14.KY THUAT SU DUNG CAUCHY 12e

KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY I Bất đẳng thức Cauchy , , 0 x y z " ³ ta có : 2 x y xy + ³ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y = 3 3 x y z xyz + + ³ .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z = = + Chú ý:trong thực tế ta thường dùng dưới dạng 2 x y xy + ³ ; 3 3 x y z xyz + + ³ II Các kĩ thuật sử dụng 1.Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Sử dụng dạng : 2 x y xy + ³ hoặc 2 x y xy + ³ 3 x y z xyz + + ³ hoặc 3 3 x y z xyz + + ³ Ví dụ 1: Cho , , a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 8 a b b c c a abc + + + ³ Giải Ta có 2 a b ab + ³ . Đẳng thức xảy ra khi a b = 2 b c bc + ³ . Đẳng thức xảy ra khi b c = 2 c a ca + ³ .Đẳng thức xảy ra khi c a = Suy ra: ( ) ( ) ( ) 8 . . 8 a b b c c a ab bc ca abc + + + ³ = Đẳng thức xảy ra khi a b c = = hay tan giác đó đều. Ví dụ 2: Cho 0 x > . Tìm GTNN của hàm số 1 y x x = + Giải Ta có 0 x " > thì 1 1 2 . 2 x x x x + ³ = . Đẳng thức xảy ra khi 2 1 1 x x x = Û = 1 x Û = vì ( ) 0 x > Vậy 0 Min 2 x y > = khi 1 x = Ví dụ 3: Tìm GTNN của hàm số 1 2 3 3 x x y + - = + Giải x " thì 1 2 3 ,3 x x + - đều dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 2 1 2 3 3 3 2 3 .3 2 3 6 3 x x x x y + - + - = + ³ = = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 3 3 1 2 2 x x x x x + - = Û + = - Û = Vậy Min 6 3 y = khi 1 2 x = . Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số 2 1 2y x x = + với 0 x > Giải Ta có 3 2 2 1 1 3 . . 3 y x x x x x x = + + ³ = . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 2 1 1 1 x x x x = Û = Û = Vậy 0 Min 3 x y > = khi 1 x = Ví dụ 5: Cho o b a < < . Chứng minh rằng ( ) 1 3 a a b b + ³ - Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 3 . 3 a a b b a b b a b b a b b a b b + = - + + ³ - = - - - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) 1 a b b a b b - = = Û - ( ) 3 2 2 2 1 1 1 a b a b a b b b a b b = ì = = ì ì ï Û Û í í í = = = î î ï - î Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ 5 bạn có suy nghĩ gì và có rút ra một kinh nghiệm nào không? + Lưu ý : kĩ thuật này áp dung trong các trường hợp: 1. Chứng minh BĐT dạng ³ . 2. Trong bài toán tìm GTNN. 3. Tách thành các số hạng sao cho sau khi sử dung BĐT thì các biểu thức khử nhau chỉ còn lại hằng số BÀI TẬP 1. , , 0 x y z " > . Chứng minh rằng 1 1 4 x y x y + ³ + 1 1 1 9 x y z x y z + + ³ + + 2. Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 a a + ³ + . Đẳng thức xảy ra khi nào? 3. Cho , , 0 a b c > và 1. a b c + + = Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 8 a b c æ öæ öæ ö - - - ³ ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø . 4. Cho , , 0 a b c > và a b c abc + + = . Chứng minh rằng 3 3 a b c+ + ³ . 5. cho , x y thỏa mãn 4 3 2 log 3 y x+ ³ - . Tìm GTNN của 1 2 1 4 3.4 x y y T + - - = + . 6. Tìm GTNN của hàm số 2 2 sin os 4 4 x c x y = + . 7. Cho , 0 a b > và 1 a b + = . Chứng minh rằng 1 1 1 1 9 a b æ öæ ö + + ³ ç ÷ç ÷ è øè ø . 8. Chứng minh rằng ( )( )( ) ( ) 3 3 1 1 1 1 a b c abc + + + ³ + , , 0 a b c " ³ . Đẳng thức xảy ra khi nào?. 9. Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 a b c a b c a b c a b b c c a + + + + + + ³ + + + . 