f x , y x y x n n k k BỘ G IÁ O DỤC VÀ ð À O T Ạ O T R ƯỜ N G ð ẠI HỌ C Q UY N HƠ N ð Ề C HÍNH T H ỨC ð Ề TH I T UY Ể N SIN H CA O HỌ C NĂ M 2011 N G ÀN H : TO ÁN HỌ C Môn thi: GIẢI T Í C H Th ời gi an l àm bài : 180 phút, k hông kể t h ời gi an p hát ñề . Câu 1. C h ứ ng mi nh r ằ ng h àm số f : 2 x ác ñị nh b ởi x 2 y 2 s i n 1 x 2 y 2 khi x , y 0, 0 0 khi x , y 0, 0 liê n t ụ c , c ó các ñạ o hàm r iê ng f ' , f ' g iá n ño ạ n nh ư ng f kh ả vi tại 0, 0 . Câu 2. a) C ho dã y số a n và hàm số f : 0,1 xác ñị nh b ởi f 0 0 và f x a n n ế u x 1 , 1 v ới mọ i n 1. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u a b ị ch ặ n thì f kh ả tích trên 0,1 ; và n 1 n n n ế u a n n v ớ i mọi n thì f không kh ả tích trên 0,1 ; . 1 b) Xét tính kh ả tích Lebesgue của f và tính L f d (n ế u có) v ớ i 0 8 x 2011 , x 0 ; 1 f x x 2 x l n x , x \ , x \ 0 ; 1 / 2 1 / 2 ; 1 Câu 3. a) X ét không g ia n ñị nh c hu ẩ n c các d ã y số hộ i t ụ v ới c hu ẩ n c ho b ởi x sup n x n v ới m ọ i x x n c . C h ứ ng mi nh r ằ ng tậ p h ợ p c 0 không ñ â u t rù mật t rong c . các d ã y số hộ i t ụ v ề 0 là không g ia n c on ñóng v à b) C ho X là không g ia n mê - t r ic ñầ y ñủ v à f n : X là các d ã y h àm liê n t ụ c s a o c ho v ới n m ọ i x X t ồn tại lim f n x . C h ứ ng mi nh r ằ ng t ồn tại tậ p V X n mở , kh ác rỗng v à t ồn tại M 0 s a o c ho f n x M v ới m ọ i x V v à m ọ i n . Câu 4. C ho X là không g ia n Ba n ac h t r ê n t r ườ ng số . X ét d ã y x * n n 0 X * v à không g ia n v ectơ l 1 X x x n X : n 0 x n 1) C h ứ ng mi nh r ằ ng l 1 X là không g ia n Ba n ac h v ới c hu ẩ n x 0 n 0 n . 2) a ) G iả s ử d ã y x * b ị c h ặ n. V ới m ỗ i n 0 ñặt A, A n : l 1 X c ho b ởi Ax x * x ; A x x * x x x l X k k n k k k k 0 1 k 0 0 k n Ch ứ ng m i nh r ằ ng A , A n x ác ñị nh các á nh x ạ t uy ế n tí nh liê n t ụ c . Tí nh các c hu ẩ n A , A n . Ch ứ ng m i nh r ằ ng A n b ị c h ặ n v à hộ i t ụ t h e o ñ iể m v ề A . b) G iả s ử á nh x ạ A c ho t rong câ u a ) ho à n t o à n x ác ñị nh. Ch ứ ng m i nh r ằ ng d ã y x * b ị c h ặ n. 3) Cho d ã y a n . S ử dụng câ u 2) c h ứ ng m i nh r ằ ng các ñ iề u k iệ n s a u là tươ ng ñươ ng : a ) n a x k 1 l v ới mỗ i x l ; b) a n l . n 1 n 0 HẾT T h í s i nh không ñ ược sử dụng t ài liệ u. Cán bộ coi th i không gi ả i th íc h g ì th ê m. . N HƠ N ð Ề C HÍNH T H ỨC ð Ề TH I T UY Ể N SIN H CA O HỌ C NĂ M 2011 N G ÀN H : TO ÁN HỌ C Môn thi: GIẢI T Í C H Th ời gi an l àm bài : 180 phút, k hông kể t h ời. tích Lebesgue của f và tính L f d (n ế u có) v ớ i 0 8 x 2011 , x 0 ; 1 f x x 2 x l n x , x ,