊt h¬n sè thø hai 4,5 ®¬n vÞ. 5- Anh h¬n em 5 ti, 5 n¨m sau tỉng sè ti cđa hai anh em lµ 25 ti. TÝnh sè ti cđa mçi ngêi hiƯn nay. 6- Mét thưa rng HCN cã chu vi lµ 188m. ChiỊu réng ng¾n h¬n chiỊu dµi 17m. tÝnh diƯn tÝch thưa rng ®ã. 7- Cho mét phÐp céng cã sè h¹ng thø nhÊt h¬n sè h¹ng thø hai lµ 15 ®¬n vÞ. BiÕt tỉng cđa sè h¹ng thø nhÊt, sè h¹ng thø hai vµ tỉng b»ng 682. T×m sè h¹ng thø hai cđa tỉng. 8- Mét phÐp céng cã hai sè h¹ng lµ hai sè ch½n liªn tiÕp. Tỉng c¸c sè: sè h¹ng thø nhÊt, sè h¹ng thø hai vµ tỉng sè b»ng 276. T×m phÐp céng ®ã biÕt sè h¹ng thø nhÊt lín h¬n sè h¹ng thø hai. 9- Cho phÐp trõ hai sè mµ tỉng cđa sè bÞ trõ, sè trõ vµ hiƯu sè b»ng 478, hiƯu sè bÐ h¬n sè trõ 117 ®¬n vÞ. T×m phÐp trõ ®ã. 10- C¶ hai ngµy b¸n ®ỵc 894m v¶i. NÕu ngµy thø nhÊt b¸n thªm 146m v¶i th× ngµy thø nhÊt b¸n Ýt h¬n ngµy thø hai 58m v¶i. Hái mçi ngµy b¸n ®ỵc bao nhiªu mÐt v¶i. 11- Trong ®ỵt Gióp b¹n nghÌo vỵt khã, líp 5A vµ 5B gãp ®ỵc 356 qun vë. Sau ®ã 5A gãp thªm ®ỵc 54 qun vë n÷a, tÝnh ra líp 5A gãp ®ỵc nhiỊu h¬n 5B lµ 24 qun vë. Hái mçi líp gãp ®ỵc bao nhiªu qun vë? 12- C¶ hai ngµy cưa hµng b¸n ®ỵc 468m v¶i. NÕu ngµy thø nhÊt b¸n thªm 38m v¶i vµ ngµy thø hai b¸n thªm 26m th× ngµy thø nhÊt b¸n kÐm ngµy thø hai 14m v¶i. Hái mçi ngµy cưa hµng b¸n ®ỵc bao nhiªu mÐt v¶i? 13- Tỉng cđa hai sè b»ng tÝch cđa sè lín nhÊt cã 2 ch÷ sè vµ sè bÐ nhÊt cã 2 ch÷ sè. NÕu sè thø nhÊt t¨ng thªm 14 ®¬n vÞ vµ sè thø hai gi¶m ®i 56 ®¬n vÞ th× sè thø nhÊt h¬n sè thø hai 84 ®¬n vÞ. T×m hai sè ®ã. 14- Cã 17,8 kg g¹o ®ùng trong hai bao. NÕu lÊy 2,4 kg g¹o tõ bao thø nhÊt chun sang bao thø hai th× hai bao cã sè lỵng g¹o b»ng nhau. Hái mçi bao ®ùng bao nhiªu kg gậ? 15- Mét c¸i ao HCN cã chu vi 400m. NÕu gi¶m chiỊu dµi ®i 23m vµ t¨ng chiỊu réng thªm 23m th× c¸i ao trë thµnh h×nh vu«ng. TÝnh diƯn tÝch c¸i ao ®ã. 16- Trung b×nh céng cđa hai sè lµ 60. NÕu sè thø nhÊt t¨ng thªm 50 ®¬n vÞ vµ sè thø hai t¨ng thªm 150 ®¬n vÞ th× hai sè b»ng nhau. T×m hai sè ®ã. 17- C¶ hai ngµy b¸n ®ỵc 468,5 m v¶i. NÕu ngµy thø nhÊt b¸n thªm 3,8m v¶i vµ ngµy thø hai b¸n thªm 2,6m th× ngµy thø nhÊt b¸n kÐm ngµy thø hai 14,6 m v¶i. Hái mçi ngµy cưa hµng b¸n ®ỵc bao nhiªu mÐt v¶i? 18- Cho 3 sè A, B, C cã tỉng b»ng 5977. T×m sè A, B, C biÕt r»ng A lín h¬n B lµ 36 ®¬n vÞ, C lín h¬n A lµ 4 ®¬n vÞ. 19- Ba tÊm v¶i cã tỉng sè ®o lµ 92,8m. BiÕt tÊm v¶i thø hai dµi h¬n tÊm v¶i thø nhÊt lµ 1,4m. vµ ng¾n h¬n tÊm v¶i thø ba lµ 0,6m. Hái mçi tÊm v¶i dµi bao nhiªu mÐt? 20- Mét kho hµng