TỔ HỢP 7

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP VÀ NHỊ THỨC NIUTON 1. Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n0 ³ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P n . n Pn!1.2 n == . Quy ước: 0! = 1. Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị. Vậy có P 5 = 5! = 120 cách sắp. Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Giải Gọi 12345 Aaaaaa = với 1 a0 ¹ và 12345 a, a, a, a, a phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số 1 a0 ¹ nên có 4 cách chọn a 1 . + Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số. 2. Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n0 ³ . Mỗi cách chọn ra k ( ) 0kn ££ phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n A . k n n! A (nk)! = - . Nhận xét: n nn An!P == . Ví dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7. Vậy có 5 7 7! A2520 (75)! == - cách sắp. Ví dụ 4. Từ tập hợp { } X0; 1; 2; 3; 4; 5 = có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Giải TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - Gọi 1234 Aaaaa = với 1 a0 ¹ và 1234 a, a, a, a phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số 1 a0 ¹ nên có 5 cách chọn a 1 . + Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí 3 5 A cách. Vậy có 3 5 5A300 = số. 3. Tổ hợp Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n0 ³ . Mỗi cách chọn ra k ( ) 0kn ££ phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n C . k n n! C k!(nk)! = - . Ví dụ 5. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách. Giải Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10. Vậy có 4 10 C210 = cách chọn. Ví dụ 6. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách. - Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có 2 5 C . Suy ra có 2 5 3C cách chọn. + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam. - Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có 2 3 C cách. - Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5. Suy ra có 2 3 5C cách chọn. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách. Vậy có 22 53 3C5C146 ++= cách chọn. Ví dụ 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. Giải Gọi 1234 Aaaaa = với 1234 9aaaa0 ³>>>³ là số cần lập. { } X0; 1; 2; ; 8; 9 = . Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10. Vậy có 4 10 C210 = số. TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - Nhận xét: i) Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt. ii) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không. 4. Phương pháp giải toán 4.1. Phương pháp 1 Bước 1. Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài. Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai đoạn. Bước 2. Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. Bước 3. Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên. Ví dụ 8. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam. - Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có 2 15 A cách. - Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có 2 13 C cách. Suy ra có 22 1513 5A.C cách chọn cho trường hợp 1. + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam. - Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có 2 5 C cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có 2 15 A cách. - Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách. Suy ra có 22 155 13A.C cách chọn cho trường hợp 2. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có 3 5 C cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có 2 15 A cách. Suy ra có 23 155 A.C cách chọn cho trường hợp 3. Vậy có 222223 1513155155 5A.C13A.CA.C111300 ++= cách. Cách khác: + Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có 2 15 A cách. + Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ. - Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có 2 13 5.C cách. - Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có 2 5 13.C cách. - Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 3 5 C cách. Vậy có ( ) 2223 151355 A5.C13.CC111300 ++= cách. TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - 4.2. Phương pháp 2. Đối với nhiều bài toán, phương pháp 1 rất