Tài Liệu Toán Chuyên Đề Viễn Thông Và Bài Tập

Tất cả tài liệu bài tập, bài giảng, bài giải Toán Chuyên Ngành Kĩ Thuật Viễn Thông bao gồm cáp phép biến đổi FOURIE, LAPLACE... Hàm biến số phức Số phức và các phép biến đổi trên trường số phức Thăng dư và ứng dụng Tích phân của hàm biến phức Chuỗi hàm phức Fourie Laplace Bài tập và lời giải

SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2006 =====(===== HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Tip theo chng trình toán hc đi cng bao gm gii tích 1, 2 và toán đi s. Sinh viên chuyên ngành đin t-vin thông còn cn trang b thêm công c toán xác sut thng kê và toán k thut.  đáp ng nhu cu hc tp ca sinh viên chuyên ngành đin t vin thông ca Hc vin, chúng tôi đã biên son tp bài ging Toán k thut t nm 2000 theo đ cng chi tit môn hc ca H c vin. Qua quá trình ging dy chúng tôi thy rng cn hiu chnh và b sung thêm đ cung cp cho sinh viên nhng công c toán hc tt hn. Trong ln tái bn ln th hai tp bài ging đc nâng lên thành giáo trình, ni dung bám sát hn na nhng đc thù ca chuyên ngành vin thông. Chng hn trong ni dung ca phép bin đi Fourier chúng tôi s dng min tn s f thay cho min ω . Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent chúng tôi gii thiu phép bin đi Z đ biu din các tín hiu ri rc bng các hàm gii tích. Tuy nhiên do đc thù ca phng thc đào to t xa nên chúng tôi biên son li cho phù hp vi loi hình đào to này. Tp giáo trình bao gm 7 chng. Mi chng cha đng các ni dung thit yu và đc coi là các công c toán hc đc lc, hiu qu cho sinh viên, cho k s đi sâu vào lnh vc vin thông. Ni dung giáo trình đáp ng đ y đ nhng yêu cu ca đ cng chi tit môn hc đã đc Hc vin duyt. Trong tng chng chúng tôi c gng trình bày mt cách tng quan đ đi đn các khái nim và các kt qu. Ch chng minh các đnh lý đòi hi nhng công c va phi không quá sâu xa hoc chng minh các đnh lý mà trong quá trình chng minh giúp ngi đc hiu sâu hn bn cht ca đnh lý và giúp ngi đc d  dàng hn khi vn dng đnh lý. Các đnh lý khó chng minh s đc ch dn đn các tài liu tham kho khác. Sau mi kt qu đu có ví d minh ho. Cui cùng tng phn thng có nhng nhn xét bình lun v vic m rng kt qu hoc kh nng ng dng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví d minh ho mang tính chuyên sâu v vin thông vì s hn ch ca chúng tôi v lãnh vc này và c ng vì vt ra khi mc đích ca cun tài liu. Th t ca tng Ví d, nh lý, nh ngha, đc đánh s theo tng loi và chng. Chng hn Ví d 3.2, nh ngha 3.1 là ví d th hai và đnh ngha đu tiên ca chng 3… Nu cn tham kho đn ví d, đnh lý, đnh ngha hay công thc nào đó thì chúng tôi ch rõ s th t c a ví d, đnh lý, đnh ngha tng ng. Các công thc đc đánh s th t theo tng chng. H thng câu hi ôn tp và bài tp ca tng chng có hai loi. Loi trc nghim đúng sai nhm kim tra trc tip mc đ hiu bài ca hc viên còn loi bài tp tng hp giúp hc viên vn dng kin thc