CASIO-LUCAS-FIBONACCI

www.vnmath.com 1 Chơng 2. Dãy truy hồi Đ1. Dãy Fibonacci 1. Bi toán thỏ đẻ con Giả sử thỏ đẻ con theo quy luật: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng đẻ đợc một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con sau 2 tháng tuổi lại bắt đầu sinh một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại tiếp tục sinh ra một đôi thỏ nữa, v.v v giả sử tất cả các con thỏ đều sống. Hỏi nếu có một đôi thỏ nuôi từ tháng giêng v đẻ con vo tháng hai thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ tất cả. Bi toán ny đợc Fibonacci (1170-1250), một thơng gia ngời ý, cũng l một nh toán học nổi tiếng nhất thời Trung cổ, viết trong cuốn sách Liber abaci (Sách về tính toán) năm 1202. Số thỏ tính theo tháng có thể đợc mô tả theo sơ đồ dới đây. Tháng 1: 1 1 đôi Tháng 2: 1 2 2 đôi Tháng 3: 3 đôi Tháng 4: 5 đôi Tháng 5: 8 dôi Tháng 6: 13 đôi Số thỏ của từng tháng sẽ l: Trong tháng giêng có một đôi thỏ số 1. Vo đầu tháng 2, đôi thỏ ny đẻ một đôi thỏ số 2. Vậy trong tháng 2 có 2 đôi thỏ. Vo đầu tháng 3, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 3, còn đôi thỏ số 2 mới sau 1 tháng nên cha đẻ đợc. Vậy trong tháng 3 có 3 đôi thỏ. Vo đầu tháng 4, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 4, đôi thỏ số 2 đẻ ra đôi thỏ số 4.1, còn đôi thỏ số 3 mới đợc 1 tháng nên cha đẻ đợc. Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ. Vo đầu tháng 5, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 5.1, đôi thỏ số 2 đẻ ra đôi thỏ số 5.2, đôi thỏ số 3 đẻ ra đôi thỏ số 5.3, đôi thỏ số 4 v số 4.1 mới đợc 1 tháng cha đẻ đợc. Vậy trong tháng 5 có 8 đôi thỏ. Ta thấy rằng: Từ tháng giêng đến cuối tháng năm số đôi thỏ l: 1, 2, 3, 5, 8. Tiếp tục lý luận nh trên ta có dãy số: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Dãy số ny có quy luật: mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ ba, bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trớc nó: 1 1 2; 2 1 3; 3 2 5; 5 3 8; 8 5 13; 13 8 21; 21 13 34; 34 21 55; 55 34 89; 89 55 144, Nếu gọi số thỏ của tháng thứ n l n u thì ta có công thức sau: 1 1u , 2 1u , 11nnn uuu với mọi 2n . Dãy số trên sau ny đợc Lucas gọi l dãy Fibonacci. Những số hạng n u của dãy trên đợc gọi l số Fibonacci. 2. Công thức tổng quát của số Fibonacci Số hạng thứ n của dãy Fibonacci đợc tính theo công thức 11 5 1 5 (( ) ( ) ) 22 5 nn n u . (1) Trớc tiên ta hãy thử tính một vi giá trị của n u : Với 1n : 11 1 11 5 1 5 (( ) ( ) ) 1 22 5 u ; Với 2n : 22 2 11 5 1 5 (( ) ( ) ) 1 22 5 u ; Với 3n : 33 2 1 1 5 1 5 1 135 3.5 55 135 3.5 55 (( ) ( ) ) ( ) 2. 22 8 8 55 u Với 4n : 44 2222 4 115 15 115 15 15 15 [( ) ( ) ] [( ) ( ) ][( ) ( ) ] 22 2222 55 u www.VNMATH.com www.vnmath.com 2 22 15 15 12551255 ()() 3 22 4 4 Một điều thú vị l: Một biểu thức chứa căn thức khá cồng kềnh, nhng nó luôn l một số nguyên với mọi giá trị của n ! Cảnh báo: Nếu bạn lời biến đổi toán học, m lạm dụng máy tính thì kết quả có thể chỉ đợc những số gần đúng. Bây giờ ta có thể chứng minh tính chất ny bằng quy nạp nh sau. Giả sử công thức (1) đúng với mọi giá trị của nk . Khi ấy với 1nk ta có: 11 11 22 11 