KỲ THI KSCL THI ðẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1 ðỀ THI MÔN TOÁN 12. KHỐI D. Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số y= x 3 - 3(m + 1)x 2 + 3m(m + 2)x + 1 (1) (m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m= 1 2. CMR: Hàm số (1) luôn có cực ñại và cực tiểu. Xác ñịnh các giá trị của m ñể hàm số (1) ñạt cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ dương. Câu II (2,0 ñiểm) 1. Giải bất phương trình: x 2 + xxx 26342 2 −≥++ 2. Giải phương trình: sin2x - 22 (sinx + cosx) -5=0 Câu III (1,0 ñiểm) Tính tổng: S= !1!2010 1 !3!2008 1 !2005!6 1 !2007!4 1 !2009!2 1 +++++ Câu IV (1,0 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC =a 3 , DA =DB =DC. Biết rằng DBC là tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện ABCD Câu V (1,0 ñiểm) CMR: Với mọi x , y, z dương thoả mãn xy + yz + zx = 3 ta có: 1 ))()(( 4 2 1 ≥ +++ + xzzyyxxyz II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho 2 ñiểm A(5;-2), B(-3;4) và ñường thẳng d có phương trình: x - 2y + 1 = 0. Tìm toạ ñộ ñiểm C trên ñường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại C. Viết phương trình ñường tròn ngoại tếp tam giác ABC. 2. Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD có AB=a, AD=b. S là một ñiểm bất kỳ nằm trên ñường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Xác ñịnh tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và tính thể tích khối cầu ñó khi SA=2a. Câu VII.a (1,0 ñiểm) Giải hệ phương trình: 2 3 12 1 = + − x xy 6 3 12 1 = + + y xy B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(-2;3), ñường cao CH nằm trên ñường thẳng: 2x + y -7= 0 và ñường trung tuyến BM nằm trên ñường thẳng 2x – y +1=0. Viết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC. 2. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, SAB là tam giác ñều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABC). Xác ñịnh tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và tính thể tích khối cầu ñó. Câu VII.b (1,0 ñiểm) Giải phương trình e x = 1+ ln(1+x). Hết Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……………………… …… ; Số báo danh:……………… www.laisac.page.tl ðÁP ÁN - THANG ðIỂM ðỀ THI KSCL THI ðẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1 MÔN: TOÁN 12; KHỐI D. (ðáp án - Thang ñiểm gồm 05 trang) Câu Ý Nội dung ñáp án ðiểm 2,0 Khi m=1, ta có hàm số y = x 3 -6x 2 +9x+1 * TXð: R * Sự biến thiên - Chiều biến thiên: y' = 3x 2 -12x + 9 y' = 0 <=> x =1 hoặc x =3 0,25 Hàm số ñồng biến trên các khoảng (- )1;∞ và ( );3 +∞ ; Nghịch biến trên khoảng (1; 3) - Cực trị: Hàm số ñạt cực ñại tại x =1; y Cð =5 Hàm số ñạt cực tiểu tại x =3; y CT =1 - Giới hạn: ±∞= ±∞→ y x lim 0,25 - Bảng biến thiên: x - ∞ 1 3 + ∞ y' + 0 - 0 + + ∞ 5 y - ∞ 1 0,25 1 (1,0 ñiểm) * ðồ thị: y 5 1 0 1 3 4 x 0,25 * Ta có: y' = 3x 2 - 6 (m+1)x + 3m(m+2) y' = 0 <=> x 2 - 2(m+1)x + m(m+2) = 0(2) => '∆ =(m+1) 