dài. Do đó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán AAXAX\A =Þ= U . Bước 1. Chia yêu cầu của đề thành 2 phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu riêng A. Xét A là phủ định của A, nghĩa là không thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2. Bước 2. Tính số cách chọn loại 1 và loại 2. Bước 3. Đáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2. Chú ý: Cách phân loại 1 và loại 2 có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải. Ví dụ 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Giải + Loại 1: chữ số a 1 tùy ý, ta có 5! = 120 số. + Loại 2: chữ số a 1 = 0, ta có 4! = 24 số. Vậy có 120 – 24 = 96 số. Ví dụ 10. Một nhóm có 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải + Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người có 3 13 C cách. + Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7 nam có 3 7 C cách. Vậy có 33 137 CC251 -= cách chọn. Ví dụ 11. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra. Giải + Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có 10 20 C cách. + Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó. - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có 10 16 C cách. - Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có 10 13 C cách. - Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có 10 11 C cách. Vậy có ( ) 10101010 20161311 CCCC176451 -++= đề kiểm tra. Chú ý: Giải bằng phương pháp phần bù có ưu điểm là ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sót khi tính số lượng từng loại. TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Ví dụ 12. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra. Cách giải sai: + Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7 20 C cách. + Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu có 7 9 C cách. - Trường hợp 2: chọn 7 câu trung bình có 1 cách. - Trường hợp 3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có 7 16 C cách. - Trường hợp 4: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có 7 13 C cách. - Trường hợp 5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có 7 11 C cách. Vậy có ( ) 77777 209161311 C1CCCC63997 -++++= đề kiểm tra! Sai sót trong cách tính số đề loại 2. Chẳng hạn, khi tính số đề trong trường hợp 3 ta đã tính lặp lại trường hợp 1 và trường hợp 2. Cách giải sai khác: + Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7 20 C cách. + Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có 7 16 C cách. - Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ hoặc khó trong 13 câu có 7 13 C cách. - Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình hoặc khó trong 11 câu có 7 11 C cách. Vậy có ( ) 7777 20161311 CCCC64034 -++= đề kiểm tra. Sai sót do ta đã tính lặp lại số cách chọn đề chỉ có 7 câu dễ và đề chỉ có 7 câu trung bình trong trường hợp 1 và trường hợp 2. Cách giải đúng: + Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7 20 C cách. + Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có 7 16 C cách. - Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có 77 139 CC - cách. - Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có 7 11 C1 - cách. Vậy có ( ) 77777 201613911 CCCCC164071 -+-+-= đề kiểm tra. Ví dụ 13. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ. Giải + Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ). - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có 2 12 A cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có 2 10 C cách. TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - Suy ra có 22 1210 A.C cách bầu loại 1. + Loại 2: bầu 4 người toàn nam. - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có 2 7 A cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có 2 5 C cách. Suy ra có 22 75 A.C cách bầu loại 2. Vậy có 2222 121075 A.CA.C5520 -= cách. B. BÀI TẬP Bài 1. Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách. Bài 2. Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó. Bài 3. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau. Bài 4. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2. Bài 5. Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên. Bài 6. Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Tính tổng các số được thành lập. Bài 7. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Bài 8. Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật. Bài 9. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn. Bài 10. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử của X. TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - Bài 11. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu. Bài 12. Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải. Bài 13. Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. Bài 14. Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên là 1 được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Bài 15. Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn. Bài 16. Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Tính số cách chọn. Bài 17. Tính số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà không chứa 0. Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Bài 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 25000. Tính số các số lập được. Bài 20. Tập hợp A gồm n phần tử (n ³ 4). Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tìm số { } k1; 2; ; n Î sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất. II. Nhị thức newton và ứng dụng 1. Nhị thức newton a) Lý thuyết cơ bản + Công thức nhị thức Newton: Với mọi cặp số a, b và mọi số nguyên dương n ta có: (a + b) n = c o n a n + c 1 n a n – 1 b + c 2 n c 1 n – 2 b 2 + … + c n n-1 ab n – 1 + c n n b n 0 (*) n knkk n k Cab - = = å + Các nhận xét về công thức khai triển: i. Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái. ii. Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n. iii. Các hệ số của khai triển lần lượt là: TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - iv. C 0 n; C 1 n ; C 2 n ; … C n-1 n ; C n n ; Với chú ý: C k n = C n n –k 0 < k < n. v. vi. Một số dạng đặc biệt: Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta được (1 + x) n = C 0 n + C 1 n x + C 2 n x 2 + …+ C n-1 n x n-1 + C n n x n Dạng 2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta được (2) (1 - x) n = C 0 n - C 2 n x+ C 2 n x 2 + …(-1) k C k n x k + …+ (-1) n C n n x n (3) vii. Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức Thay x = 1 vào (2) ta được C 0 n + C 1 n x + C 2 n + …+ C n n = 2 n Thay x = -1 vào (3) ta được: C 0 n - C 1 n x + C 2 n - …+ (-1) n C n n = 0 b) Áp dụng I. Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó: Bài 1: Thực hiện khai triển: (3x – 4) 5 Giải: Ta có (3x – 4) 5 5 5 5 0 (3).(4) kkk k Cx - = =- å = 3 5 . C 0 5 . x 5 + 4.3 4 C 1 5 x 4 + … + 4 5 C 5 5 Trong khai triển đó: + Có 6 số hạng. + Các hệ số có tính đối xứng nhau + Ta có các hệ số của 3 hệ số đầu của công thức khai triển đó là các hệ số C 0 5 = 1 C 1 5 = 5 C 2 5 = 10 Vậy (3x – 4) 5 = 243x 5 – 1620 x 4 + 4320 x 3 – 5760 x 2 + 3840 x – 1024 Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) S 1 = C 0 6 + C 1 6 + C 2 6 + … + C 6 6 b) S 2 = C 0 5 + 2C 1 5 + 2 2 C 2 5 + … +2 5 C 5 5 c) S 3 = 3 17 . C 0 17 – 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 – 4 3 .3 14 . C 3 7 + …-4 17 .C 17 17 d) S 4 = C 6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11 11 e) 0200112000200120010 520022002200220012002200220022002 kk k SCCCCCCCC - - =+++++ Giải: a) ta có S 1 = C 0 6 + C 1 6 + C 2 6 + … + C 6 6 = (1 + 1) 6 = 2 6 = 64 b) Ta có (1 + x) 5 5 5 0 kk k Cx = = å (1) Thay x = 2 vào (1) ta được: S 2 = C 0 5 + 2C 1 5 + 2 2 . C 2 5 + … +2 5 C 5 5 = 3 5 = 243 c) Ta có: S 3 = 3 17 . C 0 17 – 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 – 4 3 .3 14 . C 3 7 + …-4 17 .C 17 17 1 1 kk nn nk CC k - -+ = TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - = C 0 17 .3 17 + C 1 17 .3 16 (-4) 1 + C 2 17 3 15 (-4) 2 + C 3 17 3 14 (-4) + …+ C 17 17 (-14) 17 = (3 – 4) 17 = (3 – 4) 17 = -1 d) Ta có (1 + 1) 11 = C 0 11 + C 1 11 + C 2 11 + … + C 6 11 + C 2 11 +…+ C 11 11 Mặt khác C k 11 = C 11 11-k với k ∈ (0,1,2,…11) Do vậy: (1 + 1) 11 = 2 (C 6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11 11 ) = 2S 4 Nên S 4 = 2 10 e) Ta có 2001 200220022001 2002!