11 5 1 5 11 5 1 5 (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) 22 2 2 55 11 5 2 1 5 2 [( ) (1 ) ( ) (1 )] 22 515 15 11535 1535 [( ) ( ) ( ) ( )] 22 515 15 11 5(1 5) 1 5(15) 11 5 1 5 [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] 22 22 52(15) 2(15)5 kk k k kkk kk kk kk kk uuu Công thức (1) đợc chứng minh. 2. Tính số Fibonacci trên máy tính điện tử bỏ túi Ta có cách tìm số Fibonacci cực kỳ đơn giản trên máy tính bỏ túi nh sau: Quy trình tính số Fibonacci trên các máy Casio Quy trình 1 tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB (gồm 8 chữ số trên mn hình): Bấm phím: 1 M+ V lặp lại dãy phím: MRC M- MRC M+ Quy trình 2 tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB: Bấm phím: 1 M+ V lặp lại dãy phím: MRC M+ Quy trình 2b tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB: Bấm phím: 1 M+ V lặp lại dãy phím: M+ MRC Thực hiện một trong hai quy trình ny cho đến khi trn mn hình, ta đợc 39 số Fibonacci đầu tiên: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025,121393, 196418, 317811, 514229, 830240, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986. Quy trình 3 tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A: Bấm phím: 1 Min V lặp lại dãy phím: SHIFT XM Quy trình 3b tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A: Bấm phím: 1 Min V lặp lại dãy phím: SHIFT XM Giải thích: Bớc 1: Bấm phím 1, trên mn hình hiện số 1, (tức l ta đã khai báo 0 1u ), v bấm phím Min (coi 1 1u v đa 1 1u vo ô nhớ). Bớc 2: Bấm phím SHIFT XM để cộng với số trên mn hình với số đổi chỗ 0 1u với số trong ô nhớ ( 1 1u ). Trên mn hình vẫn hiện số 1, nhng số 1 ny l 1 1u , trong ô nhớ bây giờ l 0 1u . Bớc 3: Bấm phím ta sẽ đợc số Fibonacci 2 2u . Lặp lại quá trình ny ta sẽ lần lợt tính đợc các số hạng của số Fibônacci theo công thức tổng quát: 11 nnn uuu với mọi 2n . Quy trình 4 tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A: Bấm phím: 1 Min V lặp lại dãy phím: MR M+ www.VNMATH.com www.vnmath.com 3 Quy trình 5 tính số Fibonacci trên Casio 570 MS, Casio 570 MS, Casio 570 W hoặc Casio fx- 4800P: Bấm phím: 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO M V lặp lại dãy phím: ALPHA A SHIFT STO A ALPHA M SHIFT STO M Thực hiện quy trình 3, quy trình 4 hoặc quy trình 5 trên các máy tơng ứng (có 10 chữ số), ta đợc 49 số Fibonacci đầu tiên (39 số ở trên v 10 số tiếp theo, số thứ 50 bằng 10 1258626902 , vợt quá khả năng hiển thị của mn hình): 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049. Quy trình 6 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s (máy có 12 chữ số): Bấm phím: 1 Min V lặp lại dãy phím: SHIFT XM Quy trình 7 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s: Bấm phím: 1 Min V lặp lại dãy phím: M+ MR Quy trình 8 tính số Fibonacci trên Casio fx-7400G, Casio CFX-9850 PLUS hoặc Casio ALGEBRA FX 2.0 PLUS: Bấm phím: 1 ALPHA A EXE 1 ALPHA B EXE V lặp lại dãy phím: ALPHA A ALPHA B EXE ALPHA B EXE Thực hiện quy trình 6, quy trình 7 hoặc quy trình 8 trên các máy tơng ứng (hiển thị đợc 12 chữ số) cho đến khi trn mn hình. Ta đợc 59 số Fibonacci đầu tiên (49 số ở trên v 10 số tiếp theo, số