Tổng hợp đề thi HSG

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2 TỔ TOÁN  NGUYỄN VĂN XÁ   TÀI LIỆU THAM KHẢO MÔN TOÁN  TẬP BA MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI                2009 20092009 2009  Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI  1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 2009 2010 và 2010 2009 . 2/ Tìm giới hạn 2 0 3 3 1 1 lim 3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1) x x x x x x →   −   + +   + + + +   . Bài 2 (4 ñiểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2009 + y 2009 + z 2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của F = x 2 + y 2 + z 2 . 2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 2 1 2009 2010 2009+n 1 1 1 1 C C C 2007 n+ + + + < . Bài 3 (4 ñiểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180 o và các cạnh bên SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 . Bài 4 (4 ñiểm) 1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax 3 + bx 2 + cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng 2 2 2 1 2 2+ 3 + - m + n + p m n p ≤ . 2/ Giải hệ phương trình 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ( ) 14 ( ) 21 ( ) 7 x y x y z xyz y z y z x xyz z x z x y xyz  + + + = +  + + + = −   + + + = +  . Bài 5 (2 ñiểm) 1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ñó. 2/ Cho y = a 0 x + a 1 x 3 + a 2 x 5 + … + a n x 2n+1 + … thoả mãn (1 – x 2 )y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các hệ số a 0 , a 1 , a 2 , …, a n .  2. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 ñ i ể m) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: 3 2 cos cos 3 2 cos cos 3 2 cos cos x y z y z x z x y + = +   + = +   + = +  . Trang 1 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 2 Câu 2: (4 ñ i ể m) Cho dãy s ố { } n x tho ả mãn: 0 3 1 1 3 3 2 n n n x x x x + + =    − = +   . Tìm lim n n x →+∞ . Câu 3: (4 ñ i ể m) Tìm t ấ t c ả các hàm s ố f(x) liên t ụ c trên * + R và tho ả mãn: 2 2 2 (1) 5 4 ( ) ( ) 4 , 0 . f f x x f x x x x =    − = − ∀ >   Câu 4: (4 ñ i ể m) Trên m ặ t ph ẳ ng cho hình vuông ABCD c ạ nh a và ñ i ể m M thay ñổ i. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a m ỗ i t ổ ng sau: 1) T 2 = 2.MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 . 2) T 1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñ i ể m) Cho t ậ p h ợ p A = { 0,1,2,…,2006 } . M ộ t t ậ p con T c ủ a A ñượ c g ọ i là t ậ p con “ngoan ngoãn” n ế u v ớ i b ấ t kì x, y ∈ T (có th ể x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm t ậ p con “ngoan ngoãn” l ớ n nh ấ t c ủ a A và khác A. 2) Tìm t ậ p con “ngoan ngoãn” bé nh ấ t c ủ a A ch ứ a 2002 và 2005.  