2 - m(m+2)=1 > 0, m∀ 0,25 Vậy phương trình y'=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Do ñó hàm số (1) luôn có cực ñại và cực tiểu. 0,25 * Hàm số (1) ñạt cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ dươ ng <=> (2) có 2 nghiệm dương phân biệt <=> P > 0 S > 0 0,25 I 2 (1,0 ñiểm) m(m+2) > 0 <=> <=> m > 0 2(m+1) > 0 0,25 2,0 BPT ñã cho <=> x 2 + 2x - 6 + 342 2 ++ xx > 0 ðặt t = 1)1(2342 22 ++=++ xxx => ñiều kiện t >1 0,25 BPT trở thành: 06 2 3 2 ≥+− − t t <=> t 2 + 2t - 15 >0 0,25 <=> t >3 t < -5 (loại vì trái ñiều kiện) 0,25 1 (1,0 ñiểm) Vậy: 2x 2 + 4x + 3 > 9 <=> x 2 + 2x - 3 > 0 <=> x > 1 x < -3 0,25 PT ñã cho <=> (sinx + cosx) 2 - 2 2 (sinx + cosx) - 6 = 0 0,25 <=> sinx + cosx = - 2 sinx + cosx = 3 2 0,25 <=> 2 sin 2 4 −= + π x 2 sin 23 4 = + π x => vô nghiệm 0,25 II 2 (1,0 ñiểm) <=> π π π 2 24 kx +−=+ <=> )(2 4 3 Zkkx ∈+−= π π 0,25 1,0 Ta có 2011!S= !1!2010 !2011 !3!2008 !2011 !2005!6 !2011 !2007!4 !2011 !2009!2 !2011 +++++ = 2010 2011 2008 2011 6 2011 4 2011 2 2011 CCCCC +++++ 0,25 Khai triển (1+x) 2011 = 20112011 2011 20102010 2011 22 2011 1 2011 0 2011 xCxCxCxCC +++++ 0,25 Chọn x = -1 ta có: 2011 2011 3 2011 1 2011 2010 2011 2 2011 0 2011 CCCCCC +++=+++ Chọn x = 1 ta có: 20112011 2011 2 2011 1 2011 0 2011 2 =++++ CCCC 0,25 III Do ñó: 20102010 2011 4 2011 2 2011 0 2011 2 =++++ CCCC Vậy S = !2011 12 2010 − 0,25 1,0 D Gọi M là trung ñiểm của BC Ta có: MA=MB=MC Mà: DA=DB=DC (gt) B Suy ra: DM ⊥ (ABC) C M a A Hình vẽ 0.25 0,25 Có ∆ DBC vuông cân tại D nên DM = aaaaBC ==+= 2. 2 1 3 2 1 2 1 22 0,25 IV Vậy V ABCD = 3 . 6 3 2 3 . 3 1 . 3 1 a aa aSDM ABC == ∆ (ñvtt) 0,25 1,0 Áp dụng BðT Côsi ta có: = +++ ≥ +++ + ))()((2 4 .2 ))()(( 4 2 1 xzzyyxxyzxzzyyxxyz = ))()(( 22 xyyzxzxyyzxz +++ 0,25 Mà 2 3 )(2 ))()(( 3 = ++ ≤+++ zxyzxy xyyzxzxyyzxz => (xz+yz)(xy+xz)(yz+xy) < 8 0,25 Do ñó: 1 8 22 ))()(( 4 2 1 =≤ +++ + xzzyyxxyz 0,25 V Dấu "=" xẩy ra <=> ))()(( 4 2 1 xzzyyxxyz +++ = xz + yz = xy + xz = yz +xy <=> x = y = z = 1 xy+ yz + zx = 3 0,25 2,0 Giả sử C=(x o ;y o ) Vì C ∈ d nên x o - 2y o + 1 = 0 (1) 0,25 Vì CA ⊥ CB nên 0. = CBCA <=> (5 - x o )(-3 - x o ) + (-2 - y o )(4 - y o ) = 0 <=> 02322 0 2 00 2 0 =−−+− yyxx (2) 0,25 VI.a 1 (1,0 ñiểm) Thế (1) vào (2) ta có: 042 0 2 0 =−− yy <=> 52151 00 −==>−= xy 52151 00 +==>+= xy Vậy có 2 ñiểm thoả mãn ñề bài là: C 1 = 521( + ; 51 + ) C 2 = 521( − ; )51 − 0,25 a 3 ðường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1;1) là trung ñiểm AB và bán kính R= 5 2 10 2 == AB . Vậy phương trình ñường tròn ñó là: 25)1()1( 22 =−+− yx 0,25 Gọi O là giao ñiểm hai ñường chéo AC và BD của hình chữ nhật S ABCD. Qua O kẻ ñường thẳng song song với SA cắt SC tại ñiểm I Ta có: OI ⊥ (ABCD) vì SA ⊥ (ABCD) A I => OI là trục của ñường tròn ngoại tiếp D hình vuông ABCD. O => IA = IB = IC = ID (1) B C Mà OI là ñường trung bình của SAC∆ => IS = IC (2) Từ (1) và (2) => I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Hình vẽ 0,25 0,25 Do ñó bán kính mặt cầu ñó là: R= 2 5 2 4 22 ¸SC 2222222 babaaACSA + = ++ = + = 0,25 2 (1,0 ñiểm) Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: V= 6 5)5( 8 )5( . 