Trng THCS Tnh Bc Các phép toán về căn bậc hai Rút gọn biểu thức A. Các công thức biến đổi căn thức. a. 2 A A= b. . ( 0; 0)AB A B A B= c. ( 0; 0) A A A B B B = > d. 2 ( 0)A B A B B= e. 2 ( 0; 0)A B A B A B= ; 2 ( 0; 0)A B A B A B = < f. 1 ( 0; 0) A AB AB B B B = i. ( 0) A A B B B B = > k. 2 2 ( ) ( 0; ) C C A B A A B A B A B = m m. 2 ( ) ( 0; 0; ) C C A B A B A B A B A B = m n. Vi a,b l cỏc s dng, ta cú : a b a b< < B.Các dạng bài tập cơ bản: 1.Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định: Dng 1: ( )A x có nghĩa khi cú cỏc giỏ tr ca x tha món ( )A x 0 Vd: 4 2x Dng 2: ( )A x = ( ). ( )B x C x có nghĩa khi cú cỏc giỏ tr ca x tha món ( ) 0 ( ) 0 B x C x hoc ( ) 0 ( ) 0 B x C x Vd: a/ 2 3( 3x x hoc 3)x b/ 2 1 1 2011 1 4 ( ) 2 2 x x Dng 3: ( )A x = ( ) ( ) B x C x có nghĩa khi cú cỏc giỏ tr ca x tha món ( ) 0 ( ) 0 B x C x > hoc ( ) 0 ( ) 0 B x C x < Vd: 3 2 ( ) 3 2 3 x x > 2.Tìm căn bậc hai của một số hoặc m t biểu thức. / / 2 2 . 2 2 A B C D C D A B + + + + = = Vi C>0, D>0 v C+D=A / Vd: a. 2 3 1 4 2 3 3 2 3.1 1 ( 3 1) 2( 3 1) 2 3 2 2 2 2 2 + + + + + + + = = = = = b. 2 6 2 5 1 2 1.5 5 (1 5) 1 5 (1 5) 5 1 = + = = = = 3/ So sỏnh hai biu thc cha cn bc hai: cho 0, 0A B , ta cú 2 2 A B A B < < Vd: So sỏnh 101 199 + v 102 198 + s: 101 199 + < 102 198 + 4/ Rỳt gn mt biu thc: 1/ A= 2 3 2x x x + s: A= 4 2x khi x > 0 2/B= a ab b b s: B=0 khi b > 0, B= 2 ab khi b < 0 3/ 2 3 3 ( 1 ): ( 1) 1 1 D x x x = + + + s:D= 1 x khi 1< x < 1 4/ E= 2 1 10 ( ) : ( 2 ) 4 2 2 2 x x x x x x x + + + + + s: E= 1 2 x khi 0 4x 5/ Tớnh giỏ tr ca biu thc: A= 2 15 15 2x x , vi 3 5 5 3 x = + = 8 15 15 s: A= 54 6/Gii cỏc pt sau : * 0A A A B = = B * 2 0B A B A B = = Vd: a/ 2 2 7 5 1x x x + = s: x =1 b/ 5 3 2 4x x+ = + s: 2x = Gii phỏp ụn tp vo 10 - Nm hc 2011 1 hoc B 0 Trng THCS Tnh Bc c/ 5 1 2 2 0 2 1 5 x x x x + = + s: x=36 7/Gii cỏc bpt sau : a/ 1 1x < s: 0 4x < b/ 1 3 x x + s: 1 0 4 x< 8/Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc : a/ Mun tỡm GTNN ca biu thc f(x) , ta chng t rng f(x) m ( m l hng s ) x v ch ra rng du = c xy ra. b/ Mun tỡm GTLN ca biu thc f(x) , ta chng t rng f(x) m ( m l hng s ) x v ch ra rng du = c xy ra. c/ A > B AC > BC, vi C > 0 ; A > B AC < BC, vi C < 0 d/ A > B v AB > 0 1 1 A B < 1/ Cho 2008y x x= .Tỡm GTNN ca y. s: 8031 4 ti x= 8033 4 2/ Cho 1 1 y x x = + . Tỡm GTLN ca y. s: 4 3 ti x= 1 4 3/ y = 3 3 1 x Tỡm GTNN v GTLN ca y, 1 1 16 4 x s: Miny = 1 khi 1 16 v Maxy = 3 khi 1 4 9/Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc cú giỏ tr nguyờn. 1/ 1x A x + = s: x = 1 2/ B = 3 1 x x s: { 0;4;16}x C/ B I T P TNG HP Câu 1: Cho biểu thức A = 1 1 4 2 2 x x x x + + + , với x 0 và x 4. 1/ Rút gọn biểu thức A. 2/ Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25. 3/ Tìm giá trị của x để A = -1/3. Cõu 2:Cho biu thc: + + + = xxxx x x xx P 1 2 1 2 vi x >0 1.Rỳt gn biu thc P 2.Tỡm giỏ tr ca x P = 0 1/ ĐK: x> 0 ta cú P = ( xxx x x xx + + + 2 1 ).(2- x 1 ) = x x x xxx 12 . 1 + + = )12( xx . 2/. P = 0 )12( xx x = 0 (loi) , x = 4 1 Vậy P = 0 x = 4 1 . Câu 3: . Cho biểu thức A = 1 1 1 1 x x x x x + + 1.Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4 3.Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1 Gii phỏp ụn tp vo 10 - Nm hc 2011 2 Trường THCS Tịnh Bắc 1. §kx®: x≥ 0, x ≠ 1 , ta có A = 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x + − − + − = = − + + − + − − 2. Víi x = 9/4 => 3 2 3 3 1 2 = = − A . 3. Víi A< 1 => 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x − + 〈 ⇔ − 〈 ⇔ 〈 ⇔ 〈 ⇔ − 〈 − − − − ⇔ x< 1 VËy ®Ó A < 1 th× 0 ≤ x < 1. Câu 4. Cho biểu thức a 1 1 2 K : a 1 a 1 a a a 1 = − + ÷ ÷ − − − + a) Rút gọn biểu thức K. b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0. a)Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 a 1 1 2 K : a 1 a( a 1) a 1 ( a 1)( a 1) = − + ÷ ÷ − − + + − a 1 a 1 : a( a 1) ( a 1)( a 1) − + = − + − a 1 a 1 .( a 1) a( a 1) a − − = − = − b) a = 3 + 2 2 = (1 + 2 ) 2 a 1 2 ⇒ = + , ta có 3 2 2 1 2(1 2) K 2 1 2 1 2 + − + = = = + + c) a 1 0 a 1 K 0 0 a 0 a − < − < ⇔ < ⇔ > a 1 0 a 1 a 0 < ⇔ ⇔ < < > Câu 5 Cho biểu thức 2 2 1 1 a a a a P a a a + + = − + − + (với a>0) a/Rút gọn P. b/Tìm giá trị nhỏ nhất của P. a/ (với a>0) 2 2 2 2 ( 1)( 1) (2 1) 1 1 2 1 1 1 1 a a a a a a a a a a P a a a a a a a a a a a + + + − + + = − + = − + = + − − + = − − + − + b/Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 2 2 1 1 1 1 1 2 . ( ) ( ). 2 4 4 2 4 P a a a a a − = − = − + − = − + Vậy P có giá trị nhỏ nhất là 1 4 − khi 1 1 1 0 < => a 2 2 4 a a − = = <=> = C©u 6: Cho biÓu thøc: A = 2 2 1 3 11 3 3 9 x x x x x x + − − − + − − a/ Rót gän biÓu thøc A. b/ T×m x ®Ó A < 2. c/ T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn. a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x x 1 3 11x 2x(x 3) (x 1)(x 3) 3 11x A x 3 3 x x 9 x 9 x 9 x 9 2x 6x x 4x 3 3 11x 3x 9x 3x(x 3) 3x x 9 x 9 (x 3)(x 3) x 3 + − − + + − = − − = + − = + − − − − − − + + + − + + + = = = − − + − − b. 3x 3x A 2 2 2 0 x 3 x 3 < ⇔ < ⇔ − < − − 3x 2x 6 x 6 0 0 6 x 3 x 3 x 3 − + + ⇔ <⇔ <⇔−<< − − Vậy – 6 < x < 3 và x khác – 3 { } 3x 3x 9 9 9 9 c.A 3 Z Z x 3 9; 3; 1;1;3;9 x 3 x 3 x 3 x 3 − + = = = + ∈ ⇔ ∈ ⇔ − ∈− − − − − − − Giải pháp ôn tập vào 10 - Năm học 2011 3 Trng THCS Tnh Bc 1/ x 3 1 x 4 = = (t/m) 2/ x 3 1 x 2 = = (t/m) 3/ x 3 3 x 6 = = (t/m) 4/ x 3 3 x 0 = = (t/m) 5/ x 3 9 x 12 = = (t/m) 6/ x 3 9 x 6 = = (t/m) Vậy x { - 6; 0; 2; 4; 6; 12 } thì A nguyên. Câu 7: Cho biu thc x 2 x 1 3 x 1 1 B : 1 x 1 x 3 ( x 1)( x 3) x 1 + + = + ữ ữ ữ 1.Rỳt gn biu thc B. 2.Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc B nhn giỏ tr nguyờn . 2/ a)KX: x 0, x 1,x 4, x 9 ; ta cú ( x 2)( x 3) ( x 1)( x 1) 3 x 1 x 2 B : ( x 1)( x 3) x 1 + + + = x 3 x 2 x 6 x 1 3 x 1 x 1 ( x 1)( x 3) x 2 + + + = = 2 . x - 2 b) 2 B x 2 = nguyờn { } x 2 2 Ư( )= -1 ; 2;1;2 x 2 1 x 3 x 9 (lo x 2 1 x 1 x 1 (lo x 16(nh x 2 2 x 4 x 0 (nh x 2 2 x 0 ại) ại) ận) ận) = = = = = = = = = = = = Vy { } x 0 ; 16 thỡ B nguyờn . Câu 8. Cho A = 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x x x x x + + + + với x 0 , x 1. a) Rút gọn A( 2 5 3 x x + ). b)Tìm GTLN của A. ( ) ( ) + = = = + + ữ + + + + 17 5 3 2 5 17 17 5 ; max max 3 min x=0 3 3 3 3 x x A A x x x x x Câu 9. Cho A= 1 2 2 1 2 : 1 1 1 1 x x x x x x x x ữ ữ ữ + + với x 0 , x 1 a)Rút gọn A.