10. Cho , , 0 a b c > và 1 a b c + + = .Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 8 1 1 1 a b c a b c + + + ³ - - - . 11. Chứng minh rằng ( )( ) ( ) 2 1 1 1 a b ab + + ³ + , 0 a b " ³ 12. Cho , , 0 x y z > thỏa mãn 1 xyz = và n là số nguyên dương . Chứng minh 1 1 1 3 2 2 2 n n n x y z+ + + æ ö æ ö æ ö + + ³ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 2. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Sử dụng dạng 2 x y xy + £ ; 3 3 x y z xyz + + £ Ví dụ 1:Cho , , 0 x y z ³ .Chứng minh rằng xy yz zx x y z + + £ + + Giải Ta có 2 2 2 x y y z z x xy yz zx x y z + + + + + £ + + = + + Đẳng thức xảy ra khi x y z = = Ví dụ 2. Cho , , 0 a b c ³ . Chứng mnh rằng ( )( )( ) 3 3 1 1 1 1 abc a b c + £ + + + ( ) * Giải Ta có ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 3 3 3 1 * 1 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c Û + £ + + + + + + ( )( )( ) 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c æ ö = £ + + ç ÷ + + + + + + è ø + + + Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 1 1 1 a b c a b c = = Û = = + + + ( )( )( ) 3 3 3 1 . . 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c a b c a b c a b c æ ö = £ + + ç ÷ + + + + + + è ø + + + Đẳng thức xảy ra khi a b c = = Do đó ( )( )( ) ( )( )( ) 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c a b c a b c a b c æ ö + £ + + + + + = ç ÷ + + + + + + è ø + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi a b c = = Vậy ( )( )( ) 3 3 1 1 1 1 abc a b c + £ + + + Ví dụ 3: Tìm GTLN của hàm số 2 3 3 2 y x x = - với 3 0 2 x £ £ Giải Ta có ( ) 2 2 3 3 2 3 2 . . 3 2 1 3 x x x y x x x x x + + - æ ö = - = - £ = ç ÷ è ø ( Chú ý : ta có 3 3 3 3 x y z x y z xyz xyz + + + + æ ö £ Û £ ç ÷ è ø ) Đẳng thức xảy ra khi 3 2 1 x x x x = = - Û = Vậy 3 0; 2 1 Max y é ù ê ú ë û = khi 1 x = Ví dụ 4: Tìm GTLN của hàm số 2 3 2 y x x = - với 0 2 x £ £ Giải Ta có ( ) ( ) 3 2 1 1 4 2 32 2 . . 4 2 3 2 2 3 x x x y x x x x x + + - é ù = - = - £ = ê ú ë û Đẳng thức xảy ra khi 4 4 2 3 x x x x = = - Û = Vậy [ ] 0;2 32 Max 3 y = khi 4 3 x = ( Tại sao ta lại phân tích ( ) ( ) 2 1 2 . . 4 2 2 x x x x x - = - ?) Tóm lược: Thường sử dụng kĩ thuật này trong Chứng minh bất đẳng thức dạng £ Tìm GTLN BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng ( ) ( ) c a c c b c ab - + - £ 0, 0. a c b c " > > > > 2. Cho , , 0 a b c ³ và 1 a b c + + = . Chứng minh rằng 16 abc a b £ + . 3.Cho , , a b c o ³ và 1 a b c + + = . Chứng minh rằng: ( )( )( ) 8 729 abc a b b c c a+ + + £ . 4. Cho a, b, c là 3 số thực dương chứng minh rằng : i) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 bc ca ab a b a c b c b a c a c b + + £ + + + + + + ii) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 a b c a b a c b c b a c a c b + + £ + + + + + + 3. Kỹ thuật ghép đối xứng: Để ý : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y z x y y z z x + + = + + + + + 2 2 2 x y y z z x x y z + + + + + = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z xy yz zx = , , 0 xyz xy yz zx x y z = " ³ Ví dụ 1: Trong ABC D chứng minh rằng ( )( )( ) 1 8 p a p b p c abc - - - £ Giải Trong tam giác thì , , 0 p a p b p c - - - > nên ta có : ( )( ) 2 2 p a p b c p a p b - + - - - £ = . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p a p b a b - = - Û = ( )( ) 2 a p b p c - - £ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b c = ( )( ) 2 b p c p a - - £ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c a = Suy ra ( )( )( ) 1 8 p a p b p c abc - - - £ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = = hay tam giác ABC đều. Ví dụ 2: Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 2 2 9 , , 0 * a b c a b c a b b c c a æ ö + + + + ³ " > ç ÷ + + + è ø Giải Ta có ( ) ( ) 1 1 1 * 2 9 a b c a b b c c a æ ö Û + + + + ³ ç ÷ + + + è ø ( ) ( ) ( ) 1 1 1 9 a b b c c a a b b c c a ổ ử + + + + + + + ộ ự ỗ ữ ở ỷ + + + ố ứ Phn chng minh cũn li dnh cho bn . Vớ d 3: Chng minh rng , , 0 bc ca ab a b c a b c a b c + + + + " > Gii Ta cú 2 bc ca c a b + . ng thc xy ra khi a b = 2 ca ab a b c + . ng thc xy ra khi b c = 2 ab bc b c a + . ng thc xy ra khi c a = Suy ra ( ) 2 2 bc ca ab a b c a b c ổ ử + + + + ỗ ữ ố ứ bc ca ab a b c a b c + + + + . ng thc xy ra khi a b c = = BI TP 1. Chng minh rng 1 1 1 , , 0 a b c a b c bc ca ab a b c + + + + " > 2. Chng minh rng 2 2 2 2 2 2 , , 0 a b c a c b a b c b c a c b a + + + + " > 3. Chng minh rng 2 2 2 1 1 1 , , 0 a b c a b c a b c abc + + + + " > 4. K thut i bin: Vớ d m u : Chng minh rng 6 , , 0 a b b c c a a b c c a b + + + + + " > Gii Ta cú 2 2 2 6 a b b c c a a b b c c a a c c b b a c a b c c a a b b c a b c a b + + + ổ ử ổ ử ổ ử + + = + + + + + = + + + + + + + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ng thc xy ra khi v ch khi a b c = = Nhn xột: trong Vớ d trờn ta s dng tớnh cht a b a b c c c + = + bõy gi ngc li nu trong bt ng thc cn chng minh cú dng c a b + thỡ liu chỳng ta cú cũn s dng c tớnh cht nờu trờn na khụng? Vớ d 1: Chng minh rng 3 , , 0 2 a b c a b c b c c a a b + + " > + + + Gii vn dng c tớnh cht nờu trờn thỡ ta phi gúi gn mu thnh 1 biu thc (1 ch cỏi) cũn t l tng hoc hiu ca nhng biu thc tớnh theo mu . lm vic ny ta ch cn t nh sau t b c x c a y a b z + = ỡ ù + = ớ ù + = ợ v bõy gi ta tớnh , , a b c theo , , x y z . D thy ( ) 2 x y z a b c + + = + + . Khi ú ( ) 2 2 2 x y z x y z y z x a b c x + + + + + - = - + = - = . Tng t ta tớnh c 2 z x y b + - = , 2 x y z c + - = . Nh vy bt ng thc ó cho cú th vit li 3 1 1 1 3 2 2 2 2 y z x z x y x y z y z z x x y x y z x x y y z z + - + - + - + + + - + + - + + - 6 y z z x x y x x y y z z + + + + + . Bt ng thc ny va c chng minh xong ! Vớ d 2: Cho tam giỏc ABC . Chng minh rng 2 2 2 a b c a b c b c a c a b a b c + + + + + - + - + - Gii t 2 , 0 , 0 2 , 0 2 y z a b c a x x z x c a b y y z y z a b c b a b c z z x y c + ỡ = ù + - = > ỡ ù + ù ù + - = > ị + + = + + ị = ớ ớ ù ù + - = > ợ + ù = ù ợ . Bt ng thc ó cho c vit li : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 y z z x x y x y z x y z + + + + + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 y z z x x y yz zx xy x y z x x y y z z x y z + + + + + + + + + + . n õy khụng khú chng minh ( ) 2 2 2 2 xy yz zx x y z z x y + + + + v 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z z x x y yz zx xy x x y y z z x y z + + + + + + + . T ú suy ra iu phi chng minh. ng thc xy ra khi x y z a b c = = = = Ngoi cỏch phõn tớch nh trờn ta cú th chng minh nh sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 y z yz x x z x y z z x x y zx yz zx xy x y z y y x y z x y z x y xy z z ỹ + ù ù ù + + + + ù ị + + + + + + ý ù ù + ù ù ỵ Vớ d 3: Chng minh rng , , 0 a b c " > v 1 abc = ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2 a b c b c a c a b + + + + + Gii Trong Vớ d ny vi cỏch t nh 2 vớ d trờn cú l khụng cũn phự hp. Tuy nhiờn ý s 3 2 ta cú liờn h gỡ vi bt ng thc Vớ d 1 khụng ? Trong Vớ d 1 bng cỏch t 1 1 1 , ,a b c x y z = = = v quy ng bin i rỳt gn ta c : ( ) ( ) ( ) 3 2 yz zx xy x x y y z x z x y + + + + + vỡ bt ng thc ny ỳng vi mi , , 0 x y z > nờn ta cú th rng buc thờm 1 xyz = phỏt biu thnh bi toỏn mi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 xyz yzx zxy x x y y z x z x y + + + + + hay ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2 x x y y z x z x y + + + + + . Vy gii quyt bi toỏn trong Vớ d 3 u tiờn ta i bin 1 1 1 , ,a b c x y z = = = trong ú , , 0 x y z > . Khi ú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 x yz y zx z xy x y z a b c b c a c a b y z z x x y y z z x x y + + ³ Û + + ³ Û + + ³ + + + + + + + + + vì 1 xyz = . Cách chứng minh bất đẳng thức cuối đã có ở Ví dụ 1. BÀI TẬP 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4 5 a b c b c c a a b + + + + + với , , 0 a b c > 2. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có 4 3 a b c d b c d c d a d a b a b c + + + ³ + + + + + + + + 3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ³ + + + 4. Cho , , 0 a b c > thỏa mãn điều kiện 1 abc = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 P a b c b c a c a b = + + + + + 5. Cho tam giác ABC chứng minh rằng : 3 a b c b c a c a b a b c + + ³ + - + - + - 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9 16 a b c P b c a c a b a b c = + + + - + - + - trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. 7. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: 4 ab bc ca p p c p a p b + + ³ - - - trong đó p là nửa chu vi. 5. Kỹ thuật cân bằng hệ số: Ví dụ 1: Cho , , 0 a b c > thỏa mãn 1 a b c + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P a b c a b c = + + + + + Giải Ta có 1 1 1 2, 2, 2 a b c a b c + ³ + ³ + ³ . Suy ra 6 P ³ . Vậy Min 6 P = Trong cách giải trên ta đã mắc sai lầm ở chỗ đẳng thức xảy ra khi 1 a b c = = = và do đó 3 a b c + + = mâu thuẫn với giả thiết 1 a b c + + = . Cách giải đúng là : Ta có 1 9 6 a a + ³ . Đẳng thức xảy ra khi 1 1 9 3 a a a = Û = 1 9 6 b b + ³ . Đẳng thức xảy ra khi 1 1 9 3 b b b = Û = 1 9 6 c c + ³ . Đẳng thức xảy ra khi 1 1 9 3 c c c = Û = Suy ra ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 9 18 18 8 10 a b c a b c a b c a b c a b c + + + + + ³ Û + + + + + ³ - + + = . Đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c = = = . Vậy Min 10 P = khi 1 3 a b c = = = Đến đây ta có thắc mắc làm thế nào tìm ra số 9 và áp dụng như trên? Để trả lời câu hỏi này ta có nhận xét: Vai trò của , , a b c trong bài toán là như nhau nên dự đoán Min P xảy ra khi 1 3 a b c = = = . Bây giờ ta tiếp tục tìm hệ số 9 bằng cách sử dụng 1 2 ma m a + ³ trong đó m là số dương sao cho đẳng thức xảy ra khi 1 9 1 3 ma a m a ì = ï ï Û = í ï = ï î Ví dụ 2: Cho , , 0 , 3 a b c a b c > + + = . Chứng minh 4 1 4 1 4 1 3 5 a b c+ + + + + £ Giải Phân tích ta sẽ sử dụng dạng: 2 x y xy + £ . Như vậy ( ) 1 1 4 1 4 1 4 1 . 