3. THI HSG BẮC NINH LỚP 12 NĂM HỌC 2007 – 2008 Câu 1: Tìm a ñể t ậ p xác ñị nh c ủ a hàm s ố 2 ( ) 2 a x f x a x + = − ch ứ a t ậ p giá tr ị c ủ a hàm s ố 2 1 ( ) 2 4 2 g x x x a = + + − . Câu 2: Gi ả i h ệ PT 4 2 2 3 2 2 1 1 x x y x y x y x xy  + − =  − + = −  . Câu 3: Cho x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3. Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 1 2 3 ( , , ) . yz x zx y xy z f x y z xyz − + − + − = Câu 4: G ọ i V, S l ầ n l ượ t là th ể tích và di ệ n tích toàn ph ầ n c ủ a kh ố i t ứ di ệ n ABCD. Ch ứ ng minh 3 2 288. S V > Câu 5: Gi ả i PT nghi ệ m nguyên 2 2 2 2 8 2 . x y x y xy − − = Câu 6: Tìm hàm s ố kh ả vi f : (-1 ; 1) → ℝ th ỏ a mãn ( ) ( ) ( ), , ( 1; 1). 1 x y f x f y f x y xy + + = ∀ ∈ − + Trang 2 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 3  4. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002 Câu 1 Cho hàm s ố f(x) có ñạ o hàm trên R và th ỏ a mãn f(2x) = 4cosx.f(x) – 2x, ∀ x ∈ R . Tính f ’(0) b ằ ng ñị nh ngh ĩ a. Câu 2 1. Cho △ ABC. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c cot cot cot tan tan tan . 2 2 2 A B C P A B C = + + + + + 2. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 3 2 3 2 2000 0 500 0 x xy y y x y x  − + =  − − =  . Câu 3 1. Bi ệ n lu ậ n theo k s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 2 1 2 (1 )ln 1 0. 2 2 1 k kx x kx k + − − − = − + 2. Tìm nghi ệ m d ươ ng c ủ a ph ươ ng trình 3 2 1 1 1 1 2 1 1 ln(1 ) ln(1 ) 1 . x x x x x x x + + + − + = − Câu 4 Cho t ứ di ệ n ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. G ọ i G là tr ọ ng tâm t ứ di ệ n và x, y, z, t l ầ n l ượ t là kho ả ng cách t ừ G ñế n các m ặ t ph ẳ ng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tìm m ố i liên h ệ gi ữ a a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. G ọ i , , α β γ là góc gi ữ a các c ặ p ñườ ng th ẳ ng t ươ ng ứ ng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Gi ả s ử c < b < a . H ỏ i ba ñ o ạ n th ẳ ng os , os , osa c b c c c α β γ có th ể d ự ng ñượ c m ộ t tam giác hay không ?  5. THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 BẮC NINH 2008 Bài 1 Tính g ầ n ñ úng giá tr ị l ớ n nh ấ t, nh ỏ nh ấ t c ủ a f(x) = 5x – 3 + 2 10 8x x− − . Bài 2 Tính g ầ n ñ úng ( ñế n ñộ , phút, giây) nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 3cos2x + 4cos3x = 1. Bài 3 V ớ i m ỗ i n ∈ N * ñặ t f(n) = (n 2 + n + 1) 2 + 1 và a n = (1). (3) (2 1) (2). (4) (2 ) f f n f f f n − . Tính g ầ n ñ úng 2009a 2008 . Bài 4 D ự ñ oán lim( sin 1) n n n + . Bài 5 Gi ả i g ầ n ñ úng ph ươ ng trình 2 3 0 2 x x e sinx − + − = . Trang 3 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 4 Bài 6 M ộ t ñấ t