mt cách sâu sc hn. Vì nhn thc ca chúng tôi v chuyên ngành in t Vin thông còn hn ch nên không tránh khi nhiu thiu sót trong vic biên son tài liu này, cng nh cha đa ra ht các công c toán hc cn thit cn trang b cho các cán b nghiên cu v chuyên ngành đin t vin thông. Chúng tôi rt mong s đóng góp ca các nhà chuyên môn đ chúng tôi hoàn thin tt hn tp tài liu này. Tác gi xin bày t li cám n t i PGS.TS. Lê Trng Vinh, TS Tô Vn Ban, đã đc bn tho và cho nhng ý kin phn bin quý giá và đc bit ti KS Nguyn Chí Thành ngi đã giúp tôi biên tp hoàn chnh cun tài liu. Chng 1: Hàm bin s phc 4 Cui cùng, tác gi xin bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã khuyn khích, đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài liu này. Hà Ni 5/2006 Tác gi Chng 1: Hàm bin s phc 5 CHNG I: HÀM BIN S PHC PHN GII THIU Gii tích phc là mt b phn ca toán hc hin đi có nhiu ng dng trong k thut. Nhiu hin tng vt lý và t nhiên đòi hi phi s dng s phc mi mô t đc. Trong chng này chúng ta tìm hiu nhng vn đ c bn ca gii tích phc: Lân cn, gii hn, hàm phc liên tc, gii tích, tích phân phc, chui s ph c, chui ly tha, chui Laurent…  nghiên cu các vn đ này chúng ta thng liên h vi nhng kt qu ta đã đt đc đi vi hàm bin thc. Mi hàm bin phc () ( ) (, ) (, )wfz fxiy uxyivxy==+= + tng ng vi hai hàm thc hai bin (, )uxy, (, )vxy. Hàm phc () f z liên tc khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy liên tc. () f z kh vi khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy có đo hàm riêng cp 1 tha mãn điu kin Cauchy-Riemann. Tích phân phc tng ng vi hai tích phân đng loi 2 …Mi chui s phc tng ng vi hai chui s thc có s hng tng quát là phn thc và phn o ca s hng tng quát ca chui s phc đã cho. S hi t hay phân k đc xác đnh bi s hi t hay phân k ca hai chui s thc này. T nhng tính cht đc thù ca hàm bin phc chúng ta có các công thc tích phân Cauchy. ó là công thc liên h gia giá tr ca hàm phc ti mt đim vi tích phân dc theo đng cong kín bao quanh đim này. Trên c s công thc tích phân Cauchy ta có th chng minh đc các kt qu: Mi hàm phc gii tích thì có đo hàm mi cp, có th khai trin hàm phc gii tích thành chui Taylor, hàm gi i tích trong hình vành khn đc khai trin thành chui Laurent. Bng cách tính thng d ca hàm s ti đim bt thng cô lp ta có th áp dng đ tính các tích phân phc và tích phân thc, tính các h s trong khai trin Laurent và phép bin đi Z ngc. Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent ta có th xây dng phép bin đi Z.Phép bin đi Z cho phép biu din dãy tín hiu s ri rc bng hàm gii tích.  hc tt ch ng này hc viên cn xem li các kt qu ca gii tích thc. NI DUNG 1.1. S PHC 1.1.1. Dng tng quát ca s phc S phc có dng tng quát zxiy=+ , trong đó , x y là các s thc; 1 2 −=i . x là phn thc ca z , ký hiu Re z . y là phn o ca z , ký hiu Im z . Khi 0y = thì zx = là s thc; khi 0x = thì ziy = gi là s thun o. S phc x iy− , ký hiu z , đc gi là s phc liên hp vi s phc zxiy=+ . Chng 1: Hàm bin s phc 6 Hai s phc 11 1 zxiy = + và 222 zxiy = + bng nhau khi và ch khi phn thc và phn o ca chúng bng nhau. 12 11 12 2 2 12 12 ,; x x zxiyz xiy zz y y = ⎧ =+ =+ = ⇔ ⎨ = ⎩ (1.1) Tp hp tt c các s phc ký hiu . 