nhËp vỊ tÊt c¶ 181 tÊn hµng hãa. Ngµy thø nhÊt nhËp Ýt h¬n ngµy thø hai 8 tÊn vµ nhiỊu h¬n ngµy thø ba lµ 10 tÊn. Hái mçi ngµy kho nhËp vỊ bao nhiªu tÊn hµng hãa? 21- C¶ 3 líp 5A, 5B, 5C cïng gãp 620 qun vë gióp b¹n nghÌo. Líp 5A gãp Ýt h¬n hai líp 5B vµ 5C lµ 120 qun vë. Líp 5C gãp nhiỊu h¬n líp 5B lµ 20 qun. Hái mçi líp gãp ®ỵc bao nhiªu qun vë? 22- Chu vi mét h×nh tam gi¸c lµ 18m. Sè ®o cđa c¹nh thø nhÊt kÐm h¬n tỉng sè ®o hai c¹nh kia lµ 0,9 dam. NÕu gi¶m sè ®o cđa c¹nh thø ba ®i 1,5 m th× nã b»ng víi sè ®o cđa c¹nh thø hai. T×m sè ®o mçi c¹nh. 23- Tỉng cđa hai sè lµ 130. NÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn tr¸i sè thø nhÊt ( cã hai ch÷ sè) th× ®ỵc sè thø hai. T×m hai sè ®ã. 24- Tỉng cđa hai sè lµ 280. NÕu viÕt thªm ch÷ sè 2 vµo bªn tr¸i sè thø nhÊt th× ®ỵc sè thø hai. T×m hai sè ®ã. 25- Tỉng cđa hai sè thËp ph©n lµ 893,6. NÕu viÕt thªm ch÷ sè 7 vµo bªn tr¸i phÇn nguyªn cđa sè bÐ th× ®ỵc sè lín. T×m hai sè ®ã. 26- T×m sè cã 2 ch÷ sè biÕt tỉng hai ch÷ sè cđa sè ®ã b»ng 9 vµ hiƯu cđa hai sè ®ã b»ng 3. 27- T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ tỉng hai ch÷ sè cđa sè ®ã b»ng 14 vµ nÕu ®ỉi vÞ trÝ hai ch÷ sè cđa sè ®ã th× sè ®ã gi¶m ®i 18 ®¬n vÞ. 28- Cho sè cã 3 ch÷ sè cã tỉng b»ng c¸c ch÷ sè b»ng 14, biÕt r»ng ch÷ sè hµng chơc b»ng hai ch÷ sè cßn l¹i. NÕu chç cđa hai ch÷ sè hµng ®¬n vÞ vµ hµng tr¨m ta ®ỵc sè míi h¬n sè ®· cho 99 ®¬n vÞ. T×m sè ®· cho. 29- Tỉng c¸c ch÷ sè cđa mét sè cã hai ch÷ sè b»ng 6. NÕu viÕt thªm vµo sè ®ã 18 ®¬n vÞ th× th× sè thu ®ỵc còng viÕt b»ng c¸c ch÷ sè ®ã nhng theo thø tù ngỵc l¹i. T×m sè ®· cho. 30- Cho hai sè tù nhiªn cã tỉng b»ng 46. NÕu ghÐp sè lín vµo bªn tr¸i sè bÐ hc ghÐp sè lín vµo bªn ph¶i sè bÐ th× ®Ịu ®ỵc sè cã bèn ch÷ sè. HiƯu cđa hai sè cã bèn ch÷ sè nµy b»ng 2178. T×m hai sè ®· cho. 31- T×m sè cã bèn ch÷ sè theo ®iỊu kiƯn sau: NÕu viÕt sè ®· cho theo thø tù ngỵc l¹i th× vÉn ®ỵc sè ®ã, tỉng c¸c ch÷ sè b»ng 24, sè gåm hai ch÷ sè bªn tr¸i lín h¬n sè gåm hai ch÷ sè bªn ph¶i lµ 36 ®¬n vÞ. 32- Cho sè thËp ph©n cã bèn ch÷ sè mµ phÇn nguyªn cã hai ch÷ sè, phÇn thËp ph©n còng cã hai ch÷ sè vµ tỉng c¸c ch÷ sè cđa cđa nã b»ng 20. NÕu viÕt sè ®· cho theo thø tù ngỵc l¹i th× vÉn ®ỵc sè ®· cho. H·y t×m sè thËp ph©n ®· cho biÕt r»ng hai sè sè cã hai ch÷ sè ë phÇn nguyªn lín h¬n sè cã hai ch÷ sè ë phÇn thËp ph©n lµ 36 ®¬n vÞ. Leloi.com 6 Chuyên đề bồi d ỡng học sinh giỏi lớp 5 Dạng III: Bài toán về tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của