n ướ c có 80 sân bay mà kho ả ng cách gi ữ a các c ặ p sân bay b ấ t kì ñề u khác nhau và không có ba sân bay nào th ẳ ng hàng. Cùng m ộ t th ờ i ñ i ể m t ừ m ỗ i sân bay có m ộ t chi ế c máy bay c ấ t cánh và bay ñế n sân bay nào g ầ n nh ấ t. Trên b ấ t kì sân bay nào c ũ ng không th ể có quá n máy bay bay ñế n. Tìm n. Bài 7 Hình chóp t ứ giác ñề u có tâm m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p trùng v ớ i tâm m ặ t c ầ u n ộ i ti ế p. Tính g ầ n ñ úng góc gi ữ a m ặ t bên và m ặ t ñ áy. Bài 8 Gi ả i g ầ n ñ úng h ệ ph ươ ng trình ( ) 6 ( ) 30 ( ) 12 xy x y yz y z zx z x + =   + =   + =  . Bài 9 Trên b ả ng có 2008 s ố 1 2 2008 , , , 2008 2008 2008 . M ỗ i l ầ n xóa ñ i hai s ố a và b ở b ả ng ñ ó ng ườ i ta vi ế t vào b ả ng s ố (a + b – 2ab). H ỏ i sau 2007 l ầ n xóa nh ư v ậ y s ố còn l ạ i trên b ả ng là s ố nào ? Bài 10 Cho hai ñườ ng tròn (O 1 ; R 1 ), (O 2 ; R 2 ) c ắ t nhau. Bi ế t r ằ ng O 2 n ằ m trên (O 1 ; R 1 ) và di ệ n tích ph ầ n chung c ủ a hai hình tròn này b ằ ng n ử a di ệ n tích c ủ a hình tròn (O 1 ; R 1 ). Tính g ầ n ñ úng t ỉ s ố 1 2 R R .  6. CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008) Bài 1 Tìm m ñể 2 3 4 3 , x x x mx x + + ≥ + ∀ ∈ R . Bài 2 Trên m ặ t ph ẳ ng Oxy cho ñườ ng tròn (C) x 2 + y 2 -2x – 4y – 20 = 0 và hai ñ i ể m A( 29 4 ;2), B(- 9 ; - 6). Tìm ñ i ể m M ∈ (C) sao cho 4MA + 5MB ñạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Bài 3 Gi ả i ph ươ ng trình nghi ệ m nguyên 2 2 24( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2x y x y y x+ + + + + = + + . Bài 4 Cho △ ABC có góc ˆ A tù. D ự ng △ ABD vuông cân t ạ i D và △ ACE vuông cân t ạ i E sao cho C, D khác phía so v ớ i AB còn B, E cùng phía so v ớ i AC. G ọ i I, K l ầ n l ượ t là các tâm ñườ ng tròn n ộ i ti ế p △ ABD và △ ACE. Tính t ỉ s ố IK BC và góc gi ữ a hai ñườ ng IK, BC. Bài 5 Tìm gi ớ i h ạ n c ủ a dãy ( ) n x cho b ở i 1 2 1 1 2 , *. 2 1 n n n x x x n N x +  ≠     = ∀ ∈  −  Trang 4 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 5 Bài 6 Xác ñị nh hàm s ố f(x) liên t ụ c trên R + và th ỏ a mãn f(x 24 ) + f(x 10 ) = 2007(x 24 + x 10 ), ∀ x ∈ R . Bài 7 Trên bàn có 2007 viên bi g ồ m 667 bi xanh, 669 bi ñỏ , 671 bi vàng. C ứ m ỗ i l ầ n l ấ y ñ i 2 viên bi khác màu, ng ườ i ta l ạ i thêm vào 2 viên bi có màu còn l ạ i. H ỏ i có th ể ñế n m ộ t lúc nào ñ ó trên bàn ch ỉ còn các bi cùng màu hay không ?  