thứ 60 vợt quá 12 chữ số): 12586269025 , 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 59128672879, 956722026041. Lời bình 1: Công cụ nh nhau (trên cùng một máy), nhng quy trình 2, quy trình 4 hoặc quy trình 7 đòi hỏi ít thao tác hơn (mỗi phép lặp chỉ cần bấm 3 phím so với 6 phím của quy trình 1, quy trình 3 hoặc quy trình 6), do đó ít nhầm lẫn hơn v thời gian thực hiện bằng nửa thời gian tính theo chơng trình 1, quy trình 3 hoặc quy trình 6. Chú ý: Tất nhiên, một quy trình trên có thể thực hiện trên các máy khác (không liệt kê). ở trên chúng ta chỉ liệt kê máy đặc biệt cho quy trình ấy thôi. Quy trình 9 (trên máy Calculator trong Windows): Bấm phím: 1 M+ V lặp lại dãy phím: MR M+ Ta sẽ đợc 159 số Fibonacci đầu tiên trên máy Calculator (hiển thị đợc 33 chữ số trên mn hình) l 59 số ở trên v 100 số tiếp theo, dới đây l các số Fibonacci thứ 60 đến 100. Do số Fibonacci thứ 100 mới chỉ có 21 chữ số nên ta có thể tiếp tục tính số thỏ cho tới số Fibonacci thứ 159. 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 11766930460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 31940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075. Quy trình 10 tính số Fibonacci 11 u trên Casio fx - 500A theo công thức nghiệm tổng quát 11 5 1 5 (( ) ( ) ) 22 5 nn n u Thực hiện: 1 5 2 SHIFT y x 10 [( [( 1 5 )] 2 )] SHIFT y x 10 5 (54.99999999) Quy trình 11 Tính số Fibonacci n u trên Casio fx-570 MS theo công www.VNMATH.com www.vnmath.com 4 thức nghiệm tổng quát: ( ( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X ( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X ) 5 Bấm CALC máy hiện X? Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các số trên. Lời bình 4: Máy Casio fx-570MS v một số máy khác tiện lợi hơn Casio fx 500A vì chỉ cần lập trình(khai báo công thức) một lần, sau đó sau mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X bằng một trong các số tự nhiên từ 1 đến 49, ta sẽ đợc các n u tơng ứng, trong khi đó, với Casio fx 500A, mỗi lần cần tính số hạng thứ n u no đó ta lại phải lặp lại công thức từ đầu (máy không lu đợc biểu thức cần tính). Lời bình 5: Tính theo công thức nghiệm tổng quát: 11 5 1 5 (( ) ( ) ) 22 5 nn n u Ta chỉ đợc số gần đúng, nếu không chú ý có thể dẫn đến đáp số sai (số thỏ không phải l số nguyên, các số Fibonacci 45 u , , 49 u bị sai một đơn vị- sai một con thỏ). Dới đây l bảng đáp số tính gần đúng theo công thức (1) v các giá trị chính xác (tính theo các quy trình bấm phím). n u (1) Số đúng n u (1) Số đúng 5 u 54,999 55 41 u 165580140,9 165580141 15 u 609,99 610 42 u 267914295,9 267914296 16 u 986,99 987 43 u 433494436,9 433494437 19 u 4180,99 4181 44 u 701408732,9 701408733 20 u 6764,99 6765 45 u 1134903169 1134903170 25 u 75024,99 75025 46 u 1836311902 1836311903 38 u 39088168,99 39088169 47 u 2971215072 2971215073 39 u 63245985,99 63245986 48 u 4807526975 4807526976 40 u 102334154,9 102334155 49 u 7778742048 7778742049 Nhận xét: Không nhất thiết phải bắt đầu từ hai số hạng đầu l 1 1u v 2 1u . Có thể bắt đầu từ hai số hạng liên tiếp bất kỳ của dãy Fibonacci, thí dụ, sau khi tính trên máy Casio