hai số đó. 1- Tổng hai số bằng 1480. Số lớn gấp 4 lần số bé. Tìm hai số đó. 2- Một cửa hàng bán vải hai ngày bán đợc 540m vải. Ngày thứ nhất bán gấp rỡi ngày thứ hai. Hỏi mỗi ngày bán đợc bao nhiêu m vải? 3- Tìm hai số có tổng bằng tích của số bé nhất có hai chữ số với số lớn nhất có hai chữ số. Số bé bằng 2/3 số lớn. 4- Tìm hai số có hiệu bằng tổng của số bé nhất có ba chữ số với số bé nhất có hai chữ số. Số bé bằng 3/5 số lớn. 5- Một cửa hàng ngaỳ thứ nhất nhập 78 bao gạo, ngày thứ hai nhập 91 bao gạo. Biết ngày thứ hai nhập hơn ngày thứ nhất 591,5 kg gạo. Hỏi mỗi ngày nhập bao nhiêu kg gạo? 6- Hai lớp 5A và 5B mua chung 616 quyển vở. Lớp 5A có 45 học sinh, lớp 5B có 43 học sinh. Biết mỗi học sinh mua số vở nh nhau và giá mỗi quyển vở là 2200 đồng. Tính số tiền mỗi lớp phải trả. 7- Hiệu của hai số là 20,01. Biết số thứ nhất bằng 5/8 số thứ hai. Tìm hai số đó. 8- Một trờng có 1370 học sinh. Cứ có 3 nam sinh thì có 2 nữ sinh. Tính số nam sinh và nữ sinh của trờng đó. 9- Một trờng tiểu học có 1470 học sinh. Biết số nam sinh bằng 75% số nữ sinh. Tính số nam sinh và nữ sinh của trờng đó. 10- Một phép trừ có hiệu số bằng 4 lần số trừ và tổng các số: số bị trừ, số trừ và hiệu số bằng 630. Tìm phép trừ đó. 11- Một phép cộng có hai số hạng. Biết số hạng thứ nhất bằng 4 lần số hạng thứ hai và tổng các số: số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai và tổng bằng 480. Tìm phép cộng đó. 12- Cho hai số lẻ mà số lớn gấp 3 lần số bé. Biết giữa chúng có 13 số chẵn. Tìm hai số lẻ đó. 13- Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 88. Sau khi rút gọn phân số đó ta đợc phân số 5/6. Hãy tìm phân số cha rút gọn. 14- Trung bình cộng của hai số bằng 2/3. Số bé bằng 2/3 số lớn. Tìm hai số đó. 15- Một hình chữ nhật có chu vi 24cm, chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Tìm diện tích HCN đó. 16-Chu vi một miếng đất HCN là 294m và chiều dài bằng 5/2 chiều rộng.Tính diện tích HCN đó bằng a. 17- Một cái sân HCN có chiều dài hơn chiều rộng 56m, chiều dài gấp 1,5 lần chiều rộng. Tính diện tích cái sân đó. 18- Tìm hai số có tổng bằng 0,25 và thơng của chúng cũng bằng 0,25. 19- Tìm hai số có hiệu bằng 0,6 và thơng của chúng cũng bằng 0,6. 20- Thơng của hai số lẻ nhỏ nhất có hai chữ số. Hiệu của hai số đó thì bằng số lợng số có 3 chữ số. Tìm tích của hai số đó. 21- Hãy chia số 1998 thành ba số tỉ lệ thuận với 2; 3 và 4. 22- Tìm ba số A, B, C tỉ lệ thuận với 3; 5; 7, biết hiệu của số lớn nhất và số bé nhất là 16. 