( 1 1 x x + ) b)Tìm x để A Z { } { } { } 1 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 0 1 0 + = = = = + + + + < . A nguyên nguyên đặt ; ; ; x n A n Z x n x x x x n n x x c)Tìm x để A đạt GTNN . 1 2 2 1 1 1 1 1 = = + + + + ;A min max ( )min x A x x x x (MinA = -1 khi x = 0) Câu 10Cho biểu thức D = + + + + ab ba ab ba 11 : ++ + ab abba 1 2 1 a) Tìm đkx của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a = 32 2 c) Tìm GTLN của D a) - Điều kiện xác định của D là 1 0 0 ab b a D = + ab aba 1 22 : ++ ab abba 1 = 1 2 + a a b) a = 13)13( 1 32(2 32 2 2 +=+= + = + a Vậy D = 34 232 1 32 2 322 = + + c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có 112 + Daa Vậy giá trị của D là 1 C. Bi tp t hc : Cõu1: Thc hin phộp tớnh : a. 2 5 3 3 5 2 10 2 10 10 2 10 2 1 2 1 5 1 5 1 A + + = + + + s: 1 10A = Gii phỏp ụn tp vo 10 - Nm hc 2011 4 Trường THCS Tịnh Bắc b. 6 3 3 2 3 6 3 ( ): 3 3 3 2 3 3 2 6 3 B − − = − + + + − Đs:B=-1 c. 3 21 7 3 10 ( 7 ) :( ) 7 3 21 3 21 7 21 C − = + + − + + − Đs: 3 7C = − Câu 2: Tính giá trị của các biểu thức : . ( 1): ( 1)a A x y x y= + − − + Với 3 1 6 3 , 6 1 6 1 x y + + = = + − Đs: 6A = − b. 2 2 3 2B x xy y = − + với 3 2 3 2 , 3 2 3 2 x y + − = = − + Đs: 144 20 6B = − Câu 3: 1/ Cho 36 6 5 30 x A x x x x − = − − + a. Tìm đk của x để A xđ. ( 0, 5x x≥ ≠ và 36x ≠ ) b. Tìm giá trị của x để A = 0(không có) 2/ Cho 2 2 2 2 x y x y x y B x y x y x y + − + = − + − − + a. Tìm đk của x để B xđ. ( 0, 0x y≥ ≥ và x y≠ ) b.Rút gọn B(B= x y x y + − ) c.Tính giá trị của B khi 4 2 3x = + và y = 2 . Hãy trục căn thức ở mẫu của kết quả vừa tìm được.( B= 3 2 + ) 3/ Cho 4 1 2 2 (1 ) : (1 ) 1 4 1 4 2 1 x x x x C x x x − + = − − − − − − a. Tìm đk của x để C xđ. ( 1 0, 4 x x > ≠ ) b.Rút gọn C (C= 1 2 x ) c. Tính giá trị của x để 2 C C= ( không tìm được x ) 4/ ( ) 4 1 2 1 : 1 1 1 1 x x x D x x x x x = + − − − ÷ ÷ − + + − a. Tìm đk của x để D xđ. ( 0, 1x x≥ ≠ ) b.Rút gọn D (D= 1x − ) c. Tính giá trị của x để D < 1 ( 0 4x≤ < và 1x ≠ ) 5/ Cho 2 1 2 : 1 1 1 1 x x x E x x x x x + + = − − ÷ ÷ ÷ ÷ − − + + a. Tìm đk của x để E xđ. ( 0, 1x x≥ ≠ ) b.Rút gọn E (E= 1 1x − ) c. Tính E khi 5 2 3x = + Đs: 3 1 2 E − = 6/ Cho ( ) 3 1 1 1 1 : 1 1 x x x x x F x x x x x − − + = + − ÷ ÷ ÷ ÷ − + + a. Tìm đk của x để F xđ. ( 0, 1x x> ≠ ) b.Rút gọn F (F= 1 (1 )x x − ) 7. Cho 2 2 2 1 1 1 : 1 1 1 x x G x x x x x x + + = − ÷ ÷ + − + − − a. Tìm đk của x để G xđ. ( 0, 1x x≥ ≠ ± ) b.Rút gọn G (G= 2x x− − ) c. Tìm giá trị của x để G có GTNN. Tìm GTNN ấy.( 9 4 − khi 1 4 ) 8. Cho 2 2 1 1 x x x x y x x x + + = + − − + a. Tìm đk của x để y xđ. ( 0x > ) b.Rút gọn y (y = x x − ) c. Tìm giá trị của x để y = 2 ( x = 4 ) d. Chứng minh rằng với x > 1 thì 0y y − = ( 1 1 1 0x x x> ⇒ > ⇒ − > vậy 0y y− = ) e. Tìm GTNN của y. Đs: 1 1 4 4 khi− Giải pháp ôn tập vào 10 - Năm học 2011 5 Trường THCS Tịnh Bắc 9. Cho ( ) 2 1 1 1 2 : 1 1 1 1 x x x x x x x K x x x x x x x + − + − = − + − − ÷ ÷ + + − − − a.Tìm đk của x để K xđ. ( 1 0, 1, 4 x x x> ≠ ≠ ) b.Rút gọn K (K= 1 x x x + + ) 10. Cho 2 1 1 1 . 