mô phỏng con lắc có trục quay không cố định Trong chương trình lớp 12, chúng ta đã học về chuyển động của con lắc đơn có trục quay cố định, đã tìm được phương trình chuyển động của nó, và từ đó đã mô phỏng dao động điều hòa của nó. Vậy, nếu ta dịch chuyển trục quay theo các phương, hướng khác nhau, liệu rằng lúc này, con lắc đơn đó có còn dao động điều hòa nữa hay không? Nếu không thì nó sẽ tuân theo quy tắc nào? Và việc mô phỏng dao động đó như thế nào?. Chính vì vậy, nhóm em chọn đề tài “Mô phỏng dao dộng của con lắc có trục quay không cố định”.
ĐỀ TÀI: MƠ PHỎNG DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC CĨ TRỤC QUAY KHÔNG CỐ ĐỊNH I) Lý chọn đề tài - Trong chương trình lớp 12, học chuyển động lắc đơn có trục quay cố định, tìm phương trình chuyển động nó, từ mơ dao động điều hịa Vậy, ta dịch chuyển trục quay theo phương, hướng khác nhau, liệu lúc này, lắc đơn có cịn dao động điều hịa hay khơng? Nếu khơng tn theo quy tắc nào? Và việc mô dao động nào? Chính vậy, nhóm em chọn đề tài “Mơ dao dộng lắc có trục quay không cố định” II) Cơ sở lý thuyết Con lắc đơn có trục quay cố định a) Định nghĩa: - Gồm vật có kích thước nhỏ (có khối lượng m) treo vào sợi dây dài l (khối lượng không đáng kể không giãn) b) Phân tích lực tác dụng vào vật m lắc đơn trọng lực tác dụng lên vật m lực căng dây treo thành phần tiếp tuyến với quỹ đạo trọng lực hợp lực ) (Chú ý Ở ta xét lực tác dụng gây gia tốc tiếp tuyến ( tức gia tốc vật m dọc theo quỹ đạo nó) Gia tốc vật m lắc đơn ⃗⃗⃗ 𝑡 gia tốc tiếp tuyến gây lực 𝑎 nói ⃗⃗⃗⃗𝑛 gia tốc pháp tuyến (chính gia tốc hướng tâm vật m chuyển 𝑎 động trịn) Vì ⃗⃗⃗ 𝑡 ⃗⃗⃗⃗𝑛 vng góc nên độ lớn gia tốc chuyển động vật m 𝑎 𝑎 a=√𝑎 𝑡 + 𝑎 𝑛 c) Lực căng dây lắc đơn Xét vật m vị trí mà dây treo hợp với phương thẳng đứng góc sau: Có hình vẽ Trên hình vẽ: thành phần tiếp tuyến trọng lực thành phần pháp tuyến trọng lực Độ lớn là: Hợp lực đóng vai trị lực hướng tâm chuyển động trịn có bán kính chiều dài dây (r = l) nên: Vì (Xem cơng thức (5) đoạn dưới) Nên: Biện luận từ công thức ta thấy: Lực căng dây có độ lớn cực đại vật m qua vị trí cân Nếu góc lệch cực đại nhỏ hoăc 90o Lực căng dây có độ lớn cực tiểu vật m vị trí biên (vị trí cao nhất): Nếu góc lệch cực đại nhỏ 90o Lực căng dây có độ lớn trọng lượng vật (T = mg) vị trí