2 a m a a m m m + + + = + £ . Vấn đề là m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dự đoán đẳng thức xảy ra khi 1 a b c = = = . Do đó ta sẽ tìm m sao cho 4 1 a m + = và 1 a = , dễ thấy 5 m = là giá trị cần tìm. Ta giải bài toán như sau: Ta có ( ) 1 1 4 1 5 2 3 4 1 4 1 5 . 2 5 5 5 a a a a + + + + = + £ = . Đẳng thức xảy ra khi 1 a = 2 3 4 1 5 b b + + £ . Đẳng thức xảy ra khi 1 b = 2 3 4 1 5 c c + + £ . Đẳng thức xảy ra khi 1 c = Suy ra 2 3 2 3 2 3 4 1 4 1 4 1 3 5 5 5 5 a b c a b c + + + + + + + + £ + + = . Đẳng thức xảy ra khi 1 a b c = = = Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu 5 xy yz zx + + = thì 2 2 2 3 3 10 x y z + + ³ Giải Phân tích: 2 2 2 x y xy a a a + ³ . Đẳng thức xảy ra khi x y = 2 2 2 x z xz b g bg + ³ . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 x z b g = 2 2 2 y z yz b g bg + ³ . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 y z b g = Bây giờ ta cần chọn , , a b g thỏa mãn 3 2 1 a b g a bg ì + = ï = í ï = î . Giải hệ này ta được 1 1; 2; 2 a b g = = = . Ta trình bày lại cách giải : Ta có: 2 2 2 x y xy + ³ . Đẳng thức xảy ra khi x y = 2 2 1 2 2 2 x z xz + ³ . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 2 2 x z = 2 2 1 2 2 2 y z yz + ³ . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 2 2 y z = Suy ra ( ) 2 2 2 3 3 2 10 x y z xy xz yz + + ³ + + = . Đẳng thức xảy ra khi 1; 2 x y z = = = Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 47 12 x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 4 5 P x y z = + + Giải Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép 2 3 2 3 x m mx + ³ trong đó 0 m > . Tương tự 2 4 2 4 y n ny + ³ ; 2 5 2 5 z p pz + ³ ( ) , 0 n p > . Suy ra ( ) 2 2 2 3 4 5 2 3 2 4 2 5 x y z mx ny pz m n p + + ³ + + - + + . Đến đây ta cần tìm , , m n p sao cho 3 4 5 m n p = = và để ý đẳng thức xảy ra khi 2 2 2 3 4 5 47 12 m x n y p z x y z ì = ï = ï ï í = ï ï + + = ï î . Như thế ta tìm , , m n p bằng cách giải hệ: 2 2 2 2 5 5 3 4 5 ; ; 5 5 5 3 4 3 1; ; 5 5 4 3 4 ; 25 25 3 4 ; ; 5 5 47 3 4 47 12 12 m n p m p n p p z m x z y x n y x z y z m n p p z x y z x y z ì = = ì ï = = = ï ï ì = ï ï = = = ï ï ï ï = Û = = Û í í í ï ï ï = = = = ï ï ï î + + = ï ï î + + = ï î . Khi đó ( ) 2 2 2 25 25 25 25 235 235 3 4 5 2 3. 2 4. 2 5.5 5 10 3 4 3 4 12 12 x y z x y z x y z æ ö + + ³ + + - + + = + + - = ç ÷ è ø Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!! BÀI TẬP 1. Cho , , 0 , 1 x y z x y z > + + £ . Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) 1 1 1 2 3P x y z x y z æ ö = + + + + + ç ÷ è ø 2. Tìm giá trị lớn nhất của 2 3 5 2 y x x = - + - 3. Cho , , 0, 1 x y z xy yz zx ³ + + = . Chứng minh rằng 2 2 2 10 10 4 x y z + + ³ 4. Cho 1, 1 a b > > . Chứng minh rằng 1 1 a b b a ab - + - £ 5. Cho , , 0, 1 a b c a b c > + + = . Chứng minh rằng 6 a b b c c a+ + + + + £ 6. Kỹ thuật ghép nhóm: Trong phần này bạn phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản thường gặp và phải sử dụng được kỹ thuật cân bằng hệ số . Ví dụ 1: Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng 2 2 2 a b c a b c b c a + + ³ + + Giải Ta có 2 2 a b a b + ³ . Đẳng thức xảy ra khi a b = 2 2 b c b c + ³ . Đẳng thức xảy ra khi b c = 2 2 c a c a + ³ . Đẳng thức xảy ra khi c a = Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c a b c b c a b c a + + + + + ³ + + Û + + ³ + + . Đẳng thức xảy ra khi a b c = = Ví dụ 2: Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng ( ) 3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + ³ + + + + + Giải Ta có ( ) 3 2 1 2 . 