23- Cả ba ngày cửa hàng bán đợc 3780 kg gạo. Ngày thứ nhất bán đợc gấp đôi ngày thứ hai. Ngày thứ hai bán đợc gấp 3 lần ngày thứ ba. Hỏi mỗi ngày cửa hàng bán đợc bao nhiêu kg gạo? 24- Một nhà máy có ba tổ công nhân gồm tất cả 108 ngời. Tổ một có số ngời gấp đôi tổ hai. Tổ ba có số ngời gấp ba tổ một. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu ngời? 25- Bạn An có số tiền gấp đôi bạn Bình và bằng 1/3 bạn Châu. Hỏi mỗi ngời có bao nhiêu tiền biết Châu có hơn Bình 50 000 đồng. 26- Có ba ô tô chở hàng, ô tô thứ nhất chở bằng 3/4 ô tô thứ hai, ô tô thứ hai chở bằng 4/7 ô tô thứ ba. Hỏi mỗi ô tô chở đợc bao nhiêu tấn hàng, biết ô tô thứ ba chở nhiều hơn ô tô thứ hai 6,3 tấn hàng? 27- Dựa vào sơ đồ tóm tắt sau, em hãy đặt một đề toán rồi giải: Đội thứ nhất: Đội thứ hai: Đội thứ ba: Đội thứ t: Đội thứ năm: Tính mỗi đội. 28- Dựa và sơ đồ tóm tắt sau, em hãy đặt đề toán rồi giải: 29- Một kho hàng có 41 tấn gạo gồm bốn loại. Số gạo loại I bằng 2/3 số gạo loại II, số gạo loại II bằng 3/4 số gạo loại III. Khối lợng số gạo loại VI là số tự nhiên từ khoảng 1 đến 5 tấn. Hãy tính số lợng gạo của mỗi loại. 30- Cả bốn tổ nhận 70 quyển vở. Tổ ba nhận số vở gấp đôi tổ bốn, tổ hai nhận số vở bằng tổng số vở của tổ ba và tổ bốn, số vở tổ một bằng tổng số vở nhận đợc của tổ hai và tổ bốn. Hỏi mỗi tổ nhận đợc bao nhiêu quyển vở? 31- Hiệu của hai số là 96, biết một nửa số thứ nhất gấp đôi số thứ hai. Tìm hai số đó. 32- Hiệu của hai số là 390, biết một nửa số thứ nhất bằng 3/4 số thứ hai. Tìm hai số đó. 33- Hiệu của hai số là 150, nếu giảm số lớn đi hai lần thì thơng giữa hai số là 3. Tìm hai số đó. 34- Số bị chia hơn số chia 54 đơn vị. Nếu giảm số chia đi 3 lần thì thơng mới là 30. Tìm phép chia đó. 35- Hiệu của hai sốbằng 1/4 số bé. Tổng của hai số bằng 15,3. Tìm hai số đó. 36- Tìm hai số biết rằng số lớn gấp 12 lần số bé và nếu giảm số lớn 3 lần và tăng số bé lên 2 lần thì tổng của hai số mới là 72. 37- Anh hơn em 8 tuổi. Cách đây hai năm, tuổi anh gấp ba lần tuổi em. Tính tuổi hiện nay của mỗi ngời. 38- Hiện nay anh 27 tuổi và em 7 tuổi. Hỏi mấy năm nữa tuổi anh gấp 3 lần tuổi em? Dạng IV: Các bài toán về tỉ lệ. 1- Có 45m vải may đợc 9 bộ quần áo nh nhau. Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải cùng loại đó để may 10 bộ nh vậy? 2- Quãng đờng từ cột điện thứ nhất đến cột điện thứ năm dài 480 bớc. Hỏi quãng đờng từ cột điện thứ hai đến cột điện thứ mời dài bao nhiêu bớc? Biết khoảng cách giữa hai cột điện liên tiếp bằng nhau. 3- Nếu giảm chiều rộng của một HCN đi 3 lần thì chiều dài phải tăng lên bao nhiêu lần để diện tích HCN không thay đổi? 4- Một HCN có chiều dài 80 m. Nếu chiều rộng tăng lên 4 lần thì chiều dài phải là bao nhiêu mét để diện tích HCN không thay đổi? 5- Một trờng học chuẩn bị gạo đủ ăn cho 120 học sinh trong 20 ngày. Đến ngày khai giảng có thêm 30 HS mới đến. Hỏi số gạo trên sẽ hết sớm hơn dự định bao nhiêu ngày? 6- Một đơn vị gồm 120 ngời đủ gạo ăn trong 50 ngày. Sau 30 ngày đơn vị lại nhận thêm một số ngời đúng bằng 1/4 số ngời đã có. Tính xem số gạo còn lại chỉ đủ ăn trong mấy ngày nữa? 7- Một bếp ăn có đủ gạo cho 120 ngời ăn trong 50 ngày. Nhng số ngời ăn thực sự nhiều hơn nên chỉ ăn trong 30 ngày Hỏi số ngời tăng hơn so với dự kiến là bao nhiêu ngời? Leloi.com 7 Chuyªn ®Ị båi d ìng häc sinh giái líp 5 8- Mét ®éi c«ng nh©n gåm 35 ngêi dù ®Þnh lµm xong qu·ng ®êng trong 10 ngµy. NÕu ®Þnh lµm xong qu·ng ®êng ®ã trong 7 ngµy th× cÇn ph¶i thªm bao nhiªu ngêi? 9- Mét ®¬n vÞ chn bÞ l¬ng thùc cho 350 ngêi ¨n trong 35 ngµy. Sau mét tn lƠ cã thªm mét sè ngêi ®Õn thªm n÷a nªn sè l¬ng thùc hÕt sím h¬n dù ®Þnh lµ 7 ngµy. Hái cã bao nhiªu ngêi míi ®Õn? 10- 15 ngêi dù ®Þnh lµm xong c«ng viƯc trong 20 ngµy, nhng lµm ®ỵc 4 ngµy th× cã 5 ngêi xin th«i viƯc. Hái c«ng viƯc sÏ hoµn thµnh l©u h¬n dù ®Þnh bao nhiªu ngµy? 11-Mét ®¬n vÞ thanh niªn xung phong chn bÞ ®đ mét sè g¹o cho toµn ®¬n vÞ ¨n trong 34 ngµy. NÕu ®ong thªm 5 kg n÷a th× mçi ngµy cã thĨ båi dìng cho ®¬n vÞ 7,5 kg vµ sè g¹o ®đ ¨n trong 24 ngµy. Hái sè g¹o ®¬n vÞ ®· chn bÞ vµ møc ¨n mçi ngµy cđa ®¬n vÞ tríc ®©y lµ bao nhiªu? 12- §Ĩ ®o mét c¸i c©y ngêi ta ®ãng cäc th¼ng ®øng xng ®Êt. Tõ mỈt ®Êt ®Õn ®Çu cäc cao 2m, bãng n¾ng cđa cäc dµi 40 cm. BiÕt r»ng cïng lóc Êy ngêi ta ®o ®ỵc bãng n¾ng cÇn ®o lµ 3m. TÝnh chiỊu cao cđa c©y. 13- Mét cưa hµng b¸n dÇu, ngêi ta chøa ®Çy dÇu trong c¸c thïng 20 lÝt. NÕu ®ỉ dÇu ®ã vµo c¸c can 5 lÝt th× sè can 5 lÝt nhiỊu h¬n sè thïng 20 lÝt lµ 30 c¸i. Hái cưa hµng ®ã cã bao nhiªu lÝt dÇu? 14- Tn vµ Kh¬ng cïng ®äc hai qun trun gièng nhau. Trung b×nh mçi ngµy Tn ®äc 20 trang, cßn Kh¬ng ®äc 15 trang. Hái qun trun ®ã dµy bao nhiªu trang? biÕt r»ng Tn ®äc sau Kh¬ng 4 ngµy vµ xong tríc Kh¬ng 2 ngµy. 15- Mét nhµ in chn bÞ ®đ giÊy ®Ĩ in 6000 qun s¸ch, mçi qun cã 200 trang. Hái nÕu dïng sè giÊy ®ã ®Ĩ in s¸ch, mçi qun cã 150 trang th× in ®ỵc bao nhiªu qun? 16- Mét xe ®i mÊt 8 giê víi vËn tèc 54 km/giê th× ®Õn n¬i. Hái nÕu chiÕc xe Êy ch¹y víi vËn tèc 72 km/giê th× ph¶i mÊt mÊy giê? Mét xe « t« ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/giê. Khi ®Õn B, « t« ®ã quay vỊ A víi vËn tèc 60 km/giê. Thêi gian quay vỊ nhanh h¬n thêi gian ®i lµ 2 giê. TÝnh thêi gian c¶ ®i lÉn vỊ cđa « t«. 