LC-403 LB đợc 38 số, chuyển sang máy Casio fx- 500A tính tiếp theo chớng trình 4 nh sau. Trớc tiên khai báo số hạng thứ 37 v 38 của dãy Fibonacci: Bấm phím: 24157817 M+ 39088169 V lặp lại dãy phím: MR M+ Ta lại đợc các số hạng tiếp theo của dãy Fibonacci. Lời bình 6: Có thể thiết kế cuộc thi "chạy tiếp sức" trên cơ sở bi toán tìm số Fibonacci. Mỗi đội gồm 5 máy: Trớc tiên cho máy Casio LC-403 LB chạy đợc 39 số, tiếp theo chuyển sang Casio fx- 500A, đợc thêm 10 số, sau đó chuyển sang Casio fx - 992s đợc thêm 10 số nữa. Cuối cùng chuyển sang Caculator (trong Window) thì có thể tìm đợc 159 số Fibonacci. Một máy dùng để tính số Fibonacci theo công thức tổng quát. Các tính chất của dãy Fibonacci Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất hay, dới đây l một số tính chất quen thuộc. Nhiều tính chất có thể mở rộng cho dãy Lucas. Tính chất 1. 11 mkmkkmk uuu uu hay 11nm n m nm uuuuu . Tính chất ny có thể chứng minh bằng quy nạp theo k hoặc bằng tính toán theo công thức (1). Với 1n ta có: Để áp dụng tính chất ny, ta cần biết các số hạng bên phải. Nói chung ta nên chọn các số n v m gần nhau để tính toán đợc thuận tiện. Thí dụ, cần tính số thỏ sau 2 năm (24 tháng) ta có thể chọn 12nm v thay vo công thức trên để tính: 24 12 12 11 12 12 13 12 11 13 . . ( ) 144(89 233) 46368uu uuuuuuu . Muốn tính số thỏ sau 25 tháng ta lm nh sau: 22 2 2 25 13 12 12 12 13 13 12 13 . . 144 233 75025uu uuuuuu . Tính chất 2. 22 21 1nnn uuu . Chứng minh: Suy ra từ tính chất 1 nh sau: 22 21 (1) 1 1 1 nnnnnnnnn uu uuuuuu . www.VNMATH.com www.vnmath.com 5 áp dụng: Muốn tính số thỏ sau 25 tháng ta lm nh sau: 22 2 2 25 2.12 1 12 13 144 233 75025uu uu . Nhận xét: Các tính chất 1-2 cho phép tính các số hạng của dãy Fibonacci m không nhất thiết phải biết tất cả các số hạng trong dãy Fibonacci trớc nó. Các ví dụ trên chỉ ra rằng, để tính đợc 25 u ta chỉ cần biết 12 u v 13 u , để tính đợc 24 u , ta chỉ cần biết 11 u , 12 u v 13 u . Nếu cha biết các số 11 u , 12 u v 13 u thì ta lại một lần nữa sử dụng hai tính chất trên để hạ chỉ số của số hạng (biểu diễn các số hạng có chỉ số cao qua các số hạng có chỉ số thấp). Hơn nữa, các tính chất trên còn có thể sử dụng để tính các số hạng với chỉ số cao m giá trị của số hạng ấy lớn đến mức trn mn hình. Với số Fibonacci lớn hơn 49, ta không tính đợc trên máy tính bỏ túi vì trn mn hình. Nhng ta có thể tính các số Fibonacci nhỏ hơn rồi áp dụng công thức trên để tính số Fibonacci lớn (bằng cách cộng trên giấy hoặc dùng Calculator cộng hai kết quả cuối cùng). Thí dụ: Tính số thỏ sau 50 tháng: 22 50 24 26 24 25 25 26 25 24 26 12 13 24 26 22 ()()() (144 233 )(46368 121393) (20376 54289)167761 20376 167761 54289 167761 3416788287 9107576929 12524365216 uu uuuuuuu uuuu Tính chất 3. 21 1 .(1) n nnn uuu . Tính chất 4. 