Dao ñộng ñiều hòa – Con lắc lò xo - Trần Thế An (havang1895@gmail.com – 09.3556.4557) Trang 1 DAO ðỘNG ðIỀU HÒA – CON LẮC LÒ XO Các công thức lượng giác: • sina + sinb = 2 2 cos 2 sin baba − + • sina - sinb = 2 2 cos 2 sin baba + − • cosa + cosb = 2 2 cos 2 cos baba − + • cosa - cosb = -2 2 ba sin 2 ba sin + − • sina.sinb = 2 1 [cos(a - b) – cos(a + b)] •cosa.cosb = 2 1 [cos(a - b) + cos(a + b)] • sina.cosb = 2 1 [sin(a - b) + sin(a + b)] • sinu = sina → +−= += π π 2 2 kau kau • cosu = cosa → u = ± a+ k2 π • tanu = tana → u = a+ k π • 2sin 2 a = 1- cos2a • 2cos 2 a = 1+ cos2a • sin(-a) = - sina = sin(a + π ) • cos(-a) = cosa • tan(-a) = - tana • cotg(-a) = - cotga • sin( α + 2 π ) = cos α • cos( α - 2 π ) =sin α • sin( α - 2 π ) = - cos α • cos( α + 2 π ) = - sin α Các giá trị ñặc biệt Góc 30 0 45 0 60 0 90 0 sin 2 1 2 2 2 3 1 cos 2 3 2 2 2 1 0 tan 3 3 1 3 + ∞ cotg 3 1 3 3 0 ( ) cos ( ) sin 1 2 1 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 − 2 2 − 3 2 − 1 2 − 2 2 − 3 2 − 6 π 4 π 3 π 2 π 1 1 1 − 1 − 2 3 π 3 4 π 5 6 π 3 π − 2 3 π − 4 π − 3 4 π − 6 π − 5 6 π − 2 π − π ± Dao ñộng ñiều hòa – Con lắc lò xo - Trần Thế An (havang1895@gmail.com – 09.3556.4557) Trang 2 1. Các ñịnh nghĩa về dao ñộng cơ ♦ Dao ñộng cơ học là sự chuyển ñộng lặp ñi lặp lại của một vật quanh một vị trí xác ñịnh gọi là vị trí cân bằng. ♦ Dao ñộng tuần hoàn là dao ñộng mà trạng thái chuyển ñộng của vật ñược lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian xác ñịnh gọi là chu kì dao ñộng: T ♦ Dao ñộng ñiều hòa là dao ñộng mà li ñộ của vật ñược biểu thị bằng hàm cos hay sin theo thời gian. Dao ñộng ñiều hòa là trường hợp ñặc biệt của dao ñộng tuần hoàn. 2. Phương trình dao ñộng ñiều hòa ♦ Phương trình li ñộ : - Phương trình dao ñộng: ))(cos( cmtAx ϕ ω + = Các ñại lượng ñặc trưng cho dao ñộng ñiều hòa: + x: li ñộ dao ñộng hay ñộ lệch khỏi vị trí cân bằng. ðơn vị tính (cm, m ) + A: Biên ñộ dao ñộng hay li ñộ cực ñại. ðơn vị tính (cm, m…) + ω: tần số góc của dao ñộng, ñại lượng trung gian cho phép xác ñịnh chu kỳ và tần số dao ñộng. ðơn vị tính (rad/s). + φ: pha ban ñầu của dao ñộng (t = 0), giúp xác ñịnh trạng thái dao ñộng của vật ở thời ñiểm ban ñầu. ðơn vị tính (rad) + (ωt + φ): pha dao ñộng tại thời ñiểm t, giúp xác ñịnh trạng thái dao ñộng của vật ở thời ñiểm bất kỳ t. ðơn vị tính (rad) * Chú ý : Biên ñộ dao ñộng A luôn là hằng số dương. ♦ Phương trình vận tốc Phương trình vận tốc: v = x’ = -ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ + 2 π ) (cm, m ) Nhận xét : - Vận tốc nhanh pha hơn li ñộ góc: 2 π - v luôn cùng chiều với chiều chuyển ñộng (vật chuyển ñộng theo chiều dương của trục tọa ñộ thì v > 0, theo chiều âm của trục tọa ñộ thì v < 0). ♦ Phương trình gia tốc Phương trình gia tốc: a = v’ = x’’= -ω 2 Acos(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ + π) = -ω 2 x (cm, m ) Nhận xét: - Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc 2 π , nhanh pha hơn li ñộ góc π. - a luôn hướng về vị trí cân bằng. ♦ Phương trình liên hệ giữa x, A, v và ω ñộc lập với thời gian: Ta có: +−= += )sin( )cos( ϕωω ϕω tAv tAx 2 2 2 2 2 22 22 1 ωω ω v xA v xA A v A x +=⇔+=⇒= + ⇒ * Chú ý : Khi vật ở VTCB: x = 0; |v| max = ωA; |a| min = 0 Khi vật ở biên: x = ± A; |v| min = 0; |a| max = ω 2 A ω ω ω ==→ A A v a 2 max max 3. Các ñại lượng trong dao ñộng cơ ♦ Chu kì dao ñộng T(s): Là khoảng thời gian ngắn nhất ñể vật thực hiện ñược một dao ñộng toàn phần, hay là khoảng thời gian ngắn nhất ñể trạng thái dao ñộng ñược lặp lại như cũ. Nếu trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện ñược N dao ñộng thì ta có: ∆t = N.T ♦ Tần số dao ñộng f(Hz): Là số lần dao ñộng trong một ñơn vị thời gian (số dao ñộng trong 1 giây), nó là ñại lượng nghịch ñảo của chu kỳ dao ñộng. ♦ Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc: ω = 2πf = T π 2 4. Năng lượng trong dao ñộng cơ: ♦ ðộng năng: W ñ = )(sin)(sin 2 1 2 1 22222 ϕωϕωω +=+= tWtAmmv ♦ Thế năng: W t = )(cos)(cos 2 1 2 1 22222 ϕωϕωω +=+= tWtAmmx Dao ñộng ñiều hòa – Con lắc lò xo - Trần Thế An (havang1895@gmail.com – 09.3556.4557) Trang 3 ♦ ðịnh luật bảo toàn cơ năng: W = W ñ + W t = 222 2 1 2 1 AmkA ω = = W ñmax = W tmax = const Trong quá trình dao ñộng thì ñộng năng và thế năng có sự biến ñổi qua lại, ñộng năng tăng thì thế năng giảm và ngược lại nhưng tổng của chúng là cơ năng(năng lượng toàn phần) luôn ñược bảo toàn. * Chú ý : - Dao ñộng ñiều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T. Thì ñộng năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2 5. Một số dao ñộng có phương trình ñặc biệt: • x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const. Các tham số của phương trình: - Biên ñộ là A, tần số góc là ω, pha ban ñầu φ. - x là toạ ñộ, x 0 = a là tọa ñộ ban ñầu, Acos(ωt + φ) là li ñộ của dao ñộng ñiều hòa. - Toạ ñộ vị trí cân bằng x = a, toạ ñộ vị trí biên x = a ± A - Vận tốc v = x’ = x 0 ’, gia tốc a = v’ = x” = x 0 ” - Hệ thức ñộc lập: a = -ω 2 x 0 ; 2 2 0 2 += ω v xA • x = a ± Acos 2 (ωt + φ). Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có: x = a ± Acos 2 (ωt + φ) = 1 cos(2 2 ) ( ) cos(2 2 ) 2 2 2 t A A a A a t ω ϕ ω ϕ + + ± = ± ± + . → Biên ñộ của dao ñộng ñiều hòa là 2 A ; tần số góc 2ω, pha ban ñầu 2φ. 6. Mối liên hệ giữa dao ñộng ñiều hòa và hình chiếu của chuyển ñộng tròn ñều. Xét một vật chuyển ñộng tròn ñều trên ñường tròn có bán kính A và tốc ñộ góc là ω. Tại thời ñiểm ban ñầu chất ñiểm ở vị trí ñiểm M 0 và tạo với trục ngang một góc φ. Tại thời ñiểm t chất ñiểm ở vị trí ñiểm M và góc tạo với