3 4 3 4 2222 322 3 baba ba R ++ = + = π π π (ñvtt) 0,25 1,0 ðiều kiện x>0, y>0, x+3y ≠ 0 Hệ ñã cho tương ñương với x xy 2 3 12 1 = + − 1 31 =+ yx y xy 6 3 12 1 = + + xy yx 3 1231 + − =− 0,25 Suy ra xyyx 3 1291 + − =− => y 2 + 6xy - 27x 2 = 0 0,25 => 0276 2 =− + x y x y <=> 3= x y hoặc 9−= x y (loại) 0,25 VII.a Với y = 3x thế vào PT ñầu của hệ ñã cho ta có: x – 2 x - 2 = 0 <=> x = (1+ 2 )3 => y = 3 (1+ 2 )3 0,25 2,0 ðường thẳng chứa cạnh AB ñi qua A (-2;3) và nhận véctơ chỉ phương CH u = (-1;2) của ñường CH làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là: - 1(x+2) + 2(y-3) = 0 <=> - x + 2y - 8 = 0 0,25 VI.b 1 (1,0 ñiểm) Toạ ñộ ñiểm B là nghiệm hệ: =+− =−+− 012 082 yx yx => B = (2; 5) 0,25 Giả sử ñỉnh C = (x o ; y o ) => M = ; 2 2 0 − x + 2 3 0 y Vì C ∈ CH nên 2x o + y o - 7 = 0 (1) Vì M ∈ BM nên: 01 2 3 2 2 .2 00 =+ + − − yx <=> 2x o - y o - 5 = 0 (2) 0,25 Giải hệ (1), (2) ta có: = = 1 3 0 0 y x Vậy C= (3; 1) Phương trình ñường thẳng AC là: 2x + 5y -11 =0 Phương trình ñường thẳng BC là: 4x + 5y -13 =0 0,25 Gọi H là trung ñiểm AB => SH ⊥ (ABC) S Gọi I là trọng tâm ∆ ABC, J là trọng tâm ∆ SAB và O là ñiểm sao cho OIHJ là hình vuông Ta có: OA=OB=OC (Vì OI là trục của ñường tròn B ngoại tiếp ∆ ABC) J O OS=OA=OB (vì OJ là trục của ñường tròn ngoại tiếp ∆ SAB ) H I Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC C A Hình vẽ 0,25 0,25 Bán kính mặt cầu là: R=OA= 6 15 2 3 9 5 3 2 3 1 2 22 22 aa CHSHIAOI = = + =+ 0,25 2 (1,0 ñiểm) Thể tích khối cầu là: V = 3 3 3 54 155 6 15 . 3 4 3 4 a a R π π π = = (ñvtt) 0,25 1,0 ðiều kiện: x > -1 0,25 Xét hàm số: f(x) = e x - ln(1+x) - 1 trên khoảng (-1; + ∞ ) Ta có: f'(x)= e x - x +1 1 ; f''(x) = e x + 0 )1( 1 2 > + x , x∀ ∈ (-1; + ∞ ) Suy ra f'(x) ñồng biến /(-1; + ∞ ) 0,25 Vì f'(0) = 0 nên f'(x) > 0 , x∀ >0 f'(x)<0, x∀ <0 Ta có bảng biến thiên: x -1 0 ∞+ )( ' xf - 0 + f(x) 0 0,25 VII.b Dựa vào bảng biến thiên ta có: f (x) =0 <=> x = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 0 0,25 Hết Thí sinh làm theo cách khác ñúng vẫn ñược cho ñiểm tối ña theo thang ñiểm của phần ñó . . Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số y= x 3 - 3(m + 1)x 2 + 3m(m + 2)x + 1 (1) (m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m= 1 2. CMR: Hàm số (1) luôn có cực ñại và. dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……………………… …… ; Số báo danh:……………… www.laisac.page.tl ðÁP ÁN - THANG ðIỂM ðỀ THI KSCL THI ðẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ. 2,0 Khi m=1, ta có hàm số y = x 3 -6x 2 +9x+1 * TXð: R * Sự biến thi n - Chiều biến thi n: y' = 3x 2 -12x + 9 y' = 0 <=> x =1 hoặc x =3 0,25 Hàm số ñồng biến trên các