135 212 nn uuu u u . Tính chất 5. Với mọi n ta có: 42 2 :3 nnn nn vuu uu . Nghĩa l: biểu thức 42 2 . nn nn uu uu luôn bằng hằng số (bằng 3) với mọi n . Chứng minh: Thật vậy, 3222 3222 3221 31 3 21 33 3 21 33 11 1 () () () () nnnnnnnn nnn nn nn nn n nn nn n nn nn nn n vuuuuuuuuuu uuuu uu u uu uu u uu uu uu v Suy ra: 37153 21.1 8.3 3 n vvuuuu . Tính chất 6. (Toán học & Tuổi trẻ, số 12-1994, bi T6/206) Với mọi n số 2224 49 nnn uuuu l một số chính phơng. Chứng minh: Theo tính chất 3 ta có: 2 224 2 2 2 494(3)9(23) n nn n nn nn nn u uu u uu uu uu . Tính chất 7. (Toán học & Tuổi trẻ, số 12-1994, bi T6/206) Với mọi n số 22 21 4 nnknkln kl k k uu u u uu l một số chính phơng. Chứng minh: Tơng tự tính chất 4 nhờ sử dụng tính chất (1). Tính chất 8. 1 1 lim n n n u u v 2 1 lim n n n u u , trong đó 1 v 2 l nghiệm của phơng trình bậc hai: 2 10xx, tức l: 1 15 1,61803 2 v 2 15 0,61803 2 . Trớc khi chứng minh ta có thể nhờ máy tính để kiểm tra tính chất ny. Thí dụ, 46 45 2971215073 1.618033989 1836311903 u u ; 47 46 4807526976 1.618033989 2971215073 u u ; 48 47 7778742049 1.618033989 4807526976 u u . Đến đây, ta có thể tin tởng chắc chắn tính chất trên l đúng. Về mặt toán học, ta dễ dng chứng minh 1 1 lim n n n u u v 1 2 lim n n n u u nhờ công thức nghiệm (1). Bi tập 2 (Vô địch Toán Moscow lần thứ 9, 1946) Trong số 8 10 1 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci, có số no tận cùng bằng bốn số 0 không? Balatsơ đã giải bi toán khó hơn: Đánh số tất cả các số hạng tận cùng bằng bốn chữ số 0 v đã đợc giải nhất. Đ2. Dãy Fibonacci suy rộng 1. Dãy Lucas Dãy Lucas l dãy số tổng quát của dãy Fibonacci: các số hạng của nó tuân theo quy luật: 1 ua , 2 ub , 11nnn uuu với mọi 2n , trong đó a v b l hai số no đó. Với 1ab thì dãy Lucas trở thnh dãy Fibonacci. Ta cũng có thể tính số hạng của dãy Lucas rất đơn giản nhờ máy tính điện tử bỏ túi fx 500A nh sau. www.VNMATH.com www.vnmath.com 6 Quy trình 1 tính số Lucas trên Casio fx 500A: Bấm phím: a M+ b V lặp lại dãy phím: M+ MR Quy trình 2 tính số Lucas trên Casio fx 500A: Bấm phím: a Min b V lặp lại dãy phím: SHIFT XM Quy trình 3 tính số Lucas trên Casio fx 500A: Bấm phím: b Min a V lặp lại dãy phím: SHIFT XM Cho 1 ua , 2 ub các giá trị số no đó, sau khi thực hiện các bớc lặp theo một trong các quy trình trên ta đợc dãy Lucas. Quy trình tính số Lucas trên Casio 570 MS: Bấm phím: b SHIFT STO A a SHIFT STO M V lặp lại dãy phím: ALPHA A SHIFT STO A ALPHA M SHIFT STO M Thí dụ 1. Với 1 1u v 2 3u : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 781196, 12752043, 20633239, Thí dụ 2. Với 1 3u , 2 4u : 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309, 500, 809, 1309, 2118, 3427, 5545, 8972, 14517, 23489, Thí dụ 3. Với 1 1u , 2 5u : -1, -5, -6,-11,17,-28, Thí dụ 4. Với 1 1u , 2 5u : 1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, 2. Dãy Fibonacci suy rộng 2.1. Dãy Fibonacci (Dãy Lucas) suy rộng tuyến tính dạng 1 ua , 2 ub , 11nnn uAuBu với mọi 2n . Quy trình tính số Fibonacci suy rộng dạng 11nnn uAuBu trên Casio fx- 500A: Bấm phím: A b Min B a V lặp lại dãy phím: SHIFT XM B MR A Giải thích: Sau khi thực hiện A b Min B a , máy đa 2 bu vo trong ô nhớ v tính tổng 21 A bBa Au Bu . Sau khi bấm phím , trên mn hình sẽ l số hạng thứ ba của dãy: 321 :uAuBu. Sau khi thực hiện đổi chỗ các số trên mn hình v ô nhớ: SHIFT XM , trên mn hình sẽ l 2 bu , còn trong ô nhớ sẽ l 3 u . Sau khi thực hiện B , trên mn hình sẽ l 2 Bu . Sau khi thực hiện MR A , trên mn hình sẽ l 3 A u . Sau khi bấm phím , máy tính tổng 32 A uBu , trên mn hình sẽ l 432 :uAuBu. Nh vậy, sau một vòng lặp, ta có số hạng 4 u trên mn hình v 3 u trong ô nhớ. Lại thực hiện vòng lặp SHIFT XM B MR A trớc tiên ta đổi 3 u trong ô nhớ ra mn hình v 4 u trên mn hình vo ô nhớ. Sau đó lấy 3 u (lúc ny trên mn hình) nhân với B v cộng với MR (l 4 u ) nhân với A ta đợc 543 :uAuBu trên mn hình v 4 u trong ô nhớ. Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số 11nnn uAuBu . Thí dụ. Với 4 A , 5B , 1 2ua v 2 3u , 11 45 nnn uuu , thực hiện quy trình 5 2 4 3 Min lặp lại dãy phím: SHIFT XM 5 MR 4 ta đợc dãy: 2, 3, 22,103, 522, 2603, 13022, 65103, 325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522, 1017252603, 5086263022, 10 2.54313151 (trn mn hình). www.VNMATH.com www.vnmath.com 7 Quy trình tính số hạng của dãy Fibonacci suy rộng dạng 1 ua , 2 ub , 11nnn uAuBu trên Casio fx-570 MS: Bấm phím: b SHIFT STO A A B a SHIFT STO B V lặp lại dãy phím: A ALPHA A B SHIFT STO A A ALPHA B B SHIFT STO B Giải thích: Sau khi thực hiện b SHIFT STO A A B a SHIFT STO B trong ô nhớ sẽ A l 2 bu , máy tính tổng 321 :uAbBaAuBu v đẩy vo trong ô nhớ B , trên mn hình cũng l 321 :uAbBaAuBu . Sau khi thực hiện A ALPHA A B SHIFT STO A máy tính tổng 432 :uAuBu v đa vo ô nhớ A . Nh vậy, ta có số hạng 4 u trên mn hình v trong ô nhớ A , còn trong ô nhớ B l 3 u . Sau khi thực hiện A ALPHA B B SHIFT STO B ta có số hạng 5 u trên mn hình v trong ô nhớ B , còn trong ô nhớ A l 4 u . Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số 11nnn uAuBu . Thí dụ. Với 4 A , 5B , 1 2ua v 2 3ub , 11 45 nnn uuu , thực hiện quy trình: 3 SHIFT STO A 4 5 2 SHIFT STO B v lặp lại dãy phím: 4 ALPHA A 5 SHIFT STO A 4 ALPHA B 5 SHIFT STO B ta đợc dãy: 2, 3, 22,103, 522, 2603, 13022, 65103, 325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522, 1017252603, 5086263022, 10 2.54313151 (trn mn hình). Nhận xét: Hai quy trình trên hai máy cùng đi đến một kết quả nh nhau, nhng lm trên Casio fx- 570 MS tiện hơn vì máy hiện hai dòng chữ cho ta thấy kết quả của phép toán trớc, không gây nhầm lẫn. Bi tập 1 (Thi học sinh giỏi Toán Quốc gia THPH 1998-19992) Cho dãy số 0 n n x v 0 n n y đợc xác định nh sau: 0 1x , 1 4x v 21 3 nnn x xx với 0,1,2,3, n 0 1y , 1 2y v 21 3 nnn yyy với 0,1,2,3, n Chứng minh rằng 22 540 nn xy với mọi 0,1,2,3, n Giả sử ,ab l các số nguyên dơng m 22 540ab . Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho k x a v k yb . Bi tập 2 (Olympic Toán Singapore 2001) Cho 1 2000a , 2 2001a v 21 23 nnn aaa với 1,2,3, n Tìm giá trị của 100 a . Bi tập 3 (T1/265, THTT 11-1999) Cho 1 1a , 2 3a v 21 21 nnn aaa với 1,2,3, n Chứng minh rằng 2 4. 