trục ngang là (ωt + φ). Khi ñó hình chiếu của ñiểm M xuống Trục ngang là OP có ñộ dài ñại số x = OP = Acos(ωt + φ). Khi ñó ta nói hình chiếu của một chất ñiểm chuyển ñộng tròn ñều là một dao ñộng ñiều hòa. * Chú ý : Ứng dụng của hình chiếu chuyển ñộng tròn ñều vào dao ñộng ñiều hòa là một công cụ rất mạnh trong các Dạng bài toán liên quan ñến quãng ñường và thời gian trong dao ñộng ñiều hòa. Không chỉ giới hạn trong phạm vi của phần Dao ñộng cơ học này mà ở các phần về Dao dộng ñiện từ hay Dòng ñiện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu ñể áp dụng ñược là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán. 7. Con lắc lò xo: 7.1. Cấu tạo: - Con lắc lò xo gồm một là xo có ñộ cứng k (N/m) có khối lượng không ñáng kể, một ñầu cố ñịnh, ñầu còn lại gắng vào vật có khối lượng m. - ðiều kiện ñể con lắc lò xo dao ñộng ñiều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao ñộng trong giới hạn ñàn hồi. 7.2. Phương trình dao ñộng của con lắc lò xo x = Acos (ωt + φ) (cm) Với: • x: li ñộ dao ñộng hay ñộ lệch khỏi vị trí cân bằng. (cm) • A: Biên ñộ dao ñộng hay li ñộ cực ñại (cm) • ω: tần số góc của dao ñộng (rad/s) • φ: pha ban ñầu của dao ñộng (t = 0) • (ωt + φ): pha dao ñộng tại thời ñiểm t. (rad) ♦ Tần số góc: -Tần số góc của con lắc lò xo )s/ras( m k = ω ♦ Chu kì: T = k m 2 2 f 1 π ω π == Dao ñộng ñiều hòa – Con lắc lò xo - Trần Thế An (havang1895@gmail.com – 09.3556.4557) Trang 4 ♦ Tần số: f = m k 2 1 2T 1 ππ ω == 7.3. Năng lượng dao ñộng của con lắc lò xo ♦ ðộng năng: W ñ = )t(sinW)t(sinAm 2 1 mv 2 1 22222 ϕωϕωω +=+= ♦ Thế năng (thế năng ñàn hồi của lò xo): W t = )(cos)(cos 2 1 2 1 2 1 222222 ϕωϕωωω +=+== tWtmxmkx ♦ Cơ năng: W = maxmax 222 2 1 2 1 tñ WWAmkA === ω ðơn vị: k (N.m); m (kg); x (m); A (m) 7.4. Các Dạng dao ñộng của con lắc lò xo 7.4.1. Con lắc lò xo chuyển ñộng trên mặt phẳng ngang. ðặc ñiểm : - Tại vị trí cân bằng lò xo không bị biến Dạng (∆l = 0) . - Lực ñàn hồi tác dụng lên lò xo chính là lực hồi phục với - −= = ⇒−= kAF kAF kxF minhp maxhp hp 7.4.2. Con lắc lò xo chuyển ñộng thẳng ñứng. ðặc ñiểm : - Tại vị trí cân bằng lò xo biến Dạng (giãn hoặc nén) một ñoạn ∆l 0 ñược cho bởi biểu thức k mg l =∆ . Mà k = mω 2 nên 22 0 g m mg k mg l ω ω ===∆⇒ . Từ ñó ta có công thức tính chu kỳ tần số dao ñộng của con lắc lò xo trong trường hợp này: ∆ == ∆ == ⇒ ∆ =⇔=∆ 0 0 0 2 0 l g 2 1 T 1 f g l 2 2 T l gg l π π ω π ω ω - Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực ñại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao ñộng: • Chiều dài tại VTCB: l cb = l 0 + ∆l 0 • Chiều dài cực ñại: l max = l cb + A = l 0 + ∆l 0 + A • Chiều dài cực tiểu: l min = l cb - A = l 0 + ∆l 0 - A − = + = ⇒ 2 2 minmax minmax ll A ll l cb - Lực ñàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao ñộng (F dh ): • Phương: cùng phương chuyển ñộng của vật. • Chiều: luôn hướng về phía vị trí cân bằng. • ðộ lớn: F dh = k∆l, với ∆l là ñộ biến dạng của lò xo tại vị trí ñang xét (lò xo có thể bị dãn hoặc nén). Gọi x là vị trí ñang xét ⇒ ∆l = x ± ∆l 0 . Chú ý : Việc chọn dấu + hay – trong công thức trên phụ thuộc vào việc lò xo bị dãn hay nén và chiều dương mà ta chọn như thế nào. • ðơn vị: Fdh (N); k(N/m); ∆l(m) Các trường hợp ñặc biệt : - Lực ñàn hồi cực ñại: F max = k(∆l 0 + A) Dao ñộng ñiều hòa – Con lắc lò xo - Trần Thế An (havang1895@gmail.com – 09.3556.4557) Trang 5 - Lực ñàn hồi cực tiểu: ≤∆ >∆−∆ = Al AlAlk F 0 00 min ;0 );( Chú ý : Nếu ñề bài cho biết tỉ số 0const F F min max ≠= thì ta hiểu là F min = k(∆l - A) . 7.4.3. Con lắc lò xo chuyển ñộng trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang . ðặc ñiểm : - Tại vị trí cân bằng lò xo biến Dạng (giãn hoặc nén) một ñoạn ∆l 0 ñược cho bởi biểu thức k mg l α sin 0 =∆ . Mà: k = mω 2 Nên: ∆ = ∆ = ⇒ ∆ =⇔===∆ 0 0 0 22 0 sin 2 1 sin 2 sinsinsinsin l g f g l T l gg m mg k mg l α π α π α ω ω α ω αα - Chiều dài của lò xo tại vị trí cân bằng cũng như chiều dài cực ñại và cực tiểu tính tương tự như trường hợp vật chuyển ñộng thẳng ñứng. l cb = l 0 + ∆l 0 ; l max = l cb + A = l 0 + ∆l 0 + A; l min = l cb - A = l 0 + ∆l 0 – A 7.5. Cắt ghép lò xo 7.5.1. Lò xo ghép song song: Sơ ñồ ghép : Lò xo 1 – vật – lò xo 2. Công thức tính : gọi k là ñộ cứng tương ñương của hệ lò xo, khi ñó k = k 1 + k 2 Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có: 2 2 2 1 21 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 111 4 2 4 2 4 2 TT TT T TTT T m k k m T T m k k m T T m k k m T + =→+=⇒ =⇒= =⇒= =⇒= π π π π π π 7.5.2. Lò xo ghép nối tiếp: Sơ ñồ ghép : Lò xo 1 – lò xo 2 – vật. Công thức tính : Gọi k là ñộ cứng tương ñương của hệ lò xo, khi ñó 21 k 1 k 1 k 1 += Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có: 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 11 1 4 1 2 4 1 2 4 1 2 TTTTTT m T kk m T m T kk m T m T kk m T +=→+=⇒ =⇒= =⇒= =⇒= π π π π π π 7.5.3. Cắt lò xo : Một lò xo có ñộ cứng k, chiều dài l ñược cắt thành các lò xo có ñộ cứng k 1 , k 2 , … và chiều dài tương ứng là l 1 , l 2 thì có: kl = k 1 l 1 = k 2 l 2 = *Chú ý : Gắn lò xo có ñộ cứng k vào vật khối lượng m 1 ñược chu kỳ T 1 , vào vật khối lượng m 2 ñược T 2 , vào vật khối lượng (m 1 + m 2 ) ñược chu kỳ T 3 , vào vật khối lượng (m 1 – m 2 ), (m 1 > m 2 ) ñược chu kỳ T 4 . Khi ñó ta có: 2 2 2 1 2 4 2 2 2 1 2 3 TTTvàTTT −=+= Dao ñộng ñiều hòa – Con lắc lò xo - Trần Thế An (havang1895@gmail.com – 09.3556.4557) Trang 6 DAO ðỘNG ðIỀU HÒA – CON LẮC LÒ XO Chủ ñề 1: Chứng tỏ vật dao ñộng ñiều hòa. Viết phương trình dao ñộng - Chứng tỏ con lắc lò xo dao ñộng ñiều