1 1 x x x L x x x x x x x − + = − − − ÷ + + + + a. Tìm đk của x để L xđ. ( 0x > ) b.Rút gọn L (L= 1 x x + ) c. Tìm giá trị của x để L 3≥ ( 1 0 4 x< ≤ ) d. Tìm các giá trị nguyên của x để L cũng có giá trị nguyên Đs: x = 1 11. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 : 2 1 1 1 1 1 x x x M x x x x x x x − = − + − + − − − + a. Tìm đk của x để M xđ. ( 0, 1x x > ≠ ) b.Rút gọn M (M= ( ) 2 1x x − ) c. Tìm giá trị của x để 1M x= + Đs: 1 9 x = 12. Cho 2 1 2 1 . 1 1 2 1 x x x x x x x x N x x x x + − + − − = + − ÷ ÷ − − − a. Tìm đk của x để N xđ. ( 1 0, 1, 4 x x x≥ ≠ ≠ ) b. Cmr khi N xác định thì 1 1 x N x x + = + + c. Tính giá trị của x để 2 3 N > Đs: 1 0, 1, 4 x x x≥ ≠ ≠ d. Tìm GTLN của N. ( 1 khi x = 0 ) 13. Cho ( ) ( ) 2 4 2 2 4 : 8 . 4 4 2 8 x x x x x P x x x x x x x − + − − + = + + − − − + a. Tìm đk của x để P xđ. ( 0, 4x x≥ ≠ ) b.Rút gọn P ( P= 2 2 x x + ) c.Tìm giá trị của x để P có GTNN.Tìm GTNN ấy.( 0 khi 0x = )d. Tìm giá trị của x để P > 1 Đs: x > 4 14. Cho 1 1 1 1: : a b a b Q a a a b b b a b − + = − − − ÷ ÷ + a. Tìm đk của x để Q xđ. ( 0, 0,a b a b > > ≠ ) b.Rút gọn Q ( Q= 1a a − ) c. Tìm các giá trị của a và b để Q < 1 5 − Đs: 25 0 36 a < < d. Tìm các giá trị của a và b để Q = 2Q + 3 Đs: 1 16 a = và b > 0 15.Cho 2 2 2 4 3 1 3 : 3 1 1 3 x x x x W x x x x + − − − = + − + ÷ ÷ + + a. Tìm đk của x để W xđ. ( 1 0, 4 x x > ≠ ) b. Cmr khi W xác định thì 1 3 x W − = c.Tìm giá trị của x để W < 0 Đs: 1 0 1, 4 x x< < ≠ 16. Cho 1 1 : . 1 2 1 1 x x S x x x x x x x x = + ÷ ÷ − − + − + a. Tìm đk của x để S xđ. ( 0, 1x x > ≠ ) b.Rút gọn S ( S = 1 1x x− + ) c. Tìm giá trị của x để S có GTLN. Tìm GTLN ấy.( 4 3 khi 1 4 ) Giải pháp ôn tập vào 10 - Năm học 2011 6 Trng THCS Tnh Bc 17. Cho 2 4 1 2 1 : 1 1 2 1 2 1 x T x x x x x x x x x = + ữ + + + + + + a. Tỡm k ca x T x. ( 0, 1x x > ) b.Rỳt gn T( T= ( ) 2 1 1 x x x + ) 18. Cho 3 3 3 1 1 1 2 1 2 x x x U x x x x + + = + + + a. Tỡm k ca x U x. ( 0, 1x x ) b.Rỳt gn U (U= 3 1 x x )c. Tỡm giỏ tr ca x 1U = ( 1 16 x = ) d. Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x U cng cú giỏ tr nguyờn s: { } 0;4;16x 19. Cho 1 2 2 24 12 . 12 3 4 2 6 3 6 13 x x x x X x x x x + = + + ữ ữ + + a. Tỡm k ca x X x. ( 0, 4x x ) b. Cmr khi X xỏc nh thỡ 2 2 X x = + c. Tỡm giỏ tr ca x 4 6 3 X x < s: 4 4 25 x < < 20. Cho 1 1 1 2 1 1 4 4 1 . . 4 1 4 1 2 1 2 2 x x x x Y x x x x x x + + = + ữ ữ ữ ữ + + a. Tỡm k ca x Y x. ( 1 0, 4 x x > ) b.Cmr khi Y xỏc nh thỡ nú khụng ph thuc vo bin x .( Y = - 1 ) c. Gii phng trỡnh 1 1 4 Y Y x x x + = + + s: x = 4 21. Cho 7 2 7 : 49 7 7 7 x x x x C x x x x x x = + ữ ữ + + a. Tỡm k ca x C x. ( 49 0, 49, 4 x x x > ) b. Cmr vi cỏc iu kin tỡm c biu thc khụng ph thuc vo bin x . s: - 1 c. Tỡm giỏ tr ca x 2 3 1 C x = + ( 4 2 3x = ) 22.Cho A = 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x + + + + + + với x 0 , x 1. a . Rút gọn A. A = 1 x x x + + b. Tìm GTLN của A . = + + + ữ ữ + + + + + = = = = ữ 1 1 1 min min 1 1 1 1 1 min 2 1. 