7. THI HSG TOÁN 10 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 1999 – 2000 Bài 1 Cho parabol (P) y = x 2 – 3x + 3. a – Vi ế t ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng ñ i qua A(1 ; 1 2 ) và ti ế p xúc v ớ i (P). b – M là ñ i ể m b ấ t kì thu ộ c ñườ ng th ẳ ng y = 1 2 . Ch ứ ng minh qua M luôn v ẽ ñượ c hai ti ế p tuy ế n v ớ i (P) và hai ti ế p tuy ế n ấ y vuông góc v ớ i nhau. Bài 2 Cho ba s ố a, b, c th ỏ a mãn 2 2 2 2 1 a b c ab bc ca  + + =  + + =  . Áp d ụ ng h ệ th ứ c VIET ch ứ ng minh a, b, c ∈ [- 4 3 ; 4 3 ]. Bài 3 a) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 2 4 128 x y x y x y  + + − =   + =   . b) Tìm m ñể ph ươ ng trình 5 4 x x m + + − = có nghi ệ m duy nh ấ t. Bài 4 Cho hình ch ữ nh ậ t ABCD, ñ i ể m M b ấ t kì. Ch ứ ng minh r ằ ng: a. . . MA AD MB BC = . b. . . MA MC MB MD = . Bài 5 Cho △ ABC cân (AB = AC) v ớ i ˆ A = 2 α , các ñườ ng cao AH, BI. Ch ứ ng minh r ằ ng: a> sin2 α = 2sin α .cos α . b> 1 – cos2 α = 2sin 2 α . Suy ra 1 + cos2 α = 2cos 2 α . Bài 1 (1 ñ i ể m) Tìm t ậ p xác ñị nh c ủ a hàm s ố a. 2 2 4 2 3 x x y x − − = + . b. ( )( )( ) x a x b x c y a b c + + + = + − (a, b, c là ñộ dài 3 c ạ nh 1 tam giác th ườ ng). Bài 2 (3 ñ i ể m) a – V ẽ ñồ th ị hàm s ố 2 2 3 1y x x= − + . b – Dùng ñồ th ị trên bi ệ n lu ậ n theo m s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 2 2 3 0x x m− + = . Bài 3 (2 ñ i ể m) Tìm k ñể ph ươ ng trình 2 2 ( 5 3) (3 1) 2 0k k x k x− + + − + = có hai nghi ệ m x 1 , x 2 th ỏ a mãn x 2 = 2x 1 .  8. THI ðỊNH KÌ LỚP CHỌN 10A LẦN I TRƯỜNG THPT YÊN PHONG 2 (1999 – 2000) Trang 5 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 6 Bài 4 (2 ñ i ể m) Các c ạ nh AB và CD c ủ a t ứ giác ABCD kéo dài thì vuông góc v ớ i nhau. Hãy tính di ệ n tích c ủ a t ứ giác này n ế u AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm. Bài 5 (2 ñ i ể m) Cho △ ABC có góc ˆ A nh ọ n. V ẽ ra bên ngoài △ ABC các tam giác vuông cân ñỉ nh A là △ ABD, △ ACE. G ọ i M là trung ñ i ể m c ủ a BC. Ch ứ ng minh r ằ ng AM ⊥DE.  9. THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2 (ñợt 1) Câu 1 Gi ả i ph ươ ng trình a. 3 3 1 2 2 1 x x + = − . b. 2 2 1 1 3 x x x x + − = + − . Câu 2 Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 1. 2 2 4 4 3 17 x xy y x y  + + =  + =  . 2. 12 20 15 xy yz zx =   =   =  . 3. 2 2 2 2 3 2 0 2 3 4 0 x y x y x y x  − + =  + + − =  . Câu 3 Tìm m ñể b ấ t ph ươ ng trình x 2 + mx + m 2 + 6m < 0 có ít nh ấ t m ộ t nghi ệ m x th ỏ a mãn 1 < x < 2. Câu 4 Cho hình vuông ABCD có c ạ nh b ằ ng 1, hai ñ i ể m M, N di chuy ể n trên AD và CD nh ư ng luôn có ∠ MBN = 45 0 . Xác ñị nh v ị trí c ủ a M, N ñể di ệ n tích △ MBN ñạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t và nh ỏ nh ấ t. Câu 5 Cho hai ñườ ng tròn (O) và (O’), ñ i ể m M n ằ m ngoài c ả hai ñườ ng tròn này. D ự ng ñườ ng th ẳ ng d ñ i qua M và c ắ t c ả hai ñườ ng tròn (O), (O’) t ạ o ra hai dây cung b ằ ng nhau.  10. ðỀ THI HSG