17- Mét ®éi c«ng nh©n sưa ®êng cã 38 ngêi nhËn sưa mét qu·ng ®êng dµi 1330 m trong 5 ngµy. Hái mn sưa ®o¹n ®êng t¬ng tù dµi 1470 m còng trong 5 ngµy th× cÇn bao nhiªu ngêi? 18- Mét tỉ thỵ méc cã 3 ngêi, trong 5 ngµy ®ãng ®ỵc 75 c¸i ghÕ. Hái nÕu tỉ cã 5 ngêi lµm trong 7 ngµy th× sÏ ®ãng ®ỵc bao nhiªu c¸i ghÕ? 19- §Ĩ chuyªn chë 39 kg hµng hãa trªn qu·ng ®êng dµi 74 km ph¶i chi hÕt 120 000 ®ång. Hái ph¶i chi phÝ hÕt bao nhiªu tiỊn nÕu chuyªn chë 26 kg hµng hãa trªn qu·ng ®êng dµi 185 km? 20- 3 häc sinh cc ®Êt trong 3 giê ®ỵc 60,5 m 2 . Hái 6 häc sinh trong 8 giê cc ®ỵc bao nhiªu mÐt vu«ng ®Êt? 21- 10 c«ng nh©n s¶n xt ®ỵc 500 s¶n phÈm mÊt 6 giê. Hái 30 c«ng nh©n s¶n xt 1500 s¶n phÈm mÊt bao l©u? 22- Mét nhµ in chn bÞ ®đ giÊy ®Ĩ in 14 000 qun s¸ch, mçi qun cã 210 trang, mçi trang cã 20 dßng. Hái nÕu dïng sè giÊy ®ã ®Ĩ in s¸ch, mçi trang cã 30 dßng th× in ®ỵc bao nhiªu qun? 23- Mét vßi níc ch¶y trong 3,6 giê ®ỵc 5184 lÝt níc. Hái nÕu cã hai vßi níc cïng ch¶y trong 6 giê th× ®ỵc bao nhiªu lÝt níc? 24- 5 c«ng nh©n ®µo ®Êt trong 3 ngµy, mçi ngµy lµm 8 giê th× ®µo ®ỵc 24 mÐt khèi ®Êt. Hái 7 c«ng nh©n ®µo trong 4 ngµy, mçi ngµy lµm 10 giê th× ®µo ®ỵc mÊy mÐt khèi ®Êt? 25- §Ĩ cã thøc ¨n nu«i bß, tr¹i ch¨n nu«i ®· trång mét lo¹i cá trªn c¸nh ®ång. Tèc ®é lín lªn cđa nh÷ng c©y cá nµy lµ mét tèc ®é kh«ng ®ỉi vµ nh nhau ®èi víi mäi c©y cá. Ngêi ta tÝnh r»ng 70 con bß sÏ ¨n hÕt sè cá nµy trong 24 ngµy ; nÕu cã 30 con bß sÏ ¨n hÕt sè cá nµy trong 60 ngµy. Hái bao nhiªu con bß sÏ hÕt sè cá trong 96 ngµy? D¹ng V- C¸c bµi to¸n vỊ t×m ti 1- Ti cha hiƯn nay gÊp 4 lÇn ti con vµ tỉng sè ti cđa hai cha con lµ 50 ti. Hái sau bao nhiªu n¨m n÷a ti cha gÊp 3 lÇn ti con? 2- HiƯn nay mĐ 30 ti vµ gÊp 5 lÇn ti con. Hái tríc ®©y mÊy n¨m ti mĐ gÊp 7 lÇn ti con? 3- Ti mĐ gÊp 3 lÇn ti Lan. Sau 15 n¨m n÷a ti mĐ gÊp ®«i ti Lan. TÝnh ti mĐ, ti Lan hiƯn nay. 4- Ti mĐ hiƯn nay gÊp 6 lÇn ti con, 4 n¨m tríc ®©y ti mĐ gÊp 26 lÇn ti con. TÝnh ti mĐ, ti con hiƯn nay. 5- Hai lÇn ti ngêi anh lín h¬n tỉng sè ti cđa hai anh em lµ 20 ti DẠNG VI:TOÁN VỀ HOÀN THÀNH CÔNG VIỆC Bài 1: Cho hai số có tổng là 7,7. Nếu gấp số thứ nhất lên 4 lần. Gấp số thứ hai lên 7 lần thì thì được hai số