1.1.2. Các phép toán Cho hai s phc 11 1 zxiy=+ và 222 zxiy = + , ta đnh ngha: a) Phép cng: S phc () ( ) 12 12 zxx iyy=++ + đc gi là tng ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 12 zz z=+. b) Phép tr: Ta gi s phc zxiy−=−− là s phc đi ca zxiy = + . S phc () ( ) 1212 12 ()zz z x x iy y=+− = − + − đc gi là hiu ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 12 zz z=−. c) Phép nhân: Tích ca hai s phc 1 z và 2 z là s phc đc ký hiu và đnh ngha bi biu thc: () ( ) ( ) ( ) 12 1 1 2 2 12 12 12 12 zzz xiy x iy xx yy ixy yx==+ += − + + . (1.2) d) Phép chia: Nghch đo ca s phc 0zxiy = +≠ là s phc ký hiu 1 z hay 1 z − , tha mãn điu kin 1 1zz − = . Vy nu 1 ''zxiy − = + thì 22 22 ''1 ',' ''0 xx yy x y xy yx xy x yxy −= ⎧ − ⇒= = ⎨ += ++ ⎩ . (1.3) S phc 1 12 12 12 12 12 22 22 22 22 x xyy yxxy zzz i x yxy − +− == + ++ đc gi là thng ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 1 2 z z z = ( 2 0z ≠ ). Ví d 1.1: Cho zxiy=+ , tính 2 ,zzz. Gii: () () () 2 222 2zxiy xyixy=+ = − + , 22 zz x y = + . Ví d 1.2: Tìm các s thc , x y là nghim ca phng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 51 23311 x yixii i++−+ +=−. Gii: Khai trin và đng nht phn thc, phn o hai v ta đc 2523 7 3, 456 11 5 xy xy xy ++= ⎧ ⇒=− = ⎨ +−=− ⎩ . Chng 1: Hàm bin s phc 7 Ví d 1.3: Gii h phng trình 1 21 ziw zw i += ⎧ ⎨ + =+ ⎩ . Gii: Nhân i vào phng trình th nht và cng vào phng trình th hai ta đc () ( ) ( ) 12 2 12 43 212 255 ii ii iz i z i +− ++ +=+⇒= = = + , () 13 3 1 55 ii wiz i −+ + ⎛⎞ ⇒= −= =− ⎜⎟ ⎝⎠ . Ví d 1.4: Gii phng trình 2 250zz++=. Gii: () ()()( )( ) 222 2 25 1 4 1 2 12 12zz z z i z iz i++=+ +=+ − =+− ++ . Vy phng trình có hai nghim 12 12, 12ziz i = −+ =−− . 1.1.3. Biu din hình hc ca s phc, mt phng phc Xét mt phng vi h ta đ trc chun Oxy , có véc t đn v trên hai trc tng ng là i  và j  . Mi đim M trong mt phng này hoàn toàn đc xác đnh bi ta đ (; ) x y ca nó tha mãn OM x i y j=+  . S phc zxiy=+ cng hoàn toàn đc xác đnh bi phn thc x và phn o y ca nó. Vì vy ngi ta đng nht mi đim có ta đ (; ) x y vi s phc zxiy = + , lúc đó mt phng này đc gi là mt phng phc. 1.1.4. Dng lng giác ca s phc Trong mt phng vi h ta đ trc chun Oxy , nu ta chn Ox   làm trc cc thì đim (; ) M xy có ta đ cc () ;r ϕ xác đnh bi ( ) ,,rOM OxOM ϕ ==   tha mãn cos sin xr yr ϕ ϕ = ⎧ ⎨ = ⎩ Ta ký hiu và gi 22 zrOM x y== = + (1.4) Argz 2 ,k  k ϕ = +∈  (1.5) là mô đun và argument ca s phc zxiy = + . x x M y y O i   j   r ϕ x x M y y O i   j   Chng 1: Hàm bin s phc 8 Góc ϕ ca s