1 nn Aaa l số chính phơng. Bi tập 4 (T8/267, THTT, 1-2000) Cho dãy số 0 3u , 1 11u v 21 27 nnn uuu với 0,1,2,3, n Tìm các số nguyên dơng lẻ a sao cho với các số nguyên dơng m v n tuỳ ý luôn tìm đợc số nguyên dơng k thỏa mãn k n ua chia hết cho 2 m . Bi tập 5 (T6/268, THTT-2-2000) Cho 0 aa , 1 ab v 21nnn adaa với 0,1,2,3, n , trong đó ,ab l hai số nguyên khác 0 còn d l số thực. Tìm mọi giá trị của d để n a l số nguyên với mọi 0,1,2,3, n Bi tập 6 (Olympic Toán Ba Lan 1995) Cho số nguyên tố 3p . Xét dãy n a xác định bởi n an với 0,1,2,3, , 1np ; 1nn np aa a . Tìm số d khi chia 3 p a cho p . Bi tập 7 (T7/270, THTT 4-2000) Cho dãy số n u đợc xác định bởi: 0 1u , 1 1u v 11nnn ukuu với mọi 0,1,2,3, n Tìm tất cả các giá trị của k để dãy n u l tuần hon. Bi tập 8 (T6/278, THTT 12-2000) www.VNMATH.com www.vnmath.com 8 Cho dãy số n u đợc xác định bởi: 0 1u , 1 1u v 21 1999 nnn uuu với mọi 0,1,2,3, n Tìm tất cả các số tự nhiên n để dãy n u l số nguyên tố. Bi tập 9 (T6/301, THTT 7-2001) Cho dãy số n u đợc xác định bởi: 1 5u , 2 11u v 11 23 nnn uuu với mọi 2,3, n Chứng minh rằng: 1) Dãy số trên có vô số số dơng v số âm. 2) 2002 u chia hết cho 11. Bi tập 11 (T1/219, THTT 1-1996) Chứng minh rằng: 1) Nếu n l số tự nhiên m 2 1 3 n l tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì n l tổng bình phơng của hai số tự nhiên liên tiếp. 2) Dãy số n u đợc xác định bởi: 0 1u , 1 13u v 21 14 nnn uuu với mọi 0,1,2,3, n có tính chất: các số hạng n u của dãy l tổng bình phơng của hai số tự nhiên liên tiếp, hơn nữa 2 1 3 n u l tích của hai số liên tiếp. Bi tập 12 (Thi học sinh giỏi THPT 1995) Dãy số n u đợc xác định bởi: 0 1u , 1 3u v 1 2 1 9, 2 95,21 nn n nn uunk u uunk với mọi 0,1,2,3, n Chứng minh rằng: 1) 2000 2 1995 k k u chia hết cho 20. 2) 21n u không phải l số chính phơng với mọi n. 2.2. Dãy Fibonacci (dãy Lucas) suy rộng bậc hai dạng 1 ua , 2 ub , 1 22 1 nn n uuu với mọi 2n . Quy trình tính số hạng của dãy 1 ua , 2 ub , 1 22 1 nn n uuu trên Casio fx- 500A: Bấm phím: a SHIFT 2 x b Min SHIFT 2 x V lặp lại dãy phím: SHIFT XM SHIFT 2 x MR SHIFT 2 x Thí dụ. Với 12 1uu, 1 22 1 nn n uuu , thực hiện quy trình trên ta đợc dãy: 1,1, 2, 5, 29, 866, 750797, 11 5.636968851 . Quy trình tính số hạng của dãy 1 ua , 2 ub , 1 22 1 nn n uuu trên Casio fx-570 MS: Bấm phím: b SHIFT STO A 2 x a 2 x SHIFT STO B V lặp lại dãy phím: 2 x ALPHA A 2 x SHIFT STO A 2 x ALPHA B 2 x SHIFT STO B Bi tập 13 (Thi vô địch Toán Lêningrat, 1967) Cho dãy 12 1uu, 22 11 n nn uuu . Tìm số d của n u chia cho 7. 2.3. Dãy Fibonacci phi tuyến 1 ua , 2 ub , 11 21 () ( ) nnn uFuFu với mọi 2n , trong đó 1 () F x v 2 () F x l hai biểu thức toán học của biến số x . Quy trình tính số hạng của dãy 1 ua , 2 ub , 11 21 () ( ) nnn uFuFu trên Casio fx- 500A: Khai báo b Min Tính 1 () F b 2 () F a www.VNMATH.com www.vnmath.com 9 ta đợc 2 ub trong ô nhớ v 312 21 1 2 () () () ()uFu Fu FbFa trên mn hình. V lặp lại dãy phím: SHIFT XM 2 F 1 F MR Quy trình tính số hạng của dãy 1 ua , 2 ub , 11 21 () ( ) nnn uFuFu trên Casio fx-570 MS: Bấm phím: b SHIFT STO A 1 F 1 () F a SHIFT STO B V lặp lại dãy phím: 2 F ALPHA A 1 F SHIFT STO A 2 F ALPHA B 1 F SHIFT STO B 2.4. Dãy truy hồi tổng quát 1 1 () k nii i uFu với mọi nk , trong đó 1 u , 2 u , , k u cho trớc, () i F x , 1, ,in l các biểu thức toán học của biến số x . Khi 3k ta khó có thể sử dụng Casio fx- 500A đợc vì chỉ có 1 ô nhớ + mn hình. Tuy nhiên, có thể sử dụng Casio fx-570 MS để tính dãy truy hồi tổng quát trên (với 10k ) vì Casio fx-570 MS có đến 9 ô nhớ. Thí dụ. Dãy Fibonacci bậc 3: 12 1uu , 3 2u , 112nnnn