mới có tổng là 37,7. Tìm hai số đó? Bài 2: Cho hai vòi nước cùng chảy vào một cái hồ. Vòi 1 chảy đầy hồ sau 15 giờ. Vòi hai chảy đầy hồ sau 21 giờ. Khi 3 1 hồ đã có nước, người ta cho vòi 2 chảy vào hồ trong 5 giờ rồi cho tiếp vòi 1 cùng chảy vào. Tính thời gian để hai vòi cùng chảy đến khi đầy hồ? Bài 3: Hai người làm chung một cơng việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Sau khi làm được 2 giờ thì người thứ hai có việc phải nghỉ và người thứ nhất phải làm thêm 9 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu? Bài 4: Người thợ thứ nhất làm xong một cơng việc trong 9 giờ. Người thứ hai làm xong cơng việc đó trong 15 giờ. Lúc đầu người thứ nhất làm trong một thời gian rồi nghỉ sau đó người thứ hai làm nốt cơng việc còn lại. Thời gian cả hai người làm hết cơng việc là 11 giờ. Hỏi mỗi người làm trong mấy giờ. Bài 5: Vòi 1 chảy trong 2 giờ thì đầy hồ. Vòi 2 có sức chảy bằng 3 1 vòi 1. Vòi 3 tháo hết hồ đầy nước trong 4 giờ. Nếu 5 2 hồ có nước. Mở cả 3 vòi cùng một lúc thì sau bao lâu hồ đầy? Bài 6: Để xây xong một cái nhà nhóm I làm trong 15 ngày. Nhóm II làm trong 20 ngày. Nhóm III làm trong 24 ngày. Người chủ nhà th 4 3 nhóm I ; 3 2 nhóm II; 5 2 nhóm III cùng làm . Sau bao nhiêu ngày thì xây xong nhà? Leloi.com 8 Chuyªn ®Ò båi d ìng häc sinh giái líp 5 Bài 7: Hai người làm chung công việc thì 7 giờ sẽ xong. Nhưng người thợ cả mới chỉ làm cùng với người thợ hai trong 4 giờ thì nghỉ do đó người thợ thứ hai phảI làm 9 giờ nữa mới xong chỗ còn lại. Hỏi mỗi người làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong? Bài 8: Người thứ I cần 9 giờ để làm xong công việc. Người thứ hai cần 15 giờ để làm xong công việc đó. Người ta để người thứ nhất làm trong 6 giờ rồi nghỉ còn người thứ hai làm tiếp cho đến khi xong công việc. Hỏi người thứ hai còn phảI làm trong bao lâu? Bài 9: Bạn Hoàng cần 10 ngày để làm xong một công việc. Minh cần 15 ngày để làm xong công việc đó. Bình làm một mình cần số ngày gấp 5 lần số ngày của Hoàng, Minh cùng làm để xong công việc. Nếu 3 người làm chung thì sau bao lâu sẽ xong công việc? Bài 10: Một bể nuôI cá không có nước, khi mở vòi nước I; II; III thì bể đầy trong 72 giây. Khi mở vòi II; III; IV thì bể đầy trong 90 giây. Khi mở vòi I và vòi IV thì bể đầy trong 120 giây. Hỏi nếu mở 4 vòi cùng một lúc thì bể đầy trong bao lâu? Bài 11: Bốn bạn nhận nhiệm vụ chuyển sách sang thư viện. Trong 1 giờ Hồng chuyển được 7 2 số sách. Hà chuyển được 40 11 số sách. Toán chuyển