LỚP 11 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) Bài 1 Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t và nh ỏ nh ấ t c ủ a hàm s ố sin 2cos 1 sin cos 2 x x y x x + + = + + . Bài 2 Ch ứ ng minh 0 0 4cos36 cot7 30' 1 2 3 4 5 6+ = + + + + + . Bài 3 Tính gi ớ i h ạ n 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + . Bài 4 Ch ứ ng minh v ớ i m ọ i △ ABC ta có 2 2 2 1 1 1 12 sin sin sin 2 2 2 A B C + + ≥ . Bài 5 Cho tam di ệ n vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz l ấ y l ầ n l ượ t các ñ i ể m A, B, C. G ọ i H là hình chi ế u c ủ a O trên (ABC). G ọ i , , α β γ l ầ n l ượ t là góc g ữ a OH v ớ i Ox, Oy, Oz. Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 os os os c c c α β γ + + = 1. Trang 6 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 7  11. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) Bài 1 Cho hàm s ố y = x 3 – 6x 2 + 3(m + 2)x – m – 6. a/ Xác ñị nh m sao cho hàm s ố có c ự c tr ị . b/ Xác ñị nh m ñể hàm s ố có hai c ự c tr ị và các giá tr ị c ự c tr ị cùng d ấ u. Bài 2 Cho m > 1 và ba s ố a, b, c th ỏ a mãn 0 2 1 a b c m m m + + = + + . Ch ứ ng minh ph ươ ng trình 2 0 ax bx c + + = có nghi ệ m (0;1). x ∈ Bài 3 Ch ứ ng minh ph ươ ng trình 5 2 0 x x − − = có nghi ệ m duy nh ấ t 0 x trên ñ o ạ n [1 ;2] và 0 9 8x > . Bài 4 a/ Cho F(-3 ;0) và ( △ ) 3x + 25 = 0. Tìm qu ỹ tích ñ i ể m M trong m ặ t ph ẳ ng sao cho 5FM = 3MK v ớ i K là hình chi ế u c ủ a M trên ( △ ). b/ Tìm qu ỹ tích tâm c ủ a ñườ ng tròn (C α ) x 2 + y 2 – 2xcos α + 4ysin α + 3sin 2 α - sin α + 1 = 0 ( α ∈ R ).  12. THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001) Bài 1 (4 ñ i ể m) Gi ả i ph ươ ng trình 1. (2 ñ i ể m) sinx(cos2x + cos6x) + cos 2 x = 2. 2. (2 ñ i ể m) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 20 4 5 15 3 4 12 3 x x x x x x x x x − + + − + = + + . Bài 2 (4 ñ i ể m) Cho dãy (u n ) th ỏ a mãn u 1 = - 2, 1 , 1 n n n u u n u + = ∈ − N *. 1. Ch ứ ng minh u n < 0, ∀ n ∈ N *. 2. V ớ i m ỗ i n ∈ N * ñặ t v n = 1 n n u u + . Ch ứ ng minh (v n ) là m ộ t c ấ p s ố c ộ ng và suy ra bi ể u th ứ c c ủ a v n và u n . Bài 3 (4 ñ i ể m) Gi ả i h ệ 27 4 1 1 5 4 27 6 1 log log 6 27 4 1 x x y x y x  + =    − ≥   − ≤    . Bài 4 (4 ñ i ể m) Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u ba s ố nguyên t ố t ạ o thành m ộ t c ấ p s ố c ộ ng có công sai không chia h ế t cho 6 thì s ố bé nh ấ t trong chúng là 3. Bài 5 (4 ñ i ể m) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, th ể tích b ằ ng 1cm 3 . Ch ứ ng minh r ằ ng SA, SB, SC ñ ôi m ộ t vuông góc. Trang 7 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 8  13. THI CHỌN LỚP 12A THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002 Câu 1 Gi ả i ph ươ ng trình a/. 