uuuu với 3n . Quy trình tính số hạng của dãy 12 1uu , 3 2u , 112nnnn uuuu trên Casio fx-570 MS: Đa 2 u vo A : 1 SHIFT STO A Đa 3 u vo B : 1 SHIFT STO B Tính 4 u : ALPHA B ALPHA A 1 SHIFT STO C ( 4 u ) V lặp lại dãy phím ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A ( 5 u ) ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B ( 6 u ) ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C ( 7 u ) Ta đợc dãy: 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653, Bi tập (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán ton nớc Mỹ, 1970) Nếu () F n đợc tính theo công thức: (1) (2) (3) 1 FF F v ().( 1) 1 (1) (2) FnFn Fn Fn với 3n . Thế thì: (6)F bằng: (A) 2; (B) 3; (C) 7; (D) 11; (E) 26. Đ3. Dãy Fibonacci v các vấn đề liên quan Dãy Fibonacci khá nổi tiếng. Nó liên quan tới nhiều vấn đề khác của toán học v thực tế: Dãy Lucas, số vng, sắp xếp các lá cây trên một thân cây, 1. Số vng Liên quan giữa số Fibonacci v số vng đợc thể hiện qua bi thi sau đây Thi tú ti Paris - Cretpell - Versailes (Pháp, 1989 - 1990, Ban A1 - Ban văn chơng) Platon có nói: "Số l bậc cao nhất của tri thức con số ấy chính l tri thức". Con số ấy l "số vng" m ngời ta thờng gặp trong kiến trúc, âm nhạc, Nó có rất nhiều tính chất. Số vng, ký hiệu l , l nghiệm dơng của phơng trình 2 1 x x. 1) Tính . Hãy cho giá trị gần đúng (sai kém 2 10 ) của . 2) Sự tham gia của số vng vo kiến trúc Mặt tiền của điện Pathénon có dạng hình chữ nhật A BCD . Nếu ta dựng hình vuông A EFD bên trong hình chữ nhật thì ta có: A DEB A BBC (1) Hình chữ nhật A BCD thỏa mãn (1) thì đợc gọi l hình chữ nhật vng. a) Cho 1 A DAE v A Ba . Chứng tỏ a . Tính giá trị gần đúng (sai kém 2 10 ) của EB . b) Chứng tỏ A BCD l hình chữ nhật vng thì EBCF cũng l hình chữ nhật vng. 3) Khảo sát các lũy thừa của . Từ 2 1 (2) a) Chứng minh: 3 21 . Chứng minh: 4 44 ab , trong đó 4 a v 4 b l các số tự nhiên. www.VNMATH.com www.vnmath.com 10 b) Chứng minh: n nn ab ( n l số tự nhiên v 2n ), trong đó n a v n b l các số tự nhiên. Tính 1n theo n a , n b v rồi suy ra: 1 1 nnn nn aab ba với mọi 2n . c) Dùng các kết quả trên hãy điền các ô trống trong bảng dới đây: n 1 2 3 4 5 6 7 8 n a 1 1 n b 0 1 Lời giải: 1) Nghiệm dơng của 2 1 x x l 15 2 . Máy tính bỏ túi cho: 1,61803 1,62 . 2) a) Ta có: A DEB A BBC hay 11 1 a a . Suy ra 2 1aa hay a . Giá trị của EB : 15 51 11 1 0,62 22 EB a . b) A BCD l hình chữ nhật vng nên 11AD AB a . Đối với hình chữ nhật EBCF ta có (theo (1)): 1EB AD BC AB . Vậy EBCF cũng l hình chữ nhật vng. 3) a) Ta có: 2 1 . Suy ra 32 (1) 21 . 43 2 (2 1) 2 2( 1) 3 2 b) Giả sử ta có: n nn ab ( n l số tự nhiên v 2n ), trong đó n a v n b l các số tự nhiên. Khi ấy 12 .( ) (1) ( ) . nn nnn n n n nn n aba ba b ab a hay 1 1 nnn nn aab ba với mọi 2n . c) Bảng: n 1 2 3 4 5 6 7 8 n a 1 1 2 3 5 8 13 21 n b 0 1 1 2 3 5 8 13 Một số tính chất khác của số vng: 1) Ta có: 12 1 , 12 1 , 2 1 2,6183 . 2) Liên hệ giữa tỷ số vng với góc lợng giác: Góc (radian) Góc (độ) 2 (2sin) 2 (2cos) 20 0 9 1 22 1 22 10 0 18 2 1 1 2 3 20 0 27 2 22 2 22 5 0 36 2 2 1 1 4 0 45 12 12 0 81 1 22 1 22 2. Dãy Fibonacci trong thiên nhiên www.VNMATH.com