có góc lệch thỏa điều kiện sau: Con lắc có trục quay không cố định Cơ sở lý thuyết dựa vào dao động lắc đơn đặc biệt trục khơng cố định thơng số vận tốc, li độ, phương trình dao động thay đổi - Con lắc có trục quay không cố định lắc phi tuyến, điểm treo dịch chuyển, bỏ qua tắt dần - Mơ hình ảnh lắc: - Phân tích lắc có trục chuyển động phương: OX OY, trục OX nằm ngang, trục OY thẳng đứng, có phương trình dao động (trong g gia tốc hấp dẫn ) Từ hình vẽ xác định biểu thức tìm li độ, vận tốc lắc, gia tốc lắc giống phương pháp xác định li độ, vận tốc, gia tốc dao động lắc đơn có trục cố định Vị trí lắc = Vận tốc lắc = [X’+ Lcos(Ɵ)Ɵ’, Y’+ Lsin(Ɵ)Ɵ’] Gia tốc = [X”- Lsin(Ɵ)(Ɵ’)2+ Lcos(Ɵ)Ɵ”, Y”+ Lcos(Ɵ)(Ɵ’)2+ Lsin(Ɵ)Ɵ”] Dùng phương pháp hình học, vẽ hình xác định lực tác dụng lên lắc ( phân tích phương chiều, độ lớn) Từ hình vẽ xác định lực tác dụng: ⃗𝑇, ⃗𝑃 Theo định luật II newton có F=ma Giải hệ phương trình: -Tsin(Ɵ)=m(X”- Lsin(Ɵ)(Ɵ’)2 + Lcos(Ɵ)Ɵ”) Tcos(Ɵ)-mg=m(Y” + Lcos(Ɵ)(Ɵ’)2 +Lsin(Ɵ)Ɵ”) (1) (2) Loại bỏ T khỏi hai phương trình, có : Rút gọn được: (3) Giả sử: L=1 xét trường hợp dich chuyển trục lắc: - Khi trục chuyển động theo chiều ngang phương trình chuyển động cuả trục theo phương OX, OY có dạng: X= Acos(𝜔𝑡) , Y=0 Tọa độ lắc: x=L.sin𝜃+ A cos(𝜔𝑡) y=L.cos𝜃 Hàm Lagrănggiơ lắc có dạng: L=T-U 𝑚 Có T= (𝑥̇ + 𝑦̇ ) Có 𝑥̇ = L 𝜃̇.cos𝜃- A𝜔sin( 𝜔𝑡) 𝑦̇ = -L 𝜃̇.sin𝜃 𝑚 Suy T= (𝐿2 𝜃̇ (cos𝜃)2 − 𝐴 𝜔 𝐿 𝜃̇.cos𝜃 sin( 𝜔𝑡) + 𝐴2 𝜔2 (sin( 𝜔𝑡)) + 𝐿2 𝜃̇ (sin𝜃)2 ) 𝑚 T= (𝐿2 𝜃̇ − 𝐴 𝜔 𝐿 𝜃̇.cos𝜃 sin( 𝜔𝑡) + 𝐴2 𝜔2 (sin( 𝜔𝑡)) -U=P.y=mg.L cos𝜃 𝑚 L= 𝐿2 𝜃̇ - m 𝐴 𝜔 𝐿 𝜃̇ cos𝜃 sin( 𝜔𝑡) + 𝑚 𝐴2 𝜔2 (sin( 𝜔𝑡)) + mg.L cos𝜃 Phương trình Lagrănggiơ: 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )- =0 𝑑𝑡 𝜕(𝜃̇) 𝜕𝜃 𝑔 𝐴.𝜔 𝜃̈+ 𝜃 = cos( 𝜔𝑡) Có 𝐿 𝐿 𝜃 𝑐𝑜𝑖 𝑟ấ𝑡 𝑛ℎỏ Nghiệm có dạng: 𝜃 = Ccos(𝛺t+𝛼)+ 𝑣ớ𝑖 𝛺= √ 𝐴.𝜔2 𝐿(𝛺2 −𝜔2 ) cos(𝜔𝑡) 𝑔 𝐿 Nhận xét : Đồ thị dao động có dạng dao động điều hịa phi tuyến tính - Khi trục chuyển động theo chiều dọc phương trình chuyển động theo phương OX, OY có dạng X=0 , - Tọa độ lắc: x=L.sin𝜃 y=L.cos𝜃+ A.sin(𝜔𝑡) - Hàm Lagrănggiơ lắc có dạng: L=T-U 𝑚 Có T= (𝑥̇ + 𝑦̇ ) - Có 𝑥̇ = L.𝜃̇ cos𝜃 𝑦̇ =-L 𝜃̇.sin𝜃+A𝜔.cos(𝜔𝑡) 𝑚 ̇ 𝑇 = (𝐿2 𝜃̇ (cos𝜃)2 +𝐿2 𝜃̇ (sin𝜃)2 − A𝜔L 𝜃 sin𝜃 cos(𝜔𝑡) 2 𝐴2 𝜔 (cos(𝜔𝑡))2 ) 𝑚 ̇ 𝑇 = (𝐿2 𝜃̇ − A𝜔L 𝜃 sin𝜃 cos(𝜔𝑡) + 𝐴2 𝜔2 (cos(𝜔𝑡))2 ) -U=P.y=mg.