2 2 9 3 a a a b a a b + + ³ + ( Hãy suy nghĩ vì sao có số 1 9 ? ) ( ) 3 2 1 2 . 2 2 9 3 b b b c b b c + + ³ + ( ) 3 2 1 2 2 2 9 3 c c c a c c a + + ³ + Suy ra ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 9 a b c a b c a b c ab bc ca a b b c c a + + ³ + + - + + + + + = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 9 a b c a b c ab bc ca = + + + + + - - - Đến đây không khó để chứng tỏ 2 2 2 a b c ab bc ca + + ³ + + . Do đó ta có điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b c = = Ví dụ 3: Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 2 a b c a b c b c a c a b a b c + + ³ + + + + + Giải Ta có ( ) ( ) 3 3 3 a mb n c a mna b c a + + + ³ + . Đẳng thức xảy ra khi ( ) ( ) 3 a mb n c a b c a = = + + mà ta dự đoán trong bài toán trên đẳng thức xảy ra khi a b c = = nên ( ) ( ) 3 1 2 1 4 m a ma n a a a a a n ì = ï ï = = + Û í + ï = ï î Do đó ( ) ( ) 3 1 1 3 2 4 2 a b c a a b c a + + + ³ + ( ) ( ) 3 1 1 3 2 4 2 b c a b b c a b + + + ³ + ( ) ( ) 3 1 1 3 2 4 2 c a b c c a b c + + + ³ + Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b a b c + + ³ + + - + + - + + = + + + + + Đẳng thức xảy ra khi a b c = = BÀI TẬP 1. Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng 5 5 5 3 3 3 a b c a b c bc ca ab + + ³ + + 2. Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ³ + + 3. Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + ³ + + 4. Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng 5 5 5 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ³ + + . 5. Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 1 4 a b c a b c b c c a a b + + ³ + + + + + 6. Cho , , 0 a b c > .Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 3 3 3 1 4 a b c a b c a b b c b c c a c a a b + + ³ + + + + + + + + [...]... ³ "a, b, c > 0 b+c c+a a+b 2 Giải 2 Ta có (a + b + c) a b c a2 b2 c2 Ta có + + = + + ³ b + c c + a a + b ab + ca bc + ab ca + bc 2 ( ab + bc + ca ) 2 Mặt khác ( a + b + c ) ³ 3 ( ab + bc + ca ) Từ đó suy ra điều phải chứng minh 2 Ví dụ 5: Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng 1 1 1 1 + £ + a + 2b b + 2a 3a 3b Giải 1 1 (1 + 1 + 1) 1 æ 12 12 12 ö 1 æ 1 2 ö = £ ç + + ÷= ç + ÷ a + 2b 9 a + b + b 9 è a b b ø . KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY I Bất đẳng thức Cauchy , , 0 x y z " ³ ta có : 2 x y xy + ³ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ. Û í í í = = = î î ï - î Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ 5 bạn có suy nghĩ gì và có rút ra một kinh nghiệm nào không? + Lưu ý : kĩ thuật này áp dung trong các trường hợp: 1. Chứng minh BĐT dạng ³ 3 a a a b a a b + + ³ + ( Hãy suy nghĩ vì sao có số 1 9 ? ) ( ) 3 2 1 2 . 2 2 9 3 b b b c b b c + + ³ + ( ) 3 2 1 2 2 2 9 3 c c c a c c a + + ³ + Suy ra ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2