1 sinx 1 sinx 2cos x − + + = . b/. 3 2 log (1 ) log x x + = . Câu 2 Cho hàm s ố 4 ( ) 2 4 x x f x = + . Tính 2000 1 ( ) 2001 i i A f = = ∑ . Câu 3 Gi ả i bi ệ n lu ậ n ph ươ ng trình sinx 1 sinx 4 2 m + + = (m là tham s ố ). Câu 4 Cho hình chóp ñề u S.ABC có trung ñ o ạ n b ằ ng a và l ậ p v ớ i ñ áy m ộ t góc m ộ t góc α . a – Tìm tâm và bán kính m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p hình chóp S.ABC. b – Tìm kho ả ng cách t ừ A t ớ i (SBC).  14. THI HSG 11 BC NINH (2004 – 2005) Bài 1 (2,5 đim) Tính giá tr ca: cos5 0 - cos31 0 - cos41 0 + cos67 0 + cos77 0 . Bài 2 (2,0 đim) Cho dãy s {a n } tha a 1 = 1, a n+1 = n n a a 1 2  vi n =1, 2, 3, … Chng minh biu thc 2 2 2  n a là s nguyên, vi mi giá tr nguyên n > 1. Bài 3 (2,5 đim) Cho t din ABCD, đng vuông góc chung ca AC và BD đi qua trung đim BD và S ABD = S BCD = 2 1 S ABC . Gi s tn ti đim O trong t din sao cho tng khong cách t O đn B và D bng tng khong cách t O đn bn mt t din. Chng minh: 1) ng vuông góc chung ca AC và BD đi qua trung đim AC. 2) AC  BD. Bài 4 (2,0 đim) Gi r, R là bán kính đng tròn ni tip, ngoi tip tam giác ABC, và r 1 là bán kính đng tròn ni tip tam giác có các đnh là tip đim ca đng tròn ni tip tam giác ABC. Chng minh rng r  1 Rr . Bài 5 (1, 0 đim) Gii phng trình x 3 - 3x = 2x .  15. THI HSG 11 THPT YÊN PHONG 2 - BC NINH (2008 – 2009) Bài 1: Tìm giá tr nh nht ca biu thc A = 2 11 2 4 5y x y    , vi x, y là các s thc tho mãn x 2 + y 2 – 2x – 6y + 6 = 0. Trang 8 Nguyn Vn Xá  thi HSG môn Toán Trang 9 Bài 2: Cho các s thc a, b, c ≥ 1, a 2 + b 2 + c 2 = 4. Tìm phn nguyên ca B = 1 1 1 2      a b c a b c . Bài 3: Tính giá tr ca biu thc C = 2006 1 2004 3 2 2005 2007 2008 2008 2008 2008 2009 . 2009 . 2009 .C C C C    . Bài 4: Gii phng trình lng giác vi x(0, 2  ): 3 sin 3 5( ) 3 2 1 2 sin 2 cos x x sinx cos x x      . Bài 5: Gii phng trình nghim nguyên: x 2 – 4y 2 = 17. Bài 6: Gii h phng trình 2 3 2 2 3 2 2 3 2 10 10 10 x y y y y z z z z x x x                  . Bài 7: Gi s ba đim G, H, O ln lt là trng tâm, trc tâm, tâm đng tròn ngoi tip ca mt tam giác nào đó. Chng minh rng: 2.GO  =  HG . Bài 8: Chng minh rng vi mi ABC nhn ta luôn có tanA.tanB.tanC > 1. Bài 9: Tìm tt c các hàm s f:    tho mãn f(x 3 – y) + 2y.