hòa trong trường hợp lò xo ñặt theo phương ngang, theo phương thẳng ñứng, theo phương mặt phẳng nghiêng. Viết công thức tính chu kì T cho mỗi trường hợp. - Mối liên hệ giữa chuyển ñộng tròn ñều và dao ñộng ñiều hòa. - Viết phương trình dao ñộng: Tìm A, ω, φ. - Tính vận tốc, gia tốc khi vật ñi qua vị trí có li ñộ x. Chủ ñề 2: Bài toán tính quãng ñường di chuyển, thời gian di chuyển, vận tốc trung bình. - Bài toán tính quãng ñường di chuyển. o Dạng 1: Tính quãng ñường di chuyển từ thời ñiểm t 1 ñến thời ñiểm t 2 . o Dạng 2: Tính quãng ñường di chuyển từ vị trí x 1 ñến vị trí x 2 : Có kèm theo chiều chuyển ñộng; Quãng ñường lớn nhất, bé nhất trong một chu kì nếu không kèm theo chiều chuyển ñộng. o Dạng 3: Tính quãng ñường lớn nhất, bé nhất trong khoảng thời gian ∆t bất kì. - Bài toán tính thời gian di chuyển. o Dạng 1: Tính thời gian di chuyển từ vị trí x 1 ñến vị trí x 2 : Có kèm theo chiều chuyển ñộng; Thời gian lớn nhất, bé nhất trong một chu kì nếu không kèm theo chiều chuyển ñộng. o Dạng 2: Xác ñịnh các thời ñiểm vật qua vị trí có tọa ñộ x 0 (có thể kèm theo chiều chuyển ñộng). o Dạng 3: Tính thời gian lớn nhất, bé nhất khi vật di chuyển ñược quãng ñường s bất kì. - Tính tốc ñộ trung bình, vận tốc trung bình của chuyển ñộng trong khoảng thời gian từ t 1 ñến t 2 hay khi vật chuyển ñộng từ vị trí x 1 ñến vị trí x 2 . - Xác ñịnh số lần vật qua vị trí có li ñộ x khi biết thời gian chuyển ñộng t. Chủ ñề 3: Lực ñàn hồi – Lực hồi phục. Cắt – nối lò xo. - Tính lực ñàn hồi, lực hồi phục. - Tính ñộ cứng của mỗi lò xo thành phần khi cắt lò xo hay ñộ cứng tương ñương của hệ lò xo khi ghép nối tiếp, song song, xung ñối. Tính chu kì của hệ ghép. - Xác ñịnh ñiều kiện biên ñộ ñể hai vật không rời nhau trong quá trình chuyển ñộng trong trường hợp vật và lò xo treo thẳng ñứng và trường hợp vật và lò xo nằm ngang. Chủ ñề 4: Năng lượng trong dao ñộng ñiều hòa con lắc lò xo. - Viết biểu thức thế năng, ñộng năng, cơ năng. Xác ñịnh chu kì biến ñổi của ñộng năng, thế năng. - Tính ñộng năng, thế năng tại vị trí bất kì. . k 2 Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có: 2 2 2 1 21 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 111 4 2 4 2 4 2 TT TT T TTT T m k k m T T m k k m T T m k k m T + =→+=⇒ =⇒= =⇒= =⇒= π π π π π π . 2 1 2 2 2 3 1 cos 2 3 2 2 2 1 0 tan 3 3 1 3 + ∞ cotg 3 1 3 3 0 ( ) cos ( ) sin 1 2 1 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 − 2 2 − 3 2 − 1 2 − 2 2 − 3 2 − 6 π 4 π 3 π 2 π 1 1 1 − 1 − 2 3 π 3 4 π 5 6 π 3 π − 2 3 π − 4 π − 3 4 π − 6 π − 5 6 π − 2 π − π ± Dao. vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có: 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 11 1 4 1 2 4 1 2 4 1 2 TTTTTT m T kk m T m T kk m T m T kk m T +=→+=⇒ =⇒= =⇒= =⇒= π π π π π π