được 70 23 số sách. Thơ chuyển được 35 9 số sách. Bốn bạn dự định làm trong 1 giờ. Theo em sau 1 giờ 4 bạn có chuyển xong số sách đó không? Bài 12: Hai bạn A và B cùng làm xong một công việc thì sau 48 ngày sẽ xong. Cũng công việc đó A làm một mình trong 63 ngày sau đó B làm tiếp 28 ngày nữa thì hoàn thành. Hỏi A làm một mình thì sau bao nhiêu ngay sẽ hết toàn bộ công việc đó? Bài 13: Có một bể nước, nếu cho vòi A chảy vào bể thì sau 2 4 1 giờ bể đầy. Vòi B cách đáy bể 3 1 chiều cao của bể. Nếu bể đầy nước, mở vòi B thì sau 3 giờ vòi B không chảy nữa. Giả sử bể không có nước, mở cả hai vòi cùng một lúc thì thì sau bao lâu bể đầy? Bài 14: Hai người làm một công việc. Người thứ I làm 10 giờ xong. Người thứ hai làm 15 giờ xong. Người thứ I làm một thời gian sau đó nghỉ và người thứ hai làm tiếp cho đến lúc xong. Biết tổng thời gian hai người làm là 11 giờ. Tính thời gian mỗi người làm? Bài 15: Hai người làm chung một công việc sau 12 ngày thì xong. Người thứ nhất lầm trong 9 ngày rồi nghỉ để người thứ hai làm 14 ngày nữa thì xong. a, Hỏi mỗi người làm riêng sau bao lâu sẽ xong? b, Hai người làm trong 1 ngày được bao nhiêu % công việc? Bài 16: Ba người làm chung một công việc. Người thứ nhất lầm xong trong 3 tuần. Người thứ hai lầm xong một công việc gấp 3 lần công việc đó trong 8 tuần. Người thứ ba lầm xong một công việc gấp 5lần công việc đó trong 12 tuần. Hỏi ba người cùng làm công việc ban đầu xong trong bao nhiêu giờ? Biết rằng 1tuần làm 45 giờ? Bài 17: Tổng đúng của một số thập phân và một số tự nhiên là 62,42. Nhưng khi cộng hai số này bạn Tí đã quên mất dấu phảy ở số thập phân và đặt tính như đối với số tự nhiên nên được kết quả là 3569. Tìm hai số đó? DẠNG BÀI TOÁN VỀ PHAN SÔ Bài 1: Tìm một phân số có mấu số hơn tử số 36 đơn vị và bằng phân số 5 3 Giải: Ta thấy tử số hơn mẫu số 36 đơn vị và tử số 3 phần bằng nhau thì mẫu số ứng vopứi 5 phần như thế .Vậy Hiệu của mẫu số và tử số đã rút gọn là 5-3=2 Tử số là: 36: 2 x 3 = 54 Mẫu số là 54 + 36 = 90 Vậy phân số đó là 90 54 Bài 2: Tìm một phân số có tổng tử số và mẫu số là 125 và bằng phân số 57 38 Bài 3: Tìm một phân số, biết thêm 5 đơn vị vào tử số ta được phân số bằng 1. Nêu chuyển 1 đơn vị từ tử số xuống mẫu số ta được phân số bằng 2 1 Leloi.com 9 Chuyªn ®Ò båi d ìng häc sinh giái líp 5 Bài 4: Nếu chuyển 5 đơn vị từ mẫu số lên tử số ta được phân số bằng 1.Còn nếu chuyển 9 đơn vị từ tử số xuống mẫu số ta được phân số bằng 5 3 . Tìm phân số đó? Leloi.com 10