(3f 2 (x) + y 2 ) = f(y + f(x)), x, y. Bài 10: Cho các hng s thc a, b, c vi a ≠ 0. Chng minh rng đng thng (d) x = 2  b a là trc đi xng ca parabol (P) y = ax 2 + bx + c.  16. THI HSG 10 THPT YÊN PHONG 2 - BC NINH (2008 – 2009) Câu 1 (3 đim) Cho hàm s y = - x 2 -2x + 3. a, V đ th hàm s. b, Bin lun theo m s nghim ca phng trình - x 2 -2|x| + m = 0. c, Tìm a đ phng trình - x 2 -2|x| + 3 – a = 0 có nghim thuc đon [-1; 1]. Câu 2 (3 đim) a. Chng minh rng 2 2 1 1 2 , 1 1 1a b ab      vi ab > 1. b. Cho a, b, c, d > 0 và a b c d S d a b a b c b c d c d a             . Chng minh 1 < S < 2. c. Chng minh 300 200 200 300 . Câu 3 (3 đim) Cho ABC cân đnh A. Gi M là trung đim ca AB, G là trng tâm ACM, I là tâm đng tròn ngoi tip ABC. Chng minh GI  CM. Câu 4 (1 đim) Chng minh 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )a b a b a a b b       .  17. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH – NĂM HỌC 2008 – 2009 Câu 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; +∞) thỏa mãn 1 f(x) = f( ), x ∀ x > 0. Ch ứ ng minh r ằ ng hàm s ố Trang 9 [...]... minh r ng hai s 2005 v (2005 + 5 dng thi HSG mụn Toỏn n ) cú s ch s b ng nhau v i m i n nguyờn Trang 17 Nguy n Vn Xỏ Trang 18 34 UBND TỉNH BắC NINH đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Sở giáo dục Và Đào tạo Năm học: 2009-2010 môn thi: toán lớp 12 thpt Đề chính thức Câu 1 (3,0 điểm) 1/ Giải phơng trình: Thời gian l m b i: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Ng y thi 14 tháng 4 năm 2010 sin x sin... đều có: 3 2 2/ Tìm ( lim cos 2 x + n cos + sin 2 n sin ) n sin x + 2 cos x 2 2+ 2 2 với (0; ) 2 -Hết - (Đề thi gồm 01 trang) Họ v tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1: Số báo danh : Chữ ký của giám thị 2: thi HSG mụn Toỏn Trang 18 Nguy n Vn Xỏ Trang 19 35 thi HSG mụn Toỏn Trang 19 Nguy n Vn Xỏ Trang 20 36 UBND T NH B C NINH S GIO D C V O T O CHNH TH C THI. .. 1 quỏ Hóy ch ra m t t di n nh th 8 29 THI CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG QU C GIA ( 2002 2003) Ngy thi 16 -10 -2002 (bu i 1) Bi 1 (2 ủi m) Ch ng minh r ng 3 5 2 +7 3 5 2 7 = 2 Bi 2 (2 ủi m) Cho dóy {an} g m vụ h n s t nhiờn th a món an = 2an 1an +1 , n N*, n > 1 Ch ng minh an 1 + an +1 r ng a1 = a2 = = an 1 Bi 3 (2 ủi m) Cho ABC CMR 2 sin thi HSG mụn Toỏn A B C sin sin 2 2 2 1 1 1 1... f(sin32x).f(cos32x) 31 THI HSG B C NINH (2004 - 2005) Ngy thi 12 04 - 2005 1 Cõu 1 (2 ủi m) Tỡm gi i h n: 1) A = lim ( sinx ) x a ; x a sina cos( cosx) 2 x0 sin(tanx) 2) B = lim Cõu 2 (2 ủi m) x x 1 Tớnh ủ o hm c a hm s f(x) = x ( x > 0), t ủú tỡm nguyờn hm c a hm s (x) = x (1 + lnx) 2 Tớnh tớch phõn J = sin n -1 x.cos(n+1)x.dx , trong ủú n l s nguyờn dng khụng nh hn 2 0 thi HSG mụn Toỏn Trang 16... f(1789) thi HSG mụn Toỏn Trang 14 Nguy n Vn Xỏ Trang 15 Bi 4 (2 ủi m) Ch ng minh r ng m i m t ph ng ủi qua ủ ng th ng n i hai trung ủi m c a hai c nh ủ i c a m t t di n chia t di n ủú thnh hai ph n cú th tớch b ng nhau Bi 5 (2 ủi m) Cho n hỡnh vuụng b t kỡ (n N*) Ch ng minh r ng cú th c t n hỡnh vuụng ủú thnh nh ng ủa giỏc m v i nh ng ủa