1 x x khix b) x = 0 thì A = 0 x 1 x 0 thì A = ; A max x x x x x x x 1 Theo bất đẳng thức Co si : x x MaxA = 3 x x 23/Cho biểu thức: xx x x T + + = 1 1 1 1 1 42 3 2 1.Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T 2. Tìm giá trị lớn nhất của T . 1 2 1 22 1 2 1 42 233 2 ++ = = + = xxx x x x x T Vy Max T = 2 khi x = 0 Gii phỏp ụn tp vo 10 - Nm hc 2011 1/Điều kiện: 1;0 xx 2/ T lớn nhất khi 1 2 ++ xx nhỏ nhất, điều này xẩy ra khi 0 = x 7 Trường THCS Tịnh Bắc A/GIẢI CÁC PT- HPT VÀ BIỆN LUẬN SAU : B i 1/Kh«ng sö dông m¸y tÝnh bá tói, h·y gi¶i c¸c pt v hpt sau:à à a/5x 2 + 13x - 6=0 LËp 2 2 13 120 289 17 17 ∆ = + = = ⇒ ∆ = Pt cã hai nghiÖm pb: 1 2 13 17 13 17 2 3; 10 10 5 x x − − − + = = − = = Bài 2.Cho hpt: mx y 1 x y 334 2 3 − = − = a) Giải hpt khi cho m = 1. Đs: (2002;2001) b) Tìm giá trị của m để hpt vô nghiệm. Kq: m = 1,5 B i 3/Kh«ng sö dông m¸y tÝnh bá tói, h·y gi¶i c¸c pt v hpt sau:à à a/ 3 4 17 : 5 2 11 − = + = x y kq x y (3;-2) b/ 4x 4 - 7x 2 - 2 = 0 Kq: 1 2 2, 2x x = − = . c/ + = 4 1 16x Kq: x = 15 Bài 4 : Cho hệ pt −=− =+ )2(2mymx )1(m3myx 2 Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x 2 − 2x − y > 0. Kq: m > 1 + 3 hoặc m < 1 − 3 B i 5:à Gi¶i c¸c pt vµ hÖ pt sau: a) − = 5x 45 0 (x=3) b) x 4 - 2x 2 - 3 = 0 ( 1 2 3, 3 = = − x x ) c) 3x 2 - 2 6 x + 2 = 0 ( 1 2 6 3 = = x x ) Bài 6.Cho hpt : ( ) m 1 x y 2 mx y m 1 − + = + = + (m là tham số) 1. Giải hpt khi m 2 = Kq: (1;1) 2. Cmr với mọi giá trị của m thì hpt luôn có nghiệm duy nhất (x ; y ) thoả mãn: 2 x + y ≤ 3 . Kq :2x + y = −m 2 + 4m − 1= 3 − (m − 2) 2 ≤ 3 đúng ∀m B i 7:à 1. Giải pt: x 1 x 1 1 (x 1) 2 4 − + + = =− 2. Thực hiện phép tính: A = 5 12 - 4 3 + 48 Kq: 10 3 Bài 8 Cho hpt: =+ =− 5myx3 2ymx Tìm giá trị của m để hpt đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức 3m m 1yx 2 2 + −=+ . Kq : 7 4 m = B/B I TÀ ẬP: Bµi 1: Gi¶i các hpt :a) x 2 2 y 1 9 x y 1 1 − + − = + − =− b) 2 3 8 9 4 4 x y x y = + = + c) 3 1 1 5 10 3 3 1 4 4 12 x y x y + = + = d) = + + − = + + − 12 1 2 1 1 1 1 2 15 1 8 yx yx Giải pháp ôn tập vào 10 - Năm học 2011 8 1b 1c 2b 1 Trng THCS Tnh Bc e = + = + + 5 13 8 1 5 1 13 4 1 2 yx yx f) =+ =+ 41215 51 3 1 13 yx yx s:a. (- 3 ; 3) và (- 3 ; - 1); b. 8 12 ( ; ) 19 19 , c. (36;12), d.(29;19), e. (4;- 17 15 ),f.(5;8) Bài 2: Cho hệ pt : =+ =+ 1 12 mmymx ymx Giải hệ pt khi: a/ m = 3(- 3 1 ;1) b/m = 2 = 2 21 x y Rx hoặc = 2 21 y x Ry Bài 3: Cho hệ pt =+ =+ 2. 1 yxa ayx a)Giải hệ pt khi a = 2 (1;0) b)Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất (a 1) Bài 4: Cho hệ PT : =+ =+ 1 12 mmymx ymx Tìm m để hệ đã cho vô số nghiệm ? (m =2) Bài 5: Tìm các giá trị của a để hai hệ phơng trình sau tơng đơng 2x 3y 8 ax 3y 2 và 3x y 1 x y 3 + = = = + = h cú nghim (1 ; 2) v a=4 Bài 6: Cho hpt = = 339 3 2 ymx myx a)Với giá trị nào của m thì hpt VN (m = - 3 ) b)Với giá trị nào của m thì hệ pt có VSN? Viết dạng tổng quát của hệ pt s: 3m = khi ú 3 3 x R