( L.cos𝜃+ A.sin(𝜔𝑡)) 𝑚 ̇ L= 𝐿2 𝜃̇ -m A𝜔L 𝜃 sin𝜃 cos(𝜔𝑡) + 𝑚 𝐴2 𝜔2 (cos(𝜔𝑡))2 + mg.L.cos𝜃+ A mg sin(𝜔𝑡) Phương trình Lagrănggiơ 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )- =0 𝑑𝑡 𝜕(𝜃̇) 𝜕𝜃 Có: 𝑔 𝜃̈+ 𝜃 =− 𝐿 𝐴.𝜔2 𝐿 sin( 𝜔𝑡) 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔: 𝜃 = Ccos (𝛺t+𝛼)𝑣ớ𝑖 𝛺= √ 𝐴.𝜔2 𝐿(𝛺2 −𝜔2 ) sin(𝜔𝑡) 𝑔 𝐿 Nhận xét: Đồ thị dao động có dang 𝑑𝑎𝑜 độ𝑛𝑔 đ𝑖ề𝑢 ℎị𝑎 𝑝ℎ𝑖 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ - Khi trục chuyển động theo hình trịn phương trình chuyển động theo phương OX, OY có dạng , Tọa độ lắc: x=L.sin𝜃+A.cos(𝜔𝑡) y=L.cos𝜃+ A.sin(𝜔𝑡) - Hàm Lagrănggiơ lắc có dạng: L=T-U 𝑚 Có T= (𝑥̇ + 𝑦̇ ) - Có 𝑥̇ = L.𝜃̇ cos𝜃-A𝜔sin(𝜔𝑡) 𝑦̇ =-L 𝜃̇.sin𝜃+A𝜔.cos(𝜔𝑡) + 𝑚 T= ( 𝐿2 𝜃̇ (cos𝜃)2 − 𝐴 𝜔 𝐿 𝜃̇.cos𝜃 sin( 𝜔𝑡) + 2 ̇ 𝐴2 𝜔2 (sin( 𝜔𝑡)) + 𝐿2 𝜃̇ (sin𝜃)2 -2 A𝜔L 𝜃 sin𝜃 cos(𝜔𝑡) 𝐴2 𝜔2 (cos(𝜔𝑡))2 ) 𝑚 T= ( 𝐿2 𝜃̇ − 𝐴 𝜔 𝐿 𝜃̇ cos𝜃 sin( 𝜔𝑡) + 𝐴2 𝜔2 ̇ A𝜔L 𝜃 sin𝜃 cos(𝜔𝑡) ) + -U=mg (L.cos𝜃+ A.sin(𝜔𝑡)) 𝑚 L= (𝐿2 𝜃̇ + 𝐴2 𝜔2 )-𝑚𝐴 𝜔 𝐿 𝜃̇ ( cos𝜃 sin( 𝜔𝑡)+ sin𝜃 cos(𝜔𝑡) ) + mg L.cos𝜃 Phương trình Lagrănggiơ: 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 )- =0 𝑑𝑡 𝜕(𝜃̇) 𝜕𝜃 ( 𝑔 Có: 𝜃̈+( + 𝐿 𝐴.𝜔2 𝐿 sin( 𝜔𝑡)) 𝜃 = 𝐴.𝜔2 Nếu A Phương trình: Giải nghiệm > Phương trình: > Giải nghiệm: > Vẽ đồ thị : > Mơ dao động lắc có trục quay không cố định Tạo biến chạy i nguyên Trường hợp 2: Trục lắc chuyển dộng theo chiều dọc > > > > slnb := dsolve({deq2, theta(0) = 5, (D(theta))(0) = -.5}, theta(t), numeric); proc(x_rkf45) end; > odeplot(slnb, [t, theta(t)], .100, numpoints = 5000); > odeplot(slnb, [theta(t), (D(theta))(t)], 100, numpoints = 5000); Mô dao động lắc có trục quay khơng cố định Trường hợp 3: chuyển động quay > > > > > > > > > > > > > > Cửa sổ maplet ... quay khơng cố định Cơ sở lý thuyết dựa vào dao động lắc đơn đặc biệt trục khơng cố định thơng số vận tốc, li độ, phương trình dao động thay đổi - Con lắc có trục quay không cố định lắc phi tuyến,... định biểu thức tìm li độ, vận tốc lắc, gia tốc lắc giống phương pháp xác định li độ, vận tốc, gia tốc dao động lắc đơn có trục cố định Vị trí lắc = Vận tốc lắc = [X’+ Lcos(Ɵ)Ɵ’, Y’+ Lsin(Ɵ)Ɵ’]... tắt dần - Mô hình ảnh lắc: - Phân tích lắc có trục chuyển động phương: OX OY, trục OX nằm ngang, trục OY thẳng đứng, có phương trình dao động (trong g gia tốc hấp dẫn ) Từ hình vẽ xác định biểu