(2002)!2002!2002! 2002 !(2002)!(2001)!!(2001)! kkk k k CCC kkkkk - - - === Từ đó: S 5 = 2002 ( 0120012001 200120012001 )2002(11) CCC +++=+ Bài 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: C o n + 2 C 1 n + 4 C 2 n + … + 2 n C n n = 243 (1) Giải: Ta có: 123n nn nnnn n C + 2 C + 4 C + + 2C = (1 + 2) = 3 24335 n n Û=Þ= Bài tập tương tự Bài 4: Viết khai triển (3x – 1) 16 và chứng minh rằng 3 16 . C o 16 – 3 15 C 1 16 + … + C 16 16 = 2 16 . Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau: a) S 1 = 2 n C 0 n + 2 n-2 C 2 n + 2 n-4 C 4 n + … + C n n b) S 2 = 2 n-1 C 1 n + 2 n-3 C 3 n + 2 n-5 C 5 n + … +C n n c) S 3 = C 6 10 C 7 10 + C 8 10 + C 9 10 + C 10 10 Bài 6: Tính tổng S = 2000 2000 2 2000 1 2000 0 2000 2001 3. CCCC ++++ II. Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển Phương pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần lưu ý: Ta có: n 0 (a + b) = n knii n i Cab - = å . Do đó hệ số của số hạng thứ i là C i n , và số hạng thứ i: C i n a n-i b i Ta có () 00 ()()() ni nn niiini nn ii xbCxxCx ababab - -+ == +== åå . Do đó: Hệ số x k trong khai triển trên là C i n với i là nghiệm của phương trình α ( n – i) +β i = k Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x. Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức () 25/22/35/212/3 0 ()() n n in n i x xxxxCxx x = éù êú +=+= êú êú ëû å là 36 hãy tìm số của số hạng thứ 7 của khai triển nhị thức trên. Giải: 22 ! 3636(1)727209 2!(2) n n Cnnnnn n =Û=Û-=Û =Û= - TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - Vậy thứ hạng thứ 7 được là: 65/232/367/2 9 ()()84 Cxxx - = Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức ( ) 328/15 n xxx - + hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết: C n n + C n-1 n + C n-2 n = 79 Giải: Xét PT: C n n + C n-1 n + C n-2 n = 79 2 (1) 179156012 2 nn nnnn - Û++=Û+-=Û= Khi đó: 4(12)28 12 12 28/15124/31228/5 315 3 12 0 0 ()()() kk kkkk n k k xxxCxxCx - - = = +== åå Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển là 4(12)28 05 315 kk k - -=Û= Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C 5 12 Ví dụ 3: Cho biết ba số hạng đầu tiên của khai triển: 4 1 () 2 n x x + có các hệ số liên tiếp theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho. Giải: Ta có: 23 1/211/41/211/4 4 4 00 1 ()(2)()(2)2 2 nk nn nnknknk n kk xxxCxxx x = == +=+== åå ba hàng tử đầu tiên của khai triển có các hệ số là: C 0 n ; C 1 n 2 -1 ;C 2 n 2 -2 ; Ba hệ số liên tiếp theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên⇔ C 0 n + C 2 n 2 -2 = 2C 1 n 2 -1 ⇔=> 2 1 (1) 1980 8 8 n nn nnn n é = - ê +=Û-+=Û ê = ë a) Với n = 1 ta được 4 1 2 x x æö ÷ ç + ÷ ç ÷ ÷ ç èø không có hạng tử hữu tỷ b) n = 8 ta được: 163 8 8 4 8 4 0 1 2 k kk k xccx x - - = æö ÷ ç += ÷ ç ÷ ÷ ç èø å Số hạng thứ k + 1 là hệ số hữu tỷ khi ( 16 – 3k) chia hết cho 4, 0 < k < 8 16 - 3k = 4i; i N0 0 < k < 84 k k ìé Î= ï ï ê Û í ê ï = ï îë Với k = 0 hạng tử hữu tỷ: C o 8 2 0 x 4 = x 4 k = 4 hạng tử hữu tỷ: C 4 8 2 -4 Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + x) n Giải: Ta có n 0 (1 + x) = n kk n k Cx = å - Các hệ số trong khai triển là: C o n ; C 1 n …; C n n. Với n, k nguyên, không âm và k < n ta có: ! !()! k n n C knk = - và 1 ! (1)!(1) k n n C knk - = + Ta có: 1 1 11 111 2 k kk n nn k n C nn CCk Ck - - =+ <Û>Û->Û< [...]... 27 1+ + 3 9 2 k 1 k Khi ú h s ca hng t th k+1 l: ak = C 27 ( ) 27- k ( ) k = C 27 22 k - 273 -k (0 Ê k Ê 27) 2 3 http://www.xuctu.com - Trang 12 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giỏo viờn & Gia s ti TP Hu - T: 22 070 27 0989824932 Lp t s: ak +1 22( k +1)- 27. 