hay y x = + h 3 3 y x y R = ) c)Với giá trị nào của m thì hpt có nghiệm duy nhất (m 3 ) Bài 7: Tìm các giá trị của m để nghiệm của hpt sau : a/là các số dơng x y 2 mx y 3 = + = (- 1 < m < 3 2 ) b/là các số õm + = + = mx my 3 (1 m)x y 0 ( m > 1 ) Bài 8: Cho hpt x my m 1 mx y 3m 1 + = + + = a) Giải và biện luận hệ theo m *) Với m 1 hệ có nghiệm duy nhất ( 3m 1 m 1 ; m 1 m 1 + + + ) *)m = 1 hệ vô số nghiệm dạng (x ; 2 - x) với x R * m = - 1 hệ vô nghiệm b)Trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm các giá trị của m để tích xy nhỏ nhất.(Min xy = - 1 <=> m = 0) Bài 9: Cho hpt (m 1)x y 3m 4 x (m 1)y m + = + = a) Giải và biện luận hệ theo m (m { } 0;2 hệ có nghiệm duy nhất 3m 2 m 2 ( ; m m ) * m = 0 hvn * m = 2 hệ vô số nghiệm (x ; 2 - x) với x R b) Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hpt là các số nguyên (m { } 1;1; 2;2 ) Bài 10:Gii v bin lun hpt 1 (1) 2 (2) mx y m x my + = + + = *Vi m 1 h cú nghim duy nht ( 2 1 m m + + ; 1 1m + ) *Vi m=1 h cú vụ s nghim dng 2 x R y x = *Vi m=-1 h vụ nghim. Bài 11:Cho hpt 0 (1) 1 (2) x my m x y m = = + a)Hóy gii v bin lun hpt *Vi m 1 h cú nghim duy nht ( 1 m m 1 ; ) 1m *Vi m=-1 h cú vsn (-y; Ry )*Vi m=1 h vụ nghim. b)Tỡm mt h thc liờn h gia nghim x v y ca h khụng ph thuc vo m. ( ( 1) ( 1)x x y y = + ) Bài 12 : Cho hpt 2 (1) 1 (2) mx y m x my m + = + = + a)Tỡm m h cú nghim duy nht; ( m= 1 v nghim duy nht ca h l 2 1 ; ) 1 1 m m m m + ữ + + b)Tỡm m nguyờn h cú nghim duy nht(x;y)vi x,y l s nguyờn. s: (m { } 0; 2 ) CC BI TON LIấN QUAN N HM S IM THUC NG - NG I QUA IM Gii phỏp ụn tp vo 10 - Nm hc 2011 9 Trng THCS Tnh Bc BI TON 1: Cho (C) l th hm s y = f(x) v mt im A(x A ; y A ). Hi (C) cú i qua A khụng? Phng phỏp gii: th (C) i qua A(x A ; y A ) khi v ch khi to ca A nghim ỳng phng trỡnh ca (C): A (C) y A = f(x A ) Do ú : T ớnh y A = f(x A ) Nu f(x A ) = y A thỡ (C) i qua A Nu f(x A ) y A thỡ (C) khụng i qua A Vd:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = ax 2 có đồ thị (P). Tìm a, biết rằng (P) cắt đt (d) có pt y = -x - 3 2 tại điểm A có hoành độ bằng 3. Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm đc. LP PHNG TRèNH NG THNG BI TON 2:Lp phng trỡnh ng thng (D) i qua im A(x A; y A ) v cú h s gúc bng k Cỏch gii:Gi phng trỡnh tng quỏt ca ng thng (D) l: y = ax + b (*) + Xỏc nh a: Theo gi thit ta cú : a = k => y = kx + b + Xỏc nh b : (D) i qua A(x A ; y A ) y A = kx A + b => b = y A kx A Thay a = k v b = y A kx A vo (*) ta c phng trỡnh ca (D) Vd: Trong mt phng ta Oxy cho parabol (P): y = x 2 v im B(0;1) 1. Vit ptt (d) i qua im B(0;1) v cú h s k. Kq: (d): y = kx + 1 2. Cmr t (d) luụn ct Parabol (P) ti hai im phõn bit E v F vi mi k. Kq: > 0 vi k BI TON 3: Lp phng trỡnh ng thng (D) i qua 2 im A(x A ; y A ) v B(x B ; y B ) Cỏch gii:Phng trỡnh tng quỏt ca ng thng (D) l : y = ax + b (D) i qua A v B nờn ta cú : A B ax ax A B y b y b = + = + Gii hpt tỡm c a, b . Suy ra phng trỡnh ca (D) Vd:Trong mt phng to cho hai im A(0; - 1) v B( 1; 2).Vit ptt i qua A v B Gii:Gi phng trỡnh ng thng cn tỡm l (D) : y = ax + b ng thng (D) i qua A v B nờn ta cú : 1 .0 2 .1 a b a b = + = + Gii h phng trỡnh ta c : a = 3 ; b = -1 Vy (D) : y = 3x 1 BI TON 4 :Lp ptt (D) cú h s gúc k v tip xỳc vi ng cong (P) : y = f(x) Cỏch gii :Pt ca (D) cú dng : y = ax + b Phng trỡnh honh giao im ca (D) v (P) l : f(x) = kx + b (1) (D) tip xỳc vi (P) phng trỡnh (1) cú nghim kộp = 0 T iu kin ny tỡm c b .Suy ra phng trỡnh ca (D) Vd: Cho Parabol (P) y = 2 1 2 x .Viết pt tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến này song song với đt 1 1 2 = y x Vì tiếp tuyn song song với 1 1 2 = y x nờn ta cú a = 1 2 Suy ra ph ơng trình đ ờng thẳng có dạng y = 1 2 x + b Vỡ đt này tiếp xúc với (P) nên pt: 2 1 2 x = 1 2 x + b có nghiệm kép = 0 1 8b = 0 b = 1 8 Vậy ph ơng trình tiếp tuy n cần tìm là: y = 1 2 x + 1 8 BI TON 5 : Lp ptt (D) i qua A(x A ; y A ) v tip xỳc vi ng cong (P) : y = f(x) . Cỏch gii : Ptt ca (D) l : y = ax + b Phng trỡnh honh giao im ca (D) v (P) l : f (x) = ax + b (1) (D) tip xỳc vi (P) pt (1) cú nghim kộp.T iu kin ny tỡm ra c h thc gia a v b (2) Mt khỏc : (D) i qua A(x A ; y A ) do ú ta cú : y A = ax A + b (3) Gii phỏp ụn tp vo 10 - Nm hc 2011 10 Gii [...]... vậy tổ 2 sản xuất (400 – x) chi tiết máy Trong tháng sau, tổ I làm được so với tháng đầu là :100 % + 10% = 110% Tổ II làm được so với tháng đầu là : 100 % + 15% = 115% Tháng sau số chi tiết máy mà cả hai tổ làm được là: 110x 115(400 - x ) + = 448 110x + 115 (400 – x) = 44800 100 100 26 Giải pháp ơn tập vào 10 - Năm học 2011 Trường THCS Tịnh Bắc - 5x = - 1200 x = 240(nhận) Vậy trong tháng đầu... biệt Do đó Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 ln cắt nhau tại hai điểm phân biệt b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = − 10 F = x12 + x22 + x1x2 = (x1 + x2)2 − x1x2 = 16m2 + 10 ≥ 10 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 16m2 = 0 ⇔ m = 0 Vậy GTNN của F = 10 khi m = 0 16 Giải pháp ơn tập vào 10 - Năm học 2011 Trường THCS Tịnh Bắc BÀI TẬP Bài 1: Trong... B cách nhau 120km Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km một giờ, nên đến B sớm hơn xe thứ hai một giờ Tính vận tốc của mỗi xe Giải : Gọi vận tốc của xe thứ nhất là : x km/h ( x > 10) Vận tốc của xe thứ hai là (x – 10) km/h Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là 120 120 giờ, xe thứ hai đi từ A đến B mất x x - 10 24 giờ Giải pháp ơn tập vào 10 - Năm học 2011 Xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai một... ta có phương trình x + y = 600 Số sản phẩm tăng của tổ II là: 21 y 100 ( sản phẩm) ∈ N*; x, y < 600) Số sản phẩm tăng của tổ I là: 18 x 100 Từ đó có phương trình thứ hai: (sản phẩm) 18 21 x+ y = 120 100 100 x + y =600 Do đó x và y thỏa mãn hệ phương trình: 18 Giải ra được x = 200, y = 400( thỏa điều kiện ) 21 x + y =120 100 100 Vậy: Số sản phẩm được giao của tổ I, tổ II theo kế hoạch thứ tự... thứ nhất là x (kg/m3) thì khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là (x - 100 ) kg/m3 Đk: x > 100 0, 03 với thể tích của hỗn hợp: 0, 04 + 0, 03 = 0, 07 350 350 x - 100 3 1 0, 04 + 0, 03 = 0, 07 4 + = x x - 100 50 x x - 100 350 So sánh thể tích của hai chất lỏng Ta đi đến phương trình : 0, 04 x và =>50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100 ) x2 - 450x + 20000 = 0 Pt có hai nghiệm : x1 = 400; x2 = 50 Theo điều... - 10 24 giờ Giải pháp ơn tập vào 10 - Năm học 2011 Xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai một Trường THCS Tịnh Bắc 120 120 giờ Ta có pt : +1 = Þ x x - 10 120 (x – 10) + x (x – 10) = 120x x2 – 10x – 1200 = 0 ∆' = 35 ∆’ = 25 + 1200 = 1225 = 352 ; Vì x > 10 nên ta loại nghiệm âm Thử lại : Phương trình có hai nghiệm là : x1 = 40 120 120 = 3( giờ) ; =4 40 30 , x2 = - 30 (giờ) Vận tốc của xe thứ nhất là... là số tự nhiên và 1 < x < 9, 1 < y < 9 và xy = 10x + y Theo giả thiết thì x + y = 7 Số được viết theo thứ tự ngược lại là yx = 10y + x ìx + y = 7 ìx + y = 7 ìx + y = 7 ìx + y = 7 ï ï ï ï ï ï ï ï Theo đầu bài ta có hpt : í í í í ï 10y + x - (10x + y ) = 27 ïy - x = 3 ï y + (- x ) = 3 ï- x + y = 3 ï ï ï ï ỵ ỵ ỵ ỵ Cộng theo từng vế ta có 2y = 10 hay y = 5 Suy ra x = 7 - 5 = 2.Giá trò này thỏa... = 4mx + 10 a/ Chứng minh rằng với mọi m, (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt b/ Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1 ; x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 12 + x22 + x1x2 khi m thay đổi a/ Hồnh độ giao điểm của Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số của phương trình: x2 = 4mx + 10 ⇔ x2 − 4mx − 10 = 0 (1) Phương trình (1) có ∆’ = 4m2 + 10 > 0... 2 2 Giải pháp ơn tập vào 10 - Năm học 2011 Trường THCS Tịnh Bắc 2 x − 3 = 0 ⇔x=2 5 − 2 x = 0 Dấu “ = ” xảy ra khi Mặt khác 3x2 – 12x +14 = 3(x2 – 4x + 4) + 2 = 3(x – 2)2 + 2 Dấu “ = ” xảy ra khi x – 2 = 0 ⇔ x = 2 Vậy Pt có nghiệm duy nhất x = 2 ≥2 3_ Sử dụng bất đẳng thức SVAC XƠ ax + by ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) * DẠNG 10 : a Ví dụ 10 : Giải các phương trình sau : x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x +... XƠ ax + by ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) * DẠNG 10 : a Ví dụ 10 : Giải các phương trình sau : x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x + 40 Ta có (VT) = Nên : ; ĐK : 2 ≤ x ≤ 10 x − 2 + 10 − x ≤ (12 + 12 )( x − 2 + 10 − x) = 4 x − 2 10 − x ⇔x=6 = 1 1 x − 2 + 10 − x ≤ 4 , dấu ‘=” xảy ra khi Mà (VP) = b Dấu “=” xảy ra khi x = y x 2 − 12 x + 40 = ( x − 6) 2 + 4 ≥ 4 , dấu ‘=” xảy ra khi x = 6 Vậy phương trình có một nghiệm . Bi tp t hc : Cõu1: Thc hin phộp tớnh : a. 2 5 3 3 5 2 10 2 10 10 2 10 2 1 2 1 5 1 5 1 A + + = + + + s: 1 10A = Gii phỏp ụn tp vo 10 - Nm hc 2011 4 Trường THCS Tịnh Bắc b. 6 3 3 2 3 6. (x 1 + x 2 ) 2 − x 1 x 2 = 16m 2 + 10 ≥ 10 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 16m 2 = 0 ⇔ m = 0. Vậy GTNN của F = 10 khi m = 0. Giải pháp ơn tập vào 10 - Năm học 2011 16 Trường THCS Tịnh Bắc BÀI. (P): y = x 2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số của phương trình: x 2 = 4mx + 10 ⇔ x 2 − 4mx − 10 = 0 (1) Phương trình (1) có ∆’ = 4m 2 + 10 > 0 nên phương trình (1) ln có hai