phc 0zxiy=+ ≠ đc xác đnh theo công thc sau ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +=ϕ =ϕ 22 cos tg yxx/ y/x (1.6) Giá tr ca Argz nm gia π− và π đc gi là argument chính, ký hiu arg z . Vy arg z π π − <≤. T công thc (1.4) ta có ( ) cos sinzxiyr i ϕ ϕ =+ = + (1.7) gi là dng lng giác ca s phc. S dng khai trin Maclaurin có th chng minh đc công thc Euler cos sin i ei ϕ ϕ ϕ =+ (1.8) Do đó cos , sin 22 ii ii ee ee i ϕ ϕϕϕ ϕϕ − − +− == . (1.9) T (1.7)-(1.8) ta có th vit s phc di dng m i zze ϕ = (1.10) Các tính cht ca s phc ̇ 11 1212 1212 2 2 ;; zz zz zz zz zz z z ⎛⎞ +=+ = = ⎜⎟ ⎝⎠ . (1.11) ̇ Re ; Im 22 zz zz zz i +− == . zzz ∈ ⇔= . (1.12) ̇ 12 12 12 12 12 arg arg Arg Arg 2 zz zz zz zz zzk π ⎧⎧ == ⎪⎪ =⇔ ⇔ ⎨⎨ ==+ ⎪⎪ ⎩⎩ (1.13) ̇ 2 zz z= , 2 1 z z zz z z == , 112 2 2 2 zzz z z = . (1.14) ̇ 1 1 12 1 2 1 2 1 2 22 ,, z z zz z z z z z z zz ==+≤+ . (1.15) ̇ () 1 12 1 2 1 2 2 Arg Arg Arg , Arg Arg Arg z zz z z z z z ⎛⎞ =+ =− ⎜⎟ ⎝⎠ (1.16) ̇ iy x z + = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ⇒ zy zx và yxz +≤ (1.17) Chng 1: Hàm bin s phc 9 Ví d 1.5: a) Tp các s phc z tha mãn 23z − = tng ng vi tp các đim có khong cách đn (2;0)I bng 3, tp hp này là đng tròn tâm I bán kính 3. b) Tp các s phc z tha mãn 24zz − =+ tng ng vi tp các đim cách đu (2;0)A và (4;0)B − đó là đng trung trc ca đon A B có phng trình 1x =− . 1.1.5. Phép nâng ly tha, công thc Moivre Ly tha bc n ca s phc z là s phc n n zzzz=    lÇn T công thc (1.15)-(1.16) ta có công thc Moivre: () cos sin , Arg 2 n n zz nin z k ϕ ϕϕπ =+ =+. (1.18) c bit, khi 1z = ta có () ( ) cos sin cos sin n inin ϕϕ ϕ ϕ +=+ (1.18)' Ví d 1.6: Tính () 10 13i−+ . Gii: () 10 10 10 2 2 20 20 13 2cos sin 2cos sin 33 3 3 ii i π πππ ⎡⎤ ⎛⎞⎛ ⎞ −+ = + = + ⎜⎟⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ 10 10 9 9 22 13 2cos sin 2 2 32 33 22 iii ππ ⎛⎞ ⎛⎞ =+=−+=−+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ . 1.1.6. Phép khai cn S phc ω đc gi là cn bc n ca z , ký hiu n z=ω , nu z n =ω . Nu vit di dng lng giác: )sin(cos,)sin(cos θ + θ ρ = ω ϕ + ϕ = iirz thì ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ π+ϕ =θ =ρ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈π+ϕ=θ =ρ ⇔ω= n k r kkn r z n n n 2 ,2  . (1.19) Vì Argument ca mt s phc xác đnh sai khác mt bi s nguyên ca π2 nên vi mi s phc 0≠z có đúng n cn bc n . Các cn bc n này có cùng mô đun là n r , Argument nhn các giá tr n k n π + ϕ =θ 2 ng vi 1, ,1,0 − = nk , vì vy nm trên đnh ca n-giác đu ni tip trong đng tròn tâm O bán kính n r . Ví d 1.7: Gii phng trình 01 4 =+z Gii: Nghim ca phng trình là cn bc 4 ca π + π=− sincos1 i tng ng là: x y 0 z 1 z 2 z 3 z O 1 i 4 π Chng 1: Hàm bin s phc 10 2 1 4 sin 4 cos 0 i iz + = π + π = , 2 1 01 i izz + − == , 2 1 02 i zz − − =−= , 2 1 03 i izz − =−= . 