giỏc ny cú th ghộp l i ủ c m t hỡnh vuụng m i 28 THI HSG B C... Cõu 5 Cho lng tr tam giỏc ủ u ABC.ABC cú t t c cỏc c nh b ng a Hóy tớnh theo a: 1) Gúc t o b i AB v BC 2) Di n tớch thi t di n c a lng tr c t b i m t ph ng ủi qua AB v tr ng tõm G c a tam giỏc ABC 3) T s th tớch hai ph n c a kh i lng tr ABC.ABC b phõn chia b i thi t di n núi trờn 18 THI HSG L P 11 (2001 2002) Bi 1 Cú t n t i hay khụng 2001 s dng phõn bi t sao cho t ng cỏc ngh ch ủ o bỡnh phng c a chỳng... Bi 6 Tỡm s nguyờn dng n ủ 20063 +14 + 20062005 + 2007 + 1 l s nguyờn t 23 THI HSG L P 11 - THPT NH NGUY T (2009) Vũng 2 m 1 + ax n 1 + bx 1 ( v i a, b R; m, n N*) Bi 1 Tớnh lim x 0 x Bi 2 Tỡm giỏ tr l n nh t v nh nh t c a bi u th c T = a2 + b2 + c2 + 2abc, v i a, b, c l ủ di ba c nh m t tam giỏc cú chu vi b ng 2 thi HSG mụn Toỏn Trang 12 Nguy n Vn Xỏ Trang 13 Bi 3 Cho hai hm s liờn t c f, g :... = 1 Ch ng minh r ng x2 + y 2 + z2 + 4xyz 27 D u ủ ng th c x y ra khi no? Bi 5 Cho hm s f xỏc ủ nh b i f(x) = f(x + 3).f(x 3), x R Ch ng minh f l hm tu n hon 33 THI CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG QU C GIA ( 2005 2006) Ngy thi 20 -10 -2005 4 x y 2 + 2 xy + 2 y = 0 Cõu 1 (4 ủi m) Gi i h phng trỡnh 2 x + y x 1 = 0 A B C Cõu 2 (4 ủi m) Cho ABC, tỡm giỏ tr nh nh t c a T = tan 2 + 3(tan... s nguyờn dng k, hóy ch ng minh tớch c a k s nguyờn liờn ti p bao gi cng chia h t cho k! thi HSG mụn Toỏn Trang 13 Nguy n Vn Xỏ Trang 14 Bi 4 Tỡm t a ủ cỏc ủ nh c a hỡnh vuụng ABCD n m trong m t ph ng Oxy, bi t A thu c ủ ng th ng (d) x y = 0, C thu c ủ ng th ng (d) 2x + y 1 = 0, v B, D thu c tr c Ox 26 THI HSG L P 12 B C NINH (1999 - 2000) ( ny c n ki m tra l i vỡ ủ c ủỏnh mỏy theo m t b n photocopy... , l gúc gi a cỏc c p ủ ng th ng tng ng BC v DA, CA v DB, AB v DC Gi s c < b < a H i ba ủo n th ng a cos , b cos , c cos cú th d ng ủ c m t tam giỏc hay khụng ? 27 THI CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG QU C GIA ( 2001 2002) Ngy thi 26 -11-2001 (bu i 2) 1 1 1 3( x + ) = 4( y + ) = 5( z + ) Bi 1 (2 ủi m) Gi i h phng trỡnh x y z xy + yz + zx = 1 Bi 2 (2 ủi m) Cho ABC khụng cú gúc tự Tỡm giỏ . dục Và Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học: 2009-2010 môn thi: toán lớp 12 thpt Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi 14 tháng 4 năm 2010. 1). 1 x y f x f y f x y xy + + = ∀ ∈ − + Trang 2 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 3  4. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002 Câu 1 Cho hàm s ố f(x). r ằ ng 2 2 2 os os os c c c α β γ + + = 1. Trang 6 Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 7  11. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) Bài 1 Cho hàm s ố y = x 3 – 6x 2