3-( k +1) 4 27 - k k = C 27- 1 k 2 k - 27 -k = 1 0 Ê k Ê 14 ak C 27 2 3 5 k +1 Do ú (ak) tng khi 0 < k < 14 => max (ak) = a14 (ak) gim khi 14 < k < 27. .. (2) + Ly /h 1 v ca (2) theo x c (3) + Chn k = 1 => kt qu S5 = 22005 2012 3 0 6) S6 =4.5 C 4 20 07 1 + 5.5 C 5 20 07 C220 07 4 2010 20 07 C 20 07 + 6.5 ++ 2011.5 Xột KT : x (1 + x)20 07 lm tng t VD5 C HNG DN GII http://www.xuctu.com - Trang 17 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giỏo viờn & Gia s ti TP Hu - T: 22 070 27 0989824932 Bi 1 Xột 3 loi gh gm 1 gh cú 3 ch, 1 gh cú 2 ch v 2 gh cú 1 ch ngi + Bc 1: do 2... Bi 13 Xem s cú 7 ch s nh 7 v trớ thng hng + Bc 1: chn 2 trong 7 v trớ sp 2 ch s 2 (khụng hoỏn v) cú C2 = 21 cỏch 7 3 + Bc 2: chn 3 trong 5 v trớ cũn li sp 3 ch s 3 (khụng hoỏn v) cú C5 = 10 cỏch + Bc 3: chn 2 trong 3 ch s 1, 4, 5 sp vo 2 v trớ cũn li (cú hoỏn v) cú A2 = 6 cỏch 3 http://www.xuctu.com - Trang 20 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giỏo viờn & Gia s ti TP Hu - T: 22 070 27 0989824932 Vy... > 6 ổ1ử ổ 2ử 179 2 Vy tk t giỏ tr ln nht ti k = 6 v cú giỏ tr bng C86 ỗ ữ ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ 3ữ ỗ 3ứ ố ứ ố 21 87 2 Vớ d 7: Tỡm h s ln nht ca khai trin a thc 6 Px = ( 1 + 2x)12 k k Gii: Ta cú (1 + 2x)12 = ồ C12 (2 x )k = ồ C12 2k x k 12 Suy ra : ak = Ck12 k 12 k =0 k =0 2 vi k = 1, ,12 http://www.xuctu.com - Trang 11 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giỏo viờn & Gia s ti TP Hu - T: 22 070 27 0989824932... li Cỏch gii ỳng: 6 + Chn tựy ý 6 em trong i cú C18 = 18564 cỏch 6 + Chn 6 em trong i thuc khi 12 hoc khi 11 cú C13 = 171 6 cỏch 6 6 + Chn 6 em trong i thuc khi 12 v khi 10 cú C12 - C7 = 9 17 cỏch 6 + Chn 6 em trong i thuc khi 11 v khi 10 cú C11 - C6 = 461 cỏch 6 Vy cú 18564 171 6 9 17 461 = 15454 cỏch chn Bi 10 2 + S tp hp con cha 2 phn t ca X l C10 = 45 4 + S tp hp con cha 4 phn t ca X l C10 = 210... 99.398 C099 98 3 97 C199 + 97 396 C299 - + C9899 HDG: + Xột KT (x + 1)99 = ồC 99 k =0 k 99 x 99-k + Ly o hm 2 v (1) theo x c (2) = (x + 1)98 = 98 + Thay x = -3 vo (2) c S3 = 99.2 http://www.xuctu.com ồC 99 k =0 k 99 (99 - k ) x 98-k - Trang 16 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giỏo viờn & Gia s ti TP Hu - T: 22 070 27 0989824932 4) S4 = C02006 + 2C12006 + 3C22006 + 4C32006 + + 20 07 HDG: 0 1 2006 +... C18 = 18564 cỏch 6 + Chn 6 em trong i thuc khi 12 hoc khi 11 cú C13 = 171 6 cỏch 6 + Chn 6 em trong i thuc khi 12 hoc khi 10 cú C12 = 924 cỏch http://www.xuctu.com - Trang 19 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giỏo viờn & Gia s ti TP Hu - T: 22 070 27 0989824932 6 + Chn 6 em trong i thuc khi 11 hoc khi 10 cú C11 = 462 cỏch Vy cú 18564 171 6 924 462 = 15462 cỏch chn! Sai ch lp 12 v lp 11 ta ó tớnh lp li... cũn li nờn cú 2.3.A2 = 72 s 4 4 + Trng hp 3: a1 = 2, a2 chn Cú 2 cỏch chn a2, 2 cỏch chn a5 v A2 cỏch chn cỏc ch s cũn li nờn cú 2.2.A2 = 48 s 4 4 Vy cú 240 + 72 + 48 = 360 s Bi 20 S tp hp con cha k phn t ca A l Ck Ta cú: n C4 = 20C2 n n n! n! = 20 4 !( n - 4 )! 2! ( n - 2 ) ! http://www.xuctu.com - Trang 22 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giỏo viờn & Gia s ti TP Hu - T: 22 070 27 0989824932 Vy k =... C2 = 6 cỏch 4 - Bc 3: khi cũn li cú 4 cỏch chn Suy ra cú 3.6.6.4 = 432 cỏch Vy cú 192 + 432 = 624 cỏch Cỏch khỏc: 5 + Chn 5 hc sinh tựy ý cú C12 = 79 2 cỏch + Chn 5 hc sinh khi A v B (tng t khi A v C, B v C) cú C5 = 56 cỏch 8 Vy cú 79 2 3.56 = 624 cỏch Bi 17 0 + S tp hp con khụng cha phn t no ca X \ { 0; 1} l C5 + S tp hp con cha 1 phn t ca X \ { 0; 1} l C1 5 + S tp hp con cha 2 phn t ca X \ { 0; 1}... 88 = 12 672 0 x 5 2 5 Vớ d 8: Tỡm n ca k khai trin ( + ) n = Gii: Vỡ 1 ( x + 2) n bit hng t th 9 cú h s ln nht 5n 1 khụng thay i nờn h s trong khai trin thay i ph thuc vo (x+2)n Xột 5n khai trin (x+2)n = ồ Cnk 2k x n-k n k =0 Hng t th 9 cú h.s l C8n 28 ln nht trong cỏc h s nờn ỡ ỡ Cn ù ù 8 ù ù 9 ỡ 8 ù 8 8 ù 9 > 2 ù Cn > 2Cn ùC 2 > C 9 29 ù Cn ù 25 ù n ù ù n ù ớ 8 ớ 8 11 Ê n Ê ị n = 12 ớ 8 8 7 7 ùCn 2 . câu có 7 16 C cách. - Trường hợp 4: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có 7 13 C cách. - Trường hợp 5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có 7 11 C cách. Vậy có ( ) 77 777 209161311 C1CCCC639 97 -++++= . S 3 = 3 17 . C 0 17 – 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 – 4 3 .3 14 . C 3 7 + …-4 17 .C 17 17 1 1 kk nn nk CC k - -+ = TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 22 070 27 – 0989824932. - Trang 9 - = C 0 17 .3 17 + C 1 17 .3 16 (-4) 1 + C 2 17 3 15 (-4) 2 + C 3 17 3 14 (-4) + …+ C 17 17 (-14) 17 = (3 – 4) 17 = (3 – 4) 17 = -1 d) Ta có (1 + 1) 11 =