1.1.7. Các khái nim c bn ca gii tích phc 1.1.7.1. Mt cu phc Trong 1.1.3 ta đã có mt biu din hình hc ca tp các s phc  bng cách đng nht mi s phc iy x z += vi đim M có ta đ );( yx trong mt phng vi h ta đ Oxy . Mt khác nu ta dng mt cu )( S có cc nam tip xúc vi mt phng Oxy ti O, khi đó mi đim z thuc mt phng Oxy s tng ng duy nht vi đim ω là giao đim ca tia Pz và mt cu )( S , P là đim cc bc ca )( S . Vy mi đim trên mt phng Oxy đc xác đnh bi mt đim trên mt cu )( S ngoi tr đim cc bc P. Ta gán cho đim cc bc này s phc vô cùng ∞ . Tp hp s phc  thêm s phc vô cùng đc gi là tp s phc m rng  . Nh vy toàn b mt cu )( S là mt biu din hình hc ca tp s phc m rng. Quy c: ∞=−∞∞=∞+≠∞=∞≠∞= zzzzz z ,,)0(,)0( 0 . 1.1.7.2. Lân cn, min a. Lân cn Khái nim −ε lân cn ca  ∈ 0 z đc đnh ngha hoàn toàn tng t vi −ε lân cn trong 2  , đó là hình tròn có tâm ti đim này và bán kính bng ε . ( ) { } ε<−∈= ε 00 zzzzB  (1.23) −N lân cn ∈∞ : ( ) { } { } ∞∪>∈=∞ NzzB N  (1.23)’ b. im trong, tp m Gi s E là mt tp các đim ca mt phng phc hoc mt cu phc. im 0 z đc gi là đim trong ca E nu tn ti mt lân cn ca 0 z nm hoàn toàn trong E . Tp ch gm các đim trong đc gi là tp m. • • ω z x O y P )( S [...]... ch z ch 2 z sh 2 z 2ch z sh z , ch 2 z 1.3 PHÉP BI N HÌNH B O GIÁC Nhi u v n trong khoa h c và th c ti n (ví d bài toàn n mìn, bài toán thi t k cánh máy nào ó mà ta ã bay…) a n bài toán: Tìm phép bi n hình b o giác bi n mi n D thành mi n bi t ho c d dàng kh o sát h n Trong m c này ta a ra vài nguyên lý và ph ng pháp tìm phép bi n hình trong nh ng tr ng h p n gi n 1.3.1 nh ngh a phép bi n hình b o... iy thì ph n th c o hàm riêng t i ( x, y ) và th a mãn i u ki n Cauchy- u x, y và ph n o v x, y có các Riemann u x, y x u x, y y Ng 2z v x, y y v x, y x (1.34) c l i, n u ph n th c u x, y , ph n o v x, y kh vi t i ( x, y ) và th a mãn i u ki n Cauchy-Riemann thì w f z kh vi t i z u x, y x f' z Ví d 1.8: Hàm w t i m i i m và w' z z2 x2 y2 2 x i2 y i 2 xy x iy và i v x, y x v x, y y Ví d 1.7 có 2z 13... lân c n c a z1 u có ch a các i m thu c E và các i m không thu c E T p h p các i m biên c a E z Hình tròn m t p m có biên l n l z c g i là biên E , ký hi u E z0 t là z r và ph n bù c a hình tròn m z Hình tròn óng z z0 z z0 r và z z z0 z r z z0 r là các r không ph i là t p m vì các i m biên z z 0 r không ph i là i m trong d T p liên thông, mi n c g i là t p liên thông n u v i b t k T p con D c a m t... a tích phân không ph thu c vào ng l y tích phân t A n B Các nh lý sau cho i u ki n c n và tích phân ph c không ph thu c vào ng l y tích phân n i hai u mút c a ng I x 1.4.2 2 3x 2 2 2 x 3 x 2 3 dx i 2 x 3x 2 3 x2 3x 2 2 dx nh lý tích phân Cauchy tích phân c a hàm f z trong mi n D không ph thu c nh lý 1.6: i u ki n c n và ng l y tích phân là tích phân c a f z d c theo m i vào ng cong kín b t k (không... k yk 1 ; k 1, 2, , n n Sn f zk k (1.48) k 1 c g i là t ng tích phân c a hàm f z trên L ng v i phân ho ch và cách ch n các i m i ng L, cách chia L b i các i m z k và di n trên T ng này nói chung ph thu c vào hàm f z , cách ch n các i m k 0 t ng S n ti n t i gi i h n I N u khi max z k 1 k n L và ch n các i m k không ph thu c cách chia c g i là tích phân c a hàm f z d c theo thì I ng ng cong L t A n... x 1 , do ó nh c a z 0 là 0 thì nh c a z0 z 1 z0k z0 z 1 z0 1 1 và z z0 x ng t ví d 1.11 và công th c (1.47) ta có th xét hàm phân z0 k 1 là w z0 k z0 1 qua z z0 i x ng v i k Ví d 1.12: Tìm phép bi n hình b o giác w w 0 và tính ch t b o toàn ó theo (1.47) ta có th xét hàm phân tuy n tính d ng thì w x ei V y w 0 M t khác w z 0 /2 /6 0 và w 0 f z bi n hình qu t 0 arg z 1 th a mãn w i 0 arg z 3 thành... z2 I 1.4.6 B t T f z 2 i cos z z 0 cos z dz z C 1 Các i m z 0 và z (1.56)' và (1.57)' ta có: ng 1: Hàm bi n s ph c C cos z dz z2 C cos z dz z 1 u n m trong hình tròn gi i h n b i C Áp d ng công th c 2 i cos z ' ng th c Cauchy và z 0 2 i cos z z 1 2 i 1 cos1 nh lý Louville ng tròn C R : z công th c (1.58) suy ra r ng, n u a R n m trong D và M v i m i z C R thì n! 2 f (n) a f z n 1 z a CR dz n! M 2R... K Ch f1 z T ng cn z a ng 1: Hàm bi n s ph c n c u và f 2 z c g i là ph n n 0 n 1 n z a c g i là n ph n chính c a chu i Laurent (1.66) nh lý 1.19 ( nh lý t n t i và duy nh t c a chu i Laurent): 1 M i hàm f z gi i tích trong hình vành kh n K: r z a R u có th khai tri n thành chu i Laurent (1.66) 2 Ng c l i, chu i b t k cn z a có d ng n h i t trong hình vành kh n K: n r z a R; 0 r có hàm t ng là f z thì... d ng (1.17) ta có max max 1 k n zk 0 1 k n max 1 k n Vì v y tích phân ph c (1.49) t n t i khi và ch khi hai tích phân phân (1.50) t n t i và có ng th c 24 ng lo i 2 có t ng tích Ch ng 1: Hàm bi n s ph c f z dz udx vdy i AB N u hàm w t i hai tích phân AB vdx udy (1.51) AB f z u x, y iv x, y liên t c trên D và cung AB tr n t ng khúc thì t n ng lo i 2 v ph i c a (1.51) do ó t n t i tích phân ph c t ng... mi n n liên D và có biên là D, D, Gi s là ng f z gi i tích trong D và liên t c trong D , bi n hình 1-1 D lên sao cho khi z ch y trên D theo chi u d ng, t ng ng w ch y trên c ng theo chi u d ng, thì hàm w f z bi n hình b o giác n tr hai chi u t D lên tr n t ng khúc, b ch n N u w c S b o toàn mi n nh lý 1.5: N u hàm w f z gi i tích, khác h ng s trên mi n D thì nh f D c ng là m t mi n M t vài chú ý khi . hc đi cng bao gm gii tích 1, 2 và toán đi s. Sinh viên chuyên ngành đin t-vin thông còn cn trang b thêm công c toán xác sut thng kê và toán k thut.  đáp ng nhu cu hc. NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Tip theo chng trình toán hc đi cng bao. HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2006 =====(===== HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG